CHAPITRE XL

546 THÉORIE J\-IATHÉMATIQUE

Pour cette valeur de p, l'équation relative àla surface se réduit 11 u

=

^((n° 137); el ce cas est celui où le corps que l'on considère, au lieu de rayonner à travers le plan qui le termine, a une temperature donnée en tous les points de ce plan, ct exprimée par ( ouqlt.Le pm- blcme a alors pour objet de cûnlpa.rer les températures qui ont lieuà différentes distances de la snrfacc , à celle qui répondà lasurface même, et non plusillatempérature extérieure.

Dans le même cas dep

=

^{cr) ,} laformule(24)se réduitil

tu supposant. que la température 1;; ùe la surface soit une fonc- tion périodique qui reprennela même valeur toutes les fois que t augrnente d'un temps donné 8, et représentant, en consé- rrrlCncc, celte teru pérature par une série de sinus et de cosinus des multiples de

2;1 ,

on pourra appliquer successivement celledernière formule àtons les termes de cette série ; en prenant ensuite pourC la somme des valeurs qui en résulteront, on aura l'expression de la température finale clans l'intérieur du corps, qui l'épondra à la valeur entière de _~,ctsera périodique comme latempérature du plan quile termiue. Cette expression de U est cclle que Fourier a donnée le pre-

mier pour ce cas particulier.

nE Li\. CHALEUR.

CHAPITRE XL

Distribution de la chaleur dans quelques corps, ct special .ment dans une spherc homogenc primitivement l'Chauffee d'une manière que].••

conque_

(162). J'appelleraiAle COI-rS que nous allons considérer. Soient M un point quelconque de cc COfpS;X,J' ,z, les trois coordonnées rec- tangillail'cs deM;etilla températurequi a lieu en cc point au bout du temps quelconquet , et (lui sera une fonction inconnue de t , x, y,z. Oncomptera le temps t!lpartir de l'état initial deA,de sorteque la valeur deu qui répondilt

=

0,sera donnée en fonction deai,,y, z.

Le,_~o,rps Asera homogène; on représentera pal' cet k, la chaleur speCIfIque ctla courluctihilité de Ia rnatièro dont il est formé; on sup- pose,ra d'abord quelatempératureli n'est pasasse»élevée pour influer sensiblementsur les deux clérnenscetk ; et l'on ilégligera également dans toute l'étendue de A, les variations de densilé ducs^à l'iné<'alité des

r. D

te~peratures; variations qui sont en effet très petites dans les corps solides, et dans Je cas des températures ordinaires. De cette manière, ketcseront deux quantites constantes, dont les valeurs numériques devront être données. Enfin, on regardera comme insensible l'éten- due du rayonnement moléculaire dans l'intérieur de A.

L'équation du mouvement intérieur de lachaleur, que nous avons obtenue dans le n? 49, sera alors

'!!:: =

a,(d'U d'u dU')

dt dx'

+

^d.)"

+

"difi '

1

en faisant, ponr abréger, A-

c a'

•

.ious aurons pour laseeondo équation dont il s'agit

ou lou prendra 1<: SJgrtfo' du radical que A représente) de manière

.lu du P dn ,

-[ cos_a» Co

+

^-d_,7cosb

+

^-:<_{a z '}^COS",

+

b(u -- ()_{'- '}

=

o.

DE LA CHALEur\. ")·49

que ces cosinus répondent à la partie de la normale comprise en dehors de A.

Telles sont donc les équations différentiellos du problème; mai"

avant de nous occuper de les résoudre, il faut entrer dans quel- ques détails sur ce qu'on entend par la tcmpératur» extédeure, cl sur sa détermination.

(tG5),D'aprèsla manière dont nous avons obtenu l'équation (2), n' (67), si w représente l'élément Je la surface de A qui comprend le point 0, le produit p(u- Ç) exprime la quantité de chaleur perduepar le corpsA, 11 travers l'élément Ce' et pendant l'instant dt.

La température ( est la valeur de ^Ilqui devrait avoir lieu pOUl'qu'il n'yeùt ni pCl"tc ni gain de chaleur au point 0; et Iorsqu'cll« surpux- sera la température^Ilquiexiste réellement au point M, ou qu'elle 'sera moindre, il

y

aura gain ou perte de ehaleurfttraversCIl. Si A était l'enfermé dans une enceinte vide, fermée de toutes parts, et dont la température fûtpartout. la mèurc , (serait cette tempcraturu , ct J!

la mesuredu pouvoir rayonnantde Aau point 0; maisen général, ilfaudra délcrrn inerpet(par la considération des diverses sources de la chaleur extérieure.

01', la perle <le chaleur

peu -

Ç)ccdt, positive Ou négalive, puurra provenir de trois causes distinctes : ^10• de l'échange de chaleur rayonnante, soit entre A el: d'autres corps voisins on éloi- gnés, soit entre A et les molécules de l'air on du gaz dans le- quel ce corps est placé; 2°. de la chaleur enlevée à A par h couche très mince de ce fluide, en contact avec sa surface , 5°, de la chaleur rayonnante émanée d'un ou de plusieurs foycr;; in-·

candescens , qui vient tomber sur la surface de i\, ut est ahsorbee par ce corps suivant une proportion détel'lninée. Je représenterai pal'

?o.(u -

ç)

^{»dt la} partie deP(u -

n

^{todt: due itla} première couse;

~ ùésignant unetempératurequi scdéduira de celle desCOl'pS rayon- nans,

y

comprisl'ail' dans lequel A est placé, et en ayant égard i, l'absorption qui aura lieu dans ce fluide; et le coefficient

»;

étant la mesure du pouvait' rayonnant de A au point O. La partie due àla se- conde cause sera représentée par i\,(u-~)«dt ,en déoignant par ;'la température delacouched'ail' contigneil.lasurface de A en ce mène point 0, et pal' il, la mesure du pouvoir refroidissant de ce fluide, (:J)

A'

,

P LdL

cos v = Ad;'

(dL"

(dL)" (dL)'

\d.,,) +

^dj

+

^dz

cos0:

= :;

\ dL^{h J}

lm aura, (l'après les formules conuucs ,

1." tcmpératll!'e ttappartient au point1\1elnon au poinl 0; mais dans sem expression l'dative aux points intérieurs, on pourra , sans erreur seusihlc , mettre à la place de x,y, z,les coordonnées du point 0, pour en déduire la valeur de ^lià laquelle convient cette équation(2).

Soit L = 0, l'équation donnée de lasurface de A; en fai~aril, pou^l' abrégel',

Stld THÉORIE MATHÉMATIQUE

de sortequeasoit une constante donnée, que nous regarderons comme positive.

Indépendamment de celte é'llw.tloll, communefttous les points de .\, qui ne font pas partie de la couche superficielleailla tempé- rature v.nie très rapidcment , il Y a une autre équation qui n'a lien flue pour les pointssituésilla limite interieure de cette couche, dout nous considererons l'épaisseur comme insensible. Supposons que M soit un de œs points; abaissons del\1une perpendiculaireSUl'la sur- lace de A, qui la rcnCOlÜI'C en un point 0; menons pat' cc point 0, en dehors de A, une J1Or11131cl,sa surface ; et soient CL, b, 'J', les angles fjUe cette droiLe fait avec des parallèles aux axes des x, J, z , menés 'tlL';'.( pel!'lc point0,Représentons pari;latempérature extérieure qm l'<ipond àcepoint, et parfi unequantité positive dépendante de l'état de lasurface en ce même point,quivarierait, en outre, avec les lem- pcraturcs u. el

t,

Fi elles étaient très élevées. Si nous faisons^J pom

ahn:~g(~r';

DE LA CHALEUR.

350 THÉOIUE MATHti\fATIQUE

'1uc riuusl'egaràerons comme illllépenL1aut Je IIct de11, et qui ne va- riera pas non plus avec l'état d,~cette surface, en sorte que ~sera une fonctiondonnée de t, x,f, :;,et ~, une constante donnée.Enfinpour exprimerlapartie due àlatroisièmecause, jesupposeraiqu'il n'existe 'ln'uil seiJ foyer qui cuvoic de 12. chaleur au cerps^.J.Âs.,et que ce foyer ,oit le soleil, par exemple, si A esl exposéàl'ail'liln·c. Soit alors rJ"la quanlité de chaleursolairequi vient tomber pendantl'unité de temps, sur une surface prise aussi pOUl' unite, perpendiculaireàladirection de cette chalcur , ct passan1par le point 0; celle qui tombera sur l'élé- ment 6) pelld:llll ·l'inst:mt dt, aura pour valeur o» cos edt , où l'on désigne par

e

l'angle aigu que fdil cette direction avec la normale menee ]l<U' Je point 0 à la surface de A, c'est-a-dire avecla droite dé!crminpepal'les angles(L, b, ?' ; par conséqucut , laportionde cette chalem' q111 traverse co, pourra être représentée par PI>! cosBdt; le facteur z étant une fraction qui dépendra de l'état de la surface au pointO, et qui pourra, en outre, var-ier avec l'angle d'incidence9.Nous regar- derons€comme une fonction donnée de B, ctcetangle

e

^{sera aussiune}

fonction connue de t ,X',J».s, ainsi quelaquantitéCi.

Cela posé, si rOll fait la somme des deux premières quantités de dJ3lE_I.ll' ;.,(u-~)u;dt et l\,Cu - Y;)liJdt, ctsil'onenretranchelatroi- sicrnc ,7!') cosBdt,on aura la valeur complète de p(n-novdt, et en ,upl'l'lmantle facteur commun «dt , il en résultera

1'(1l-'C)

=

;'"(li-~)

+

/,,(lt-~) - .0"cos 8; (4) éq uation dans laquelleil ne resteraplusqu'ilsubstituer l'expression du fln:': de chaleur r:tyolIlIantef(u - ~).

Si le corp" A était placé dans une enceinte vide, fermée de toutes parts, et dontlatempérature fùt partout la même, ce flux de cha- leur, l'apporté aux unités de temps et de surface, aurait pour va- leur (n° 24)

.>(u-~)

=

n(fu_-1"~);

~ étant alors la température de l'enceinte, F indiquant une fonction qui estlamême l'our tous les C01'pS,et TLun coefficient dépendant de leur matière et de l'état de leur surface. Mais soitque la quantité déterminée de chaleur, qui traverse la surface de dehorsen dedans, provienne d'une enceinte fermée, ou qu'elle ait toute autre origine,

"::J.)~

lefluxde chaleur devra évidemment avoir la mème• p,.pt·e'Ool·oll s• IL _ '-"'.' ,ca^IIt'·^~-j déterminer convenablement la température ~, d'aprèslaquantin; de c!laleur ,in,cidente, et l'état de la surface, 01', sil'on met dans 1',]([ua- bon precedente, a laplace de n sa valeur trouvée dans le11' _~Lf''> / on aura

a.étant une fraction qui mesure le pouvoir ahsorhant il truvcrs l'i(Jé- mentQ)et sous l'angle d'incidence

e;

^{et If!} clé,ignrull une CjlJantil:6 (lui provi:'lltde lavariation rapide de température dans la couche s'u- perflciclle de A. De plus, le dernier terme de cette expression fIn Ilu x de _c.h~lellr, prisavec le iiigllC

+

cl multiplié pal· (jJdt cxpriITICI'i;

1;1,~U;l1lLlLC de.chaleur ra'yonrl".ntc ;'enu,~ du dehors, et qui trovcrsc 1clement 11)suivanttoutes les directions pendant l'instantdt; si done on détermine dans chaque cas cette quantité_{. '} ct qu'on la l':O~l't';'e_{"'i-' ..~},U^tf:'

parQwdt} ilenrésultera

Q

= L F~ff7[t

^{cos esin}

GdG,

, 0

pOUl"l'équation qui servira

a

délerminel' la valeur de ~. Les deux pren~lCrstermes de _l~,,:aleul' de / ( l l -i;), multipliés aussi pal' oidt , exprimcront Iaquanfite de chaleur qui traverser» de detlansen dehors et suivant toutes les directions, l'dément C!' pendant l'instantdt; en sorte llue cette qUé'lJtilé dépcud à la fois des températures inlul'ieure ete'x.té,'ie,l~l'cu.et 1:'-, On ne _do~t'pas per.drc de vuc, en eflet, que Je corps A s ".;haulfant ou se refrcidissant ,J\s'établit dans sa couche su- perflcic.lIe, d'ailéman.e t:eU,'" q~lalJljté de chaleur, une loi de tempé- rature iucounue , mais qm résulte dt: la cliulcur que celte couche reçoit du dedans, et de cene qui lui vient du dehors; ct c'estcette circonstancequi donne lieu à une émission de chaleur dépcndante en

mêmetemps de u et de~. ^-

D'après l'expérience, on a(no26) Fu;,=: g,u .+~

c

¹

i\

=

^{gn log p..,}

(16·1).Ce sera principalement dam le chapitre suivant que nous au- rons recours_~cette manière de déterminer la température extérieure,

il5

(~) Journal de l'École Polytechnique, '9'cahier.

DE LA CHALEUR.

au moyen des diverses données de laquestion. Dans celui-ci, nous supposerons quela valeur de ( soitdonnée immédiatement en Fonc- tion de .r,}·,z; nous supposerons aussi que l'état de la surface de A soit partout Je même; etnous négligerons, en général, I'iuflucnce des tom- pJraturessurla vaieur deÎ\,qui sera alorsune qllantÎié coustante, ainsi que i\,. Laquantitépsera donc :n,~"i une constante donnée; et il eu sera de même il r';ganl du coefficientlide l'équation(2).Toutefois, Iorsquo A sera un poJyè.J,'c, on pourra, pOUl' plus de généralité, wpposel' que cc coefflcieut ail. des valeurs inégales pOUl' les diflé- l'entes faces de A, mais dont chacune sertl toujours h même dans toute l'étenduedeLi faceil laquelle elle répond.

On résout toujours aisément l'equation (J) relative aux Cûl'pS ho- mugt'nes; la ùilliculté du problbne est de tenir corn pie de la forme du corps, etde satisfaire à l'équation (2), »bstraction faite cie la tempé- rature extérieure_~, àIaquclle il est Lcile ensuite d'avoir égarcL11n'y a qu'un petit nomhre de corps clans lesquels on soit parvenu jusqu'à présent à déterminer la distribution de lachaleur; c'est-à-dire la va- leur rIeIlen fonction det, x,y-,z; cependant leur nomhro est encore ti'op grand, et les solutions des problèmes qui s'.y rapportent exigent trop de développement, pour que nous puissions les exposer toutes, sans donner hcaucoup trop d'étendue " ce cb apitre , c'est pourquoi nous nous borneronsiténoncerles differons cas que l'on a considérés jusqu'ici, en l'envoyant aux Memoires où ces questions particulières ont été résolues,

Ces cas sont ceux de la sphère primitivement échauffée d'unema- nière quelconque, qui sera l'objet princip"l de ce chapitre;ducylindre ilhase circulaire, ponr lequel je renverrai it mou premier Mémoire sur la.Distribution de la Chaleur dans les corps solides (*), oùl'on

~l'ouve.la solution du prcblème , soit que le cylindre se prolonge lll~éfillJ~lellt,soit qu'il ail une longuem' déterminée, ct quelle que sortla 101 destempératures initiales; du parallélépipède rectangle, que nous allons considérer toutùl'heure dans toute sa généralité· de dif-

V . ,

erens prismes triaugulaires , de l'ellipsoïde parvenuàsou état perma-

1

1

+

>'l:j

+

^{fC'CÜS ê} (5)

À

+

x,

ce qui fera connaître la quantité Pet la température

ç,

an moyen de quantités qui. seront toutes données dans chaque cas, ou qui au- J'Ontété préalablement déterminées d'après d'autres quantités don-

nées.

n 2 THÉORIE MA TIIÉCVli\TIQlJE

g et C étant des quantités de chaleur qui sont les mêmes pour tous les corps, et p., dr!signant le nombre 1,007" peucliffcrentde l'unité.

Iln'y aurait aucun moyen de connaître ces constantesg el C;mais dans les applications que nous ferons de l'équation précédente, on verra qu'elles entrent aussi dans la valeur de Q, el qu'elles dispa- raissent toujours de cette équation; de sorte que la Ternpérature ~ sera , dans tous les cas, complétemcnt déterminée. En développant ces valeurs de FI/. et _f~suivant les puissances de Ilct de ~, celle de

('''-1;)

deviendra

:~: ^{]('S 1C111}pératures It et ~ ne sout pas très élevées, on pourru, il raison de la petitesse de log J.~, réduire il l'unité le dernier facteur de cette formule; on aura alors

r-n sorte que la quantité 1\sera constante par rapport aux tempéra- tures, el ne variera qu'à raison de J'état de la surface, _Aprt~s avoir calculé la valeur de udans cette hypothèse, on pouna, si l'on veut, dans nue seconde approximation, augmenter A dans Ie rapport de

1

+ :

^(u+ ~)log1-'_

a

l'unité, en négligeant seulement le carré de logp•.Dans tems les caslapremière valeur de r. devra être donnée eufonction de x, j', z , si l'état de lasurface de A varie d'un point à unautre.

Maintenant on cléduit de l'équation(4)

4

5..

et ensuite une seule équation , pour déterminer les valeurs de À,

savoir ;

BÀ - bA

=

^{0, (EeosÀl - AsinAl)À}

+

^(Bsin?Il

+

^{AcosM) b,=0,}

DI, - be

=

^{0, (DcosÀl--Csin Àl)À}

+

^{(D siuAI}

+

^{Ccos,,1)b,=0,}

FA - bE

=

0, (FcosÂl- EsinÀl),

+ CF

^siuÀZ

+

^EcosÀl)

b,=

^0,

Hx - bG=0, (HeosM - Gsinltl)À+(Hsin;"l

+

GcosÀl)b,=0;

d'oùl'on tire d'abord

355

H=;;G;b

F

=

b~ E, DE l,A CHALEUR.

D_=~b C,

(b

+

^b,)ÀcosÂl

+

^{(bb) - N)sinl\l}

⁼

^o.

Les troisième et quatrième équations (5) donneront de même

V V Y V

C

=

^{il A, D}

=

'il B, G

=

^{'i! E, H}

=

^À' F;

et en outre

1/ _ ZAe-ro'e'lcDsÎ'-:rcosXycosX'z

+

:SBC-H'f" sin ÀxcosÂJcos À"z

+

::;::Ce-a'I'1cos ÀX sin?':ycos 11"7"

+

::SDc,,-a'f'! sinilxsinÀJ cos?,"z

+

^{::EEc-H'P'tcosÀXcosÀ'ysinX'z}

+

::;::Fe-a'P'tsin?IxcosÀ')"sin'A"Z

+

::EGe-tl'p" cos ÀX sin_À~rsin?l"z

+

::sl~e-["P" sinÀXsin f/Ysin).."z;

A, B, C, D, E, F, G, H, étant aussi des constantes arbitraires, et les sommes~s'étendant iltoutes leurs valeurspossibles , et

a

toutes celles de À ,

x,

^r',

-Les deux premières équations (5)ayant lieu pour toutes les valeurs de t ,y, z , si l'on y substitue celte expression de Zl, la comparaison de, termes semblables, par rapportil ces variables, fournira ces hIlit équations

du bu, quand x

dx

- -

^0,

du bu, quandx l,

dx:

- - ^-

da b'u, quand

dy

-

^Y

-

^0,

du (5)

- ^{- b;u,}

^quandy

^-

^l!

dy

,

du b"a, quand

do z

-

^0,

du

Vu,

^quand

t:

Tz ^{~ z}

}!

+ /'." +

^?l'"

=

^p',

l'intégrale complète de l'équation(I) que I'ou a trouvée dans lenO 76, pourra être représentée par

',:~; Mémoires présentés~l'Académie des Sciences, torne V; Journal de l'École f'dYleclmi'lue ,^22'cahier.

Si l'on désigne pol'A,X, ,:', trois constantes arbitraires , et que l'on Fasse,pOUl' ahréger,

J.J1 THÈülUE MATHÉMATIQnE

neut, qui a déjà été indiqué dans le préamliulc de cet Ou vl'age ; etpour ces deux dernier., cas, je l'enverrai aux Mémoires de .\'1. Lamé, qui les a considérés(*),

(1G;j),Supposons que Asoit un parallélépipède rectangle, et quela température extérieure soit constante et égale ilzéro; prenons hm de

«cssommets pour origine des coordonnées x,y,z , etfaisonscoïncider ielli'direction avec celles des côtés adjaccus. Désignons part, l', I", le~

longueurs des trois côtés qui tom hcntrespectivcment sur les axes des x, )',:c. La constanle li appartiendrail la facel'l", perpendiculaire il 1 el '~)assan^tpar l'origine des courdouuéesj elle deviendra1/ctb"pOUl' les faces Il" et ll', pass:iIJ t par le même point et respectivement pel'- ])cndiclllaires à l'et ["; les trois quantités b , b',l/',sechangerontCl! b, f"

6"

pour les trois autres[cleesde A. En vertu de l'équation(2) et il '.'<luse de ,

=

^{0, on aura, d'après}ces notations,

S56 THÉORIE MATJd~;'IIATlQUE DE LA CHALEUR, (l/ + 1/,)7.'cosII'['+ 1)/[;'- À")sin",,1[.'

=

0, l'expression de u.deviendra

ft = ::EAPe-^a" " ,

etlasomme X ne s'étendra plus qu'aux valeurs de ;e,

Jo:, ;.,",

détermi- nées par les équations précédentes. On pourra employer sel1leTT1en1 pour chacune de ces trois quantitr;s, les valeurs dont les carrés sont différens ; et il ne restera plus (Ju'à déterminer le coeûicieut A cu fonction deli, A', J,",par la méthode géné]'ale du n° (85).

l'OUi'cela, je désigne par PI et P" ceque l'et p deviennent quand on y met pour_l"~ À!, J,", des valeurs de ces quantités représentées par Il,,

i\:, À';.

La quantité Ple-a",'1sera une valeur particulière deli; k coefficientP,satisfera cloneill'équation

d'P d'P d'P,

P,P,"

+

dx:

+ d.r: +

^-dz'

=

^0,

pour toutes les valeurs de x,

.x,

^{zi el,} en outre, aux équations (5) pour les valeurs particuliere« de ces variables, auxquellesCèSéquations répondent. Cela étant, je multiplie l'équation (1) par 1'/lxdXds, puis j'intègre ses deux membres dans toute l'étendue du parallclripi- pède, En faisant pour abréger

II ="01/'D;

\ bl/[/

11=-,----" A,

J,l, ?

b", G

=;: c,

bb'

D=;,;i A,

F=;.:13,

1/'

1-,_ b l / ,

- _ A ! I J"),.~

1"•.i'I

b"

E

=

^{7' A,}

pOUl'determiner les valeursde ;,',

Entin , ou déduira des deux dernières équations (5) ,

clde plus

pour rj,;l.crminer les valeurs de ;,-'1.

LBS douzedernières éqllutions, déduction faite des trois qui doivenl _,en-il'à déterrulllcl' ;\, le',

1.",

sc réduisent à sept; elles laissent doue il'tdétel'minée l'une des hllil qnantités A, TI, C, D ,E, F, G, 1-1,la prerniel'e, par exemple; les valeurs qu'on Cl! déduit pour les >;cp1

autres sont

il enrésulte

f lf l' 1" r

^P,Udxdrd»

⁼

^v,

l- 0 0 ) 0

Par le procédé de l'intégmtlon par partie, et en ayant égard am:

équations (5), On a

r lf"f' l"(d'" d'u d'")

a'

J"

^{0 0} d:r:'

+

^df

+

^{d:z' P,dx 1Tdz.}

j

^{' ldP}

=

"dx'" ud» ,

f

^{l' d' P}

=

^-1,'udr ,

1) llJ 'l"d'P

=1

^IJ

^~'udz'

^{d.z? 1}

j ',

^{a d'u}die" ^PdJ X

rI'

d'u Pd'

Jody' I~

[ 1"d'"

d---;- P,dz

o z

vu'/. _ . _/ " _ IJ~

+ ".,,"

^sm?l,x; cos/'y smÎc "'

lIb" . - . (

+ '"

_;>'1c ^{cOSÀX SlU'ic')' SlU).,'Z}

Par !'ol1s'~qnent,sinous faisons, pour ahréger, p

=

cos'ilx cos

''.1"

^cosle':;;

+ f

^{sinÀxcosil/X cosA'z}

+ :-'

v' ^cosÀ,xsin À'ycosÀ"z

/,

!JI/ ,

+

-:-;smÀx sinll'Y eos/,";o

/.),

1"

+ ;

cos},:x:cos (\'] sin)·,'z

/, ~

M'//' .

+

-/'.'À" sml,x sin?t'y sin';e"Z, d'où l'on conclut

TIIÉOIUE MATllf~:iL\TIQUE

ri"

- a:J

-1

fi!fl"

^(d'P-d'or

⁺ dl'

^d"':

⁺ d-P)

^{,Jo" ItdX(~rdZ,}

dl o, Cl 0 , X J ,.,

ou ce qui est la même chose, d'après les équations précédentes, dv_dt

+

a'p'v_J

=

^0,

En intégrant el désignant pal' K la constante arhitraire, on aura ,Jonc

POUl' déterminer celte constante, je suppose qu'on ait u=F(x,y, z),

ma nd t

=

0 , de sorte que la fonction F soit donnée pour tous les

'-j , • . ,1 F f '

points du parallélépipètle, et représente son etat mitia .... n taisant

t=

⁰ dans l'équation qui precede} on aura

1 l' r ,

R

= rf r.

^P,f(x,J, 2.)clxdydz.

J

^{0 o , 0}

Il'apres cette valeur de Ket celle de _~, ou aura donc

I:'f:I

^{L" P,udxdrdz}

⁼ e-a",'tf:J:I:"

^{P,}'(x,Itz)dxdJ'dz,}

pour toutes les valeurs det, Je substitue clans cette dernière équation, à la place de 1t, sa valeur en série d'exponentielles; en égalant les coefticicns des termes semblables dans les deux membres, on en conclut

(If"("

^PP,dxdydz

⁼

^0,

Jo

^{0 ... 0}

pourtoutes les valeurs de f'ct

r:

qui ne sont point égales; ct dans le:

cas de r~

=

^F',on aura, en particulier,

1 l' 1"

[fI'

^(l"

A

lofa fn

^P'dxdydz

^{= fo}

⁰

^J

^{0 PF(x,y , z)dxdyd»;}

ce qui fait connaître la valeur de A qu'il s'agissaitd'obtenir.

!

\

1

1

DE LA CHALEUR.

L'équation précédente servira, comme dans le n° go, à prouve)' 1"rénlité de taulesles valeurs Je1", J.', ;,fI. Par les règles ordinait'es,

Dt! obtiendra sous forme finie, lavaleur de l'intégrale [riple, pm- la- quel l,.. la quantité A estmultipliéej en la représentant par t., rrou-.

..111rûns

pourl'expression générale de la température, à une époque cluel- conqne et en tel poin t qu'on voudra du lXlranélépipède;CCqui est lasolution complète du problème. En y faisant t

=

^{0 , il en ré-}

sultcra une expression de la fonction arbitraire .F(x,

r,

z) en "cil'ie de quantités périodiques, 'lui ne su!Jsislel':l (lue pOUl' les valeurs de X,I, z, comprises entre les Jirnitr:s x = ⁰ et x= i,

r=

^(>

et y = l', ^Z

=

0et z

=

l", et qui n'aura lieu aux limites mêmes'fu e (luant] lafonction F~x,y,z) et ses cocllicicns difrérentielssntisferont

~!lIXéquntionsCi),rclntives ilces [imites,

(166). Lorsque le corps A sera une sphère ou un sphéroïde quel- l:onquc, au lieu de déterminer ses différens points pal' leurscoordon- nées l'CClangllbil'cs, il seramieux de Iaire usage de leurs coordonnées polaires et de transformer, en conséquence, les équations (1) et (:<), Soit donc Tle rayon vecteur du poil]LqLwlconque lVI de A, qui1'é- pond aux coordonnées rectangulaires x, y, z; soient aussi

e

^l'angle

que fait cc rayon avec l'axe de z ,ct "'" l'angle compris entre le plan de ces deux droites ct celui desx etz; nous aurons

z= rcos^Û, y

=

^Tsinf} sin-';" x

=

r sin Rcos-L (6) L'origine de ces coordonnées r,

e, +,

sera un point de l'intérieur de A, pour lequel ou prendra le centrede ce corps, lorsqu'den aura uu. Le rayonl'sera une quantité positive, qui s'étendra rlepuis ^{/ ' = (J} jusqu'i unevaleur de 1"en fonction de

e

^et

'i,

donnee par I'équation L

=

⁰ de la surface de A, après qu'on aura mis dans L les valeurs précédentes de x,y,Zi les angles

e

ct "'" pourront s'étendre depuis G=o et

'i =

o jusqu'à G=-r. et { = 27l',

Il s'agira donc, par les règles COnnues de la transformation des différences partielles, de ch:mgeJ'celles qui sont contenues dans les

'160 THÉORIE MA THÉMATIQUE

équations ([),(2), (3), et qui se l'apportent:lUX variables x, y, z. en dan lrcs qui soient relatives ilr,

G, ·t;

maispour effectuer cette trans- i"oITl1ationde la manière la plus simple , j'appelleraiIflaprojectiondu rayon vecteurr sur le pian desx etI, de sorte que l'on ait

DE LA CHALEUR. 56,

r' tange

= z-'

r

= Y;;;' +

r", Si l'onobserveque l'on a,113même et par conséquent

tang...L= . [

J :r"

r Du tm déduit

"

1-

'r' .

1 d 1 cl dit ' I l d ^du

-.n (d erentiant a sceau e va eur e-d parl"apport a .r et ce e e -

cr dT

par rapportày, onaura donc

du du dr'

th - J?d.e

du du dr'

1Y - iTl-:Ti

+

^{dll d\};]:$de ^{du .c}dl -;:' ^d"_J~-,:c;'^J'

+

^{du dJ..-}d-}dy

-

;E'^du.)'i'

+

^dud{7;,.·X

on en conclut que l'équation précédente devra encore subsister, lors~

qu'onychangerax

,y,

^{r, -{,cns ,r , r, 0;}ce qui donne

et euajoutant ces deuxéquations, il en résultera

d'u dOra x d'u.

,.

+

^duy"

+

^{du xy}

-

^{--~ ~-}

dx'

-

dxd?? dxd+,:' ^dl'17:1 ^~J,

d::f

?4'

d';u d'!.l. J' d'" ^{X du x" du}yx

qy'

-

d.rdr'"7

+

dpD7'

+

d/^{j73 2} d..);r'4' Mais d'après les valeurs de r et lang_~J ou aura aussi

p . ' t cl "'

1

^{du dll,}

1 1

r.n mettant successivcmen ans ces memes va eurs ,dr'etd.la a p ace de u, ouaura aussi

du du z du. ri

dz ;E'I~- Jij ,"-'

du du r( duz

dr'

=

^{dl' ;:}

+

^dij~"

d'li - d'uX d'u J'"

dx;;;; - d":'? d,Id{.

?' ,

d'Il d'u x d'li y

hd{ d/dt? - d-J.,'r'"

du. _ d'li

.r

^{dru x}

dydr' - dl;;?

+

^d/d..jJ"

d'u _ rI"u.r. d"~

-=- .

clyd,J" - dr'd--!-r'

+

d..j.'r'"

cl'oùilrésultera

Donc1 ensubstituant celte valeur de

dl'~

dans l'équation précédente, ,r

et met tant aussil'sin8etl'COS

e

aII lieu der'et :3, la transformation du second membre de l'équation (1) se trouvera effeduée; el si l'on multiplie cette équation parr , on verra qu'elle peut s'écrire ;;;nsi :

[

d(sin9 ^d.rll)

l

d .ru d'J,ru 1 do 1 d~"'I,_I, ( .

~

=

^{a' tir'}

+

^{1"sin9 -} cl6-~

+

^r'>i,~

--;-q"

J - \J)

. , du 11) du du . .

En substituantmISSIcette valeur de -d'_l' dans ce es ue _a-c-1.et-cl_{! y '},JOl-

"1 ') cl du ' J ' ti (6'

gnant celles-ci a a va eut' e-d~' et ayant egal'Cl aux equa ions ),

46

TlOUSaurons

THÉORIE lVIATIIÉ1\IATlQUE

Les équations (8) <lJ'mlt lieu pOlir une fonction quelconque u de .z , y, z , ouy pourra mettreLilla place de u , et ellesdonnerontles va-

, d dl. dL dL l' d 1 cl 1 . . (?i)

ieurs C-;tr'

z:,.'

dz' que on evra emp oyer :lIIS cs equatlons c ,

d'où ii l'ésult~r3 les valeurs Je cosa, cosb, COS}, qui devrontêtre substituéesdansl'éqnation (0)'

Outre les équntions (7) ct (9), am:quelles la valeur de tt devra satisfairc , ilf:lllOra encore qu'elle soit telle quc l'on ait ru

=

0quand r = 0, ofiil que la tempér:l!Ul'e u ne soit point infinieau point du sphéroïde que l'onaurapris pour originedes coordonnees. Cela_é~aDt, ,il'ondésigne par

1{", 8, -+),

une fonction Jannée pOUl'touslespoints du sphéroïde, d'après son état primitif, il faudrajoindreàl'équation (7), commune il tous ces points, et il I'éqnation (9) relative à ceux de la surface , les deux équations

du du. il

..v

^{dl,' cosQ}(os~.y du sin-,r.,. l'

- = --

_{d» dl'}Slll\) CO.5

+ -.---- - --. -..,

_{dJ r d4-rsrn&'}

~ _ ~sin&Ç;nJ, J.. ~cos1Sitl'~-1-,fil _CO".*- ~)

dJ~ dr ' • <.JO • • r i cfJ r 1 d+rsin~:

0!. = '!".

^cos

e +

d".si11! •

dz dr d, T: '

au rnoyen de quoi,l'équation(2)deviendra

dl' (

' e . ' " .

^{fi • "}

s)

d: coset SHI cos'"f

+

^{cosb SUl<] S1I1'"f}

+

^{COS"); COS}

l du '" )

+

rd: (cosetcos

e

cos1--

+

^cos

b

cos

8

sin_~ - COS"y sin

e

l du ( P )

J..-~_ _ COSb COS { - coset sin{

+

b(u-è;) =0.

t ".'im6d.~,

(9)

1

1 t

DE LA ClIALEUR.

lorsque le corps A sera une sphère d'un rayon quelconque , 'lul aura son centre à l'origine des coordonnées.

(167)'Quelle que soit la valeur inconnue de l'il, on peut toujours, d'aprèsle théorème du n'' (105), J'exprimer par une série de cette forme:

m = V , + V . + V , + v3

+ ....

+V.+etc., (Il) dont le terme généralV. est une fonction Iles trois qnautités cos8,

"in

e

^sin

4-,

sin

e

^cos

i-,

rationnelle, entière et du degré n, qui sa- tisfuit

a

^l'équation

l ( .

e dV,)

{ sm 'd" _ci'"~

j

+

^{l ' "}

+ ( + )

^v

~in ed~ 5[n28 d,~'J n n 1 (11

=

^0,

et qui dépend,Ciloutre, des variablesr et t, En substituant cette série dans l'é'luation (7), ayaut égard à l'équation relative à V" et faisant, ponr un moment,

<IV, __dl a'[d"V. __dr?

"0_+'

_r- ^1V_n

J-

_- ^V'_{li )}

nous aurons

V'o

+

^V',

+

^VI.

+

^'l'"

+ .'"

V',

+

^etc.

=

o , Or, VI. sera une fonction de la même nulur:o que V.; d'après Je, propriétés de ce genre dequantités,il faudra donc que chaqueterme du premier membre,'eceltedernière équation soit séparément nul (n' 111); on aurudoncV'^ft

=

0, c'est-à-dire,

dV~_dl __- a'

[d.''', _

_d,.'.I. ^{n(n+l)V ]}

r'I ^{I l ·}

ru.

=

o , ru. =

f

(r,_{~, ~)}, (¹⁰⁾ dont lapremièreaura lienPOUlor=0, et la seconde pour t

=

^{0: ln}

fonction j(r,

e,

~) uxprimera , dam chaque C3S, la température initiale du pointl\1qui répond aux coordonnées r,

a, i-,

^multipliée

pal'son rayon vecteur r.

Le problème qui va nous occuper dans la suite de ce chapitre, consistera donc il résoudre simuItanémcntleséquations(7), (g),<.10),

1

L'intégralecomplète de celte équation peut Ure représentée (n"

o4)

par

eétant la base des logarithmes nepériens , pune constantearbitraire, Q une fonction de r et f, qui pellt contenir encore d'autres cons- tantes arhilraires , ct la somme :Es'étendant il toutes les valeurs

4

6 ..

DE LA CHALEUP,.

cos(;

=.r,

_r

cos cc

=r:,

x

série,~

la somme 3 s'étendant à toutes les valeurs possibles de Fct cles constantes contenues dans A" A" A" 1\3' elc. Cc sera l'intégraL.

de l'équation (7), indépendante de la forure du corps A, mais as- sujettie à la condition particulière ^ru= ⁰ quand ^r

=

o. Son inté- grale complète, dont. nous n'avons pas besoin, renfermerait une autr- série ordonnée suivant les puissances négatives del'.

(168).Dans le cas delasphère dont le centre est^à l'origine des coor- données, on aura

cj~é,

d'Q

r ._!'(?l+'ilQ =

dr"

+

L,.P r- ~. a ,

dont nous ayons donné, dans le n" 82, l'intégrale complète et sous forme finie. J\lais la valeur de ntne pouvant devenir irrlirrie pour r

=

0 , et étant, au con traire, nulle à l'origine des coordonnées, il en sera de même àl'égard de chaque tcrrno de la série (Il); on devra donc réduire la valeur de Q, lila partie (luine devient point infiniepOUl' r z:z: 0, et qui sera, d'après la.formule (17) du numéro

36,) THÉOR.IE MATHÉiUATIQUE

pcssinies , réelles ou irmginait'cô, depot des autres constantes: on aura pout'déterminerQ, l'équation

\, étant nn coefficient indépendant der.

La formule{lq'! du même numéro donnera , si 1'011 veut, oOIIS

forme finie eten"fonction dcr etIl, lavaleurdel'intégrale conton ue dans cette expression Je Q. Relativement [lUXvariables

e

^et

+,

^le

coefficient A. sera une fonction de la même nature queV., e'est-à- dire que

An

sera aussi une fonction de cos

9,

sin

e

^sin

+,

^sin

a

^{cos {,}

rationnelle, entièreel du degrén ,quisatisferaill'équation 1 (.

e

^dA,')

c \SIl1 -d'_tJ ,_,~'1I.ndO' _{,- ~}A

- - ' - - ' d - -sind, j

+ -.-,"

sm~lJ"y^-d'"

+

Il~n+l} •

=

^0,

par cousequent., en vertu des formules (6), l'équation _(~))se niduÎI'a il

~ +

b

(ll-~)=O'

Si l'on représente parlIerayon dela sphère, celte équatîon relativeil la surface^J aura lieu pout'r

=

l ,et pouna s'écrire ainsi:

D'ailleurs, quelle que soit la valeur de , eu fonction de

a

^et

't ,

on peutlareprésenter paf une série de celle forme (n' 105) ;

el dont l'expression la plus générale pourra contenir un nombre 2n+r ùe constantes arbitraires (n' 1(5). Les valeurs de

Q

et V., et par suite tous les termes delasérie(Il)s'évanouiront pour rzz:0; en sorte que la condition exprimée par la première équation (10)sera remplie.

C~1aétant, si nous faisons, pour abréger,

nous aurons, en vertu de la série (11)et de l'expression de V" en

1 1

(=Z.+Z,+Z.+Z,+ ... +Z.

+cte.;

Z. étant une fonction de cos8, sin

8

sin

+,

^{sin 8cos}

+,

rationnelle en- tièrc et du degré n , qui ponrl'a, en outre, contenir le temps t, ct

qui satisferaJil'équation

d(sin

e d:n

¹

^an;

---sr-ned6 -

+

,in' 8d~"

+

^ti(n

+

^{1) Z.}

=

o.

01', en substituant cette sérieàlaplace de~etla série (11)au lieu deru dans l'équation précédente, relative

n

la surface, et égalant CIlsuite dans les deux membres! les quantités qui répondentàun même in-

THÉORiE l\IATBi:cüAT1QUE

+

^{~211 F'Z'}

X"+'f"

l'xcoswsin(fx cosw) 5in"+'["du>

_ "

=

E

{[(211+

^{1)X - fXX' - x}

~~J

^sinpx

- [(21l

+

1)X'

+

^{px X-x}

~:]

^{cos px};}

DE LA CHALEUR.

de cette équation et de la précédente, on déduit

X'"/o" [(211+ 1)cos(pcX'COSfrJ) - FXCOScvsin(FXcos"')Jsin'''+'wdw

= E [(d'~ +

^{l'XI)sinF'x -}

_(;~;

^-

pX)

cos fXJ;

ftet kéta:d des fondions ratiouncllcs ct entièresde p'l', dont chucuno est Ïa somme dell<.:ux polyuomes d'un degré dépendant de Il, savoir;

et si l'on met dans ces formules les vnlcui-s de X ct X' du numéru cité, dans Iesquellos ou Ïcra et.

=

^{F, i}

=

^{Il, X}

=

l , on en dé- duira ensuite lu valeur demandée de l'intégrale qui forme Je pre-- mier membre Je l'équation (16).

En supprimu nt le facteur E de cette intégrale égalée il zéro, 011

trouvera que l'équation (16) prend la for-mc

hsinpl-krlcoSFl=o; (Jj)

1 lil _ /' 2'11Cn - 1)(M - n

+

^I) 'l'

n - • - J - 1.2.. 2Il.2'-;

_-j--

f'

2';n(11- I) (n-2) (n - 3) (bI-il +3) 1

+

_-1.2..3.4.2fi.2.tl- r.211-2.2n-·3 ^{p4 4 _ etc,} 2.::n(n - r) (11- 2) 4Z4 L

- -~-- P T etc.

l •'J, •3^.:2.l!.2n ...-1.'2n - 2.

k _ 211(bl-11) 2."n(n - 1)(Il - 2)(bl-n-1- ;,) p'l'

~-^- ~~3.2n-2n,.[.2n-?

2'U(Il-I)(n-?)(n-3)(n-4)(bl-n+,i) 1/+ t'

+

1.".3.4.5.21l.211--I.:1.II-2".,,-3.2.n--4F - eC,

_ 1

+

^{2'n(n- 1)} f'1,_~~'(T~=--'Un_-2)(n--3) p4I4-f-ctc.

r ,2.2rl.2n-W 1.2.Jo.4,.2.11.2Il-I.2.11--2.211-3

On doit remarquerqlwla.valeur deIi:dl! n'(82)ayant frOU)'diviseur,

1

f

r 1 l

1 1

toujours pour ia valeur purticulièrer

==

i.

Nous supposerons d'abord quelatempérature extérieure

~

,soit ,égale àzéro; cc (lui rendra nui le second men:hrc de cette dernière equ",.- tian. En substi tuant :lla!'ii dans son pl'CrnJC1'membre, la valeur de V.

enséric(l'expouenli(Xe;, ct égalant à zéro le coetllcicnt d'uneexponen- lieHe quelconque

«<r',

⁰¹¹ aura

et cc sera celle qui devra servirildeterminer laquantité ^{î -}

POUl' chaque valeur de n, cette équation trausccndantc donnera nue inlin',té de valeurs de F" qui seront toutes réelles, comme 011 le verra tout ;1 l'heure. De plus, si l'on développe suivant les puis- -. aces,1·,r le l"'''ll'icl' membre de cette équation (;6), on obtiendra

~·aIt~,Jb"\''-''j--', ~,~.

urie sérieqL1Î ne contiendra que des puissances paires, et dont les coefficiens seront alternativement positifs et négatif.5; d'où il résulte qu'aucune des valeurs de p'ne pomra être négative.

POUl' obtenir, sous forme finie, l'intégl'ale indiquée dans cette équation, j'observe qu'en vertu de l'équation (1g) du n?(82), on a '566

[lice cjueicouque11(n" JI 1),il cn résultera

X et X' désignant des fonctions rationnelles

:t

^entières ~e,:~(" e.l.E étant un coeflicieut indépendant de celte varinble. En différentiant par rapport

n

x, lIOUSaurons

doncen ayant égardàla valeur de Q,cette équation relative àr

=

^{l ,}

devienéLra

r

^rr

^cr

^bl

⁺

¹¹⁾cos(plcosw)-FIcosCl)sin(Fl cos^Itl)Jsil1'"+t~)d",=0;(16)

, 0

')h8 THÉORIE ~JATnf':MATIQUE

lasu l'pression de ce ractelJl' E a introduit dans l'équation (17) une ra- cille f

=

0 qui n'était pas d aus l'eqnaLÎon(16),et dont il faudra tou- [our's faire nhstrar tion.

, Ponrles valeurs particulîères tt.

=0, =

^{r ,}

=?,

etc., J'équation (J7)sera

DE LA CHALEUn.

concjue delavaleur de V" en série d'exponentielles procédégénéral indiqué dans leIl"85, '

Soit donc , pour abréger,

5li9 en suivant ](;

(bl- 1) sinF'

+

pl cospl

=

0,

(bl-.2

+

^{p'l'Î slll;,I- (bl-} 2)plcospl

=

^0, [1Il-5-'s(bl-4)p'I'Jsinpl-(bl-'5+WI')plcosfl;::::0, etc, i

où l'on voit que pour n

=

^{0, cetteéqllation (17)}coïncide av cr:J'é- quation (7) du n'' r39' relative au cas d'une sphère dont tous les pointscgalement éloignés du centre, sont éijalement échauffés, Dans tous les cas, 01Jtire de l'équation (17)

cospl

= V

h

.

/"p'l"

+

h"

Quand lavaleur numérique de 1Jl sera dounée, On déduira de ces éqnations, sous cette for-me ou développées en séries, les valeurs nu- mériques de pl qui ne seront pas très grandes, Quant à celles qui.

SC1'OtÜ très grandes, on les ohtiendra en conservant seulement

dans une première approximation, la plus haute puissance de _~I en dehors Je sin ,r.let cos rl, Alors si. Tt est pail', l'équation (17) se réduiraà Cf.!)"" sinpl

=

0,et sinest impair, à(rl)'·+!cospl

=

0;

on aura donc FI

=

iw dans le premier cas, et FI

=

ⁱ⁽²ⁱ

+

l)r.

dans le second; i étant un nombre entier très grand, afin que les valeurs jle FI soient aussi très grandcs, comme on le suppose.

Si l'on veut ensuite obtenir une "valeur plus approchée de fl, on fera pl= i7;-

+

^{Z ou} fl= H:!i

+

¹

JI( +

^{s, selon que Tt sera pair}

ou lmpail'; on suhsti tucra rune ou l'autre de ces valeurs de pl dansI'équation(17); et eu négligeant les puissances de z supérieures il la première, on déterminera faei lemcnt la valeurapprochée de cette

nouvelle inconnue qui devra être une très petite quantité.

(169)' Les valeurs de pétant donc censées connues,ilne reste plus qu'à déterminer eu fonction de f, Je coefficient A. d'un terme quel-

.in valeur de V"' dont il s'agit, sera

V.

=

::EA,lle-"'f'C "

la somme

x

s'étendant à Inules les valeurs inéaalcs de 0" t' ; , ^{J .}

1" [" (G) Cb ' n , , rrces h~,

eq;ta Ion, :,,' ~cuudes termes de celle sél'ie devant satisfaire "é- parement a,equation(12), il foud,'a que l'on ait

d'Pc_dl"

₌ [n(n --,,"-'- -

^-L1)

r

^{] Il,}

pOlir toutes les valeurs de l'; cc qui a été effectivementvér!' :dar 'L"

0" Cl. . LIe -~.IS,,~

nuI. "laque tenue de cette même série (]evra_{\ l} aU"SI' satisfai isol "

J • - ~ ~ (.:>1aIre^ISOe....

ment a 1equatron (11), abstraction bite de son second mernbro : il

faudra donc qu'on ait "

~j~ +

(bl- 1)

~ =

^0,

pour la valeur particulière,.

=

I;ce quirésulte , en cflet , de ]'équa-.

tion (16).

1Celaposé, ~8rnuJ,tiplie l'équation (12) pal' Rd,.; puisj'Întég'!'C ~es ueux membres depuis r

=

⁰ jusqu'il1 ' =1; d'où il résulte

,

^{c •}

dflltV.,dl'

,," ,[1

^{d'Y Ii l}

ri

n(n+.,)" RI

dt

0- =

^{a 'J}

crri

lCI' - a" --",,_.'. <01';

, a

en vert~ ~ela ~rcmière équation (101, chaque terme

v,

de la série (,~ ^d,oltet!'e ,zero c.n même te~lpS .quc r ; on a aussi H.= 0 pOUl' 1 -, l0, et SI l. ..un a egal'd aux equationsauxoucllos- l ,II.ct V doive.' L I1 ('ga ernent_sat~5Ialreityautl'e limite l'

=

l , on en conclurn , en inté- grant deux fOIS de suite pal' partie,

r

ⁱ d'V",,}_-1"" 0 / ' =

Ji -

i-, ^d']l~_., dl'.

J 0 ar f' (;,--

THÉORŒ MATHÉMATIQUE

Par conséquent, d'après la valeur précédente de

~~,

^{on aura}

et en intégrant cette équation,ilen résultera

C étant la constante arbitraire.

Pour la déterminer, je suppose que l'on applique le théorème d"

n>¹(.JO

a

la fonction fer,

e, -f),

de sorte que l'on ail

1(1',

e, -.}Î=Y,+Y,+Y,+ ... +Y.+etc.;

Y, désignant une fonction de cos

&,

siu

e

^{sin..j." sin Bcosd. ration-}

nelle, entière el du de<;ré72, qui satisferaà l'équation

d .

(sil!

_sin~dd

^e ~n) + -.-.. _'

^{J doT"} +n(n+l)Yn=O,^'

5111'e^d"P

et 'lui dépend, en outre^J de la variabler d'une manière quelconque.

En vertu de la seconde équation (10) et de la série (II), Yn sera ln v aleu r de Vr. qui répond ~t

=

^0;on aura donc

pour la valeur de C; et il en résultera

f

ⁱ _R\ndr=^, e

-"OF'']'

PlYndr,

o 0

pour une valeur quelconque det,

Je substitue dans cette dernière équation,lila place de Vⁿsa valeur euséried'exponentielles. Sif et

ri

sont deux racines de l'équation(lii) dont les carrés sont différens^J et que l'on désigue par R' ce que R de- vient quand ony met

ri

^{au lieu dej',}la comparaison des termes sem- blables dans les deux membres de l'équation précédente, donnera

DE LA CHALEUR.

d'abord

fol

^RR'dr

⁼

^0;

ct dons le cas de F'~

= r.

^{on en}conclura, en outre ,

A.fl

_o^R'dr

= fi

₀ ^RY"dr.

Par un raisonnement semhlableà celui du n° go, on déduil'a de la première de ces deux équations,laréalité de toutes les valeurs de

r',

tirées de l'équation (16). La seconde équation fera connaître la va- leur deAnqu'il s'agissait de déterminer. Pour exprimer^,1Umoyen de la fonction arbitrairefer,

e, "",),

la quantité Yⁿ contenue dans cette équation, soit

cos

B

cos

6' +

sin 8 sin

G'

cos

(i-- -

+')

=

^p,

supposons que l'on ait développé (^{1 -} ::>

pa +

IJ.') - _~, comme dans le n? 103, suivant les puissances de CI-; et représentons le coefficient dea.ⁿdans cette série par Pndont nous ayons donné, dans ce numéro, la valeur en fonction de p ct de 11; d'après la formule(4)

du n" 109, nous aurons

L'intégrale

.r:

^l R'dr par laquelle la quantité Anest multipliée, s'ob- tiendra sous forme finie; et si l'on substitue dans son expression, à la place de sinrlet cosfl, leurs valeurs que l'on a déduites de l'équa- tion (17), elle se changera en une fonction rationnelle de F, Nous ferons, pOUl'abréger,

f.

c^{l R'dr}

⁼

^-~Il'

^..

clnous aurons alors

A.

= (

^{2 n}

t ])\lfaj'oIo'''f(r, ^S',

^0.1-')RPnsinB'drd9'd-{', (18) 47"