P 1et P 2 demasse

Final- MT31 - Mathématiques : Appliations

Durée : 2heures.

Une feuilleA4reto seul denotes autorisée .

Calulatrieautorisée .

➟

^Seulesles expliationslaires etpréises serontprisesen omptelors de la orretion.

➟

^{Les exeries1, 2 et3sont}indépendants.

Exerie 1(Centrede gravité de plaques)

Onseproposedanseproblèmededéterminerdanslerepèreorthonormal

(O, ~i, ~j)

^{lesoordonnéesduentrede}

gravitéd'uneplaque

P

d'épaisseurnégligeable. Cetteplaqueestobtenueensoudantdeuxplaques

P 1

^et

P 2

^demasse

surfaique

ρ(x, y)

^{supposéeonstante.}

➪

^{La plaque}

P ¹

^{est unarrédont lessommetssont lesquatrepoints :}

A = (0, 2)

^,

C = (0, −2)

^,

D = (−4, −2)

^et

E = (−4, 2)

^.

➪

^Laplaque

P ²

^{estledomainedénipar:}

P ² =

(x, y) ∈ R ² / 0 6 x 6 2 et |y| 6 (2 − x)e ^x

1. Représentergraphiquementlaplaque

P

^surlagure1.

2. Caluler

A P

^{l'airedeetteplaque}

P

^.

3. Rappelerl'expressiondesoordonnées

x G

^et

y G

^{duentredegravitédeetteplaque.}

4. Déterminer

x G

^et

y G

^.

Exerie 2(Intégrales doubles)

Soit

D

^{ledomaineduplandénipar:}

D =

(x, y) ∈ R ² /x ² + y ² > 1 et x ² + y ² 6 2y

1. Représenterledomaine

D

^surlagure2.

2. Calulerl'aire

A D

^dudomaine

D

^.

3. Calulerl'intégrale:

I = Z Z

D

(x ² + y ² )dxdy

Exerie 3(Diagonalisationetsystèmediérentiel)

Partie A

Onnote

I =]0, +∞[

^{etondénit pourtout}

t ∈ I

^lamatrie

A(t)

^suivante:

A(t) =



 t t 0 0 t t 0 t t





1. Déterminerlepolynmearatéristiquede

A(t)

^.

2. (a) En déduirelesvaleurspropresde

A(t)

^.

(b) Lamatrie

A(t)

^est diagonalisable. Pourquoi?

3. (a) Déterminerlessous-espaespropresassoiésàhaquevaleurpropre.

(b) En déduirelesveteurspropresassoiésàhaquevaleurpropre.

4. En déduirelamatrie

D(t)

^{diagonaleetlamatrie}

Q

^{inversibletelles que:}

A(t) = Q D(t) Q ^{− 1}

Remarques:

•

^{onrangeralesvaleurspropresdansl'ordreroissant.}

•

^{onnedemandepaslealul de}

Q ^{− 1}

^.

Partie B

Sur

I

^{,ononsidèrelesystèmediérentiel}

X ˙ (t) = A(t) X (t) (S)

où

X =



 x 1 (t) x 2 (t) x 3 (t)



 et X ˙ =





˙ x 1 (t)

˙ x 2 (t)

˙ x 3 (t)





Onnote

φ(t)

^{unesolutionde}

(S)

^.

1. Quesignieque

φ(t)

^{est unesolutionde}

(S)

^?

2. Soit

φ(t)

^{une solution de}

(S)

^{. Pour tout}

t ∈ I

^{, on pose}

ψ(t) = Q ^{− 1} φ(t)

^{. Montrer que}

ψ(t)

^{est solution du}

système:

Y ˙ (t) = D(t) Y (t) (S ¹ )

oùlesquantités

Y ˙

^et

Y(t)

^{sontàspéier.}

3. Montrer qu'ilexistetroisréels

a

^,

b

^et

c

^telsque:

ψ(t) =







 a b e ^{t2 2}

c e ^{t 2}









4. En déduire

φ(t)

^enfontionde

t

^,

a

^,

b

^et

c

^.

5. Trouvertouteslessolutionsdusystème:



 

 

˙

x(t) − t x(t) − t y(t) = 0

˙

y(t) − t y(t) − t z(t) = 0

˙

z(t) − t y(t) − t z(t) = 0

telles que

x(0) = 1

^,

y(0) = 2

^et

z(0) = 4

^.

−4 −3.5 −3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

−4

−3.5

−3

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4

X

Figure1: Plaque

.

−4 −3.5 −3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

−4

−3.5

−3

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4

X

Figure2: Domaine

D

.