4 TD 4 - Ensembles et applications Exercice 4.1

4 TD 4 - Ensembles et applications

Exercice 4.1 Soit A = {{;}, ;, {;, {;}}}. Laquelle de ces affirmations est vraie?

1. ; 2 A 2. ; ✓ A 3. {;} 2 A 4. {{;}} 2 A 5. {{;}} ✓ A 6. {;, {;}} 2 A 7. {; , {;}} ✓ A 8. ; 2 P(A) 9. {;} 2 P (A) 10. {;, {;}} 2 P (A) 11. {; , {;}} ✓ P (A)

Exercice 4.2 1. soient A, B deux ensembles, montrer les ´equations suivantes:

(a) C (A [ B) = C (A) \ C (B) et C (A \ B) = C (A) [ C (B) (b) ( C (A) [ B) \ (A [ C (B)) = (A \ B) [ C (A [ B)

2. d´eterminer laquelle de ces affirmations est vraie, d´emontrer les affirmations vraies et trouver un con- trexemple pour les affirmations fausses:

(a) (A \ B) [ C = (A [ C) \ C(B \ C(C)) (b) (A [ B) \ (A [ C) = A \ (B [ C) (c) A (B [ C) = (A B) [ (A C )

3. montrer (par contraposition) les assertions suivantes, E ´etant un ensemble:

(a) pour tout A, B 2 P (E), (A \ B = A [ B) ) A = B

(b) pour tout A, B, C 2 P (E), (A \ B = A \ C ^ A [ B = A [ C) ) B = C

4. soient E, F deux ensembles et f : E ! F une fonction. Montrer que pour tout A, B 2 P (E) et pour tout C, D 2 P (F), on a:

(a) (A ✓ B) ) (f(A) ✓ f(B)) (b) f(A \ B) ✓ f(A) \ f(B) (c) f(A [ B) = f(A) [ f(B) (d) f

(C [ D) = f

(C) [ f

(D) (e) f

(F \ C) = E \ f

(C) Exercice 4.3 (Cardinalit´e)

la di↵´erence sym´etrique de A et B, not´ee A B est d´efinie par (A \ C (B)) [ ( C (A) \ B), montrer que Card(A B) = Card(A) + Card(B) 2Card(A \ B)

Exercice 4.4 Les applications suivantes sont-elles injectives, surjectives, bijectives?

1. f : N ! N, x 7! x + 1 2. g : Z ! Z , x 7! x + 1

3. h : R

! R

, (x, y) 7! (x + 1, x 1) (R c’est l’ensemble R ⇥ R)

Exercice 4.5 On consid`ere 4 ensembles A, B, C et des applications f : A ! B, g : B ! C, Montrer que g f injective ) f injective

si g et f sont surjectives, alors g f est surjective

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