MARS-AVRIL 1 9 5 5 - N ° 2 L A H O U I L L E B L A N C H E 167
Coefficient de perte de charge en milieu poreux
basé sur l'équilibre hydrodynamique d'un massif
Critère d'équilibre d'un massif
soumis à un écoulement vertical ascendant
Head loss in a porous médium
based on the hydrodynamic equiiibrium of the mass
Equiiibrium of a mass submitted to a vertkaly ascend'mg flow
PAR G. COHEN D E LARA,
INGÉNIEUR AU LABORATOIRE DAUPHINOIS D'HYDRAULIQUE
Détermination d'un coefficient de perte de charge en milieu poreux valable quel que soit le régime hydrodynamique de l'écoulement, en partant de la relation d'équilibre d'un massif soumis à un écoulement ascendant vertical, relation liant la perte de charge et la vitesse de l'écoulement aux caractéristiques géométriques du système. Vérification de la validité de cette relation lorsque le massif est soumis à des forces hydrodynamiques inférieures à celles nécessaires pour atteindre l'équilibre du massif.
Expérimentalement, ce coefficient de perte de charge est égal au coefficient de traînée d'une sphère tombant en chute libre en milieu infini pour une même valeur du nombre de Reynolds.
Construction d'un abaque donnant rapidement la vitesse critique d'équilibre d'un massif sou- mis à un écoulement vertical ascendant, au moyen de cette relation.
Détermination of a head loss coefficient in a porous médium, valid mhatever the hydro- dynamic flow régime. The starting point is the equiiibrium relation for a mass submitted lo a vertically ascending flow. The relation is hetween the. head loss and flow velocity, and the géométrie characteristics of the System.
Vérification of the, validity of this relation when the. mass is submitted to hydrodynamic forces less thun those necessary for aitaining equiiibrium. of ihe mass.
E.vperimentally this coefficient of head loss is equal 1o the drag coefficient for a sphère falling freely in an infinité medivm and possessing the same vaine of the Reynolds number.
Construction of a curve giving—by means of this relation—the crilical equiiibrium velocity for a mass submitted to a vertically ascending flow.
I N T R O D U C T I O N
L ' é t u d e d e l ' é c o u l e m e n t en m i l i e u p o r e u x a d o n n é lieu à d ' i n n o m b r a b l e s t r a v a u x b a s é s s u r la loi d e filtration é n o n c é e le siècle d e r n i e r p a r DARCY [ l j . Cette loi p e u t s ' e x p r i m e r a i n s i :
Q = K S I a v e c :
Q = d é b i t s ' é c o u l a n t à t r a v e r s u n e s e c t i o n S d e t e r r a i n ,
I = p e n t e m o t r i c e égale à ( A H / A L ) o ù AH e s t la p e r t e d e c h a r g e d ' u n é l é m e n t d e filtre d e l o n g u e u r AL,
K = coefficient d e filtration o u p e r m é a b i l i t é d e t e r r a i n .
Ce coefficient K a l e s d i m e n s i o n s d ' u n e v i t e s s e , II d e m e u r e c o n s t a n t l o r s q u e l ' é c o u l e m e n t d a n s le t e r r a i n e s t l a m i n a i r e e t n ' e n t r a î n e p a s d e p e r t u r - b a t i o n d a n s la s t r u c t u r e d u m i l i e u . L ' a n a l y s e d i -
Article published by SHF and available athttp://www.shf-lhb.orgorhttp://dx.doi.org/10.1051/lhb/1955032
1 6 8 L A H O U I L L E B L A N C H E N * 2 - MARS-AVRIL 1 9 5 5
m e n s i o n n e l l e a p p l i q u é e à l ' é c o u l e m e n t d a n s u n Filtre p e r m e t d e d o n n e r u n e e x p r e s s i o n de K :
K = — (P f (e)
u.
avec :
p = m a s s e s p é c i f i q u e d u fluide, y. = v i s c o s i t é d y n a m i q u e d u fluide, g = a c c é l é r a t i o n d e la p e s a n t e u r ,
d = d i a m è t r e « m o y e n » d e s g r a i n s , s = i n d i c e d e v i d e d u t e r r a i n ,
/ (s) = f o n c t i o n de p o r o s i t é q u i t i e n t c o m p t e de l a f o r m e e t d e l a d i s p o s i t i o n d e s g r a i n s d a n s le t e r r a i n .
L e d é b i t p a r u n i t é d e s e c t i o n d e t e r r a i n e s t a p p e l é v i t e s s e fictive d e l ' e a u d a n s le t e r r a i n . Cette v i t e s s e fictive p o u r r a i t ê t r e r e l i é e à la v i - tesse m o y e n n e r é e l l e V de l ' e a u e n é c r i v a n t la r e l a t i o n :
(avec £,s. = i n d i c e de v i d e e n s u r f a c e d u t e r r a i n ) . S i g n a l o n s q u e s t a t i s t i q u e m e n t l ' i n d i c e d e v i d e e n v o l u m e e s t égal à l ' i n d i c e de v i d e e n s u r -
face 6S.
L o r s q u e l ' é c o u l e m e n t n ' e s t p l u s l a m i n a i r e , et
t e n d v e r s le r é g i m e t u r b u l e n t , l a loi d e D a r c y n ' e s t p l u s v a l a b l e . P l u s i e u r s c h e r c h e u r s t e l s q u e
L A F E R R È R E [ 2 ] , K Œ C H L I N , D I S E R E N S , etc., o n t
c h e r c h é à r e m p l a c e r la f o r m u l e d e D a r c y p a r d e s f o r m u l e s e m p i r i q u e s p l u s c o m p l i q u é e s d o n t l a f o r m e l a p l u s g é n é r a l e m e n t a d m i s e e s t l a s u i v a n t e :
V» = K ' I
M a l h e u r e u s e m e n t K ' e t n v a r i e n t n o n s e u l e - m e n t e n f o n c t i o n d e la g é o m é t r i e d u t e r r a i n , m a i s a u s s i e n f o n c t i o n d e la v i t e s s e d e l ' é c o u - l e m e n t .
T o u t d e r n i è r e m e n t M. E S C A N D E [ 3 ] , é t u d i a n t l ' i n f i l t r a t i o n de l ' e a u à t r a v e r s d e s g r a v i e r s e n r é g i m e q u a s i t u r b u l e n t , é c r i t l a r e l a t i o n :
V2 = B I
e n a p p e l a n t B la p e r m é a b i l i t é d u m a s s i f e n r é - g i m e p l e i n e m e n t t u r b u l e n t .
I l é t a i t i n t é r e s s a n t d e r e c h e r c h e r u n e f o r m u l e q u a s i g é n é r a l e v a l a b l e q u e l q u e s o i t le r é g i m e h y d r o d y n a m i q u e . N o u s a v o n s p e n s é q u ' u n e f o r - m u l e a n a l o g u e à celle v a l a b l e p o u r la c h u t e d ' u n g r a i n d e v a i t p e r m e t t r e d e r e n d r e c o m p t e d e l ' é c o u l e m e n t en m i l i e u p o r e u x . O n d é f i n i r a i t a i n s i u n coefficient d e p e r t e d e c h a r g e a n a l o g u e a u coefficient d e t r a î n é e d ' u n g r a i n t o m b a n t en c h u t e l i b r e .
É C O U L E M E N T E N M I L I E U P O R E U X E T G R A I N T O M B A N T E N C H U T E L I B R E
C o n s i d é r o n s u n g r a i n t o m b a n t e n c h u t e l i b r e e n e a u c a l m e ou b i e n u n g r a i n e n é q u i l i b r e d a n s u n é c o u l e m e n t a s c e n d a n t v e r t i c a l , à l ' i n t é r i e u r d ' u n t u b e de g r a n d d i a m è t r e . L a r e l a t i o n d ' é q u i l i b r e en m i l i e u i n f i n i e s t la s u i v a n t e :
• ( f ' - p ) j = C p S W2
FlG. 1
Nombre de Reynolds
MARS-AVRIL 1 9 5 5 - X" 2 LA H O U I L L E B L A N C H E 1 6 9
a v e c d — d i a m è t r e n o m i n a l d u g r a i n égal a u d i a - m è t r e de l a s p h è r e a y a n t m ê m e v o - l u m e et m ê m e d e n s i t é q u e le g r a i n . p' = d e n s i t é d u g r a i n ,
9 = d e n s i t é d u fluide,
d = a c c é l é r a t i o n d e la p e s a n t e u r , S = = m a î t r e c o u p l e d u g r a i n ,
W — v i t e s s e l i m i t e d e c h u t e o u v i t e s s e d u fluide, C = c o e f f i e i e n t d e t r a î n é e d u g r a i n — d o n t la v a l e u r d é p e n d d u n o m b r e d e R e y n o l d s R = ( W d / v ) (fig. 1),
v — viscosité c i n é m a t i q u e d u fluide.
E n m i l i e u fini, d e u x p r i s e s d e p r e s s i o n p l a - cées à l a p a r o i d u t u b e à u n e c e r t a i n e d i s t a n c e l ' u n e de l ' a u t r e p e r m e t t e n t d e d é c e l e r l ' a u g m e n - t a t i o n de la p r e s s i o n d u e à l a p r é s e n c e d u g r a i n . Cet a c c r o i s s e m e n t de p r e s s i o n Z est é g a l à :
W i = v i t e s s e d e c h u t e o u v i t e s s e d u fluide e n m i l i e u fini.
Ct é t a n t u n coefficient d o n t la v a l e u r d é p e n d d u n o m b r e d e R e y n o l d s et d u r a p p o r t d u d i a m è t r e d u g r a i n a u d i a m è t r e d u t u b e d ' e s s a i .
U n e n s e m b l e d e n g r a i n s , de m ê m e s d i m e n - s i o n s , d i s p o s é s a u p r é a l a b l e d a n s u n p l a n h o r i - z o n t a l et m a i n t e n u s en é q u i l i b r e d a n s l ' é c o u l e - m e n t p r o d u i t u n a c c r o i s s e m e n t d e p r e s s i o n Z ' e n t r e d e u x p r i s e s d e p r e s s i o n é g a l à :
L e coefficient C2 s e r a i t f o n c t i o n d u n o m b r e d e R e y n o l d s et d u n o m b r e d e g r a i n s n.
O n p e u t e n c o r e a c c r o î t r e le n o m b r e n d e g r a i n s d e d i a m è t r e d p l a c é s d a n s le t u b e j u s q u ' à t e n d r e v e r s u n e f o r m a t i o n s e r r é e c o n s t i t u a n t a i n s i u n m i l i e u p o r e u x d ' i n d i c e de v i d e e et d e l o n g u e u r L. L e g r a d i e n t d e p e r t e s de c h a r g e A H / A L p o u r r a i t a l o r s s ' e x p r i m e r p a r la r e l a t i o n :
AH C V3
AL d 2 g
V é t a n t la v i t e s s e m o y e n n e d e l ' e a u c o r r e s p o n - d a n t à u n é t a t d ' é q u i l i b r e e n t r e le p o i d s a p p a - r e n t d e s g r a i n s et les f o r c e s h y d r o d y n a m i q u e s r é s u l t a n t de l ' é c o u l e m e n t ; V e s t égal a u d é b i t d ' i n f i l t r a t i o n divisé p a r la s e c t i o n t o t a l e d u t u b e . C e s t u n coefficient d o n t la v a l e u r est f o n c t i o n d u n o m b r e d e R e y n o l d s R = (V d / v ) et d e l ' i n d i c e d e v i d e s.
E n m o d i f i a n t la d e n s i t é d e s g r a i n s d u m a s s i f e n é q u i l i b r e d a n s l ' é c o u l e m e n t a s c e n d a n t , l a vi- tesse d ' é q u i l i b r e V s e r a modifiée. C o m p a r o n s d e u x m a s s i f s c o m p o s é s l ' u n d e b i l l e s d e q u a r t z , et l ' a u t r e d e billes de p l o m b d e m ê m e d i a m è t r e d et p o s s é d a n t le m ê m e i n d i c e d e v i d e . Soit V j l a v i t e s s e d ' é q u i l i b r e c o r r e s p o n d a n t a u m a s s i f de billes d e q u a r t z :
AHj ÇLYjZ AL d 2 g
P o u r la m ê m e v i t e s s e d ' é c o u l e m e n t d a n s le m a s s i f d e b i l l e s d e p l o m b , les p e r t e s d e c h a r g e se- r o n t les m ê m e s p o u r u n e m ê m e v a l e u r d e AL. E n a p p l i q u a n t la m ê m e f o r m u l e , le coefficient C r e - p r é s e n t e r a u n coefficient d e p e r t e de c h a r g e q u i s e r a é g a l a u coefficient d e t r a î n é e d u g r a i n c o r - r e s p o n d a n t a u m ê m e n o m b r e d e R e y n o l d s ,
L ' é t u d e d e s p e r t e s de c h a r g e e n m i l i e u p o r e u x se r a m è n e d o n c à l a r e c h e r c h e d e la loi d e v a r i a - t i o n d u coefficient de p e r t e d e c h a r g e C e n f o n c - t i o n d u n o m b r e de R e y n o l d s V d / v et d e l ' i n d i c e d e v i d e E. C'est ce q u e n o u s a v o n s c h e r c h é à v é r i - fier e x p é r i m e n t a l e m e n t .
REMARQUE. — S i g n a l o n s q u e la f o r m u l e p r o - p o s é e :
AH _V Vf AL "~ d 2g
est a n a l o g u e à celle d e s c o n d u i t e s où l ' o n é c r i t q u e A H / A L = ( X / D ) ÇV2/2 g). P l u s i e u r s a u t e u r s a v a i e n t c h e r c h é a u p a r a v a n t à t r a i t e r l ' é c o u l e - m e n t en m i l i e u p o r e u x e n e m p l o y a n t u n e for-;
m u l e d e ce t y p e . N o u s c i t e r o n s les n o m s d e
M U S K A T [ 4 ] , R O S E [ 5 ] , e t c .
I N S T A L L A T I O N S D ' E S S A I S
P o u r les faibles n o m b r e s de R e y n o l d s , n o u s a v o n s u t i l i s é soit le p e r m é a m è t r e c l a s s i q u e r e - p r é s e n t é s u r l a figure 2 a a v e c é c o u l e m e n t v e r - t i c a l a s c e n d a n t , soit u n t u b e t r a n s p a r e n t d e fai- ble d i a m è t r e p e r m e t t a n t d ' u t i l i s e r de f a i b l e s q u a n t i t é s d e billes d e v e r r e p o u r la v i s u a l i s a t i o n d e l ' é c o u l e m e n t .
P o u r les v a l e u r s élevées d u n o m b r e d e R e y - n o l d s , n o u s a v o n s a d o p t é le d i s p o s i t i f r e p r é s e n t é s u r la figure 3 p o u r l ' é c o u l e m e n t d a n s les s a b l e s g r o s s i e r s et d a n s les g a l e t s r o u l é s . L e p e r m é a - m è t r e d e g r a n d e s d i m e n s i o n s (3 m d e h a u t e t d e s e c t i o n 50 X 50 c m ) e s t r e p r é s e n t é s u r l a figure 2 b.
s
F I G . 2 b. P e r m é a n i é t r c u t i l i s é p o u r l e s v a l e u r s é l e v é e s d u n o m b r e d e R e y n o l d s .
F I G . 2(1. — P e r m c a m è t r e s u t i l i s e s p o u r l e s e s s a i s a v e c f a i b l e s n o m b r e s d e R e y n o l d s .
Ci-dessus :
Le p e r m é a m è t r e c l a s s i q u e ( é c o u l e m e n t v e r t i c a l a s c e n d a n t ) . Ci-dessous : L e t u b e t r a n s p a r e n t d e f a i b l e d i a m è t r e c o n t e -
n a n t d e s b i l l e s d e v e r r e p o u r l a v i s u a l i s a t i o n d e l ' é c o u l e m e n t .
MARS-AVRIL 1 9 5 5 - N " 2
L e s p e r t e s d e c h a r g e s o n t m e s u r é e s a u m o y e n d e p r i s e s d e p r e s s i o n p l a c é e s d a n s le m i l i e u p o - r e u x à u n e d i s t a n c e AL l ' u n e d e l ' a u t r e . L e d é b i t d ' e a u e s t m e s u r é e à l ' é p r o u v e t t e g r a d u é e p o u r les f a i b l e s v a l e u r s d u d é b i t et a u m o y e n d ' u n e c a p a - cité j a u g é e d e 4 0 l i t r e s ou d ' u n d é v e r s o i r t r i a n - g u l a i r e p o u r les g r o s d é b i t s . L ' é c o u l e m e n t à t r a - v e r s le t e r r a i n , d ' a p r è s le p r i n c i p e m ê m e d e s a p p a r e i l s , a lieu à c h a r g e c o n s t a n t e .
L e s e s s a i s o n t é t é effectués d ' u n e p a r t a v e c d e s s a b l e s d e r i v i è r e (fig. 4 ) , d e s g r a v i e r s r o u l é s e t d e s b i l l e s d e v e r r e d e g r a n u l o m é t r i e u n i f o r m e , e t d ' a u t r e p a r t a v e c d e s m é l a n g e s d e p l u s i e u r s d i a m è t r e s d e g r a i n s u n i f o r m e s r e p r é s e n t a n t d e s t e r r a i n s h é t é r o g è n e s t y p e s . L e s d i f f é r e n t s d i a - m è t r e s m o y e n s d e s g r a i n s u t i l i s é s p o u r les e s s a i s s o n t c o m p r i s e n t r e 0,1 m m et 6 m m .
FIG. 4
En haut : L e s g r a i n s s o n t g r o s s i s 20 f o i s . En bas : L e s g r a i n s sont g r o s s i s 4,5 f o i s .
1 7 2 L A H O U I L L E B L A N C H E N " 2 - MARS-AVRIL 1 9 5 5
É T U D E D E L ' É C O U L E M E N T D A N S L E S S A B L E S H O M O G È N E S
D a n s ce c a s , il n ' y a p a s d ' a m b i g u ï t é s u r la d é t e r m i n a t i o n d u d i a m è t r e d e s g r a i n s . N o u s a v o n s p e s é q u e l q u e s c e n t a i n e s d e g r a i n s p r i s d a n s l ' é c h a n t i l l o n s e r v a n t à l ' e s s a i e t n o u s a v o n s d é t e r m i n é l e d i a m è t r e n o m i n a l d e s g r a i n s .
S u r le d i a g r a m m e l o g a r i t h m i q u e C = f ( R ) ,
—
!j i
0 i
, — L
B if ; •
i r
l i
.- Cn de le sphère j 1—f-
: — 1 — h
; °
i
! i i
10" tO"1 1 «3 1 0 ' 10"
FIG. 5. — V a r i a t i o n s d u c o e f f i c i e n t d e p e r t e s d e c h a r g e : C = (2 gd â H / V2 L) g» e n f o n c t i o n d u n o m b r e d e
R e y n o l d s ;
R = ( V d / v ) ( s a b l e s d e g r a n u l o m é t r i e u n i f o r m e e t b i l l e s d e v e r r e , g r a v i e r s r o u l é s ) .
les p o i n t s d ' e s s a i s f o r m e n t u n r é s e a u d e c o u r b e s f o n c t i o n u n i q u e m e n t à l ' i n d i c e d e v i d e e.
N o u s a v o n s p u c o n s t a t e r e x p é r i m e n t a l e m e n t q u e c e s c o u r b e s p e u v e n t se r a m e n e r à celle c o r - r e s p o n d a n t a u coefficient d e t r a î n é e d e l a s p h è r e e n m i l i e u infini e n m u l t i p l i a n t le coefficient C p a r le p a r a m è t r e 1/E5, e t ceci l o r s q u e l a v a l e u r de l ' i n d i c e d e v i d e s e s t c o m p r i s e e n t r e 33 e t 44 % (fig. 5 ) .
A i n s i les p e r t e s d e c h a r g e e n m i l i e u p o r e u x s e m b l e n t s a t i s f a i r e à la loi s u i v a n t e :
AH A L:
C V^J.
d 2 g E«
a v e c C — coefficient d e t r a î n é e d e la s p h è r e e n m i l i e u infini p o u r l a m ê m e v a l e u r d u n o m b r e d e R e y n o l d s d u g r a i n .
Ce r é s u l t a t t e n d r a i t à m o n t r e r q u e la f o r m e d e s g r a i n s a u n e i m p o r t a n c e f a i b l e , s i n o n n é - gligeable, s u r la v a l e u r d u coefficient d e p e r t e d e c h a r g e d a n s la m e s u r e o ù elle n e m o d i f i e p a s l ' i n d i c e d e v i d e d e s g r a i n s . O n p o u r r a i t c o n s i d é - r e r q u e le p a r a m è t r e ( 1 / e5) c o n s t i t u e e n q u e l q u e s o r t e u n coefficient d e f o r m e c a r a c t é r i s t i q u e d u t e r r a i n . S i g n a l o n s c e p e n d a n t q u e t o u s n o s e s s a i s o n t é t é effectués a v e c d e s g r a i n s r o u l é s d e r i - v i è r e e t q u e n o u s n ' a v o n s p a s r e g a r d é l ' i n f l u e n c e d e r é m o u s s é d e s g r a i n s , ceci e n t r a n t d a n s le c a - d r e d e l ' é t u d e d e s m a t é r i a u x c o n c a s s é s , é t u d e e n c o u r s a c t u e l l e m e n t .
REMARQUE 1 . — D u f a i t d e l ' é g a l i t é c o n s t a t é e e x p é r i m e n t a l e m e n t e n t r e le coefficient d e s p e r t e s
FIG. 6. — C o m p a r a i s o n e n t r e l e s d i f f é r e n t e s f o n c t i o n s d ' i n d i c e d o v i d e .
MARS-AVRIL 1 9 5 5 - N " 2 L A H O U I L L E B L A N C H E
d e c h a r g e et le coefficient d e t r a î n é e d e la s p h è r e e n m i l i e u infini p o u r u n e m ê m e v a l e u r d u n o m - b r e d e R e y n o l d s d u g r a i n R, o n p e u t d i r e q u ' e n r é g i m e l a m i n a i r e C e s t égal à 2 4 / R .
L a r e l a t i o n g é n é r a l e p r é c é d e n t e s ' é c r i t a l o r s : _ 2 4 J _ V f _ l
AL ~ " R d 2gs*
C o m m e ( A H / A L ) = ( V / K ) (loi d e D a r c y ) , on voit q u e K = A d2 (o g/i>.) s5.
N o u s v o y o n s q u e l a p e r m é a b i l i t é v a r i e r a i t c o m m e e5. C o m p a r o n s l a f o n c t i o n p o r o s i t é / ( s ) = s5 a u x a u t r e s e x p r e s s i o n s p r o p o s é e s p a r les d i f f é r e n t s a u t e u r s t e l s q u e K O S E N Y [ 6 ] , T E R - ZAGHI [ 7 ] , BAKHMETEFF [ 8 ] , e t t o u t r é c e m m e n t p a r A. CRAYA [ 9 ] . N o u s r e m a r q u o n s (fig. 6)
q u e les c o u r b e s r e p r é s e n t a t i v e s d e c e s f o n c t i o n s s o n t t r è s v o i s i n e s les u n e s d e s a u t r e s e t s o n t p r e s q u e c o n f o n d u e s p o u r les v a l e u r s d e l ' i n d i c e d e v i d e v o i s i n e s d e 4 0 % . N o u s a v o n s p e n s é q u ' i l é t a i t p l u s facile d ' e m p l o y e r u n e loi d e p u i s s a n c e p l u s s i m p l e q u e les a u t r e s f o r m u l e s p r o p o s é e s , v a l a b l e q u e l q u e soit le r é g i m e d e l ' é c o u l e m e n t . L a f o n c t i o n d e p o r o s i t é d e A. CRAYA, d é m o n t r é e m a t h é m a t i q u e m e n t , n ' a p u ê t r e vérifiée e x p é r i - m e n t a l e m e n t q u ' e n r é g i m e l a m i n a i r e .
REMARQUE 2. — N o u s n ' a v o n s p a s p u p o u s s e r n o s e x p é r i e n c e s p o u r d e s v a l e u r s d u n o m b r e d e R e y n o l d s s u p é r i e u r s à 4 . 1 0s. C e p e n d a n t , d ' a p r è s l ' a l l u r e d e l a c o u r b e C = f ( R ) , le d é b i t d u r é - g i m e p l e i n e m e n t t u r b u l e n t c o r r e s p o n d r a i t à u n n o m b r e d e R e y n o l d s v o i s i n d e 1 04 et ceci en a c c o r d a v e c les r é s u l t a t s d e M. ESCANDE.
É T U D E D E L ' É C O U L E M E N T D A N S L E S T E R R A I N S H É T É R O G È N E S
L a difficulté m a j e u r e d e c e t t e p a r t i e d e l ' é t u d e e s t d a n s l a d é t e r m i n a t i o n d u d i a m è t r e m o y e n d ' u n é c h a n t i l l o n . TERZAGHI [ 1 0 ] p r e n d p o u r d i a - m è t r e é q u i v a l e n t le d i a m è t r e efficace d e l ' é c h a n - t i l l o n égal a u d i a m è t r e d u g r a i n c o r r e s p o n d a n t à 10 % d e la c o u r b e g r a n u l o m é t r i q u e c u m u l é e .
H U G H E S [ 1 1 ] u t i l i s e le « d i a m è t r e h y d r a u l i q u e effectif » défini c o m m e é t a n t le d i a m è t r e d e s g r a i n s é g a u x d ' u n filtre p o s s é d a n t la m ê m e p e r - m é a b i l i t é e t le m ê m e i n d i c e d e v i d e s. Ce d i a - m è t r e h y d r a u l i q u e effectif e s t égal à :
J x*
a v e c :
j ; = f (x) o u y — o r d o n n é e d e la c o u r b e g r a n u - l o m é t r i q u e e n p o u r c e n t a g e c u m u l é ; x == a b s c i s s e d e la c o u r b e g r a n u l o m é t r i q u e e n
p o u r c e n t a g e c u m u l é .
O n a d m e t , p o u r la f o n c t i o n y — f(x), u n e f o n c t i o n s i m p l e c o m p a t i b l e a v e c la g r a n u l o m é - t r i e d u filtre.
L ' a p p l i c a t i o n d e c e t t e d e r n i è r e d é f i n i t i o n n ' é t a n t p a s t o u j o u r s p o s s i b l e , n o u s a v o n s c h e r c h é à d é - finir le d i a m è t r e é q u i v a l e n t d ' u n m é l a n g e h é t é - r o g è n e c o m m e é t a n t celui q u e n o u s d e v i o n s a p p l i q u e r d a n s l a r e l a t i o n :
AH C y a AL ~~ d 2 g
p o u r q u e celle-ci soit s a t i s f a i t e . L e m a s s i f h é t é - r o g è n e s e r a d o n c a s s i m i l é à u n m a s s i f h o m o - g è n e d e d i a m è t r e égal a u d i a m è t r e é q u i v a l e n t r e s t a n t à d é t e r m i n e r .
N o u s a v o n s p u r e m a r q u e r e x p é r i m e n t a l e m e n t q u ' u n f a i b l e p o u r c e n t a g e d e g r a i n s fins p o s s é - d a n t d e s coefficients d e t r a î n é e élevés t e n d e n t à a c c r o î t r e la v a l e u r d u g r a d i e n t d e p e r l e d e c h a r g e ( A H / A L ) , d o n c d u coefficient d e p e r t e
to"2 w"1 1 10 TOZ i o3 R
FIG. 7. — V a r i a t i o n d u coefficient fictif d e s p e r t e s de c h a r g e :
C = (2 gd A H / V - L) E"' e » f o n c t i o n du n o m b r e d e R e y n o l d s ;
K = ÇVd/v) ( s a b l e s d e g r a n u l o m é t r i e u n i f o r m e , b i l l e s de v e r r e , g r a v i e r s r o u l é s e t m é l a n g e d e s a b l e s de g r a n u l o m é t r i e u n i f o r m e ) .
O g r a n u l o m é t r i e h o m o g è n e . + g r a n u l o m é t r i e h é t é r o g è n e .
171 LA H O U I L L E B L A N C H E N " 2 - MARS-AVRIL 1 9 5 5
d e c h a r g e C . N o u s a v o n s d o n c p e n s é p r e n d r e c o m m e d i a m è t r e é q u i v a l e n t d ' u n t e r r a i n h é t é r o - g è n e le d i a m è t r e d u g r a i n p o s s é d a n t u n coeffi- c i e n t d e t r a î n é e é g a l à l a m o y e n n e p o n d é r é e d u coefficient d e t r a î n é e d e s d i f f é r e n t s d i a m è t r e s d e s g r a i n s f i g u r a n t d a n s l a c o u r b e g r a n u l o m é - t r i q u e d u t e r r a i n .
E n u t i l i s a n t c e t t e d é f i n i t i o n , p o u r le d é p o u i l l e - m e n t d e p l u s i e u r s s é r i e s d ' e s s a i s , n o u s a v o n s p u r e m a r q u e r q u e , p o u r c h a q u e v a l e u r d e l ' i n d i c e d e v i d e c o n s i d é r é e , l e s p o i n t s d ' e s s a i s s e p l a - ç a i e n t a u t o u r d e l a c o u r b e m o y e n n e o b t e n u e p o u r l e s s a b l e s h o m o g è n e s .
L e d é p o u i l l e m e n t o b t e n u e n u t i l i s a n t l e « d i a - m è t r e efficace » d e TERZAGHI n o u s a c o n d u i t à u n e d i s p e r s i o n d e s p o i n t s d ' e s s a i s p l u s i m p o r - t a n t e q u e celle q u e n o u s a v o n s o b t e n u e a v e c n o t r e d é f i n i t i o n . L e s d i a m è t r e s é q u i v a l e n t s r é s u l - t a n t d e l ' a p p l i c a t i o n d e n o t r e d é f i n i t i o n c o r r e s - p o n d e n t à d e s v a l e u r s c o m p r i s e s e n t r e 8 et 16 % s u r l e s c o u r b e s g r a n u l o m é t r i q u e s e n p o u r c e n t a - ges c u m u l é s .
L a f o n c t i o n d e p o r o s i t é / ( E ) = S 5 d e m e u r e e n - c o r e v a l a b l e p o u r l e s m é l a n g e s h o m o g è n e s d e s a b l e d e p l u s i e u r s d i a m è t r e s , c o m m e o n p e u t le v o i r s u r l a figure 7.
A P P L I C A T I O N
C r i t è r e d ' é q u i l i b r e d ' u n m a s s i f s o u m i s à u n é c o u l e m e n t v e r t i c a l
L ' é q u i l i b r e e n t r e le p o i d s a p p a r e n t d ' u n t e r - r a i n et l a p o u s s é e h y d r o d y n a m i q u e d u e à u n é c o u l e m e n t a s c e n d a n t d a n s le t e r r a i n e s t c a r a c - t é r i s é p a r le c r i t è r e d e H A R Z A [ 1 2 ] , TERZAGHI :
A H
AL :
? — • ?
( 1 0 ( D
Cette d e r n i è r e r e l a t i o n p e r m e t d e d é t e r m i n e r le g r a d i e n t h y d r a u l i q u e c r i t i q u e I0 = ( A H / A L )C e n f o n c t i o n d e (p'— p)/p e t d e s. E l l e n e p e r m e t l a d é t e r m i n a t i o n d e la v i t e s s e c r i t i q u e Vf. d e l ' é c o u l e m e n t c o r r e s p o n d a n t à c e t é t a t d ' é q u i l i - b r e q u e l o r s q u e le r é g i m e h y d r o d y n a m i q u e o b é i t à l a l o i d e D a r c y : ( A H / A L ) = ( V0/ K ) e t a p r è s d é t e r m i n a t i o n d e l a p e r m é a b i l i t é K.
Il e s t c e p e n d a n t p o s s i b l e d e d é t e r m i n e r la v i - t e s s e c r i t i q u e q u e l q u e s o i t le r é g i m e d e l ' é c o u - l e m e n t e n é c r i v a n t la r e l a t i o n t r o u v é e c i - d e s s u s :
A H ^
AL
A
d 2g E-"» (2) Il e s t s o u v e n t u t i l e d e c o n n a î t r e l a v i t e s s e c r i - t i q u e d a n s u n t e r r a i n d ' i n d i c e d e v i d e s c o n s t i - t u é d e g r a i n s d e s a b l e d e d e n s i t é p', d e d i a m è - t r e d. L ' a p p l i c a t i o n d e s r e l a t i o n s (1) e t (2) n e p e r m e t p a s l a d é t e r m i n a t i o n d e V„ s i l ' o n n e c o n n a î t p a s é g a l e m e n t C q u i e s t f o n c t i o n de R, d o n c d e l a v i t e s s e Vc. N o u s a l l o n s v o i r q u ' i l e s t p o s s i b l e d e d é t e r m i n e r r a p i d e m e n t c e t t e v i t e s s e c r i t i q u e . P o u r cela, n o u s f e r o n s l e s r e - m a r q u e s s u i v a n t e s :a ) Soit À le p o i n t r e p r é s e n t a t i f , s u r le d i a - g r a m m e C = f ( R ) , d ' u n t e r r a i n d ' i n d i c e d e v i d e s f o r m é d e g r a i n d e d i a m è t r e d e n é q u i l i b r e d a n s u n é c o u l e m e n t d e v i t e s s e Vc. N o u s a l l o n s r e c h e r - c h e r o ù s e p l a c e s u r l a c o u r b e C — f ( R ) d e l a figure 8 le p o i n t B c o r r e s p o n d a n t a u g r a i n e n
é q u i l i b r e d e m ê m e d i a m è t r e d. P o u r ce g r a i n , l a r e l a t i o n d ' é q u i l i b r e e s t l a s u i v a n t e :
n d3 V ,2
— ( p ' - p ^ C x p S - ^ -
Courbe a e constant
FIG. 8
P o u r le t e r r a i n f e r m é d e n g r a i n s i d e n t i q u e s :
Soit
% d3 V 2
- y - n (?' —• P) g = C S n
p
R . \2 „ V, d
a v e c R, — e t R,. —
V
V
ou e n c o r e :
log C ^ - I o g Cx
= _ 2 log Rc — log Rx
L e s t e r r a i n s e n é q u i l i b r e f o r m é s d e g r a i n s d e
MAHS-AVIU). 1 9 5 5 - N " 2 L A H O U I L L E B L A N C H E 1 7 5
d i a m è t r e d el d ' i n d i c e d e v i d e d i f f é r e n t s d o i v e n t a v o i r l e u r s p o i n t s r e p r é s e n t a t i f s s u r l e d i a - g r a m m e C = /' (R) s i t u é s s u r u n e d r o i t e d e p e n t e f — 2 ) . N o u s a v o n s vérifié ce r é s u l t a t a u c o u r s d e n o s e s s a i s .
b) C h e r c h o n s à p r é s e n t s u r l a figure 8 o ù se p l a c e le p o i n t C c o r r e s p o n d a n t a u g r a i n e n é q u i - l i b r e d a n s u n é c o u l e m e n t d e v i t e s s e V„. O n p e u t l u i f a i r e c o r r e s p o n d r e u n e s p h è r e d e d i a m è t r e de
O -2 K ) - ' 1 1 0 1 0 * 1 0 "
FIG. 9 . — A b a q u e d e d é t e r m i n a t i o n des c r i t è r e s d ' é q u i l i b r e d ' u n m a s s i f .
q u e n o u s a p p e l l e r o n s d i a m è t r e é q u i v a l e n t p a r a n a l o g i e a v e c l a t e r m i n o l o g i e e m p l o y é e p o u r l ' é t u d e d e la c h u t e d e s g r a i n s [ 9 ] .
L e s r e l a t i o n s d ' é q u i l i b r e s o n t les s u i v a n t e s : p o u r le g r a i n :
% d 3 V 2
i—Ê- (?' _ _ p) g = CQ 0 S - ~ p o u r le t e r r a i n :
^ ( ? ' ~ - P ) ? = C ' P S n ^ ce q u i d o n n e :
T> = d ~ K * "ec Kfi _ v
soit :
I o r C o — l o g C
log Ro — log Rc '
D i f f é r e n t s t e r r a i n s d e d i a m è t r e s d i f f é r e n t s et d ' i n d i c e s d e v i d e d i f f é r e n t s e n é q u i l i b r e p o u r u n e m ê m e v a l e u r d e la v i t e s s e c r i t i q u e V0 d o i v e n t a v o i r l e u r s p o i n t s r e p r é s e n t a t i f s s u r le d i a g r a m m e C = f (R) s i t u é s s u r u n e d r o i t e d e p e n t e - j - 1 p a s - s a n t p a r C. N o u s a v o n s p u vérifier ce r é s u l t a t au c o u r s d e n o s e s s a i s .
Il e s t d o n c p o s s i b l e d e t r a c e r d e u x f a i s c e a u x d e d r o i t e a y a n t r e s p e c t i v e m e n t c o m m e p e n t e s les v a l e u r s + 1 e l — 2 e t p a r t a n t c h a c u n e d ' u n p o i n t d o n n é d e la c o u r b e C = / (R) r e l a t i v e à la s p h è r e e n é q u i l i b r e e n m i l i e u i n f i n i . P o u r les s p h è r e s d e m ê m e d e n s i t é p', i l e s t p o s s i b l e d e g r a d u e r ces d r o i t e s e n v i t e s s e s Vc ( d r o i t e d e p e n t e -f- 1) et e n d i a m è t r e d ( d r o i t e d e p e n t e — 2) (fig. 9 ) .
E n r e m a r q u a n t s u r la figure 8 q u e si D e s t le p o i n t s i t u é s u r la c o u r b e C = / (R) c o r r e s p o n - d a n t à u n e m ê m e v a l e u r d u n o m b r e d e R e y n o l d s Rc q u e le p o i n t A, le s e g m e n t A D e s t égal à log s5, il e s t p o s s i b l e d e t r a c e r les c o u r b e s p a r a l - lèles à l a c o u r b e C = / (R) c o r r e s p o n d a n t c h a - c u n e à u n e v a l e u r d o n n é e d e l ' i n d i c e d e v i d e s.
D e c e t t e f a ç o n , l a c o n n a i s s a n c e d e l ' i n d i c e d e v i d e d u t e r r a i n e t d u d i a m è t r e d e s g r a i n s p e r - m e t t r a i t d e d é t e r m i n e r r a p i d e m e n t s u r le g r a - p h i q u e l a v i t e s s e m a x i r n a à n e p a s d é p a s s e r s a n s r i s q u e r d e v o i r la c o l o n n e se fluidiser o u p a r t i r d ' u n s e u l b l o c . L a c o n n a i s s a n c e d e d, e p e r m e t d e d é d u i r e s u r le g r a p h i q u e le coefficient d e p e r t e d e c h a r g e C et la v i t e s s e c r i t i q u e V0. O n p e u t a u s s i e n d é d u i r e le g r a d i e n t h y d r a u l i q u e c r i t i q u e , soit p a r l ' a p p l i c a t i o n d i r e c t e d u c r i t è r e d e HARZA-TERZAGHI, soit p a r l ' a p p l i c a t i o n d e la r e l a t i o n g é n é r a l e p r o p o s é e .
REMARQUE. — S i g n a l o n s q u e c e t t e v i t e s s e c r i - t i q u e et ce g r a d i e n t h y d r a u l i q u e c r i t i q u e c o r - r e s p o n d e n t s e u l e m e n t à u n é t a t d ' é q u i l i b r e du t e r r a i n s o u m i s à u n é c o u l e m e n t v e r t i c a l a s c e n - d a n t . C'est s e u l e m e n t d a n s d e s c a s b i e n définis, s o r t a n t d u c a d r e d e n o t r e a r t i c l e , q u ' i l p e u t c o r - r e s p o n d r e à l ' a p p a r i t i o n d u r e n a r d d a n s le t e r r a i n .
176 LA H O U I L L E B L A N C H E N " 2 - MARS-AVRIL 1 9 5 5
C O N C L U S I O N
E n p a r t a n t d e l ' é q u i l i b r e d ' u n g r a i n d a n s u n é c o u l e m e n t v e r t i c a l a s c e n d a n t , et e n l ' e x t r a p o - l a n t à u n e n s e m b l e d e g r a i n s p o u v a n t c o n s t i t u e r u n m i l i e u p o r e u x , n o u s a v o n s d é t e r m i n é u n coef- ficient d e p e r t e de c h a r g e en m i l i e u p o r e u x défini p a r la r e l a t i o n s u i v a n t e :
AH C J_
AL ~ d 2 g e»
et v a l a b l e q u e l q u e soit le r é g i m e h y d r o d y n a - m i q u e d e l ' é c o u l e m e n t .
Ce coefficient de p e r t e de c h a r g e est é g a l a u coefficient de t r a î n é e de l a s p h è r e t o m b a n t e n c h u t e libre p o u r la m ê m e v a l e u r d u n o m b r e de R e y n o l d s .
G r â c e à ce r é s u l t a t , n o u s a v o n s p u c o n s t r u i r e u n g r a p h i q u e p e r m e t t a n t la d é t e r m i n a t i o n r a p i d e d e la v i t e s s e c r i t i q u e d ' é q u i l i b r e d ' u n m a s s i f p a r c o u r u p a r u n é c o u l e m e n t v e r t i c a l a s c e n d a n t .
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Au lieu de : P
Lire :
2 « s d JP
( 2 a p d
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— Au lieu de : /?, - j - ~Xï— _J.
— Lire :
A/i Q .</. i <Q — ' / ) -
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