[ Baccalauréat STI Antilles juin 2000 \ Génie électronique, électrotechnique, optique
Durée : 4 heures Coefficient : 4
EXERCICE1 4 points
On note i le nombre complexe de module 1 et dont un argument estπ 2. Soient les nombres complexesz1etz2tels quez1=p
2+ip
6 etz2=2−2i.
1. a. Calculer le module et un argument de chacun des deux nombres complexesz1etz2. b. Écrire le quotientz1
z2sous la formereiθoùrest un nombre réel strictement positif etθun nombre réel.
2. P est le plan muni d’un repère orthonormal direct³ O ;−→
u,→− v´
d’unité graphique 2 cm dans lequel les points M1et M2sont les points d’affixes respectivesz1etz2.
Dans ce plan :
a. placer les points M1et M2;
b. montrer qu’il existe une rotation de centre O qui transforme M2en M1. Donner une mesure, en radian, de l’angle de cette rotation.
3. a. En utilisant les formes algébriques dez1et dez2données dans l’énoncé, écrire le quotient z1
z2sous forme algébrique.
b. Déduire des résultats précédents les valeurs exactes de cos µ7π
12
¶ et sin
µ7π 12
¶ .
EXERCICE2 4 points
1. a. Résoudre l’équation différentielley′′+y=0, oùydésigne une fonction définie et deux fois dérivable surRet oùy′′désigne la fonction dérivée seconde de la fonctiony.
b. Déterminer la solution particulièref de cette équation différentielle vérifiant f(0)=1 et f′³π
4
´
=0. (f′désigne la fonction dérivée de la fonctionf.) 2. L’espace est muni d’un repère orthonormal³
O ;−→ı ,−→,→− k´
d’unité graphique 4 cm.
Le but de cette question est de calculer le volume V engendré par la rotation, autour de l’axe des abscisses, du domaine D hachuré sur le dessin ci-dessous :
O −→ı
−
→
π 2 π
4
D
Dans le plan rapporté au repère³
O ;−→ı ,→−´
le domaine D est limité par :
• la courbe représentative de la fonctionf trouvée à la question précédente ;
• l’axe des abscisses ;
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• l’axe des ordonnées ;
• la droite parallèle à l’axe des ordonnées passant par le point de coordonnées³π 2 ; 0´
. a. Montrer que, pour toutxréel :
[f(x)]2=1+sin(2x).
b. Sachant que :
V=π Zπ2
0 [f(x)]2dx, calculer la valeur exacte de V en unité de volume.
c. Donner la valeur de V arrondie au mm3. (Exprimer le résultat en cm3.)
PROBLÈME 12 points
Dans ce problème :
• I désigne l’intervalle ]0 ;+∞[ ;
• f désigne la fonction définie, pour toutxde l’intervalle ]0 ;+∞[ par : f(x)= e2x
ex−1;
• f’ désigne la fonction dérivée de la fonctionf ;
• Cf désigne la courbe représentative de la fonctionf dans le plan rapporté à un repère ortho- gonal (Ox, Oy) d’unités graphiques 4 cm sur l’axe des abscisses et 1 cm sur l’axe des ordon- nées.
Partie A
1. a. Vérifier que, pour toutxde l’intervalle I :
f(x)=ex+1+ 1 ex−1.
b. Déterminer la limite def(x) quandxtend vers+∞, et la limite def(x) quandxtend vers 0.
En déduire l’existence d’une asymptote à la courbeCf. 2. a. Vérifier que, pour toutxde l’intervalle I :
f′(x)=e2x(ex−2) (ex−1)2 . b. Étudier, pour toutxde l’intervalle I, le signe def′(x).
En déduire le sens de variations de la fonctionf et que, pour toutxde l’intervalle I,f(x)>
0.
3. a. Résoudre, dans l’intervalle I, l’équation, d’inconnuex, f(x)=9 2.
b. Déduire, du résultat obtenu à la question précédente, les coordonnées des points A et B, points d’intersection de la courbeCf et de la droite dont une équation esty=9
2. (A est le point d’intersection dont l’abscisse est la plus petite.)
Antilles 2 juin 2000
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Partie B Soit la fonctiongdéfinie, pour toutxde l’intervalle I, par :
g(x)=ex+1.
On noteCg la courbe représentative de la fonctiongdans le plan rapporté au repère (Ox, Oy).
Cgest donnée sur le graphique ci-après.
On notehla fonction définie, pour toutxde l’intervalle I, par : h(x)=f(x)−g(x).
1. a. Étudier, pour toutxde l’intervalle I, le signe deh(x) ; en déduire la position de la courbe Cf, par rapport à la courbeCg.
b. Résoudre dans l’intervalle I, l’inéquation, d’inconnuex,h(x)É0,05.
On admet que deux points du plan de même abscisse sont indiscernables sur un dessin dès que la différence de leurs ordonnées a une valeur absolue inférieure à 0,05.
Déterminer un demi-plan dans lequel les courbesCf etCgsont indiscernables.
c. Tracer, avec soin, la courbeCf sur le graphique ci-après.
2. Montrer que, pour toutxde I :
h(x)= ex ex−1−1 . En déduire une fonction primitive dehsur I.
3. Calculer l’aire S de la partie du plan délimitée par la courbeCf, la courbeCg et les droites d’équations respectivesx=ln2 etx=ln3.
(Exprimer le résultat en cm2.)
0 1 2
−1
5
0 1
0 1
x y
O
Cg
Antilles 3 juin 2000
