DS 01

(1)

DS 01

Terminale STG Mercatique – (TM 1)

3 heures – calculatrice autorisée

Rédaction et présentation rentreront en compte dans la notation de la copie.

EXERCICE 1 (12 pts)

Le tableau ci-dessous présente la part en pourcentage des dépenses des ménages français consacrée à l’alimentation et celle consacrée aux services de santé.

Par exemple, dans le tableau précédent, les dépenses alimentaires en 1970, représentent 26% des dépenses des ménages français.

Les parties A, B et C sont indépendantes.

Partie A.

1. a. Représenter, dans un repère orthogonal, le nuage de points d’abscisse le rang de l’année et d’ordonnée la part en pourcentage des produits alimentaires en prenant pour unités graphiques : 1 cm pour 5 unités sur l’axe des abscisses, 0,5 cm pour une unité sur l’axe des ordonnées.

b. Justifier qu’une approximation affine est envisageable.

c. L’aspect du nuage conduit à choisir pour ajustement affine la droite

D

₁ qui passe par les points A(0 ;31,31) et B(30 ;18,77).

Prouver que

D

₁ a pour équation

y = − 0, 418 x + 31, 31

et construire la droite

D

₁ dans le repère précédent.

d. En utilisant l’ajustement précédent, estimer graphiquement la part en pourcentage des dépenses alimentaires des ménages français en 2005.

2. a. Sur le même graphique que précédemment, construire le nuage de points d’abscisse le rang de l’année et d’ordonnée la part en pourcentage des services de santé.

b. Déterminer les coordonnées du point moyen

G

₂ de ce nuage et placer ce point sur le graphique.

c. L’aspect du nuage conduit à choisir pour ajustement affine la droite

D

₂ passant par

G

₂ et admettant comme coefficient directeur 0,123. Déterminer une équation de

D

₂ et la tracer.

3. a. Déterminer graphiquement le point d’intersection de

D

₁ et

D

₂.

b. Déterminer par le calcul les coordonnées du point d’intersection de

D

₁ et

D

₂ à 0,1 près.

Années 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995

Rang de l’année 0 5 10 15 20 25 30 35

Part des produits alimentaires (en %)

33,3 29,6 26 23,5 21,4 20,7 19,2 18,2 Part des services de santé (en %) 6 6,1 6,9 7,8 7,7 8,4 9,5 10,3

(2)

Partie B.

1. Déterminer une équation de la droite des moindres carrés permettant d’exprimer la part des produits alimentaires en fonction du rang de l’année.

2. Reprendre alors la question A1d.

Partie C.

1. Déterminer le taux d’évolution de la part des produits alimentaires dans les ménages français entre 1960 et 1995.

2. En déduire le taux d’évolution annuel moyen de cette part (arrondi à 0.01%).

3. Reprendre alors la question A1d.

Exercice 02 (4 points)

Les résultats serons arrondis à 0.01%.

Un gouvernement envisage de baisser un impôt de 30% en cinq ans entre 2001 et 2006.

1. On suppose que le pourcentage de baisse est le même chaque année. Déterminer ce pourcentage de baisse annuel.

2. La première année, cet impôt baisse de 5% ; la deuxième année, la baisse est de 1% et, la troisième année elle est de 3%.

a. Quelle est la baisse en pourcentage de cet impôt au terme de ces premières années.

b. Pour atteindre son objectif, quel pourcentage annuel de baisse doit décider le gouvernement, en supposant que ce pourcentage est le même sur les deux dernières années (arrondir à 0.1%).

3. M. Picsou a payé 2600€ d’impôt en 2006.

a. Quelle somme aurait-il dû payer en 2001 (arrondir à l’euro)?

b. M. Picsou estime que la somme payée en 2006 représente 90% de celle qu’il devra en 2007.

Déterminer cette somme (arrondir à l’euro) ?

EXERCICE 3 (4 pts)

Le tableau suivant, incomplet, reprend la statistique de la production annuelle de papier d'une entreprise, de 2001 à 2005.

Les indices de production sont établis en choisissant la base 100 pour 2002.

Année 2002 2003 2004 2005

Production (tonnes)

17525 18927 28741

Indice 124

1. Reproduire et compléter ce tableau en justifiant le calcul des valeurs manquantes (arrondir à l’unité).

Les résultats des questions 2 et 3 seront arrondis à 0,1% prés.

2. Calculer le taux d'évolution de la production de 2002 à 2005, puis de 2004 à 2005.

3. Calculer le taux d'évolution annuel moyen de la production de 2002 à 2005.

4. En supposant que cette évolution se poursuit, en déduire une estimation (à l’unité) de la production annuelle de cette entreprise en 2007.

(3)

DS 01 - Corrigé

EXERCICE 1

1. a. Voir graphique.

b. Le point A(0 ;31,31) est sur

D

¹

car ses coordonnées vérifient l’équation de

D

¹

. Si x = 0 : −0, 418 0× +31, 31=31, 31.

De même, Si x = 30 :

− 0, 418 30 31, 31 ... 18, 77 × + = =

donc B(30 ;18,77) est lui aussi sur

D

¹

. Comme il existe une seule droite qui passe par deux points donnés,

D

¹

est la droite (AB) et l’équation proposée est la bonne.

c. 2005 = 1960 + 45 donc l’année 2005 correspond au rang 45.

Graphiquement, on peut estimer que la part des dépenses alimentaires sera environ de 12,5%.

2. a. Voir graphique.

b. Les coordonnées du point moyen

G

²

de ce nuage de 8 points sont données par la moyenne des abscisses et la moyenne des ordonnées : on trouve

G

²

( 17,5; 7,8375 )

. c. Cherchons l’équation affine de la droite

D

²

passant par

G

²

et admettant comme coefficient directeur 0,123.

Elle est du type y = 0,123x + b. Comme les coordonnées de

G

² vérifient cette équation, nous avons

7,8375 = 0,123 * 17,5 + b donc b = 7,8375 - 0,123 * 17,5 = 5,685.

Ainsi

D

²

: y = 0,123 x + 5, 685

: pour la tracer, on utilise le fait qu’elle passe par

G

²

et C(0 ; 5,685).

3. a. Graphiquement le point d’intersection de

D

¹

et

D

²

a pour coordonnées environ (47 ;

Années 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995

Rang de l’année 0 5 10 15 20 25 30 35

Part des produits alimentaires (en %)

33,3 29,6 26 23,5 21,4 20,7 19,2 18,2

Part des services de santé (en %) 6 6,1 6,9 7,8 7,7 8,4 9,5 10,3

(4)

b. Par le calcul, on doit résoudre le système suivant :

0, 418 31, 31 0, 418 31, 31

0,123 5, 685 0, 418 31, 31 0,123 5, 685

0, 418 47, 4 31, 31 11, 5 0, 418 31, 31

25, 625

47, 4 0, 418 0,123 5, 685 31, 31

0, 541

y x y x

y x x x

y x y

x

x x

= − + = − +

 

⇔

 

= + − + = +

 

= − × + ≈

= − + 

 

⇔  ⇔  −

= ≈

− − = −

   −

_.

On obtient donc le point de coordonnées (47,4 ; 11, 5), ce qui est cohérent avec la lecture graphique.

4. c. Le rang 47,4 correspond à l’année

« 2007,4 » soit le mois de Mars 2007.

Ainsi, courant 2007, selon notre ajustement, on peut prévoir que la part des dépenses alimentaires sera identique à la part des dépenses pour les services de santé (environ 11,5% des dépenses du ménage).

Partie B

1. Par la méthode des moindres carrés, on trouve comme droite d’ajustement D : 0.418 31.31

y= − x+

(cad la droite D¹).

2. Pour x = 45, on trouve y= −0.418 45 31.31 12.5× + ≈ ce qui correspond à la lecture graphique du A1d.

(5)

Partie C

1. Le taux d’évolution est donné par

18.2 33.3 33.3 0.45

t= − ≃−

soit environ 45% de baisse entre 1960 et 2005.

2. Entre 1960 et 2005 on a 35 évolutions donc

( )

¹⁺^t ³⁵^{= −}^{1 0.45}^{⇔ =}^t ^0.55³⁵¹ ⁻¹^≃⁻^1.69%_{soit en}

moyenne 1.69% de baisse annuelle.

3. 10 ans plus tard, on peut estimer la part alimentaire des ménages à ^33.3^{× −}

(

^{1 1.69%}

)

⁴⁵^≃^15.46_%

environ.

En conclusion, ce problème propose trois méthodes différentes pour estimer une évolution sur 45 ans : on constate que les résultats sont différentes mais restent proches.

Exercice 02

1. Soit t, le pourcentage de baisse annuel cherché. On a

( )

¹⁺^t ⁵ ⁼^0.7^{⇔ =}^t ^0.7¹⁵^{− ≈ −}¹ ^6.89% soit 6.89%

de baisse annuelle.

2. La première année, cet impôt baisse de 5% ; la deuxième année, la baisse est de 1% et, la troisième année elle est de 3%.

a. La baisse en pourcentage de cet impôt au terme de ces premières années est donnée par 0.95 0.99 0.97 1 8.77%

T = × × − ≈ − .

b. Le pourcentage t cherché vérifie

( )

1

2 0.7 2

0.95 0.99 0.97 1 0.7 1 12.40%

0.95 0.99 0.97

t t  

× × × + = ⇔ =  − ≈ −

× ×

 

.

M. Picsou a payé 2600€ d’impôt en 2006.

a. Soit S la somme payée en 2001 : 2600

0.7 2600 3714€

S× = ⇔ =S 0.7 ≈ ^.

b. Soit S’ la qu’il doit payer en 2007 : 2600

2600 90% ' ' 2889€

S S 0.9

= × ⇔ = ≈ ^.

EXERCICE 3

Le tableau suivant, incomplet, reprend la statistique de la production annuelle d'une entreprise, de 2001 à 2005.

Les indices de production sont établis en choisissant la base 100 pour 2002.

Année 2002 2003 2004 2005

Production 17525 18927 21731 28741

Indice 100 108 124 164

1. Les valeurs manquantes (arrondies à l’unité) sont déterminées en faisant un produit en croix.

Par exemple,

2003

100 18927 17525 108

I = × = . Pour plus de précisions, nous nous référerons

(6)

2. Entre 2002 (année de référence) et 2005, le taux d'évolution de la production est donné par 164 – 100 soit une hausse de 64%.

Entre 2004 à 2005, il faut passer par la formule 164 124

32, 26%

124

F I

I

V V

t V

− −

= = ≃ soit une hausse

d’environ 32,3%.

3. Le taux d’évolution entre 2002 et 2005 est de 64% (question 2). Le taux t d’évolution moyen vérifie donc

( )

¹⁺^t ³ ⁼^{1, 64}^{⇔ =}^t ^{1, 64}¹³^{− ≈}^{1 17,9%} : il y a en moyenne une hausse annuelle de 17,9% entre 2002 et 2005.

4. En supposant que cette évolution se poursuit, la production annuelle de cette entreprise en 2007, cad après deux hausses successives de 17,9% est donnée

par : 17,9 ²

28741 1 39951

P  100 

= × +  ≈

 

tonnes.