TD-Chapitre 2
Probabilités conditionnelles
EXERCICES D'APPLICATION DIRECTE DU CHAPITRE 2
FORMULES DE BAYES
> Exercice 1 – TD-CH2
Soit A et B deux événements pour lesquels on a observé que :
• Ils sont réalisés simultanément dans 15% des cas
• A est réalisé seul dans 35% des cas
• B est réalisé seul dans 45% des cas.
1/ Donner, en la justifiant, la probabilité de réalisation de A. Même question pour B.
Exprimer les probabilités conditionnelles :
2/ Probabilité de réalisation de A, sachant que B est réalisé 3/ Probabilité de réalisation de B, conditionnellement à celle de A 4/ Probabilité de non-réalisation de A, sachant que B est réalisé 5/ Probabilité de réalisation de A, sachant que B n’est pas réalisé
ARBRE DE PROBABILITES
> Exercice 2 – TD-CH2
On considère une loterie dont certains tickets sont gagnants. Dans cette loterie, il y a des tickets jaunes et des tickets bleus. Il y a autant de ticket de chaque couleur.
On sait que la probabilité que le ticket soit gagnant est de 0,65 s’il s’agit d'un ticket jaune et qu’elle est de 0,55 s’il s’agit d'un ticket bleu. Un joueur choisit un ticket au hasard.
1/ Quelle est la probabilité que le ticket soit gagnant ? 2/ On apprend que le joueur a obtenu un ticket gagnant.
2.a/ Quelle est la probabilité que le ticket soit bleu ? 2.b/Quelle est la probabilité que le ticket soit jaune ?
TRADUCTION D'ENONCE
> Exercice 3 – TD-CH2
Dans un grand restaurant, on a constaté que 15 % des clients mangent « à la carte » et les autres choisissent un menu. Parmi les clients choisissant la formule « à la carte », 30 % prennent un dessert, contre 45 % des clients choisissant un menu.
On interroge au hasard un client ayant pris un dessert. Quelle est la probabilité qu'il ait choisi la formule
« à la carte » ?
REALISATIONS SIMULTANEES OU SUCCESSIVES
> Exercice 4 – TD-CH2
On considère 3 maraîchers (désignées par A, B et C) qui cultivent des salades. On s’intéresse au pourcentage de salades dévastées par les limaces pour chacun d’entre eux. On observe que :
A cultive 35 % de la production de salades dont 4 % « dévastées » B cultive 40 % de la production de salades dont 2 % « dévastées » C cultive 25 % de la production de salades dont 5 % « dévastées »
Les salades sont ensuite regroupées (donc mélangées).
1/ On prend une salade dans le stock. Quelle est la probabilité qu’elle soit « dévastée » ?
2/ A nouveau, on prend une salade et on constate maintenant qu’elle est dévastée. Quelle est la probabilité qu’elle ait été produite par le maraîcher A ?
ERREUR COMMISE LORS D'UN TEST
> Exercice 5 – TD-CH2
On suppose maintenant qu’on effectue un test T qui permet de détecter les salades dévastées, parmi les maraîchers A, B et C précédents (cf. exercice 4), afin de les rejeter.
Soit D l’événement « la salade est dévastée » et T l’événement « la salade est rejetée ».
On observe alors que :
On rejette 98 % des salades qui sont réellement dévastées soit ≔ | = 0,98 On conserve 97 % des salades non dévastées
D’autre part, on a calculé la probabilité qu’une salade soit dévastée : elle est de 0,0345.
1/ Calculer la probabilité d’erreur lors du test.
2/ Calculer la probabilité pour qu’une salade qui a été rejetée soit effectivement dévastée.
PROBABILITES COMPOSEES / PROBABILITES TOTALES
> Exercice 6 – TD-CH2
Dans une station-service, il y a trois pompes A, B et C qui délivrent chacune du gazole et du sans plomb.
Une enquête statistique sur la clientèle a permis d'établir que sur 1 000 clients, 400 vont se servir à la pompe A, 350 se servent à la pompe B et les autres à la pompe C.
De plus, la probabilité pour que le client prenne du gazole est de : 0,7 s'il se sert à la pompe A
0,4 s'il se sert à la pompe B 0,5 s'il se sert à la pompe C
1/ Quelle est la probabilité qu’un client se serve à la pompe A ? Même question pour B et C.
2/ Quelle est la probabilité pour qu’un client prenne du gazole ?
3/ Quelle est la probabilité pour qu’un client prenant du gazole se serve à la pompe C ?
4/ Quelle est la probabilité pour qu’un client prenant du sans-plomb ne se serve pas à la pompe C ?
> Exercice 7 – TD-CH2
Une usine fabrique des clés USB dont 3% s’avèrent être défectueuses.
Après fabrication, les clés USB font l’objet d’un test (T) pour leur mise en vente.
Ce test est composé de 4 contrôles successifs et indépendants.
Ces 4 contrôles sont effectués sur des plates-formes identiques.
On a constaté que, pour chaque contrôle ( , = 1, … ,4), on rejette 98% des clés USB défectueuses
et 1% des clés USB non défectueuses.
A l’issue du test (T), les clés USB sont triées en 3 lots :
toute clé USB rejetée à au moins 2 contrôles Ci est détruite,
toute clé USB acceptée aux 4 contrôles est mise en vente sous le nom de l’entreprise, toute autre clé USB est vendue en discount.
1/ Décrire la situation présentée, donner les événements, les probabilités et probabilités conditionnelles qui interviennent, compléter par un (ou des) arbre(s) les regroupant en justifiant votre choix.
2/ Exprimer et calculer la probabilité d’erreur d’un contrôle.
3/ Quelle est la probabilité qu’une clé USB soit rejetée lors d’un contrôle ?
4/ Avec quelle probabilité une clé USB rejetée lors du 1er contrôle est-elle défectueuse ? 5/ Avec quelle probabilité une clé USB acceptée lors du contrôle C3 fonctionne-t-elle ? 6/ Quelle est la probabilité qu’une clé USB soit mise en vente sous le nom de l’entreprise ? 7/ Avec quelle probabilité une clé USB est-elle vendue en discount ?
8/ En déduire la probabilité qu’une clé USB soit détruite.
> Exercice 8 – TD-CH2
Le personnel d'un très grand hôpital est réparti en trois catégories : les médecins (M), les soignants non médecins (S) et le personnel AT (administratif ou technique).
12% du personnel sont des médecins, 71% sont des soignants,
les autres sont des AT.
On sait que 25% du personnel sont des hommes.
D’autre part :
67% des médecins sont des hommes, 92% des soignants sont des femmes.
On appelle les événements :
M : « la personne interrogée est un médecin » S : « la personne interrogée est un soignant » A: « la personne interrogée est un AT » H: « la personne interrogée est un homme »
On interroge un membre du personnel.
1/ A partir de ces données, exprimer toutes les probabilités et probabilités conditionnelles qui interviennent dans ce problème. Compléter par l’arbre de probabilité.
2/ Lorsque la personne interrogée est un homme, quelle est la probabilité pour qu’il soit un médecin ?
3/ Quelle est la probabilité d'interroger une femme soignante ?
4/ Quelle est la probabilité d'interroger un membre du personnel AT sachant que c'est une femme et qu'elle n'est pas médecin ?
EXERCICES DE SYNTHESE DU CHAPITRE 2
> Exercice 9 – TD-CH2
Un cinéma d'une ville de province propose soit des films en version numérique, soit des films en version 3D. Leur clientèle est répartie en 3 catégories :
les moins de 12 ans (M) (25% de la clientèle), les pleins tarifs (T) (45% de la clientèle) et les seniors de plus de 65 ans (S).
Une enquête, réalisée auprès d’un échantillon de clients, a permis d’estimer la probabilité de choix d'un film en 3D (D) pour une séance donnée :
0,2 pour un sénior
0,55 pour un « plein tarif » 0,75 pour un « moins de 12ans ».
Avant d’aborder les questions suivantes, traduire de manière précise la situation présentée.
Former l'arbre de probabilités complet, en écrivant toutes les probabilités (partition + conditionnelles) de l'énoncé ainsi que toutes celles qui s'en déduisent.
1/ Quelle est la probabilité qu’un client de ce cinéma choisisse un film en 3D ?
2/ Un client a choisi un film en version numérique.
Quelle est la probabilité que ce client soit un « plein tarif » ?
On suppose maintenant qu’un client, d’une catégorie donnée, choisisse un film en 3D indépendamment et avec la même probabilité d’une séance sur l’autre. On considère 2 séances consécutives.
3/ Quelle est la probabilité qu’un client choisisse un film en 3D deux séances consécutives ?
4/ Quelle est la probabilité qu’un « moins de 12 ans » choisisse un film 3D la 2ème séance sachant qu’il a choisi un film 3D la 1ère séance ?
5/ Ce cinéma lance une opération promotionnelle pour sa clientèle « plein tarif ». Suite à cette promotion, la probabilité de choix d'un film 3D, qui était de 49,5%, passe à 58%. Quelle est alors la probabilité de choisir un film 3D sachant que ce choix est fait par un « plein tarif » (ayant profité de la promotion).
> Exercice 10 – TD-CH2
On étudie ici l'impact d'un médicament pour le traitement d'une maladie donnée. On travaille à partir d’un échantillon d’individus tous atteints de cette maladie.
Afin de tester l’efficacité du médicament M, on classe les individus atteints de cette maladie en fonction de l’âge, répartis en 3 sous-populations :
20% sont dans la catégorie A1 (18-40 ans) 30% sont dans la catégorie A2 (40-60 ans) 50% sont dans la catégorie A3 (plus de 60 ans)
Le médicament M est donné à :
65% de malades parmi ceux de la catégorie A1
70% de malades parmi ceux de la catégorie A2
50% de malades parmi ceux de la catégorie A3
Les autres malades reçoivent un placebo, qui a le même emballage que le médicament précédent mais dont le contenu est sans effet.
Suite à cette étude, la probabilité conditionnelle d’amélioration de l’état du malade au bout de 3 jours (événement noté E) est estimée par les valeurs indiquées dans le tableau ci-dessous, pour un malade d’une catégorie donnée et ayant ou n’ayant pas reçu le médicament :
A1 A2 A3
Ayant reçu le médicament M 0.3 *0.6 0.3
Ayant reçu le placebo 0.1 0.2 0.2
*par exemple : 0.6 = | ∩
1/ Traduire l’énoncé à l’aide d’un arbre. Donner la signification et la traduction mathématique de chaque probabilité (intersection, conditionnement,...). Expliquer par quels calculs l'arbre a été complété.
2/ Calculer la probabilité qu'un malade ait reçu le médicament.
3/ Quelle est la probabilité qu'un malade ait entre 40 et 60 ans et ait reçu le placebo (au lieu du médicament M) ?
4/ Quelle est la probabilité d'amélioration de l'état dans le cas d'un tel malade (entre 40 et 60 ans et ayant reçu le placebo) ?
5/ Calculer la probabilité d’amélioration de l’état du malade au bout de 3 jours.
6/ Quelle est la probabilité qu'un malade ait reçu le vrai médicament M et que son état s'améliore au bout de 3 jours ?
7/ Pour un malade ayant reçu le médicament M, calculer la probabilité avec laquelle son état s’est amélioré au bout de 3 jours.
8/ Calculer et traduire ∩ ∩ ! .
