1 V
1.0 A u L'"o Co
(On 1.1 Un On x e
• E
• L (ain
• L cou 1.2 On Po a) … b) c) … d) e) … 1.3 On On Re
• U 1.4 a) D co do
2C A
Vocabulaire
0 Exemple intr une station‐se
objet" p est a mbien coûten
p(10) = 1,16·
n dit que 11,6 1 Fonction num
e fonction nu note f : x st la variable En pratique on L’ensemble‐im nsi p. ex. pour L’ensemble de urbe représen 2 Domaine de
appelle dom ur déterminer
…au dénomin
…dont on calc
…dont on calc
…dont on calc
… dont on cal 3 Antécédent.
appelle anté appelle racin marque : Un nombre pe 4 Exemples
Déterminer le ondition : 4x – nc Df = \ { 1
4
A. Géné
e et notatio
roductif (Rap ervice, le prix à
On dit qu'on Si p.ex. 1 lit Appelons p(
On a : p(x)
ppelé une fon nt 10 litres ?
10 = 11,6 1 6 est l'image d mérique. Ima umérique d’un
y = f(x)
réelle et f(x n écrit p.ex. «
mage de f cont
r f : x x2 : d e tous les poin ntative ou gra e définition
aine de défin r un domaine, ateur ne doit cule la racine cule un logarit cule la tangen cule la cotang . Racine.
cédent d’un n ne d’une fonct
eut avoir plusi
e domaine de 1 ≠ 0 4x ≠ 1
4}
ralités
ons. Domain
pel)
à payer dépen n exprime le p re coûte 1,16 (x) (lire "p de
= 1,16x nction en mat
10 litres coûte de 10 par la fo age. Graphe.
ne variable ré
x) est l’image d la fonction f : tient les imag om f = et im nts (x ; f(x)), x é
aphe de f. L’éq
ition de la fon , il faut tenir c
pas s’annuler carrée doit êt
thme doit être
nte ne doit pas
gente ne doit
nombre k par tion, tout nom
eurs antécéde
la fonction f :
≠ 1 x ≠ 1
4
sur les
ne de défin
nd du nombre prix en fonctio
€, alors x litre x"), le prix en
thématiques.
ent 11,6 €.
onction p.)
elle est une re ou simplem de x par f.
x x2 » ou es de tous les m f = + ) étant un nom quation de la
nction f (noté compte de plu r.
tre positive e strictement s pouvoir s’éc pas pouvoir s
la fonction f, mbre x tel que
ents, mais au
x 1 3x
4x 1
fonctio
ition.
( e de litres d'es
on du nombre
es coûtent 1,1 fonction des
Une fonction Combie
p(43 (On dit
elation qui à c ment f : x f
bien « la fonc s réels de dom mbre de dom f courbe repré
dom f ou Df) usieurs types
positive crire sous la fo
’écrire sous la
tout nombre e f(x) = 0 (donc
plus une imag
et les antécé
ons num
p. 5 )
ssence acheté e de litres.
16·x €.
litres achetés
"transforme"
en coûtent 43 3,5) = 1,16·43 t que 50,46 es
chaque réel fa f(x)
ction f définie m f. Il est noté est noté Gf o sentative est
l’ensemble de de conditions
orme k , 2
a forme k , k
x tel que f(x) c les antécéde
ge.
édents de 1 et
mériqu
és.
s.
" en fait un no 3,5 litres ?
,5 = 50,46 t l'image de 4
ait correspond
e par f(x) = x2 » im f.
u Cf et appelé y = f(x).
e tous les réel : Une expres
k
= k.
ents de 0).
t de 2 par f.
ues
ombre en un a
43,5 litres co 43,5 par la fon
dre au plus un
»
é représentati
ls x qui ont un ssion…
N
D cond
A con log(A) co tan(A) A cot(A) A
1
autre nombre
ûtent 50,46 € nction p.)
n réel.
ion graphique
ne image par f
ition : D ≠ 0 dition : A ≥ 0 ondition : A >
A ≠ k , k 2
≠ k , k
1
.
.
e,
f.
> 0
2C A. Généralités sur les fonctions numériques 2
antécédents de 1 : f(x) = 1 antécédents de 2 : f(x) = 2
1 3x
4x 1
= 1 1 3x
4x 1
= 2 −1 – 3x = 4x – 1 −1 – 3x = 8x – 2
−7x = 0 −11x = −1
x = 0 x = 1
11
b) Déterminer le domaine et les racines de la fonction f définie par f(x) = 1 3x 4x 1
. conditions :
(1) : 1 3x 4x 1
≥ 0 et (2) : 4x – 1 ≠ 0
(1) : − 1 – 3x = 0 x = −1
3 4x – 1 = 0 4x = 1 x = 1 4 x −∞ −13 1
4 +∞
− 1 – 3x + 0 − −
4x – 1 − − 0 + 1 3x
4x 1
− 0 + || − (2) : 4x – 1 ≠ 0 4x ≠ 1 x ≠ 1
4 donc Df = [−1 3 ; 1
4[
racines de f : f(x) = 0
1 3x
4x 1
= 0
1 3x
4x 1
= 0 −1 – 3x = 0 x = −1
3
c) Déterminer le domaine de la fonction f définie par f(x) = 1 3x 4x 1
. conditions :
(1) −1 − 3x ≥ 0 −3x ≥ 1 x ≤ −1 3 (2) 4x – 1 ≥ 0 4x ≥ 1 x ≥ 1
4
(3) 4x 1 ≠ 0 4x – 1 ≠ 0 4x ≠ 1 x ≠ 1
4 donc Df = { } Remarque :
On peut regrouper les conditions (2) et (3) en écrivant 4x – 1 > 0.
d) Déterminer le domaine de définition de la fonction f : x tan(2x + π).
condition : 2x + π ≠ k , k 2
|−π
2x ≠ k , k
2
| : 2
x ≠ k , k
4 2
donc Df = \ { k | k
4 2
}
2C A. Généralités sur les fonctions numériques 3
2 Comparaison de deux fonctions
2.1 Égalité de deux fonctions p. 9
2.2 Restriction et prolongée d’une fonction p. 9
2.3 Fonction positive, négative p. 9
2.4 Comparaison de deux fonctions p. 10
2.5 Fonction minorée, fonction majorée, fonction bornée p. 11 Remarque :
Si une fonction f est minorée, elle admet une infinité de minorants. On s’intéresse alors au plus grand minorant.
De même, si une fonction f est majorée, elle admet une infinité de majorants. On s’intéresse alors au plus petit majorant.
Exemple :
Soit f une fonction telle que −10 ≤ f(x) ≤ 30 −10 est un minorant et 30 est un majorant.
On a alors aussi : −1000 ≤ f(x) ≤ 1000 −1000 est aussi un minorant et 1000 aussi un majorant.
Mais les renseignements compris dans « −10 ≤ f(x) ≤ 30 » sont plus précis que ceux dans « −1000 ≤ f(x) ≤ 1000 », d’où l’intérêt de s’intéresser au plus petit majorant et au plus grand minorant.
2.6 Exemples
a) Est‐ce que les fonctions f(x) = x2 9
x 3
et g(x) = x – 3 sont égales ?
• domaine de f • domaine de g condition : x + 3 ≠ 0 x ≠ −3 dom g = dom f = \ { −3}
donc f ≠ g car les deux fonc ons n’ont pas le même domaine de définition.
Remarque :
x \
3
: f(x) =x2 9x 3
=
x 3 x 3
x 3 x 3
= g(x)
On dit que : f est la restriction de g sur \ { −3} (restriction, car le domaine est plus petit) g est la prolongée de f sur . (prolongée, car le domaine est plus grand)
b) Est‐ce que les fonctions f(x) = x 1 x 2 1
et g(x) = x 2 1 sont égales ?
• domaine de f • domaine de g
conditions : (1) : x +2 ≥ 0 x ≥ −2 condition : x +2 ≥ 0 x ≥ −2 (2) x 2 1 ≠ 0 x 2 ≠ −1 vrai! dom g = [−2 ; +∞[
dom f = [−2 ; +∞[
x 2;
: f(x) =
2 2
x 1 x 2 1 x 1 x 2 1
x 1 x 1 x 2 1
x 2 1 (x 1)
x 2 1 x 2 1 x 2 1 x 2 1
= g(x)
donc f = g.
3 Opérations sur les fonctions
3.1 Somme ou différence de deux fonctions : 1.4 pp. 15, 16 ‐ 1.5 pp. 16, 17
3.2 Produit ou quotient de deux fonctions : 1.6 pp. 18, 19
2C A. Généralités sur les fonctions numériques 4
4 Composée de deux fonctions
4.1 Définition
Soit f et g deux fonctions.
On appelle composée de f et g , on note f ∘ g et on lit « f rond g » la fonction définie par : (f ∘ g)(x) = f[g(x)]
4.2 Domaine de définition
Pour pouvoir calculer (f ∘ g)(x), il faut que : x dom g et g(x) dom f.
Exemple :
Soit f(x) = x 2 et g(x) = x2 + 3x.
Déterminer dom f, dom g et dom (f ∘ g), puis calculer (f ∘ g)(x)
• domaine de f : • domaine de g : condition : x + 2 ≥ 0 x ≥ −2 dom g = dom f = [−2 ; +∞[
• domaine de f ∘ g : condition : g(x) dom f
x2 + 3x ≥ −2
x2 + 3x + 2 ≥ 0
a = 1 b = 3 c = 2
Δ = b2 – 4ac = 92 – 4 ∙ 1 ∙ 2 = 9 – 8 = 1 2 racines
x1 = b 3 1 3 1 2
2a 2 1 2 2 1
et x2 = b 3 1 3 1 4
2a 2 1 2 2 2
x −∞ −2 −1 +∞
x2 + 3x + 2 + 0 − 0 +
donc dom (f ∘ g) = ]−∞ ; −2[ [−1 ; +∞[
(f ∘ g)(x) = f[g(x)] = f(x2 + 3x) = x23x 2
4.3 Décompositions de fonctions
Parfois il peut s’avérer utile de procéder en sens inverse, c.‐à‐d. de décomposer une fonction en fonctions usuelles
« simples ». Ce sont les fonctions suivantes :
x ax b x x2 x x x 1 x x x cosx x sinx x tanx
x
Exemples :
Décomposer f en composée fonctions usuelles si a) f(x) = x23 et b) f(x) = 3 2 x5 a) Pour calculer f(x), on calcule • d’abord le carré de x, (x x2)
• puis on rajoute 3 (x x + 3)
• et ensuite on extrait la racine carrée. (x x ) donc f(x) = (i ∘ h ∘ g)(x) avec g : x x2, h : x x + 3 et i : x x.
b) De même, pour calculer f(x), on calcule d’abord la racine carrée de x, puis on multiplie par 2 et rajoute 5, ensuite on prend l’inverse et finalement on multiplie par 3.
donc f(x) = (j ∘ i ∘ h ∘ g)(x) avec g : x x, h : x 2x + 5, i : x 1
x et j : x 3x.
5 R
5.1 5.2
6 V
6.1
On si p Rem En et d 6.2 On On (str 6.3 Soi
• f
• f
• f
• f
2C A
Réciproque
1 Définition et 2 Fonction inje
Variations d
1 Fonction stri
dit que f est pour tous nom
marque : remplaçant le décroissantes 2 Fonction con
dit que f est dit que f est rictement) dé
3 Exemple it f la fonction
est stricteme est stricteme est stricteme n’est pas mon
A. Géné
e d’une fonc
t propriétés ective. Foncti
des fonction
ictement croi
strictement c mbres u et v d si u < v alo
es inégalités s s. (donc sans « st
nstante. Fonc constante sur (strictement) écroissante su
n représentée ent croissante ent décroissan ent monotone notone sur [−
ralités
ction
: pp. 22 ‐ 24
ion réciproqu
ns
issante. Fonct
croissante sur e l’intervalle I ors f(u) < f(v)
strictes (< et >
trictement ») ction monoton
r un intervalle monotone su r cet intervall
sur le graphiq sur [−6 ; −3] e nte sur [−3 ; 2]
e sur [−6 ; −3], 6 ; 6] (car f y es
sur les
4
e. : pp. 24
tion stricteme
un intervalle I on a :
>) par des inég
ne.
e I si pour tous ur un intervall
e.
que ci‐dessou et sur [2 ; 6].
] et sur [2 ; 6].
sur [−3 ; 2] et
t d’abord croissa
fonctio
4, 25
ent décroissan
I On di si pou
galités larges (
s nombres u e le I si elle est s
s.
.
t sur [2 ; 6].
nte, ensuite décr
ons num
nte.
t que f est str ur tous nombr
(≤ et ≥) on obt
et v de l’interv soit (stricteme
roissante et à nou
mériqu
rictement déc res u et v de l’
si u < v alors
tient la définit
valle I on a : f(
ent) croissant
uveau croissante
ues
croissante sur
’intervalle I on s f(u) > f(v)
tion des fonct
(u) = f(v) te sur cet inte
e)
5
r un intervalle n a :
tions croissant
rvalle, soit
5
I
tes
7.
7.1 Soi f es Pro Si f ord 7.2 Soi Le 7.3 Soi Le
7.4 1) f : x
• d
• (
• (
• (
2) (
Do
2C A
Éléments d
1 Fonction pai it f une fonctio st paire x
(
opriété : f est paire, Gf données (Oy) 2 Axe de symé
it f une fonctio graphe Gf adm
3 Centre de sy it f une fonctio
graphe Gf adm
axe de s 4 Exemples
Déterminer le x
2x2 3
|x|
dom f = dom g
x dom f)
x dom g)
x dom h) Montrer que
x ) : nc la droite d’
A. Géné
de symétrie
ire. Fonction on définie sur x dom f
x dom f): f
est symétriqu comme axe d étrie
on définie sur met la droite d
ymétrie on définie sur met le point d
symétrie x = a
e domaine et l g : x 2 g = dom h =
: f(−x) = 2( x)
|
: g(−x) = 2( x
: h(−x) = 2( x
(
la droite d’éq f(2 + x) = (2 f(2 − x) = (2
’équation x =
ralités
e d’une cour
impaire.
r dom f.
x dom f f( x) f(x)
ue admet l’axe de symétrie.
r dom f.
d’équation x =
r dom f.
de coordonnée
la parité des f 2x2 3
x
h
*, donc si x ap
2 2
) 3 2x 3
x| |x|
2 2
x) 3 2x
x x
2
2 2
x) 3 2x
x) x
uation x = 2 e + x)2 – 4(2 + x
− x)2 – 4(2 − x 2 est un axe d
sur les
rbe
e des
= a comme ax
es (a ; b) comm
fonctions suiv : x 2x 32
x
ppartient au d
3f(x), donc 3 2x2 3
x
3
, donc h(−x est un axe de s x) + 7 = 4 + 4x x) + 7 = 4 − 4x de symétrie d
fonctio
f est im
Si f est centre
xe de symétrie
me centre de
centre
antes :
omaine, il en c f est paire.
g(x), donc x) ≠ h(x) et h symétrie du g + x2 – 8 – 4x + + x2 – 8 + 4x + e Gf.
ons num
mpaire x ( x
impaire, alors de symétrie.
e a x d ( x d
symétrie
de symétrie (
est de même
c g est impaire (−x) ≠ −h(x) ; raphe de f : x + 7 = x2 + 3 + 7 = x2 + 3 = f
mériqu
dom f x x dom f) : f(
s Gf admet l’o
dom f a x om f) : f(a x)
a x dom f ( x dom f)
a ; b)
pour –x.
e.
h est ni paire,
x2 – 4x + 7 f(2 + x)
ues
dom f x) f(x)
origine O comm
dom f f(a x)
f a x do f(a x) f(a
): 2
, ni impaire.
7.
6
me
m f x) b
6
2C A. Généralités sur les fonctions numériques 7
3) Montrer que le graphe de la fonction définie par f(x) =
x2 5x 6 x 1
admet un centre de symétrie.
• domaine : condition : x – 1 ≠ 0 x ≠ 1 donc dom f = \ { 1 }.
( si (a ; b) sont les coordonnées du centre de symétrie, le seul « candidat » pour a est 1, car le domaine doit être « symétrique par rapport à a » )
•( x \ {1}) :
2 2 2
(1 x) 5(1 x) 6 1 2x x 5 5x 6 x 3x 2 f(1 x)
1 x 1 x x
2 2 2
(1 x) 5(1 x) 6 1 2x x 5 5x 6 x 3x 2 f(1 x)
1 x 1 x x
et
2 2
x 3x 2 x 3x 2 6x
f(1 x) f(1 x) x x x 6 3
2 2 2 2
Donc le point de coordonnées (1 ; −3) est un centre de symétrie du graphe de f.
8. Fonction périodiques
8.1 Définition
Soit f une fonction définie sur dom f et un réel T.
f est périodique de période T x dom f x T dom f ( x dom f): f(x T) f(x)
Remarque :
Si une fonction est périodique de période T, elle est aussi périodique de période kT, k .
Si on détermine la période d’une fonction, on s’intéresse bien sûr à la plus petite.
8.2 Exemples
1) Les fonctions cos et sin sont périodiques de période 2π ; les fonctions tan et cot sont périodiques de période π.
2) Déterminer le domaine la plus petite période des fonctions f : x cos(3x + 4) et g : x 2tan(3x 1 4 ).
• dom f =
( x ) : f(x + T) = cos(3(x+T) + 4) = cos(3x + 4 + 3T).
On sait que la plus petite période de la fonction cos est 2π, donc 3T = 2π T = 2 3
.
• condition : 3x 1 k , k 3x 1 k , k x 2 4 4k , k
4 2 4 2 3 3 3
dom g = \ {2 4 4k |k
3 3 3
}
( x dom g) : g(x + T) = 2tan(3(x T) 1 4
)=2tan(3x 1 3T 4 4 ) On sait que la plus petite période de la fonction tan est π, donc 3T
4 = π T = 4
3
.
