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AIRE SOUS UNE COURBE.
Le plan est muni d’un repère orthonormé (O ; i ,j).
On appelle unité d'aire (notée u.a.) l'aire d'un carré de côté || |i |.
Soit f la fonction définie sur [0 ; 1] par f (x) = x 2. On note (C) sa représentation graphique dans R.
Soit D l’ensemble des points M (x ; y) tels que : 0 x 1 et 0 y f (x).
On note A l aire de D en u.a. On note A
0
1x²dx.
Le but de l exercice est de calculer A.
On choisit un entier naturel non nul n.
On divise l’intervalle [0 ; 1] en n intervalles de même longueur
n.
Sur chaque intervalle
k
n ; k
n où
k {0 ; … ; n 1}, on construit le rectangle R de hauteur f
k
n et le rectangle R de hauteur f
k 1
n .
1. Pour n 5, construire les rectangles R et R pour k allant de 0 à 4 sur le schéma ci-dessus.
On note un la somme des aires des rectangles Rk,n et vn celle des aires des rectangles Rk,n.
2. Faire un schéma et calculer un et vn pour n = 2 puis n = 3. En déduire des encadrements de A.
3. Justifier que pour tout n *, un A vn. 4. Justifier que pour tout n de *, un
0² 1² 2² ... (n 1)²
n3 . Exprimer de même vn en fonction de n.
5.
a. Compléter l algorithme suivant qui permet de calculer un et vn. Demander n
U prend la valeur ...
...
Pour i allant de 1 à ...
U prend la valeur U + ...
...
Fin Pour
Afficher ...
b. On programme cet algorithme et on le "fait tourner" pour n 5 ; n 10n 100 et n 1000.
Donner les encadrements de A obtenus.
6. On admettra que pour tout entier n de * :
i 1 n
i² 1² 2² 3² ... n² n(n 1)(2n 1)
6 . (Se
démontre par récurrence).
a. A l aide de la question 4, exprimer un puis vn en fonction de n. Etudier la convergence des suites ( )un et ( )vn .
b. En déduire la valeur de A.
