Mécanique du point : oscillation d’un pendule simple

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MP – Physique-chimie. Devoir en temps libre

Jean Le Hir, 13 mars 2008 Page 1 sur 2

DL n°8-1 : corrigé

Mécanique du point : oscillation d’un pendule simple

Extrait du concours commun polytechnique TSI 2005

1 – Étude dynamique : équation différentielle du mouvement 1.1/ Faire le bilan des forces appliquées.

Forces appliquées au point A : le poids mg

et la tension du fil T

. Théorème du moment cinétique en O : _O d L^O

M = dt

. Le moment de la tension du fil étant nul, le moment des forces extérieures se réduit à M_O =OA∧mg= −mgLsinθe_z

Le moment cinétique a pour expression : _O OA ² d _z

L mv mL e

dt

= ∧ = θ

. Nous en déduisons l’équation différentielle du mouvement :

2

2 sin 0

d g

dtθ + L θ = 1.2/ Positions d’équilibre.

S’il s’agit d’un « fil », celui-ci doit être tendu et il n’y a qu’une seule position d’équilibre en θ =0, cette position d’équilibre est stable : un écart infime fait apparaître un couple de rappel ramenant le pendule dans sa position d’équilibre. S’il s’était agi d’une barre rigide, nous aurions dû parler de la position d’équilibre θ = π, qui est une position d’équilibre instable.

2 – Petites oscillations

2.1/ Oscillateur harmonique. Pour les oscillations de faible amplitude, l’équation différentielle s’écrit

2 2

2

2 2 0 0

d g d

dt L dt

θ+ θ = θ+ ω θ = .

Les solutions sont sinusoïdales, il s’agit d’un oscillateur harmonique. La pulsation a pour valeur

0

g

ω = L et la période ₀

0

2 2 L

T g

= π= π ω

2.2/ Expression de ^θ

( )

^t . La solution générale a pour expression : ^θ

( )

^t ⁼^A^cos^{ω +}⁰^t ^B^sin^ω⁰^t

Avec les conditions initiales ^θ

( )

⁰ ^{= = θ}^A ⁰^etd

( )

0 0 0 dt B

θ = ω = , nous en déduisons : ^θ

( )

^t ^{= θ}⁰^cos^ω⁰^t

pour t≥0.

2.3/ Vitesse maximale. ^{v t}

( )

^{= −θ ω}⁰ ⁰^L^sin^ω⁰^t^{, donc}^v^max ^{= θ ω = θ}⁰ ⁰^L ⁰ ^gL

2.4/ Graphe. Puisque c’est demandé…

( )

^t

θ

T0

0 t

−θ0

+θ0

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LYCÉE DE KERICHEN MP-Physique-chimie Devoir en temps libre n°8-1

JLH 13/03/2008 Page 2 sur 2

2.5/ Frottement fluide.

Équation différentielle :

2

2 sin 0

d h d g

dt m dt L

θ+ θ+ θ = .

Pour les petits angles :

2

2 0

d h d g

dt m dt L

θ+ θ+ θ = .

Si l’on parle de petites oscillations, cela signifie qu’il s’agit d’un amortissement faible :

2

4 0

h g

m L

 

∆ =  − <

  . Posons alors :

2

4g h

L m

  ω = − 

  ^et

2m τ = h

La solution générale s’écrit alors : ^θ

( )

^t ⁼^e⁻^t^τ

(

^A^cos^{ω +}^t ^B^sin^ω^t

)

^.

Les conditions initiales s’écrivent : ^θ

( )

⁰ ^{= = θ}^A ⁰^d

( )

⁰ ^B ^A ⁰

dt

θ = ω− =

τ et nous en déduisons :

( )

^t ⁰^e⁻^t^τ^^cos ^t ¹ ^sin ^t^

θ = θ  ω +ωτ ω  Allure du graphe :

3 – Aspect énergétique

3.1/ Expression de l’énergie cinétique.

2

2 2

c

1 1

2 2

E mv mL d

dt θ

 

= =  

 

3.2/ Expression de l’énergie potentielle. ^E^p

( )

^{θ =}^mgh^{= −}^mgL^cos^θ avec la convention _p 0 E  2π

=

   3.3/ Retrouver l’équation différentielle. Il suffit d’écrire que l’énergie totale est conservative.

2 2

c p

1 cos

2

d te

E E mL mgL C

dt θ

 

+ =   − θ =

  ^{et donc}

(

^c ^p

)

² ²

2 sin 0

d E E d d d

mL mgL

dt dt dt dt

+ = θ θ+ θ θ = , ce qui

implique :

2

2 sin 0

d g

dtθ + L θ =

3.4/ Période de l’énergie. Que l’oscillateur soit harmonique ou non, l’énergie potentielle, fonction paire de

( )

^t

θ , a pour période ⁰ 2

T . L’énergie totale est constante, il en est donc de même pour E_c.

3.5/ Frottement fluide. La dérivée de l’énergie mécanique est égale à la puissance des forces non

conservatives :

(

^c ^p

)

2 2 ² 2 ²

2 sin

d E E d d d d

hv hL mL mgL

dt dt dt dt dt

+  θ θ θ θ

= − = −   = + θ

  .

Nous en déduisons par dérivation l’équation différentielle :

2

2 sin 0

d h d g

dt m dt L

θ+ θ+ θ = .

( )

^t

θ

0

t