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Sur la dimension diophantienne des corps

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Cours pour l’Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne Bruno Deschamps

Lausanne — 2002 (Caen — 2016)

Table des matières

1 Dimension diophantienne 2

1.1 Le théorème initial . . . 2

1.2 Définitions . . . 3

1.3 Sur la nature arithmétique d’une dimension diophantienne . . . 4

1.4 Théorèmes de transition. . . 5

1.4.1 Comment évolue la dimension diophantienne dans une extension ? . . . . 5

1.4.2 Le cas des corps valués. . . 8

1.4.3 Le cas des corps de séries. . . 10

1.5 La dimension diophantienne deQp . . . 11

2 Dimension diophantienne et cohomologie 12 2.1 Corps de classe Cr et dimension cohomologique . . . 12

2.2 Un exemple de corps projectif et de dimension diophantienne infinie . . . 14

3 Dimension diophantienne et géométrie 16 3.1 Quelques rappels de géométrie algébrique . . . 16

3.2 Un résultat de théorie de Galois . . . 17

3.3 Corps faiblement Ci . . . 17

3.4 La conjecture d’Ax sur les corps PAC et ses conséquences . . . 18

1 Dimension diophantienne

1.1 Le théorème initial

L’histoire commence par le

Théorème 1.— (Chevalley-Warning)Soientqune puissance non nulle d’un nombre premier p, nun entier non nul,Iun ensemble fini d’indices et pour touti∈I, fi(X₁,· · · ,Xn)∈F^q[X₁,· · ·,Xn] un polynôme àn indéterminées sans terme constant. SiX

i∈I

d^◦f_i<n alors les f_i possèdent un zéro non trivial en commun dansFⁿq.

Preuve : On noteV⊂Fⁿq l’ensemble des zéros communs au fi et l’on pose P(X₁,· · ·,Xn)=Y

i∈I

(1−f_i^q−1(X₁,· · ·,Xn))

Le polynôme Pest alors la fonction caractéristique deV. Si, pour tout f ∈Fq[X₁,· · ·,X_n], on pose

S(f)= X

(x1,···,x_n)∈Fⁿ_q

f(x1,· · ·,xn)

on a alorsS(P)= X

(x1,···,x_n)∈V

1=]V.1, ce qui assure que]V ≡S(P)[p].

Considérons un entierk et évaluons la sommeP

x∈Fqx^k=^{0 :}

• Si k est divisible par q−1, alors k =l(q−1) et donc si x ,^{0, alors} x^k = x^(q−1)l =^1l =^1.

Comme 0^k=0 on en déduit queP

x∈F_qx^k=(q−1).1=−1.

• Si kn’est pas divisible par (q−1) alors il existey∈F^∗q tel quey^k,1. Dans ces conditions,

on a X

x∈F_q

x^k=X

x∈F^∗_q

x^k=X

x∈F^∗_q

y^kx^k=y^kX

x∈F^∗_q

x^k

(les deux dernières égalités ont lieu puisque u 7−→y^ku est un automorphisme de F^∗q) et donc (1−y^k)X

x∈Fq

x^k=0. Par conséquentP

x∈Fqx^k=^0.

CommeX

i∈I

d^◦fi<n, il s’ensuit que d^◦P<(q−1)n. Le polynômePs’écrit formellement

P(X1,· · ·,Xn)= X

k1,···,k_n

αk1,···,k_nX₁^k1· · ·X_n^kn

L’hypothèse faite sur le degré implique que pour lesn-uplets d’entiers(k1,· · · ,kn)considérés dans la somme précédente, on aitk1+· · ·+kn<(q−1)n. Maintenant,

S(P)= X

k1,···,kn

α_k1,···,knS(X₁^k1· · ·X^k_nⁿ)

Nous allons montrer que pour tout choix den-uplet(k1,· · · ,kn)tel quek1+· · ·+kn<(q−1)n, nous avonsS(X₁^k1· · ·X^k_nⁿ)=0. Constatons tout d’abord que

S(X₁^k1· · ·X^k_nⁿ)= X

x1∈Fq

· · · X

xn∈Fq

x^k₁¹· · ·x^k_nⁿ

Par conséquent, si l’un desk_i est nul, par exemple k_n, on a:

S(X^k₁¹· · ·X_n^kn)= X

x1∈Fq

· · · X

xn−1∈Fq

x^k₁¹· · ·x^k_n−ⁿ⁻₁¹ X

xn∈Fq

x⁰_n

(en convenant bien sûr que 0⁰=1) Alors X

x_n∈Fq

x⁰_n =^{0 et donc}S(X₁^k1· · ·X_n^kn)=^0.

Supposons maintenant qu’aucun desk_i ne soit nul. On a:

S(X₁^k1· · ·X^k_nⁿ)=

n

Y

i=¹

S(X_i^ki)

Par hypothèse, d^◦P<(q−₁)n, donc il existe j∈Itel quek_i<(q−₁), d’après ce qui précède, S(X^k_j^j)=0 et doncS(X₁^k1· · ·X^knⁿ)=0.

Corollaire 2.— Tout polynôme homogène ennvariables de degréd <n à coefficients dans un corps finis possède un zéro non trivial.

L’idée de la dimension diophantienne et de la notion corps de classe Ci est lié à une volonté de donner un équivalent de ce théorème pour les autres corps. Historiquement, il semble que cette idée apparaisse dans la thèse de Lang (où il parle de corps de classe C₂).

1.2 Définitions

Suivant le vieil usage non appelerons forme sur un corps K, tout polynôme homogène à coefficients dans K.

Définition 3.—Soitdun entier non nul etiun réel positif. Un corpsKest dit de classeCi(d)si toute forme surKde degréd enn>dⁱvariables possède un zéro non trivial. Un corpsK sera dit de classeCis’il est de classeCi(d)pour toutd. On définit alors la dimension diophantienne d’un corpsKcomme étant l’élément

dd(K)=inf{i∈R⁺/Kest de classeCi} et si l’ensemble considéré est vide, on poseradd(K)= +∞.

De même, siddésigne un entier non nul, on définit lad-dimension diophantienne d’un corps Kcomme étant l’élément

ddd(K)=inf{i∈R⁺/Kest de classeCi(d)} et si l’ensemble considéré est vide, on poseraddd(K)= +∞. Ainsi, on a :

dd(K)=sup

d

ddd(K)

Lemme 4.—SoitK un corps. L’ensemble des réelsitel queKsoit de classeCiest exactement l’intervalle fermé[dd(K),+∞[.

Preuve : Il est clair que si K est Ci alors K est Cj pour tout j > i. Le point est donc de montrer qu’un corpsK est toujours de classe Cα avecα=^dd(K).

Si P désigne une forme en n variables de degré d vérifiant n >d^α, par continuité de la fonction x7→d^x, il existe un réel i> α tel que n>dⁱ >d^α. Comme K est de classe Ci (par définition de la borne inférieure et par la remarque précédente),Ppossède un zéro non trivial et par suiteK est bien de classe Cα.

1.3 Sur la nature arithmétique d’une dimension diophantienne

Tous les réels positifs n’ont pas la chance d’être la dimension diophantienne d’un corps.

En effet :

Proposition 5.—SoitK un corps. Les propriétés suivantes sont équivalentes i)Kest algébriquement clos,

ii)dd(K)=^0, iii)dd(K)<1.

Preuve : i) ⇒ ii) Montrer que dd(K) =0 équivaut à montrer que K est C0, c’est-à-dire à prouver que tout forme surK en plus de deux variables possède un zéro non trivial. Soit donc P(X₁,· · ·,X_n) une telle forme. On peut écrire

P(X1,· · · ,Xn)=

d

X

h=⁰

Qh(X1,· · ·,Xn−1)X^h_n

avecQh(X1,· · ·,Xn−1)∈K[X1,· · ·,Xn−1]pour touth. Il est clair qu’il existe unh0>0 tel queQh0

soit non nul. Maintenant, le corps K, étant supposé algébriquement clos, ne peut pas être fini.

Il s’ensuit qu’il existe une infinité de n−1-uplets (x1,· · ·,xn−1) tels que Qh0(x1,· · ·,xn−1) ,^0, donc en particulier, il existe un uplet(x1,· · ·,xn−1),(0,· · ·,0)tel que

Qh0(x1,· · ·,xn−1),⁰ Le polynôme

P(x1,· · · ,xn−1,Xn)=

d

X

h=⁰

Qh(x1,· · ·,xn−1)X^h_n

est alors non constant et commeK est algébriquement clos, possède une racinexn. Len-uplet (x₁,· · ·,xn)est donc un zéro non trivial de la formeP.

ii) ⇒ i) Soit P(X) = adX^d +· · ·+a0 ∈ K[X] un polynôme de degré d > 0. Le polynôme homogénéiséP(X,˜ Y)=adX^d+ad−1X^d−1Y+· · ·+a0Y^d est une forme enn=2 variable de degré d. Comme dd(K) =^0, K est de classe C0 et comme n > d⁰, P˜ possède un zéro non trivial (a,b). Sib=^{0, alors}a=0 ce qui est absurde. CommeP(a/b)=P(a,˜ b)=0; on en déduit que K est bien algébriquement clos.

ii)⇒iii)!

noni)⇒_non iii)SoitL/K une extension algébrique finie de degrén>1. Soit(e₁,· · ·,en)une K-base de L. Le polynôme

P(X₁,· · ·,X_n)=NL/K(X₁e₁+· · ·+X_ne_n)

est une forme surK en n variables de degré n. Si l’on avait dd(K)=α < 1 alors le corps K serait Cα et par suite, comme n > n^α, le polynôme P possèderait un zéro non trivial. Ceci étant absurde, on en déduit bien queα≥1.

Corollaire 6.—SiF désigne un corps fini alorsdd(F)=1.

Preuve : Le théorème de Chevalley montre queF est de classe C1, la proposition précédente, compte tenu du fait que F n’est pas algébriquement clos, montre que dd(F)=^1.

Il a y donc un "trou" dans la droite diophantienne : aucun élément de l’intervalle ]0,1[ n’est la dimension diophantienne d’un corps. Il est difficile de prévoir la nature arithmétique d’une dimension diophantienne d’un corps. On peut toutefois remarquer que

Proposition 7.— Soit K un corps et d un entier non nul. Le réel d^ddd(K) est un entier. En conséquence de quoi, le réelddd(K)est soit rationnel, soit transcendant.

Preuve : Soit α=^ddd(K), supposons que le réel d^α ne soit pas entier. En prenant m=[d^α] on a alors m<d^α <m+1. La fonction x7→ d^x étant strictement croissante et continue, il existe donc un réeli< αtel quem<dⁱ<d^α<m+^{1. Soit}P une forme enn variable de degré d telle que n>dⁱ. Comme n est entier, on a n ≥m+1 et par suite, P possède un zéro non trivial. AinsiK est de classe Ci(d)ce qui est contraire aux hypothèses.

Ainsi, α=log(h)/log(d) avech∈N^∗, et le théorème de Gelfon’d-Scheinder¹ assure alors le résultat annoncé.

Cette proposition ne permet pas de déduire quelque chose sur dd(K), puisque l’ensemble des réels de la formelog(h)/log(d)avech etd entiers est dense.

Problème 8.—La dimension diophantienne d’un corps est-elle toujours un nombre entier?

1.4 Théorèmes de transition.

1.4.1 Comment évolue la dimension diophantienne dans une extension ?

Théorème 9.—(Nagata) SoitK un corps de classeCiet f1,· · ·,frdes formes de degrédenn variables. Sin>rdⁱalors il existe un zéro non trivial dansKcommun aux formes f1,· · ·,fr. Preuve : • _si d = 1 c’est un théorème d’algèbre linéaire bien connu. Si K est algébrique- ment clos, alors on peut supposer i =0 et n > r. Le théorème de Bézout sur l’intersection d’hypersurfaces assure alors le théorème. On suppose donc qued≥_{2 et que} K,K.

•Soit x∈K−K et

f(X)=X^s+α1X^s−1· · ·+αs

son polynôme minimal sur K. On pose g⁽⁰⁾(X,Y) = Y^sf

X Y

g⁽¹⁾(X₁,X₂,X₃,X₄) = g⁽⁰⁾(g⁽⁰⁾(X₁,X₂),g⁽⁰⁾(X₃,X₄)) ...

g^(l)(X₁,· · ·,X₂l+¹) = g⁽⁰⁾(g^(l−1)(X₁,· · ·,X₂l),g^(l−1)(X₂l+¹,· · ·,X₂l+¹))

Par récurrence immédiate, le polynôme g^(l) est une forme sur K en 2^l+1 variables, de degré s^l+1 et ne possédant que le zéro trivial sur K. On choisitl tel que 2^l+1≥ret on pose g=g^(l), ν=^{2l+1 et} δ=s^l+1.

• _{On pose} h0=g, δ₀=δ et ν₀=ν. On définit alors, par récurrence, une suite de polynôme (h_n)_n. Soitν₀=a0r+b0la division euclidienne de ν₀par r. On pose :

h₁ = h₀(f₁(X₁¹,· · ·,X¹_n),· · ·,f_r(X₁¹,· · ·,X¹_n), f₁(X₁²,· · ·,X_n²),· · ·,fr(X₁²,· · ·,X²_n),

· · ·

f1(X₁^a0,· · ·,X_n^a0),· · · ,fr(X^a₁⁰,· · · ,X_n^a0), 0,0,· · · ,0) (b0zéros)

1Ce théorème affirme que siaetbsont deux nombres algébriques avecbnon rationnel, alors le nombrea^b est transcendant.

Le polynômeh₁ est alors une forme sur K de degréδ₁=dδ₀ à ν₁=a₀n variables. De même, soitν₁=a₁r+b₁ la division euclidienne deν₁ par r. On pose :

h₂ = h₁(f₁(X¹₁,· · ·,X_n¹),· · ·,f_r(X₁¹,· · ·,X_n¹), f₁(X₁²,· · ·,X_n²),· · ·,fr(X₁²,· · ·,X²_n),

· · ·

f1(X₁^a1,· · ·,X^a_n¹),· · ·,fr(X₁^a1,· · ·,X^a_n¹), 0,0,· · ·,0) (b1 zéros)

Le polynôme h₂ est alors une forme sur K de degré δ₂ = dδ₁ à ν₁ = a₁n variables. Par récurrence, on construit ainsi une formehj sur K de degré δj=dδj−1en aj=aj−1n variables.

Le point est alors de remarquer que si jest un indice tel quehjait un zéro non-trivial et tel quehj−1 n’en ait pas, alors les formes f1,· · ·fr ont un zéro non trivial en commun. En effet soit j un tel indice et x¹₁,· · ·,x^a_n^j−1,0,· · ·,0) un zéro non-trivial de hj. Il existe deux indices k,ltel que x^k_l ,0 et par ailleurs, commehj−1ne possède que le zéro trivial, on a

f1(x^k₁,· · ·,x^k_n)=· · ·fr(x^k₁,· · ·,x^k_n)=⁰ et donc(x^k₁,· · ·,x^k_n)est un zéro non trivial aux formes f1,· · ·,fr.

•Commeh0 ne possède que le zéro trivial, tout revient donc à montrer qu’il existe un jassez grand tel quehjpossède un zéro non-trivial. Mais comme K est de classe Ci, il suffit juste de montrer qu’il existe jtel que νj> δⁱ_j. Un récurrence montre déjà que pour tout j≥1, on a

νj>r(d^ji−d^(j−1)i− · · ·dⁱ)=d^(j+1)i−2d^ji+dⁱ dⁱ−1 et commed≥2 et i≥1, on en déduit donc que

limj νj= +∞

Soit maintenantc>0 tel quen=rdⁱ+c. On a νj=νj−1

r

n≥ νj−1

r −1

(rdⁱ+c)=νj−1

dⁱ+c

r

−n Il s’ensuit que

νj

νj−1

≥dⁱ+c r − n

νj−1

Considérons un réel λ tel que 0< λ <c/2r. Comme lim_jν_j = +∞, il existe un indice j₀ tel que pour tout j≥j₀, on ait 0< _νⁿ

j−1 < λ. Pour tout j≥ j₀, on a alors ν_j

νj−1

≥dⁱ+c

r −λ >dⁱ+λ et ainsi, on a

ν_j≥vj0(dⁱ+λ)^j−j0 ≥rd^i(j−j0)d^i(j0+1)−₂d^j0i+dⁱ dⁱ−1

1+ λ

d^{i j−j0}

Pour jsuffisament grand, on a

d^i(j0+1)−2d^j0i+dⁱ d^{i j0}(dⁱ−1)

1+ λ

d^{i j−j0}

> δⁱ r et doncν_j>(d^jδ)ⁱ=δⁱ_j.

Théorème 10.—SoitL/Kune extension de degré de transcendance jfini. SiKest de classeCi

alorsLest de classeCi+j. En conséquence de quoi, on a l’inégalité dd(L)≤dd(K)+^degtr(L/K)

Preuve : On est ramené à montrer la proposition dans le cas d’une extension algébrique et dans le cas d’une extension transcendante pure (et par récurrence immédiate, dans le cas d’une extension transcendante pure de degré 1).

1er cas : L/K algébrique. On suppose donc K de classe Ci. Soit f une forme à coefficients dansLde degré d ennvariable telle quen>dⁱ. Nous devons montrer que f possède un zéro non trivial dans L.

Considérons le sous-corps F de L engendré sur K par les coefficients de f. Comme l’extensionL/K est algébrique et que les coefficients de f sont en nombre fini, on a[F :K]= m<+∞. Soit alors{y1,· · ·,ym} _uneK-base de F. On pose

g(X₁₁,· · ·,X_nm) = f









m

X

r=¹

y_rX_1r,· · · ,

m

X

r=¹

y_rX_nr









=

m

X

r=¹

gr(X₁₁,· · ·,Xnm)yr

où chaque gr est une forme surK, de degré d, en nm variables. Puisque nm>mdⁱ, il résulte du théorème 9 qu’il existe un zéro commun non trivial (x11,· · · ,xnm) ∈ K^nm aux formes gr. Puisque{y1,· · · ,ym}est une base, len-uplet









m

X

r=¹

yrx1r,· · ·,

m

X

r=¹

yrxnr









∈Fⁿ

est non trivial et est un zéro de f dans L. Donc Lest bien de classe Ci.

2ème cas : L=K(t). On suppose doncK de classe Ci. Soit f une forme à coefficients dans L de degréd en n variable telle quen>dⁱ⁺¹. Nous devons montrer que f possède un zéro non trivial dansL. En chassant les dénominateurs, on peut supposer que f est à coefficients dans K[t]

Si sdésigne un entier, on pose :

g(X₁₁,· · ·,X_ns) = f









s

X

k=¹

X_1kt^k,· · ·,

s

X

k=¹

X_nkt^k









=

r+ds

X

k=¹

gk(X11,· · ·,Xns)t^k

oùg_kest une forme à coefficients dansKde degréd ennsvariables. Sirdésigne le maximum des degrés des polynômes-coefficients non nuls de f, on choisit un entier s tel que

s(n−dⁱ⁺¹)>rdⁱ c’est-à-direns>(r+ds)dⁱ

Le théorème 9 assure l’existence d’un zéro non-trivial (x₁₁,· · ·,x_ns)∈K^ns de K, commun aux formesg_k. Len-uplet









s

X

k=¹

x_1rt^k,· · ·,

s

X

k=¹

x_nrt^k









est non trivial et est un zéro de f dans K[t]. Donc Lest bien de classe Ci+¹.

Théorème 11.—(Lang-Tsen) SoitKun corps. On a : dd(K(T))=^dd(K)+¹

Preuve : On sait déjà, par le théorème 10, que dd(K(T))≤_dd(K)+1. Le corps K(T) est un corps valué pour la valuation normalisée usuelle,v, associée aux polyômes.

Soitd ≥2 un entier eti<ddd(K). Par hypothèse, il existe une forme gsur K de degréd enn variables tels quen>dⁱ ne possédant que le zéro trivial surK. Posons

f(X11,· · ·,Xnd)=

d

X

j=¹

g(X1j,· · ·,Xn j)T^j−1

Supposons que f possède un zéro non trivial(x11,· · · ,xnd)dans K(T). Pour tout j=¹,· · ·,d, notonsaj le ppcm des dénominateurs des fractions rationnelles(x1j,· · · ,xn j), de sorte que l’on peut écrire

0 = f(x11,· · ·,xnd)

= Pd

j=¹g(x_1j,· · ·,xn j)t^j−1

= Pd

j=¹a^−d_j g(y₁j,· · ·,yn j)t^j−1

avecylk∈K[T]et pour tout j=1,· · · ,d, soit(x_1j,· · ·,xn j)est nul, soit il existe un indicel tel quev(x_1l)=0. Il s’ensuit, pour ce dernier cas, quev(g(y_1j,· · ·,y_{n j}))=0, puisque la réduction à K du polynôme g(y_1j,· · · ,y_{n j}) ne peut être nul par hypothèse sur K et sur g. Ainsi, on en déduit qu’il existe deux indicesiet jdistincts tels que

v(a^−d_i g(y1i,· · ·,yni)tⁱ⁻¹)=v(a^−d_j g(y1j,· · · ,yn j)t^j−1),+∞

et donci−j∈dZce qui est impossible.

Il existe donc une forme sur K(T) ennd variables de degré d avecn>dⁱ qui ne possède que le zéro trivial. Donc ddd(K(T)) ≥ i+1 et par suite ddd(K(T)) ≥ _ddd(K)+1. Ainsi dd(K(T))≥_dd(K)+1.

Corollaire 12.—Pour tout corps K, le corpsK(T)est projectif.

Preuve : D’après le théorème 11,K(T)est un corps C₁ et nous verrons plus loin que les corps C₁ sont toujours projectifs.

1.4.2 Le cas des corps valués.

La preuve du théorème 11 utilise une remarque sur les corps valués. On peut apporter quelques précisions à ce sujet. Dans ce qui suit, les valuations considérées auront pour groupe un groupe abélien totalement ordonné. Si vdésigne une valuation sur un corps K de corps résiduelk, alors on noteraA_v (resp. P_v) l’anneau (resp. l’idéal) de la valuationv. Pourx∈A_v, on noteraxl’image de xdansk. On considérera aussi une sectionϕ:k−→Avde l’application x7−→x.

Théorème 13.— Soit (K,v) un corps valué (v n’est pas forcément supposée réelle) de corps résiduelk. On a l’inégalité :

dd(k)≤_dd(K)

Preuve: Montrons que si une formePà coefficients dans kne possède que le zéro trivial sur k, alorsϕ(P)ne possède que le zéro trivial sur K.

Considérons une forme P∈k[X₁,· · ·,X_n]de degré d ne possédant que le zéro trivial sur k. Soit(a₁,· · · ,a_n)∈Kⁿ un zéro non trivial deϕ(P) (que nous noterons abusivement P) dans K. Il existe un indice j tel quev(a_j)soit minimal. Posons, pour tout i=1,· · ·,n,b_i=a_i/a_j. On a alorsv(b_i)≥0 et

P(a₁,· · ·,an)=a^d_jP(b₁,· · ·,bn) et par suite

P(b1,· · ·,bn)=⁰

Maintenant, comme P(b1,· · ·,bn)=P(b1,· · ·,bn)=0, on en déduit, par hypothèse, quebi=⁰ pour touti=¹,· · ·,n, ce qui est absurde puisquebj=^1.

Soiti≥0 un réel tel quek ne soit pas C_i, il existe donc une formeP surkenn variable de degré d telle que n >dⁱ et telle que P n’admette que le zéro trivial sur k. D’après ce qui précède, ϕ(P) est une forme en n variables de degré d avec d <nⁱ qui n’admet que le zéro trivial surK. Ainsi K n’est pas Ci et donc dd(k)≤dd(K).

Si l’on est en mesure de controler l’indice des sous-groupe dv(K) de v(K)pour d entiers, alors on peut affiner encore les choses :

Proposition 14.— Soit K un corps et v une valuation (non nécessairement réelle) sur K et notonskle corps résiduel deKpourv. Pour tout entierd≥2telle[v(K) :dv(K)]<+∞, on a

ddd(K)≥ddd(k)+log_d[v(K) :dv(K)]

Preuve : Soitd≥1 un entier. Considérons un réeli<ddd(k)et montrons quei+log_d[v(K) : dv(K)] ≤ _ddd(K), ceci prouvera la proposition. Il suffit donc de trouver une forme f, à coefficients dans K, de degré d, à n.[v(K) : dv(K)] inderterminée, où n > dⁱ et possédant seulement le zéro trivial dansK.

Par hypothèse, il existe une formehà coefficients danskde degrédàn>dⁱindéterminées et possédant seulement le zéro trivial dans k. Il existe donc une forme g à coefficients dans l’anneau de la valuation Av de degréd en nvariables telle que g=h.

On poseδ=[v(K) :dv(K)]et l’on se donne t₁,· · ·,tδ∈K tels que{v(t₁),· · ·,v(tδ)}soit une classe de représentants dev(K)modulo dv(K).

Considérons alors la forme f =

δ

X

j=¹

g(X1j,· · · ,Xn j)tjqui est à coefficients dans K, de degré d et ennδvariables, et(x₁₁,· · ·,xnδ)un zéro de f dansK. Quitte à permuter les variables, on peut supposer qu’il existe un indiceδ⁰ ≤δtel que xi j=0 pour touti≤n et tout j> δ⁰ et que pour j≤δ⁰ il existei≤n tel que xi j,0. Nous allons montrer queδ⁰ =^0.

Supposons que δ⁰≥1, alors pour tout j=1,· · · , δ⁰, considérons un élémenta_j∈K tel que v(a_j)=min₁≤i≤nv(x_{i j}). Par hypothèse, a_j,0 et l’on peut écrire x_{i j}=a_jy_{i j} oùy_{i j}∈A_v. On a

0= f(x11,· · ·,xnδ)=

δ⁰

X

j=¹

g(x1j,· · ·,xn j)tj=

δ⁰

X

j=¹

g(y1j,· · ·,yn j)a^d_jtj

Puisquemin1≤i≤nv(yi j)=0, il existe un indiceitel queyi j ,0 et donc l’image deg(y1j,· · ·,yn j) dans k (qui vaut h(y1j,· · ·,yn j)) ne peut pas être nulle car h ne possède que le zéro trivial dans k. Ainsi, il existe au moins deux indices j0 , j1 tels que v(g(y1j0,· · ·,yn j0)a^d_j

0tj0) = v(g(y1j1,· · ·,yn j1)a^d_j

1tj1)=0. On a alors

v(g(y1j0,· · ·,yn j0))+dv(aj0)+v(tj0)=v(g(y1j1,· · · ,yn j1))+dv(aj1)+v(tj1)

et ainsi,v(t_j1)−v(t_j0)∈dv(K), ce qui est absurde. Donc δ⁰=0 et f ne possède par conséquent que le zéro trivial.

Corollaire 15.— Si (K,v) est un corps discrètement valué de corps résiduelk alors dd(K) ≥ dd(k)+^1.

En particulier, on a dd(Qp)≥2.

1.4.3 Le cas des corps de séries.

Le cas des corps de séries de Laurent jouit de la même propriété que celui des corps de fractions :

Théorème 16.—(Greenberg)Soitkun corps. On a dd(k((T)))=dd(k)+1

Preuve : En considérant la valuation usuelle surk((T)), on voit que la proposition précédente assure que dd(k((T))) ≥dd(k)+1. On va montrer l’autre inégalité dans le cas où k est un corps fini. Dans ces conditions dd(k)=1 et l’on a donc dd(k((T)))≥2. Ainsi, montrer l’égalité dd(k((T)))=2 revient à montrer que le corpsk((T)) est C2.

Soit h une forme de degré d en n > d² variables à coefficients dans k[[T]]. Pour tout entieri≥1, on considère l’application τi:k[[T]]−→k[T] de troncature au degréi. La forme τi(h) est aussi de degré d en n>d² variables mais à coefficients dans k[t]. Puisque k(t) est C2,τi(h) possède un zéro non trivial x⁽ⁱ⁾ =(x⁽ⁱ⁾₁ ,· · ·,x⁽ⁱ⁾_n )∈k[T]ⁿ⊂k[[T]]ⁿ. Quitte à multiplier par une bonne puissance det, on peut supposer que(x⁽ⁱ⁾₁ ,· · ·,x⁽ⁱ⁾n )est primitif, c’est-à-dire que min_jv(x⁽_i^j))=0.

Puisquekest supposé fini, l’anneauk[[T]]est un espace métrique compact. Ainsi, la suite (x⁽ⁱ⁾)ipossède une valeur d’adhérencex=(x1,· · ·,xn)et l’on peut la choisir primitive. En effet, si pour j =¹,· · ·,n, on note Aj ={i ≥ 0/ v(x⁽ⁱ⁾_j ) =⁰}, puisque chaque x⁽ⁱ⁾ est primitif on a A1∪ · · · ∪An =N et donc il existe un indice j0 tel que Aj0 soit infini. On a alors, pour tout i∈ Aj0, v(x⁽ⁱ⁾_j

0) =0 et la suite (x⁽ⁱ⁾)i∈A_j0 possède alors une valeur d’adhérence x=(x1,· · ·,xn) qui vérifiev(xj0)=0.

Le passage à la limite montre que, pour tout entier q ≥0, il existe un indice iq tel que v(x_j−x⁽ⁱ_j^q))≥q pour tout j=1,· · ·,net que

τq(h(x1,· · ·,xn))=τq(h)(x⁽ⁱ₁^q),· · ·,x⁽ⁱn^q))=⁰

Ceci étant valable pour tout entierq≥0, on en déduit que(x1,· · ·,xn)est un zéro non-trivial (car primitif) deh.

Remarque : Bien que le corps résiduel deQp soit fini (i.e. Zp compact), on ne peut appliquer le même argument que dans le théorème de Greenberg à cette situation. Le passage clé dans la preuve précédente est que le corpsk(T)est C2. L’analogue de k(T)dansQp est le corps Q^, qui n’est visiblement pas C2...

Corollaire 17.—Soit(K,v)un corps discrètement valué complet de caractéristique égale à celle de son corps résiduel etL/Kune extension algébrique (valué par le prolongement unique dev).

Sik(resp.l) désigne le corps résiduel deK(resp. L), on a les inégalités : dd(l)≤dd(L)≤dd(k)+¹

Preuve : Sous les hypothèses de l’énoncé, on sait que K est isomorphe à k((X)) (voir par exemple [Ser2]). Le théorème de Greenberg affirme que dd(k((X))) = dd(k)+1. L’extension L/K étant algébrique, le théorème de transition sur la dimension diophantienne, assure que dd(L)≤dd(K), ce qui prouve la deuxième inégalité.

La première inégalité est la proposition précédente.

Dans le cas d’un corps de séries de Puiseux², on obtient en particulier : Corollaire 18.—Soitkun corps etPuis(k)son corps de séries de Puiseux. On a

dd(k)≤dd(Puis(k))≤dd(k)+¹ En conséquence de quoi, sik=kest algébriquement clos, on a :

•_sicar(k)=^{0, alorsdd}(Puis(k))=^0;

•sicar(k),^{0, alorsdd}(Puis(k))=^1;

en particulier, le corpsPuis(k)est toujours projectif.

Preuve: Puis(k) est une extension algébrique de k((X)) qui est complet à valuation discrète.

La valuationν d’une série de puiseux est donnée par ν









 X

k≥k0

akX^k/n









= infk≥k0(k/ak,⁰) n

Son corps résiduel estk. Le corollaire précédent donne alors les inégalités annoncées.

Si car(k)=0, il est bien connu que Puis(k)est algébriquement clos (cf par exemple [Ser2]) et par suite, dd(Puis(k)) = 0. Si car(k) , 0, le théorème montre que 0 ≤ _dd(Puis(k)) ≤ _1, c’est-à-dire dd(Puis(k)) = 0 ou 1. Dire que dd(Puis(k)) = 0 revient à dire que Puis(k) est algébriquement clos, ce qui est bien connu pour être faux. Donc dd(Puis(k))=1.

1.5 La dimension diophantienne de Q

Le corps Qp a une dimension diopantienne ≥ 2. On peut le voir "à la main", mais une façon plus directe de le voir est de remarquer que Qp n’est pas un corps projectif (nous établirons au paragraphe suivant que les corps de dimension diophantienne<2 sont toujours projectifs). Il existe une analogie formelle entre le corps Qp et le corps Fp((T)). en effet les éléments de Fp((T)) sont des séries de la forme X

n≥n0

aiTⁱ avec ai ∈Fp, et les éléments deQp

ont un développement de Hensel de la forme X

n≥n0

a_ipⁱ avec a_i ∈Fp. Bien sur l’arithmétique sur ces deux corps est différente, puisque déjà Fp((T)) est de caractéristique p alors que Qp

est de caractéristique zéro. Cette analogie a poussé Artin à conjecturer qu pour tout premier p, dd(Qp)=2. Terjanian a montré qu’en fait il n’en est rien :

Proposition 19.—(Terjanian)Il existe une forme surQ2de degré4en18variables, ne possédant pas de zéro non trivial. En conséquence de quoiQ2n’est pasC₂(4)et

dd(Q2)≥_dd4(Q2)≥log₄18>2

2Rappelons que sik désigne un corps, on appelle corps des séries Puiseux surk le corps noté Puis(k)et égal à la réunion des corps de séries de Laurentk((X^1/n)) en la variableX^1/n (pour être tout à fait rigoureux, Puis(k)= lim−−→nk((Xn)), limite inductive prise sur le système inductif(k((Xn)), ϕnm)noùk((Xn))est le corps des séries de Laurent etϕnm:k((Xn))→k((Xm))est donnée pourn|m, disonsm=an, parϕnm(Xn)=X_m^a).

Preuve : Considérons la forme

f =X₁⁴+X₂⁴+X⁴₃−X₁²X²₂−X²₁X²₃−X₂²X₃²−X₁²X₂X₃−X₁X₂²X₃−X₁X₂X²₃

Soit(x₁,x₂,x₃)∈Z2. Si x₁,x₂,x₃ ∈2Z2, alors f(x₁,x₂,x₃)≡0(2⁴Z2), dans le cas contraire, on a f(x₁,x₂,x₃)≡1(2²Z2), c’est-à-dire

f(x1,x2,x3)≡1,5,9 ou 13(2⁴Z2) Considérons à présent la forme

g = f(X1,X2,X3)+f(Y1,Y2,Y3)+f(Z1,Z2,Z3) +⁴(f(U1,U2,U3)+f(V1,V2,V3)+f(W1,W2,W3))

de degré 4 en 18 indéterminées à coefficients dansZ2. Sig possède un zéro non-trivial dans Qp, alors quitte à multiplier par une bonne puissance de 2, g possède un zéro non-trivial dans Z2 dont une des composantes est une unité. Soit (x1,· · ·,w3) un tel zéro. Toutes les composantesx1,· · ·,w3sont dans 2Z2 sinon, en vertu de la remarque du début, on ne pourrait avoir

g(x1,· · ·,w3)≡₀(2⁴Z2)

or ceci est absurde, puisqu’une des composantes est une unité 2-adique.

Remarque : On a quand même les résultats suivants : pour tout premier p,

•Qp est C2(2)(Hasse).

•Qp est C2(3) (Lewis).

Théorème 20.— (Ax-Kochen)Pour tout entierd ≥1, il existe un entierm(d)tel que, pour tout premierp≥m(d),Q^pestC2(d)(i.e. seul un nombre fini de corpsQ^p ne sont pasC₂(d)).

Remarque : Le théorème d’Ax-Kochen n’implique pas que dd(Qp)=2 pour passez grand.

2 Dimension diophantienne et cohomologie

2.1 Corps de classe C

et dimension cohomologique

On rappelle que la dimension cohomologique d’un corps K est l’entier cd(K)défini : cd(K)=inf{n∈N/∀p>n, ∀A G_K-module de torsionH^p(G_K,A)=⁰}

Les corps séparablement clos (e.g. algébriquement clos) sont donc de dimension coho- mologique nulle. Le fait d’être de dimension cohomologique ≤1 équivaut, pour un corps, à être projectif (i.e. tout problème de plongement pourGK admet une solution faible). Rappellons cette importante caractérisation cohomologique des corps projectif (voir Serre, Cohomologie galoisienne) :

Proposition 21.—SoitKun corps et les propositions suivantes : i)Kest projectif,

ii) L’application normeN_L/K :L^∗→N^∗est surjective pour toute extensionL/Kfinie et séparable et, de manière équivalente, pour toute extensionL/K séparable,

iii) Le groupe de BrauerBr(L)est trivial pour toute extension L/Kfinie et, de manière équiva- lente, pour toute extensionL/K algébrique.

On a ii) ⇐⇒ iii) =⇒ i) et l’on a i) =⇒ iii) dés que car(K) = 0 ou que car(K) = p et que Br(L)(p)=0pour toute extensionL/Kalgébrique.

Commencons par le cas des corps de classe C1 : Proposition 22.—Tout corps de classeC₁est projectif.

Preuve : SoitKun corps de classe C1 et L/K une extension finie de degrén. Soit(e1,· · ·,en) une K-base de L. Soit x∈K^∗, considérons la forme

P(X₀,· · ·,Xn)=NL/K(X₁e1+· · ·+Xnen)−X₀ⁿx∈K[X₀,· · ·,Xn]

Cette forme est enn+1 variables et de degré n, donc, comme K est C1, elle admet un zéro non trivial (x₀,· · · ,x_n). Comme la norme ne s’annulle qu’en zéro, on a forcément x₀ , 0.

L’élément

y= x1

x₀e₁+· · ·+ xn

x₀en

vérifie alors N_L/K(y)=x. La norme est donc bien surjective.

Corollaire 23.—(Wedderburn) Tout corps fini est commutatif.

Preuve : Les corps finis commutatifs sont donc projectifs. SoitFun corps fini (éventuellement gauche), soit Z(F) son centre et soit p sa caractéristique. Comme F est fini, l’extension F/Z(F)/Fp est donc finie. En vertu de la caractérisation précédente de la projectivité, on a Br(Z(F))=^{0 et donc} F=Z(F)est commutatif.

Problème 24.—A-t-on toujours pour un corpsK et un réel positifr,dd(K)≤r=⇒_cd(K)≤r? D’importants travaux de Suslin et Merkurjev sur le sujet on permis de conclure pour le casr=^2:

Théorème 25.— (Suslin-Merkurjev) Tout corps de classeC₂ est de dimension cohomologique

≤2.

Dans le cas d’une dimension diophantienne dans [0,2[, on peut préciser un peu plus le résultat :

Proposition 26.—Sikdésigne un corps tel quedd(K)<2alorskest projectif.

Preuve : Soit kun corps commutatif et A une k-algèbre simple centrale. On rappelle que la norme réduite sur A est l’application Nrd : A −→ k définie de la manière suivante : si L/k désigne un corps neutralisant deAet f :A⊗_kL−→Mn(L)unL-isomorphisme, alors on pose, pour toutα∈A, Nrd(α)=^det(f(α⊗1)). On vérifie que cette définition ne dépendant ni de L ni de f.

Si l’on note n² = [A : k], alors une fois choisie une k-base de A, on voit que cette application de norme réduite sur A est une forme en n² variables de degré n à coefficients dansk. SiAest un corps, alors la norme réduite ne s’annule qu’en 0. Ainsi, si Br(k),^{0, alors} le corpskest de dimension diophantienne≥2. En prenant la contraposée de cet énoncé, on a donc que tout corps de dimension diophantienne<2 a un groupe de Brauer nul. Maintenant, siL/kune extension finie alors le théorème 10 assure que dd(L)≤dd(k)<2 et donc Br(L)=^0.

La proposition 21 prouve finalement quek est projectif.

Le cas limite de l’application du théorème de Suslin-Merkurjev est donc obtenu par des corps de dimension diophantienne 2, comme par exemple les corpsC(X,Y)etC((X))((Y)).

2.2 Un exemple de corps projectif et de dimension diophantienne in- finie

Les corps C1 sont projectifs, la réciproque de cette proposition est fausse. Ax a donné un exemple de corps projectif qui n’est non seulement pas de classe C₁, mais qui est en fait de dimension diophantienne infinie. Nous allons présenter cet exemple dans ce paragraphe.

On notePl’ensemble des nombres premiers et on définit alors la suite de corps(kp)p∈P de la manière suivante :

k2 = [

n/(n,2)=¹

C((t¹₂^/n))

k3 = [

n/(n,3)=¹

k2((t₃^1/n))

...

k_q = [

n/(n,q)=¹

k_p((t¹_q^/n)) siqdésigne le successeur premier de p

On note alors R =S

pkp. Ce corps est projectif et de dimension diophantienne infinie. Le corpsRest projectif, on a même un peu plus précisément :

Proposition 27.—Le groupe de Galois absolu,Gal(R/R), du corpsRest isomorphe au groupe bZ^.

Preuve : • _SoitK un corps de caractéristique zéro contenant toutes les racines de l’unité et p un nombre premier. On considère le corpsL=S

n/(n,p)=¹K((X^1/n)). Le groupe de Galois absolu de L,GL=^Gal(L/L)est isomorphe au groupeGK×Zp.

En effet, K étant de caractéristique zéro, on a K((X))= [

M/K f inie

Puis(M)

Si on pose

M0=[

n

L(X^1/pn), M1= [

M/K f inie

M.L

on a alorsL =M₀.M₁. Par ailleurs M₀∩M₁ =L et comme K contient les racines de l’unité, l’extension M0/L est galoisienne (M1/L l’est aussi visiblement). Ainsi, GL ' Gal(M0/L)× Gal(M1/L)'Zp×GK.

• En appliquant ce qui précède, on déduit donc que Gal(kq/kq) 'Q

p premier≤qZp. On vérifie aisément que pour deux nombres premiersq1≤q2, le diagramme suivant

Gal(kq2/k_q2) //

Q

p≤q2Zp

Gal(kq1/kq1) //Q

p≤q1Zp

commute bien, ce qui assure le "passage à la limite" :

Gal(R/R)' Y

p premier

Zp 'bZ

Lemme 28.—SoitKun corps etmun entier non nul. On considère le corps L= [

n/(n,m)=¹

K((X^1/n))

SoitP∈K[X₁,· · ·,X_k]une forme de degréd. SiP, n’a pas de zéro non trivial dansK, alors elle n’en a pas dansLet pour toutk-uplet(a₁,· · ·,a_k)∈L^k, on a

ν(P(a₁,· · ·,ak))∈dZ^(m)

Preuve : Pour x∈L, on note x¯ la réduction de xdans K. Soit(a1,· · ·,ak)∈L^k non trivial et soitai l’élément de cek-uplet de valuation minimal. On pose pour tout j=¹,· · ·,k,bj=aj/ai

(ainsibj≤0). On a donc

P(a1,· · ·,ak)=a^d_iP(b1,· · ·,bk) Si P(a₁,· · ·,ak)=0 alors P(b₁,· · ·,bk)=0 et par suite puisque

P(b₁,· · ·,b_k)=P(b₁,· · ·,b_k)

lek-uplet(b1,· · ·,bk)est un zéro non trivial de P (puisqueν(bi)=^{0 et donc}bi,0) ce qui est absurde.

Maintenant, on a :

ν(P(a₁,· · ·,ak))=dv(ai)+ν(P(b₁,· · ·,bk))

orν(P(b₁,· · ·,b_k))=0 car sinon on aurait à nouveauP(b₁,· · ·,b_k)=0, et par ailleurs ν(a_i)∈ Z(m) par définition deν.

Donnons nous maintenant un entiera∈]0,1[ fixé. Pourm∈N^et p∈ P, on dit que p est m-représentable sim=0 ou bien si l’on peut écrire p=p1+p2+p3 avecp1,p2,p3 des nombres premiersm−1-représentables vérifiants p^a<p1<p2<p3. On note dans la suite

λ(m,a)= ¹−a^m 1−a

Lemme 29.—Si p∈ Pestm-représentable, alors il existe une forme surk_p de degré p en au moins p^λ(m,a)variables, ne possédant que le zéro trivial surkp.

Preuve : La preuve se fait par récurrence sur l’entier m. Pourm=1, l’application norme de l’extensionkp(x^1/p)/k_p fournit la forme recherchée.

Supposons établie la propriété au rang m−₁ ≥1 et considérons un nombre premier p, m-représentable. Posons donc p = p₁+p₂+p₃ avec p₁,p₂,p₃ des nombres premiers m−_1- représentables vérifiants p^a < p₁ < p₂ < p₃ et notons µ=λ(m−₁,a). D’après l’hypothèse de récurrence, il existe pour i=¹,2,3 une forme H_i(U₁,· · ·,U_ni) de degré p_i à coefficients dans kp_i ne possédant que le zéro trivial et vérifiantni ≥p^µ_i ≥ p^µ₁. Quitte à mettre des zéros dans les variables en trop, on peut supposer queni=n₁=n pour touti. Soit alors

J(U1,· · ·,Un)=

3

Y

i=¹

Hi(U1,· · ·,Un)∈kp3[U1,· · ·,Un] posons

H(Z₁,· · ·,Z_pn) = Pp−1

i=⁰tⁱ_pJ(Z_in+1,· · ·,Z_(i+1)n)

= J(Z1,· · ·,Zn)+tpJ(Zn+¹,· · · ,Z2n)+· · ·

Le polynômeH est une forme à coefficients danskp ennpvariables de degré p1+p2+p3=p, et

pn≥pp^µ₁ >p(p^a)^µ=p^1+aµ=p^λ(m,a)

Le lemme 28 montre que pour toutn-uplet non trivial(z₁,· · ·,zn)∈kⁿ_p, on a ν(J(z1,· · ·,zn))∈pZ(p)