ÉcoleNormaleSupérieuredeCachan—DépartementEEA
Julien Gori & Kevin Malleron ENS de Cachan
Département EEA jgori@ens-cachan.fr
17 avril 2014
Introduction
On a inventé la FM dans l’idée de réduire la bande passante lors de l’émission d’un signal. Bien que le résultat soit contraire aux attentes, la modulation de fréquence s’est révélée être intéressante à travers d’autres aspects. On va voir dans ce montage le principe de la FM, puis les performances, en faisant en particulier l’analyse spectrale du signal et sa robustesse par rapport au bruit, avant de voire une mise en oeuvre possible d’un système de transmission par modulation de fréquence.
Notions clés
Pour la MF sur GBF il y a trois paramètres a régler : – sine : fréquence porteuse
– FM freq : fréquence du signal modulant fm
– Freq dev : excursion en fréquence f Sachant que —= fmf
Ne pas confondre fréquence instantanée (grandeur dépendante du temps qui décrit les variations temporelles d’un signal modulé angulairement) et fréquence [ spectrale ] qui décrit le signal dans le domaine de Fourier en terme de raies.
Passage entre phase et fréquence instantanée : Fi =d„dti2ú1fi
Le spectre s’étend en théorie sur une BF infinie, mais la majorité du signal utile peut se localiser dans une BF dite de Carson (98%)
Cette modulation est non linéaire, on ne peut donc pas appliquer de théorème de superposition.
Definition de la modulation de fréquence
Soit la signal s(t) :
s(t) =a(t= cos(2fif0t+„t)
– Modulation angulaire : le signal s(t) est modulé angulairement par le message m(t) si sa phase instantanée est une fonction linéaire de m(t), et l’enveloppe est indépendante de m(t). On distingue deux types de modulations angulaire, à savoir la modulation de phase (PM) et la modulation de fréquence (FM) – La phase instantanée du signal est définie telle que :„i(t) = 2fif0t+„t
– La fréquence instantanée du signal définie comme la dérivée de la phase instantanée à 2fi près : Fi(t) = f0+2fi1 d„(t)dt
– Pour faire une modulation de fréquence on impose la fréquence instantanée d’un signal telle que la fré- quence instantanée soir proportionnelle aux variations du signal modulant : Fi(t) =f0+kfm(t)On en déduit alors la forme du signal suivant
SM(t) =Acos(2fif0t+ 2fikf
⁄ t
0 m(u)d(u))
Atouts de la FM
Le bruit modifie essentiellement l’amplitude d’un signal, ce qui veut dire que pour des modulations analo- giques, la modulation AM sera beaucoup plus sensible au bruit que la modulation FM. L’atout principal est donc la robustesse au bruit. On peut aussi remarquer que la modulation est à enveloppe constante puisque c’est celle d’une sinusoïde (indépendante du signal modulant). Cela implique :
– que la puissance est constante. Si la porteuse est d’amplitude A, la puissance du signal est de A22. L’inrérêt est certain pour la conception des emetteurs (dynamique peu importante)
– que la modulation est résistante aux non linéarités, puisqu’on ne créera que de la puissance dans des multiples de la porteuse (filtrable)
Analyse spectrale
On sait que l’on doit se limiter en bande de fréquence occupé à un certain canal alloué pour le signal FM, il est donc extrèmement important de connaître le spectre du signal.
Signal modulant sinusoïdal Dans ce cas :
m(t) =Amcos(2fifmt) La fréquence instantanée s’écrit donc :
Fi(t) =f0+kfAmcos(2fifmt) Cette fréquence varie dans un intervalle[f0≠ f, f0+ f]
avec f =kfAml’excursion en fréquence Et la phase instantanée est :
2fif0t+kfAm
fm sin(2fifmt) On pose alors —= kffAmm l’indice de modulation.
Le signal MF s’écrit donc :
s(t) =Acos(2fif0t+—sin(2fifmt)) On peut développer les calculs et montrer que
s(t) =A
n=+Œÿ
n=≠Œ
Jn(—) cos(2fi(f0+nfm)t) oùJn(—)est la fonction de Bessel de première espèce.
Le spectre est donc un ensemble de raies distantes de fmet pondérées par la valeur de la fonction de Bessel à la valeur —. La représentation du module de la TF du signal en fonction de la fréquence est symétrique par rapport à la porteuse et le nombre de raies sont infinies. Toutefois, Jn(—)est une fonction décroissante et on peut donc considérer le signal MF comme un signal de largeur de bande limitée.
Indice de modulation faible
SM(t) =Acos(2fif0t+—sin(2úfifmt)) =A[cos(2fif0t)≠—sin(2úfif0t) sin(2fifmt)]
Il y a donc des raies à la fréquence porteuse et aux fréquencesf0+fm etf0≠fm. On reconnait le spectre d’une modulation d’amplitude à double bande à porteuse conservée.
Signal modulant quelconque Comme la modulation est non linéaire, on ne peut pas appliquer de théorème de superposition. On peut toutefois prédire qu’il y aura des raies à toutes les combinaisons arithmétiques possibles des différentes fréquences contenues dans le signal modulant.
Relevé expérimentaux du spectre On utilise le GBF en mode FM analogique et on observe directement le spectre du signal grâce à la fonction FFT en faisant varier l’indice de modulation dans deux cas différents, on obtient les tracés suivants :
Figure1 – FFT d’un signal MF avec porteuse de100 kHz- f = 10kHz et— = 0.5,1,5
Figure2 – FFT d’un signal MF avec porteuse de100 kHz-fm= 10kHzet —= 0.2,1,5
Largeur de bande utile
Signal modulant sinusoïdal Plus — est grand, plus un grand nombre de raies apparaissent d’amplitude diverses, déduites des fonctions de Bessel. Pour déterminer la largeur de bande utile, il faut déterminer les raies d’amplitudes significatives.
On peut prendre plusieurs critères, on choisis ici de garder les raies qui contiennent au moins 98% de la puissance totale du signal FM, c’est à dire :
P = A2 2 = A2
2
#J02+ 2J12+ 2J22+...+$ On obtient donc
#J02+ 2J12+ 2J22+...+ 2JN2$ Ø0.98 On peut vérifier grâce aux valeurs de la fonction de Bessel que
N(—) =—+ 1 On en déduit donc immédiatement
B= 2(—+ 1)fm
Ce calcul ne fournit qu’un ordre de grandeur
Signal modulant quelconque On adopte les même règles que pour le cas sinus
On mesure à titre de comparaison la bande utile pour une modulation en amplitude et une modulation en fréquence avec des porteuses et des modulantes identiques :
Figure3 – FFT d’un signal MF puis MA pour une porteuse de100kHz, une fréquence modulante de10kHz et un faible indice de modulation—= 0.2. La largeur de la bande utile est quasi-identique
Figure4 – FFT d’un signal MF puis MA pour une porteuse de100kHz, une fréquence modulante de10kHz et un indice de modulation— = 3. La largeur de la bande utile est plus importante pour la MF
Mise en oeuvre
Nous allons mettre en oeuvre une modulation et démodulation de fréquence et la bruité afin de montrer sa robustesse. On peut à titre de comparaison cablé une modulation d’amplitude et la bruité.
0.1 Modulation de fréquence
Nous nous intéresserons tout d’abord à la démodulation. Nous utiliserons le bloc PLL (boucle à verrouillage de phase) qui contient un VCO, un comparateur de phase et un emplacement pour le filtre de boucle. L’intéret ici n’est pas de dimensionner le montage mais bien de justifié les éléments.
Nous commencerons pas regardé la fréquence centrale du VCO, cela fixera notre fréquence porteuse pour notre modulation.
Le filtre de boucle devra lui nous permettre d’avoir une plage de vérouillage supérieur à 20kHz. Nous conseillons un filtre RC passe bas tel queC= 1nF etR= 5,6k .
Pour la modulation, un simple VCO compris dans le GBF modulé par un signal audio, avec une fréquence centrale égale à celle trouver sur le bloc PLL utilisé.
Ce signal FM sera envoyé dans un bloc canal de transmission prévu pour rajouté du bruit. Ensuite on cablera un filtre de sélection du canal. Un filtre passe bande R puis CL parallèle avecR= 680 ,C= 1pF etL= 1mH.
Ensuite nous irons dans l’entrée de la PLL, la sortie sera entre le comparateur de phase et le VCO.
Afin d’observer à l’analyseur de spectre du signal audio il faut le translater en fréquence, pour cela il suffit de multiplier le signal démoduler par une fréquence type 50kHz, on peut ainsi observer ce signal à l’analyseur de spectre.
Manipulation :Nous allons effectué une simple écoute du signal audio démodulé en augmentant peu à peu le bruit. On comparera qualitativement la FM et la AM face au bruit.
0.2 Modulation d’amplitude
On utilise un multiplieur qui va multiplier directement la porteuse (choisir la même porteuse que pour la FM) et un signal audio. la sortie sera directement envoyé dans un bloc simulant le canal dans lequel on peut ajouté du bruit, enfin on effectuera de la démodulation hétérodyne, on remultiplie le signal par la porteuse et on filtre avec un pase bas avecfc= 20kHz.
