Quelques apports de la théorie des jeux à l’utilisation des réseaux de communication Un focus sur les jeux de congestion

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Quelques apports de la th´ eorie des jeux ` a l’utilisation des r´ eseaux de communication

Un focus sur les jeux de congestion

Corinne Touati

Mines de Saint Etienne, 23 novembre 2015

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Pourquoi la th´eorie des jeux dans les r´eseaux de communication?

(http://www.ccri.uottawa.ca/IRCS/

Contact.fr.html)

I Automatisation dans les ann´ees 70

I Evolution vers les paquets de donn´ees (datagram packet switching)

I Experience de l’e↵ondrement de congestion dans les ann´ees 80 (RFC 896)

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L’équité dans le contrôle de congestion

Equit´e de Thomson, Rai↵a-Kalai-Smorodinsky, Nash notamment

Axes de recherche:

I Impl´ementation (algorithmes primal / dual - descentes de gradient)

I Dimensionement

I Prédiction de situations (d’un mélange de protocols - théorie des jeux évolutionnaires)

Milano

Copenhagen

Vienna Prague Berlin

Amsterdam

Luxembourg Paris

London

Zurich Brussels

80 25 20

...

Paris−Vienna 55.06 19.46 25.48 London−Vienna Zurich−Vienna

C. Touati (INRIA) Theorie des jeux en t´el´ecom Introduction 3 / 27

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L’équité dans le contrôle de congestion

Equit´e de Thomson, Rai↵a-Kalai-Smorodinsky, Nash notamment Axes de recherche:

I Impl´ementation (algorithmes primal / dual - descentes de gradient)

I Dimensionement

I Prédiction de situations (d’un mélange de protocols - théorie des jeux évolutionnaires)

Milano

Copenhagen

Vienna Prague Berlin

Amsterdam

Luxembourg Paris

London

Zurich Brussels

80 25 20

...

Paris−Vienna 55.06 19.46 25.48 London−Vienna Zurich−Vienna

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Illustration: Pr´ediction

Question: Quelle est l’efficacit´e du point solution?

C. Touati (INRIA) Theorie des jeux en t´el´ecom Introduction 4 / 27

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Illustration: Impl´ementation de Solutions

Question: Comment cr´eer des syst`emes efficaces?

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Jeux de Potentiel

Definition: Jeu de potentiel.

Un jeu dans lequel toutes les utilités individuelles dérivent d’une même fonction.

Definition:

Jeu de potentiel (exact) (Monderer & Shapley, 96).

Soit un jeu(N,S,U). Le jeu a un potentiel f :S 7!R si:

8n2N,8s2S,8a2S_n:

u_n(s) u_n(a, s _n) = f(s) f(a, s _n)

Di↵utilit´es individuelles Di↵de potentiel

Lien avec les ´equilibres de Nash

Les optima du potentielf sont les ´equilibres de Nash du jeu.

C. Touati (INRIA) Theorie des jeux en t´el´ecom A Specific Class of Games 6 / 27

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Quels jeux admettent une fonction de potentiel?

Definition: Les jeux de congestion.

Consid´erons:

I Un ensemble fini de joueurs N, ensemble fini de ressourcesR.

I Chaque action est le choix d’un ensemble de ressources:

Sn⇢P(R)

I L’utilité d’une ressource ne dépend que du nombre de joueurs qui y accède: c_r(s) =c_r(card(n|r2s_n))

I Utilit´e d’une action: c_a=X

r2a

c_r.

Theorem.

Les jeux de congestion avec des utilit´es d´ecroissantes sont des jeux de potentiel exact.

Exemples typiques: probl`emes d’allocation de ressources avec des joueurs identiques.

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Exemple de Jeu de Congestion: Jeu de Routage Fini

Hypoth`ese

Les joueurs ont des poids identiques

)charge `r = nombre de joueurssur le lien r.

A B

b a

c

Jeu de routage

I Coˆut d’un lienc_r(`_r)

I Coˆut d’un cheminc_p(`)=X

p3r

c_r(`_r) (Hypoth`ese: pas de cycle)

Jeu de congestionavec:

I ressource = lien

I action = chemin Theorem.

Ces jeux de routage ont un potentiel exact:

C(s) = X

lienr

`Xr(s)

i=1

cr(i)

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Consequences de l’inefficacit´e: Paradoxe de Braess

Consid´erons un total de4000joueurs, allant de A`a B.

A B

b a

45 N/100

N/100 45

A B

b a

c

45 N/100

N/100 45

0

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New York Times, Dec 25, 1990, Page 38,What if They Closed 42d Street and Nobody Noticed?, par GINA KOLATA:

“ ON Earth Day this year, New York City’s Transportation Commissioner decided to close 42d Street, which as every New Yorker knows is always congested. ”Many predicted it would be doomsday,” said the Commissioner, Lucius J. Riccio. ”You didn’t need to be a rocket scientist or have a sophisticated computer queuing model to see that this could have been a major problem.”

But to everyone’s surprise, Earth Day generated no historic traffic jam. Traffic flow actually improved when 42d Street was closed. “

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Topologie en Triangle

Peut mod´eliser des situations de:

I Accords de routage inter-domaines

I Collusions entre des fournisseurs de contenus et de services

N N

C

A B

Figure:Un syst`eme ”en triangle”

Eitan Altman, Corinne Touati, “Load Balancing Congestion Games and their Asymptotic Behavior” (submitted).

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Liens parall`eles

Peut modéliser des compétitions entre réseaux sociaux (dans quel réseau investir)

`2

`1

`L

s d

••

•

Figure:Un système à liens parallèles

Nof Abuzainab, Eitan Altman, Fabrice Lebeau, Corinne Touati, “The Social Medium Selection Game” (submitted).

Eitan Altman, Li Jie, Corinne Touati, “Resilience of Routing in Parallel link networks” (submitted).

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Une remarque sur la convexit´e dans les syst`emes discrets

Pas de définition unique: Multi-modularité, M-convexité, L-convexité

Definition: M-concavity (Murota, 1996).

Une fonctionf :Z^J !R est M-concave si pour tout~x,~y dans D et pour toutu2supp⁺(~x ~y):

9v2supp⁺(~y ~x),

f(~x) +f(~y)f(~x ~e_u+~e_v) +f(~y ~e_v+~e_u).

Figure:M-concavity

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Une remarque sur la convexit´e dans les syst`emes discrets

Pas de définition unique: Multi-modularité, M-convexité, L-convexité

Definition: M-concavity (Murota, 1996).

Une fonctionf :Z^J !R est M-concave si pour tout~x,~y dans D et pour toutu2supp⁺(~x ~y):

9v2supp⁺(~y ~x),

f(~x) +f(~y)f(~x ~e_u+~e_v) +f(~y ~e_v+~e_u).

Theorem: Global Optima (Murota, 1996).

Ifgis M-concave and ~x2domg then:

~x2argmaxg, 8u, v, g(~x) g(~x ~eu+~ev)

Besides, M-concavity allows to have efficient algorithms for finding a Nash equilibrium.

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Une remarque sur le trafic ”splittable”

N N

C

A B

Figure:Un r´eseau simple

Que dire si chaque joueur peut diviser son trafic entre les di↵´erentes routes?

) PLUS un jeu de potentiel (en g´en´eral)

Que dire si chaque joueur a un ensemble d’´el´ements non-splitables dans son trafic?

)trafic semi-splitable

Exemple: Connexions TCP multiples, tˆaches d’applications dans les desktop grids

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Exemple: Le probl`eme d’association optimal

Contexte

I Les cellules de di↵´erentes technologies se recouvrent (LTE, WiFi, WiMax, etc)

I Les mobiles sont compatibles avec plusieurs technologies

I Protocoles:

I Multi-homing: plusieurs connexions actives en mˆeme temps

I Vertical Handover: on passe d’une technologie `a une autre

But

Trouver un algorithme d’association entre les mobiles et les antennes qui soit:

I distribu´e

I optimal

Pierre Coucheney, Corinne Touati, Bruno Gaujal: Fair and Efficient

User-Network Association Algorithm for Multi-Technology Wireless Networks, INFOCOM 2009

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M´ethode:

I Introduire un jeu de potentiel

I Concevoir une decente de gradient sur le ”replicator dynamics”:

@q_i,a_i

@t =q_i,a_i(f_i,a_i(Q) f_i(Q))

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0 0.5 1

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Formation de Coalition dans la radio cognitive

I cooperation entre noeuds secondaires dans les r´eseaux de radion cognitive

I Travaux initiaux: ”sensing” et acc`es collaboratif

I Plus r´ecemments: utilisateurs secondaires coop`erent avec les utilisateurs primaires

Notre proposition:

I des utilisateurs primaires multiples et des utilisateurs secondaires multiples.

I les utilisateurs secondaires utilisent le ”sequential relaying”

I formulation en tant que jeu de formation de coalitionet

´etablissement d’un parall`ele avec les jeux de potentiels.

Nof Abuzainab, Sai Rakshit Vinnakota, Corinne Touati, “Coalition formation game for cooperative cognitive radio using Gibbs Sampling”. WCNC 2015:

937-942

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System Model

Scenario:

I lien descendant

I Utilisateurs primaires P, utilisateurs secondaires: S

I Besoin en d´ebit fixe: R_p bits/sec over[0, T]pour les UPp

I |P|orthogonal frequency channels (Rayleigh fading,

independant, additive white Gaussian noise of variance N₀).

I Pour chaque UPp, on d´efinit l’ensembleCP d’utilisateurs secondaires qui servent p.

Deux phasesdans l’intervalle de temps [0, T]:

1 Phase de cooperation: Pendant la fraction↵P deT, les US de CP assistent p.

2 Phase de transmission des US: Pendant la fraction1 ↵P de T, les US de CP se partagent le canal dep pour leur propres transmissions.

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Phase de coop´eration

Une coalition d’USP est untriplet(CP, P,tP),

I tP est le vecteur de fractions de temps tP= (t^P₀, . . . , t^P_C_P)^>

I tP>0 ett^>P.1= 1.

I Pendant la fraction de temps t^P₀, la station transmet au premier US ^P(1). Puis, ^P(1)d´ecode pendant que les autres US et le PU enregistrent l’information re¸cue.

I Durant t^P_k, US ^P(k) transmet `a l’US ^P(k+ 1) qui d´ecode pendant que les US suivants et l’UP enregistrent la nouvelle information re¸cue.

I Durant t^P_C_P, US ^P(CP) transmet `a l’UP p, qui d´ecode le message.

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La phase de transmission des US

I On utilise le multiplexage temporel.

I Le temps de transmission est proportionnel à la quantité d’énergie dépensée par l’US pour aider l’UP dans la phase de coopération.

u_k(P) = (1 ↵P(P))t^P_kL_B,k.

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Jeu de Formation de coalition

I Comme chaque US est dévoué à assister un seul UP, lesUS sont partitionnés en ensembles disjoints. Alors, chaque groupe assistant un UP est considéré comme une coalition, et le groupe des US est ”mapped” à une partition de coalition.

I Lavaleur V de la coalition Pest la somme des utilit´es de chacun de ses membres pour sa propre transmission:

V(P) =X

k2P

u_k(P) = (1 ↵P(P))X

k2P

t^P_kL_B,k.

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Jeu de Formation de coalition

Definition: Coalitional Allocation Game A coalition game satisfying:

1 Given number of coalitions A

2 Coalitions indexed by parametera,1aA.

3 The value of each coalition only depends on parameter aand the set of members of the coalitionCa.

Note that allocation coalition games are not in characteristic form.

Proposition: repercussion utilities

Suppose that theadvertisedutility for player kwhen in coalition a is: r_k(Ca) =u_k(Ca) X

j2Ca,j6=k

⇣

u_j(Ca\{k}) u_j(Ca)⌘ .

Then, the set of stable coalition partitionsCS^⇤ are the maximizers of the social welfare: W(CS^⇤) = max

CS

X

a

V(Ca).

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Conclusion

La th´eorie des jeux est un outil naturel pour:

I Modeliserles situations de compétition / coopération dans un large ensemble de réseaux de communications

I Concevoir des syst`emesdans lesquels les ´equilibres de Nash sont efficaces

I Concevoir des m´ethodes pour calculer les ´equilibres de Nash

I Algorithmes d´eriv´es du best response

I Dynamiques des jeux ´evolutionnaires et les approximations stochastiques

I Le ”machine learning” ou l’apprentissage automatique...

C. Touati (INRIA) Theorie des jeux en t´el´ecom Specific Topology Structure 26 / 27

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