I. Utilisation de la carte d acquisition et détermination de son nombre de bits

1

TP N °6 : C APTEURS

Objectifs principaux :



Déterminer le nombre de bits d’un convertisseur analogique/numérique



Visualiser la caractéristique d’un dipôle non linéaire (diode ou photodiode) à l’aide d’une carte d’acquisition ou d’un oscilloscope numérique



Etudier l’influence de la température (diode) ou de l’éclairement (photodiode) sur cette caractéristique et mettre en œuvre le capteur ainsi formé.

I. Utilisation de la carte d’acquisition et détermination de son nombre de bits

La carte utilisée (Sysam SP5 d’Eurosmart) comporte à la fois un convertisseur numérique-analogique (CNA) qui pourra être utilisé comme générateur de tension programmable (fonctionnellement

équivalent à un GBF) et un convertisseur analogique-numérique (CAN) qui permet d’acquérir plusieurs tensions analogiques « simultanément » (fonctionnellement équivalent à un oscilloscope).

L’impédance de chaque entrée de la carte d’acquisition est très élevée, équivalente à la mise en parallèle d’une résistance R = 10¹⁰  et d’une capacité C = 3 pF (hors câble de liaison).

Une telle carte perturbe donc encore moins un circuit qu’un oscilloscope ou même un voltmètre !

1) Echantillonnage

Pour acquérir une tension analogique u(t), le système enregistre aux instants : tn = to + n.TE les valeurs un de la tension : un = u(tn). On obtient ainsi un signal échantillonné fonction de la variable discrète tn ; l’intervalle TE entre deux instants successifs est la période d’échantillonnage (fig.1) :

T_E

TE

U

fig.1 - Signaux analogique, échantillonné et numérique.

Pour que le signal échantillonné {un} permette de reconstruire, par interpolation, le signal analogique u(t) il faudra satisfaire au critère de Nyquist/Shannon qui précise que la fréquence d’échantillonnage : fE = 1/ TE doit être supérieure au double de la fréquence maximale du spectre du signal étudié (ce qui pose un problème fondamental si ce spectre est non borné !).

Il est clair que l’acquisition du signal a une durée finie acq , c’est à dire que l’on enregistre un nombre fini de points N (en général >>1 ) d’où :

Tacq = (N - 1)TE  N TE (1)

Les grandeurs N (Points) et TE (Echantillon) ou Tacq(Totale) peuvent être choisies par l’utilisateur.

Elles satisfont automatiquement à la relation (1), donc il n’est possible d’en fixer que deux, la 3^e étant automatiquement modifiée.

u(t) u

n

u

n

t t

n

t

_n

2 2) Acquisition d’une tension

 Lancer le logiciel ‘Latispro’, activer l’entrée EA0 dans la fenêtre de gauche.

 A l’aide du GBF, produire un signal sinusoïdal de fréquence 100 Hz et d’amplitude 5 V. Le relier à la carte d'acquisition.

 Lancer plusieurs acquisitions avec Latispro (touche F10 du clavier).

Décrire l’allure du signal observé à l’écran en utilisant le vocabulaire du § 1).

 Choisir EA0 comme source de déclenchement et lancer de nouvelles acquisitions.

 Agir sur les réglages : sens / seuil / pré-trig

Quelle différence y-a-t-il avec les acquisitions précédentes ?

 Augmenter la fréquence du GBF à 1 kHz, puis refaire une acquisition (F10).

Expliquer ce qui apparaît à l’écran. A confirmer en changeant le style de représentation (clique droit sur le nom de la courbe).

 Régler convenablement les paramètres d’acquisition afin d'observer 2 périodes à l’écran, mais en conservant N = 200 points. Réaliser une nouvelle acquisition.

Peut-on dire que le signal est bien représenté ? Combien de points de mesure sont relevés par période ?

Afin d’exploiter une acquisition, il faut savoir faire appel aux « mesures automatiques ».

 Dans le menu ‘outils’, ouvrir ‘mesures automatiques’ puis aller dans l’onglet ‘liste des courbes’ . Faire glisser EA0 dans la fenêtre des mesures automatiques.

Rq : sous Latispro, il est souvent utile de tenter des ‘cliqué-déplacé’ comme celui qui vient d’être effectué pour appliquer des actions à des courbes listées dans .

 Régler la période du signal délivré par le GBF à 973 µs.

 Régler les paramètres d’acquisition sur

200 10

2

e tot

N

T s

T ms



 

 

 



puis effectuer plusieurs

acquisitions (il suffit d'appuyer de nombreuses fois sur F10) et observer la variation des résultats de mesures concernant la période.

Selon vous, à quoi est liée cette incertitude sur la mesure automatique de période avec la carte ? Que pensez-vous de la valeur de fréquence affichée par le logiciel ?

 Pour valider l'hypothèse, régler les paramètres d’acquisition afin d’obtenir environ 200 points par période et environ 2 périodes à l’écran puis effectuer de nouveau plusieurs acquisitions.

Les résultats des mesures de période vous permettent-ils de valider votre hypothèse ?

3 3) Quantification

Le signal échantillonné est ensuite quantifié par un convertisseur analogique/numérique (CAN).

Les un ne peuvent alors prendre qu’un nombre fini de valeurs discrètes. Le pas de quantification ΔU est l’écart entre deux de ces valeurs. Il dépend du nombre de bits n et du calibre utilisé.

Le signal numérique obtenu (fig.1) est stocké en mémoire (sous forme d’un tableau de N valeurs) et il peut être utilisé pour reconstruire (approximativement !) le signal analogique et pour calculer certaines de ses caractéristiques comme : valeur moyenne, valeur efficace, période, fréquence, ainsi que des représentations spectrales ...

On retiendra donc qu’un signal numérique est un signal à la fois échantillonné et quantifié.

La fidélité avec laquelle le CAN va restituer la forme du signal analogique dépend directement du nombre de valeurs discrètes possibles. Si ce convertisseur comporte n = 1 bit, les valeurs possibles en sortie sont 0 ou 1 (binaire), la résolution sera alors plus que médiocre, car, en fonctionnant sur le calibre -10 V/+10 V, toute tension négative sera « arrondie » à la valeur 0 et toute tension positive sera arrondie à 1. Pour n bits, le nombre de valeurs possibles entre les valeurs extrêmes définies par le calibre devient 2ⁿ, nombre croissant exponentiellement avec n.

4) Détermination du nombre de bits de la carte (méthode à connaître !)

On se propose de déterminer expérimentalement le nombre n de bits de la carte d’acquisition Sysam.

La méthode employée étant généralisable à tout CAN.

 Régler l’amplitude du signal délivré par le GBF à 250 mV et une période de 1 ms.

 Régler les paramètres d’acquisition dans sur des valeurs convenables. Lancer une acquisition puis dilater l’échelle des ordonnées en effectuant un « cliqué- déplacé » sur les valeurs portées sur l’axe des ordonnées du graphe (ou bien clique droit puis calibrage ou loupe…)

 Mesurer précisément le pas de quantification U à l’aide de l’outil ‘réticule’ (clic droit sur la courbe, puis choix d’une nouvelle origine pour faire automatiquement la différence entre les valeurs pointées par 2 réticules distincts).

Le calibre par défaut est -10 V/+10 V, en déduire le nombre de valeurs possibles en sortie du CAN.

Ce nombre est une puissance de deux ( 2ⁿ), en déduire la valeur de n, nombre de bits de la carte.

5) Changement de calibre

Pour la mesure de signaux de faible amplitude, il convient, pour exploiter au mieux la résolution de la carte (et donc son nombre de bits), de régler le calibre à des valeurs plus faibles (-5 V/+5 V par exemple). Ceci revient à amplifier le signal avant son passage dans le CAN, afin qu’il occupe la plus grande plage possible de valeurs mesurables par la carte. On retrouve donc ici encore la « règle » d’utilisation des multimètres : le calibre doit être le plus proche possible de la valeur maximale du signal à mesurer, tout en lui restant supérieur.

 A l'aide d'un clique droit sur le bouton EA0, modifier le calibre associé à cette voie et effectuer de nouvelles acquisitions.

Que risque-t-on à travailler avec un calibre trop grand ? trop petit ? Expérimenter.

4 6) Utilisation de la carte comme source de tension

Pour éviter d'avoir à synchroniser le signal source (GBF) et l’acquisition sur les entrées analogiques EAi, il est commode d’utiliser le GBF intégré à la carte. Ainsi, ce GBF intégré (sortie analogique notée SA1) ne débutera l’émission de signal que lors du lancement de l’acquisition.

 Eteindre le GBF. Brancher la sortie analogique SA1 de la carte sur l’entrée analogique EA0.

 Dans la fenêtre de gauche, ouvrir l’onglet ‘paramétrage de l’émission’ puis cocher la case ‘sortie active’. Décocher le mode GBF et demander l’émission de 2 périodes d’un signal sinusoïdal. Lancer une acquisition et vérifier que le signal visualisé sur l’entrée EA0 correspond à ce qu’indique la sortie active SA1.

7) Mesures différentielles

Lors de la visualisation simultanée de deux tensions sur un même circuit, des problèmes de masse peuvent survenir. En effet, soit le circuit simple suivant qui sera réalisé dans les parties II et III :

fig. 2 – Montage diode/photodiode

Visualiser simultanément uR et ud n’est pas simple avec un oscilloscope car les deux voies de cet appareil ont une masse commune, ce qui court-circuiterait soit la diode soit le conducteur ohmique.

De plus, le GBF lui-même peut avoir une borne de masse reliée à la Terre et donc (comme la Terre est unique) à la masse de l'oscilloscope. Ainsi, à cause de ces connections non apparentes, même la mesure de la tension ud seule pose une difficulté. Certains GBF ont une borne de masse qui n'est pas reliée à la Terre : ils sont dits "à masse flottante".

La carte d’acquisition permet de contourner ces difficultés en réalisant une mesure « différentielle » à l’image d’une mesure au voltmètre. On utilise un amplificateur différentiel, dispositif possédant deux entrées E+ et E- et une masse M. En régime linéaire la tension de sortie de l’ampli différentiel ne dépend que de la différence des tensions d’entrée : u+ = V(E+) - V(M) et u- = V(E-) - V(M) où V désigne le potentiel. Ainsi, le potentiel de masse disparaît par simple différence.

Dans le montage de la figure 3, les bornes d’entrées des deux amplificateurs sont notées 0, 4 et 1, 5, la masse étant commune.

^{Voie EA1_5 Voie EA0_4} ud

ur

R

0

4 1

5

SA1

Masse commune

ue

CNA A C i

fig.3 - Caractéristique d’une diode/photodiode, montage à amplificateur différentiel

 Sous Latispro, activer les entrées différentielles (cocher les cases entre les voies EA0 et EA4 d’une part, puis EA1 et EA5 d’autre part).

d

5

II. Caractéristique d’une diode : capteur de température

Objectifs : Tracer la caractéristique d’une diode, la modéliser Etudier l’influence de la température

1) Tracé de la caractéristique

 Réaliser le montage de la figure 3. On utilisera une diode 1N4148 et une résistanceR1k. L'anode A correspond à la borne rouge et la cathode C correspond à la borne noire.

La sortie SA1 sert de générateur de tension sinusoïdale : émettre 2 périodes d’amplitude 5V.

Calculer la valeur maximale i_max que peut prendre l'intensité du courant circulant dans la diode.

Quelles sont les deux utilités de R ici ?

Lancer une acquisition avec les paramètres

200 10

2

e tot

N

T s

T ms



 

 

 



et faire apparaître les 3 tensions ue , ud et ur.

Renommer chacune des courbes, imprimer et interpréter vos observations en relation avec ce qui a été vu en cours concernant la diode : identifier en particulier les parties où la diode est « passante » et celles où la diode est « bloquée ».

Les courbes précédentes sont représentées par défaut en fonction du temps.

Pour obtenir la caractéristique courant-tension de la diode, il faut représenter id = f(ud).

 Aller dans puis faire glisser à la souris la courbe adéquate sur l’axe des abscisses pour obtenir le tracé de la caractéristique.

Que peut-on dire de l’intensité du courant inverse (lorsque ud < 0) ?

Il suffit dans la suite de se limiter à l’étude de la caractéristique directe de la diode (ud > 0).

La caractéristique obtenue est-elle satisfaisante ? Expliquer le défaut observé.

 Retourner dans puis modifier le mode d’émission de façon adéquate. Valider puis lancer une nouvelle acquisition en choisissant le calibre le plus adapté sur chacune des voies.

On souhaite modéliser cette caractéristique, plus ou moins grossièrement, selon la précision souhaitée.

2) Modélisations de la caractéristique

La caractéristique directe d’une diode est assez bien représentée par la relation :

i I u

d s

U

d T

 

 



exp 

^{avec :}

^U

k T

T

e

 B

où Is est une fonction (compliquée) de la température, UT une grandeur homogène à une tension ( 26 mV à 25 °C) et  un coefficient sans dimension qui dépend du type de diode considéré (cette

approximation n’est valide que dans le domaine : u_d U_T).

6

 Ouvrir ‘Traitement’ puis ‘Modélisation’. Faire glisser la grandeur à modéliser dans le champ adéquat puis sélectionner la modélisation exponentielle (a.exp(bx)).

/!\

Il faut sélectionner uniquement les points d’ordonnée manifestement positive pour la modélisation. En effet, en raison du bruit électronique (dû par exemple à la carte elle-même), des points « devant » être proches de 0⁺ seront légèrement négatifs et perturberont la modélisation qui procède par régression linéaire sur la variable ln (i_d).

Imprimer le résultat de l'opération de modélisation. (Faire : "imprimer le plan de travail").

Déduire, à partir des valeurs de a et b proposées par le logiciel, les valeurs de I_S et .

Une autre modélisation, plus rudimentaire mais plus commode à l’usage, consiste à approximer cette caractéristique par une fonction affine par morceaux (une partie « bloquée », l’autre « passante »).

 Sélectionner les points d’abscisses les plus grandes étant approximativement alignés, et réaliser une modélisation affine de cette partie.

Imprimer et déduire du résultat de cette modélisation les valeurs des deux paramètres du modèle de Thévenin équivalent à la diode lorsqu’elle est « passante ».

3) Influence de la température

Nous allons étudier l’influence de la température T sur la caractéristique de la diode.

/!\

Remplacer la diode utilisée jusqu’à présent par la diode (de même nature) montée dans un support étanche (tube transparent).

On effectuera le tracé de la caractéristique de la diode à 3 températures différentes, tout d’abord à l’ambiante puis en la plongeant dans un bain eau-glace et enfin en la plongeant dans l’eau bouillante.

 Dans cocher la case « ajouter les courbes »

 Pour chacune des 3 configurations, tracer la caractéristique (F10) et relever la valeur de la température à l’aide d’un thermomètre numérique à thermocouple ou à résistance de platine.

Renommer chaque caractéristique obtenue de façon pertinente et les faire apparaître sur un seul et même graphe en les faisant glisser de la liste vers l’axe des ordonnées. Imprimer.

/!\

Sous Latispro, il est nécessaire de créer la courbe souhaitée dans une fenêtre annexe et temporaire avant de la superposer à une autre courbe déjà existante. Cette opération permet d'associer "la bonne ordonnée" à "la bonne abscisse".

Mesurer au réticule sur les courbes, pour une intensité donnée (par exemple i1mA), la tension aux bornes de la diode dans chacun des 3 cas.

Vérifier que cette tension évolue quasi-linéairement avec la température (en Kelvin) et évaluer grossièrement la sensibilité du capteur ainsi créé: S ^dud

 dT (en mV K. ^1).

7

III. Caractéristique d’une photodiode : capteur de lumière

Objectifs : Tracer à l’oscillo la caractéristique d’une photodiode et étudier l’influence de l‘éclairement

Une photodiode est une diode dont un paramètre de la caractéristique courant-tension dépend de la quantité de lumière reçue. Elle est utilisée d’une part pour détecter un signal lumineux et d’autre part pour convertir de l’énergie lumineuse en énergie électrique. Elle porte alors le nom de photopile (ou cellule photovoltaïque). Elle est constituée d’une jonction PN entre deux semi-conducteurs qui peut recevoir de la lumière par une fenêtre. Cette lumière joue sur les propriétés de conduction électrique de la jonction : chaque photon absorbé crée une paire de charges électriques opposées (électron + trou).

1) Etude de la caractéristique courant – tension i

_d

= f(u

_d

) à l’oscilloscope

Reproduire sur votre compte-rendu le montage de la figure 2 et indiquer les branchements à effectuer pour observer l’évolution de ud sur la voie 1 de l’oscilloscope et l’évolution de id sur la voie 2.

Expliquer pourquoi le GBF doit être choisi « à masse flottante ».

 Produire un signal sinusoïdal d’amplitude 5V et de fréquence 30 Hz. Le visualiser à l’oscilloscope.

Le signal observé est-il conforme aux réglages effectués ? Modifier les paramètres de GBF en conséquence.

 Réaliser le montage de la figure 2 et les connexions proposées avec la photodiode BPW34 et une résistance R = 10 kΩ.

Reproduire vos observations en mode bicourbe et identifier les parties où la photodiode est

« passante » et celles où la photodiode est « bloquée ».

 Basculer l’oscilloscope en mode XY et observer la caractéristique de la photodiode.

Diminuer ensuite la fréquence du signal délivré par le GBF jusque 1 Hz environ.

Décrire le parcours du point de fonctionnement du circuit au cours du temps.

/!\

Une ampoule à incandescence est à votre disposition. Elle doit être alimentée à l’aide d’un adaptateur de connexion par l’alimentation stabilisée AL 891 A.

 Placer la photodiode face à l’ampoule et la rapprocher progressivement.

Observer l’évolution de la caractéristique.

Décrire vos observations sachant que la « grandeur sensible » est appelée intensité du courant inverse.

On constate qu’une partie de la caractéristique se situe dans le 4^ème quadrant : ud > 0 et id < 0.

Quel type de comportement peut ainsi présenter la photodiode la distinguant d’une simple diode ?

i

d

(sens direct)

u

_d

8

2) Application 1 : Rendement d'une cellule photovoltaïque

La photodiode est aussi un convertisseur d’énergie lumineuse en énergie électrique.

Nous allons essayer de déterminer très grossièrement son rendement.

On dispose des informations suivantes qu'il faudra savoir exploiter :

- l'ampoule convertit environ 10 % de la puissance électrique reçue en puissance lumineuse - cette puissance est rayonnée de façon isotrope, ce qui implique que la puissance surfacique reçue (en W.m^-2) à une distance d décroît en

1

₂

d (modèle de la source ponctuelle)

- la surface photosensible de la photodiode est assimilable à un carré de surface 7,5 mm²

 Mesurer la puissance électrique reçue par l’ampoule puis réaliser le circuit suivant en prenant toujours R = 10 kΩ et en plaçant l’ampoule à d = 20 cm de la photodiode.

A partir de la mesure de tension, évaluer le rendement énergétique de la photodiode définit comme le

rapport :

photodiode la

par reçue lumneuse puissance

photodiode la

par fournie électrique

puissance r 

Les cellules photovoltaïques du commerce fournissent des rendements de 10 à 15%. Commenter.

3) Application 2 : Elaboration d'un crépusculaire rudimentaire

Décrire succinctement le principe de fonctionnement de ce montage dans lequel l'ALI est supposé idéal et fonctionne en régime saturé.

R V

ampoule

d

9

TP N °7 : R EGIMES TRANSITOIRES EN ELECTRICITE ET EN MECANIQUE Objectifs principaux :



Savoir choisir de façon raisonnée la fréquence d’échantillonnage, la durée totale et le mode de déclenchement pour l’acquisition d’un signal transitoire.



Mettre en œuvre une démarche expérimentale autour d’un régime transitoire du premier ordre (flash).



Observer les différents régimes possibles pour un système du second ordre.



Déterminer expérimentalement un facteur de qualité.

I. Simulation d’un flash d’appareil photo (1 heure) 1) Etude théorique (à faire avant le TP)

Le montage étudié est représenté sur la figure 1 dans lequel le condensateur est initialement déchargé et les deux interrupteurs ouverts. On modélise la caractéristique de la diode par deux portions affines (voir cours et TP n°6). On fera notamment intervenir sa tension de seuil Us et sa résistance interne rd

lorsqu’elle est passante.

fig.1 - Flash

A t = 0, on ferme K1 puis on l’ouvre au bout d’une durée assez longue.

A t’ = 0 pris comme nouvelle origine des temps, on ferme K2.

 Etablir l’expression de la tension U

AB

(t) suite aux opérations précédentes. Exprimer en particulier les deux durées caractéristiques intéressantes.

 Représenter graphiquement l’allure que vous vous attendez à observer pour U

AB

(t).

2) Manipulations

 Réaliser le montage de la figure 1 avec les éléments suivants et en respectant la polarité du condensateur électrochimique. On y ajoutera un voltmètre numérique mesurant la tension aux bornes du condensateur afin de vérifier le bon fonctionnement du circuit.

E : générateur de tension continue 5 V K1 et K2 interrupteurs simples

D = diode électroluminescente (DEL) de couleur rouge, jaune ou verte C ≈ 1000 F (condensateur électrochimique et polarisé !)

R1 = 470 Ω R2 = 10 

 Appelez le professeur avant la mise sous tension afin qu’il vérifie le montage et qu’il mesure la capacité réelle du condensateur.

10 a)

Charges et décharges successives du condensateur

 Réaliser la charge, puis la décharge du condensateur tout en observant la DEL.

Expliquer pourquoi la décharge du condensateur n'est qu'incomplète.

Pour décharger complètement le condensateur, on propose plusieurs solutions :



inverser le sens de la diode



augmenter la valeur de R

₂



court-circuiter le condensateur



court-circuiter la diode



enlever la diode en laissant le circuit ouvert.

Quelles solutions vous semblent convenables ?

 Expérimenter et réaliser la décharge complète du condensateur.

b)

Charge du condensateur :

 A l’aide de la carte Sysam et du logiciel Latis-pro, réaliser de façon convenable l’acquisition de la tension aux bornes du condensateur.

Exploiter l’enregistrement obtenu pour déterminer la durée caractéristique τ du régime transitoire par les méthodes suivantes :



tangente à l’origine (clic droit)



méthode des 63 % (en utilisant des réticules (clic droit))



modélisation par une fonction appropriée (traitements/modélisation)

Comparer les différents résultats obtenus à la valeur attendue.

c)

Décharge du condensateur :

 A l’aide de la carte Sysam et du logiciel Latis-pro, réaliser de façon convenable l’acquisition de la tension aux bornes du condensateur.

Exploiter l’enregistrement pour déterminer la valeur de la tension de seuil Us de la diode.

Proposer et mettre en œuvre une méthode permettant d’évaluer l’ordre de grandeur de sa résistance interne rd.

Comparer les valeurs obtenues à celles obtenues par modélisation de la caractéristique courant-tension de la diode.

Expliquer pourquoi la modélisation de la décharge par une fonction exponentielle s’avère moins efficace que lors de la charge.

11 II. Le circuit RLC-série en régime libre (1heure)

1) Etude théorique (à faire avant le TP)

Le montage étudié est représenté sur la figure 2. L’inverseur (« anti-rebond ») K permet de charger le condensateur C sous la tension E (position R) puis de le décharger (position T).

La résistance totale du circuit est R = r + r’ + rm où r est la résistance interne de la bobine,

r’ une résistance réglable qui permet de faire varier l’amortissement du circuit et rm une résistance fixe qui permet d’accéder à l’intensité du courant traversant le circuit (um = rm.i).

R T

E C rm

L, r Y1

Y2

r’

u

i

um

K

fig.2 - Circuit R-L-C série E = générateur de tension continue 5 V

K = inverseur (anti-rebond) Bobine : L  0,1H , r  10 

C = 1 F

r’ = boites AOIP x1000,x100, x10, x1 disposées en série rm = 10 

 Rétablir les équations différentielles satisfaites par la tension u(t) aux bornes du condensateur et par l’intensité i(t) traversant le circuit :

u ^ou _o²u

0

Q

 

   et du

i C

  dt (1)

avec :

1

o LC



 et 1 L

Q R C (2)

Les conditions initiales sont : u(0) = E et i(0) = 0 (3) On rappelle que le régime critique obtenu pour

Q



1

2

sépare les régimes « oscillatoires amortis (« pseudopériodiques ») où

Q



1

2

, des régimes « apériodiques » où

Q



1 2

^.

 Calculer numériquement les valeurs attendues pour la période propre T

o

du système et la résistance r

c

’ correspondant au régime critique.

 Pour

2



1

Q

, limite du très faible amortissement montrer que la solution de l’équation (1) satisfaisant aux conditions initiales (3) est :

^{u t}

^{( )}

^Eet

 ^{cos( }

^t

⁾ 

⁽⁴⁾

avec :

2

o



Q





: " durée caractéristique du régime transitoire " (5)

12 4

2

1 1

o  Q







: " pseudo-pulsation " (6) T

2 



 : " pseudo-période " (7)

On donne l’expression du décrément logarithmique :

) (

) ln (

T t u

t u

 



(8)

 Montrer que l’on a l'expression approchée :

Q



 (9)

3) Manipulations

 Réaliser le montage de la figure 2. On y ajoutera un voltmètre numérique mesurant la tension aux bornes du condensateur afin de vérifier le bon fonctionnement du circuit.

a) Observation des différents régimes possibles

 Observer les tensions u(t) et um(t) à l’oscilloscope bicourbe¹ . Le régime étant transitoire on utilisera la fonction SINGLE de l’oscilloscope numérique. Il faudra choisir convenablement le niveau de déclenchement UN et la pente du signal déclenchant (choisir Y1 = u(t)) car l’oscilloscope va se référer à l’instant où le signal déclenchant prend la valeur UN avec la pente choisie (> 0 ou

< 0). (Se référer au texte du TP n°3 pour plus de précisions).

b) Mesure du décrément logarithmique et détermination du facteur de qualité

 Choisir r' = 20  et enregistrer les oscillations amorties au moyen de l'oscilloscope à mémoire numérique.

 Mesurer aux curseurs la pseudo-période T des oscillations et évaluer l’incertitude sur cette mesure. Comparer à la période propre To et conclure.

 Mesurer aux curseurs 7 maxima secondaires successifs Un (n = 0, 1, ... , 6) de la tension u(t).

On procédera avec soin (décalage du signal, adaptation de la sensibilité verticale…).

A partir de ces mesures, quel graphe proposez vous de tracer pour déterminer simplement la valeur du décrément logarithmique δ ? (On souhaiterait se ramener à une droite).

Mettre en œuvre la méthode retenue et donner une valeur expérimentale de δ.

En déduire une valeur expérimentale du facteur de qualité Q et comparer à la valeur attendue à partir des valeurs supposées des composants.

Vérifier enfin que l'on a bien environ Q oscillations observables.

c)

Portraits de phase

 En utilisant les possibilités de mémorisation de l’oscilloscope, enregistrer les évolutions

correspondant notamment à r’ = 0, r’ = rc’/10, r’ rc’, r’ = 2 rc’. Il est ainsi possible de construire un réseau de courbes complet illustrant les différents régimes possibles. Pour que

l’enregistrement soit « lisible » on mémorisera séparément les tensions u et um.

 En mode XY on peut enregistrer les « trajectoires de phase » du circuit RLC, « trajectoires » qui tendent toutes vers l’origine (position d’équilibre stable).

1 Noter que ces tensions sont proportionnelles respectivement à la charge q(t) et à l’intensité i(t).

13

III. Pendule élastique vertical amorti en régime transitoire (2 heures) 1) Description et modélisation du système

a)

Description générale

Un pendule élastique est un système oscillant à un degré de liberté de translation qui sera paramétré par z(t). Il est constitué d' une plaque métallique (P), de masse m, qui est suspendue à un bâti au moyen de deux ressorts de raideur k et longueur propre lo. Un troisième ressort, identique aux précédents, est relié à son extrémité A à la base de la plaque et à son autre extrémité B à un fil.

Une lame de ressort peut entrer en contact avec (P), permettant ainsi d’exercer une force de frottement solide FS réglable au moyen d’une vis modifiant la « pression » exercée par le ressort. On précise les caractéristiques de cette force :

Si z



0

F_S F_M

(10) si z



0 F

S

= - F

M

.

z

z

(11)

La plaque (P) peut aussi être soumise à l'action d'un frein électromagnétique. Il est constitué de deux aimants et d'un circuit magnétique, ce qui permet de soumettre (P) à l’action d’un champ magnétique.

On précise (cf. induction électromagnétique) que le mouvement d’une pièce métallique dans un champ magnétique entraîne l'apparition dans son volume de courants induits (courants de Foucault).

L'interaction de ces courants et du champ magnétique est à l'origine d'une force de freinage FF

proportionnelle à la vitesse de translation de (P).

FF = - h

z

 (13)

Remarque : lorsque l’action du frein est négligeable il subsiste des frottements fluides avec l’air. Nous admettrons qu’ils sont aussi de la forme (13), le coefficient h a donc une valeur minimale.

b)

Le capteur

Pour étudier quantitativement les oscillations du pendule élastique, celui-ci est muni d’un capteur de position permettant la mesure de la grandeur z(t) sans introduire de frottement solide. Il s'agit d'un capteur de position à « magnétostriction ». Le principe en est le suivant (fig.3) : la pièce mobile est solidaire d’un aimant dont le capteur détermine la position à partir du temps de propagation d’une onde de torsion qui se propage dans un matériau magnétostrictif². Cette onde prend naissance au niveau de l’aimant du fait de l’interaction de son champ magnétique et d’une impulsion de champ magnétique émise périodiquement à l’une des extrémités du capteur (effet Wiedemann). Après traitement des signaux, le capteur fournit une tension u(t) directement proportionnelle à z(t) (sa sensibilité est de 1 cm/volt).

fig.3 - Capteur de position à magnétostriction³

2 Dans les matériaux dits « magnétostrictifs » une déformation peut être produite par un champ magnétique et inversement une contrainte mécanique peut produire un champ magnétique. Ils présentent une certaine analogie avec les matériaux « piézoélectriques ».

3 D’après une notice de « temposonics »

14 c)

Modélisation simplifiée

Compte tenu de la description précédente le pendule élastique peut être modélisée de la manière suivante (fig.4) :

Système à l’équilibre (sans frottements) Système en état quelconque (avec frottements)

fig.4 - Modélisation du pendule élastique

Dans l’étude expérimentale on se limitera à des situations où seulement l’un des deux frottements est à considérer.

 Après inventaire des forces exercées sur le système {m} et application de la 2

^e

loi de Newton, montrer que l’équation différentielle que vérifie z(t) est la suivante :

' kz F kz 3 z h z

m

   _S 

(14)

z(t)

z’(t)

le

’

le

k k

k

m

Fi l

Plaque (P) m

g F

e

F

e

F

_e

’

F

e

F

e

F’

e

m g

F

F

F

_S

g

A

B

15 2) Etude théorique des différents régimes a)

Oscillations libres à frottement solide

Si les frottements fluides sont négligeables et si le point B reste fixé dans sa position z’ = 0 , l'équation du mouvement se réduit à :

mz



3 kz



F

_S

(15) Ou bien



z z F

o

m





²  S

avec 

_o

^k



3 m

(15’)

L'étude de cette équation, compte tenu des propriétés de la force FS (cf. relations (10) et (11)) montre que l'oscillateur effectue des oscillations amorties, dont les élongations maximales décroissent linéairement au cours du temps (fig. 6) (voir TD ou DM de mécanique ultérieur).

Les oscillations s'achèvent lorsque

z

 s'annule alors que, simultanément,

z F k

F k

S S

 







3 , 3

. Par ailleurs, deux élongations maximales successives sont séparées par la durée To :

T m

0 k

0

2 2

  3

 

(16)

t/T

o

z/z

o

fig.6 - Oscillateur amorti à frottements solides (essai par lâcher)

b)

Oscillations libres à frottement fluide

Si les frottements solides sont négligeables et si le point B reste fixé dans sa position z’ = 0 , l'équation du mouvement devient :

mz



hz



3 kz



0 (17)

On pose alors :



_o

^k



3 m



pulsation propre (18)

T

_o

o



2



 période propre (19)

Q m

h

_o

h km







¹ 3

facteur de qualité (20)

16

On obtient alors :



z



Q z z





 



0 0

2

0 (21)

Si l'oscillateur est "peu" amorti ( Q > 1/2 ) il effectue des oscillations pseudo-sinusoïdales amorties dont les élongations maximales décroissent exponentiellement au cours du temps (fig.7):

 

z t Ae t

t

( )

 ^

cos

 



₍₂₂₎

avec Q Q

T temps de relaxation

o

 ^  ^  ^ 2

0

(23)

   

 

 

_{0 2}

12

1 1

4Q pseudopulsation

(24)

 

T T

Q

 o



1 1 4/ ^{2 1 2/}

= pseudopériode (25)

t/T

_o

z/z

_o

fig.7 - Oscillateur amorti à frottements fluides (essai par lâcher)

Rappelons que le facteur de qualité (s'il est suffisamment grand) donne l'ordre de grandeur du nombre d'oscillations (amorties) qui sont "pratiquement" observables.

Pour exploiter les résultats expérimentaux, il est commode d'utiliser le "décrément logarithmique"  défini par :

   

 

 













 

  

ln ln ( )

( .

z t

z t T p

z t

z t p T) où T et p N

1 2

 ₍₂₆₎

Comme en électrocinétique, on a :

 

 

 



Q

T

T

_o ⁽²⁷⁾

Si le système est très peu amorti (Q >> 1) on a donc :

 



Q

⁽²⁸⁾

17 3) Manipulations

 Relier tout d’abord un voltmètre à la sortie position du boîtier disposé sur le pendule et alimenter le système au moyen d’une alimentation symétrique -15V, 0, +15V. Régler alors précisément le

« zéro » et estimer l’intervalle de variation de la tension « image » de la position de (P). Cette mesure permettra de régler convenablement le calibre de la carte d’acquisition.

 Relier la sortie de l'interface ("position") à la carte d’acquisition (entrée EA0).

D’une manière générale, tous les essais seront réalisés par « lâcher » en écartant la masse de sa position d’équilibre et en l’abandonnant sans vitesse initiale. On prendra 1000 points de mesure à chaque acquisition.

On pourra imprimer toutes les courbes intéressantes, on rappelle qu’il peut être nécessaire de choisir une épaisseur de trait suffisante pour que l’impression soit correcte.

a)

Oscillations libres « sans » frottements

Eloigner au maximum les aimants de la plaque (P) de manière à ce que leur action soit négligeable et écarter suffisamment la lame de ressort pour qu’elle n’entre plus en contact avec (P). Le système est alors très peu amorti, il reste essentiellement les frottements avec l’air.

 Dans l’onglet , choisir comme source de déclenchement l’entrée EA0 et donner une consigne de déclenchement convenable. Choisir une durée de 30 s et lancer une acquisition (F10)

 Utiliser l’enregistrement et les réticules pour :

Mesurer la pseudo-période T1 des oscillations.

Mesurer le décrément logarithmique  et en déduire la valeur du facteur de qualité Q.

Pourquoi peut-on considérer que T1 est pratiquement égale à la période propre To ?

b)

Comparaison des deux types d’amortissement



Amortissement par frottements solides

Les aimants étant toujours éloignés au maximum de (P). Mettre en contact la lame de ressort et la plaque et régler la force de contact de manière à ce que la masse effectue environ 5 oscillations avant de s’arrêter.

 Procéder à l’enregistrement en choisissant correctement la durée d’acquisition.

Montrer que l'enregistrement des oscillations précédentes permet de valider le modèle du frottement solide (il sera commode d'imprimer l'enregistrement des oscillations pour l'exploiter plus facilement).

 Mesurer à nouveau la pseudo-période des oscillations et comparer à To.



Amortissement par frottements fluides

Supprimer le frottement solide et imposer un frottement fluide. Pour cela approcher les aimants de manière à ce que le champ magnétique freine la plaque, ajuster leurs positions de manière à ce qu’elle effectue environ 10 oscillations complètes avant l'arrêt.

 Procéder à l'enregistrement des oscillations, comparer à l’enregistrement précédent.

 On va déterminer les valeurs des paramètres o et Q grâce à une modélisation du signal enregistré, le modèle choisi est le suivant :

 

Y A t

Q

^o _o

t

 





 

exp  .cos

2 



(29)

A, o , Q et  sont des paramètres que le logiciel va s’efforcer d’ajuster de manière à minimiser l’écart entre la fonction (29) et les mesures expérimentales.

18

 Pour cela activer la modélisation (menu TRAITEMENTS, puis modélisation, ou touche F4) et choisir un modèle adapté.

Remarque :Il est possible que l’algorithme d’optimisation ne converge pas du premier coup !

Si cela arrive, on commence par donner des valeurs initiales correctes des paramètres que l’on connaît relativement bien. On commence ensuite par l’ajustement de o et , puis on passe à celui de A et Q, finalement on pourra optimiser l’ensemble des paramètres.

Les valeurs obtenues sont elles compatibles avec les estimations que l'on peut en faire par simple observation de la courbe expérimentale ?

 Modifier la position du circuit magnétique afin que l’amortissement soit suffisamment important pour que le régime devienne apériodique et enregistrer l’évolution de z(t).

Il pourra être intéressant de faire apparaître simultanément les différents régimes : oscillatoire, apériodique et « critique » (ce dernier régime ne peut évidemment être obtenu que de manière approchée !).

 Pour ne pas écraser les acquisitions successives, cocher « ajouter les courbes ».

c)

Portrait de phase

Pour obtenir la trajectoire de phase de l’oscillateur on doit disposer de la position z(t) et de la vitesse v(t) (ou plus exactement de tensions proportionnelles à ces grandeurs).

On va obtenir l’information de vitesse au moyen du logiciel qui permet d’effectuer une dérivation numérique.

L’opération de dérivation numérique est délicate à mettre en œuvre, la dérivation ayant tendance à augmenter toutes les petites imperfections ! On procédera donc à un « lissage » préalable des données.

 Dans le menu « traitement », puis « calculs spécifiques », effectuer un lissage de la courbe EA0. Réaliser ensuite, dans le même menu, un calcul de dérivée. On pourra enfin lisser la dérivée elle-même.

 Ouvrir une nouvelle fenêtre et faire apparaître la courbe représentative de la vitesse lissée en fonction de la position lissée, c’est à dire la trajectoire de phase de l’oscillateur.

Observer les différents régimes et comparer aux exemples vus en cours.

Il pourra être intéressant, comme pour les courbes temporelles, de faire apparaître simultanément dans la même fenêtre les différents régimes d'évolution avant d'imprimer.

 Il sera nécessaire ici de créer chaque trajectoire de phase dans une fenêtre séparée afin d'associer "la bonne abscisse" à "la bonne ordonnée". On fera glisser ensuite ces différentes trajectoires de phase dans une même fenêtre afin de les comparer.

19

TP N °8 : R ESONANCES EN ELECTRICITE ET EN MECANIQUE Objectifs principaux :



Mettre en œuvre un dispositif expérimental autour du phénomène de résonance.



Reconnaître une avance ou un retard, passer d’un décalage temporel à un déphasage et inversement.



Repérer précisément le passage par un déphasage 0 ou π en mode XY.



Mettre en évidence la similitude des comportements des oscillateurs mécaniques et électroniques.

I. Etude du circuit RLC série en régime sinusoïdal forcé 1) Montage

Le montage utilisé est représenté sur la figure 1 :

GBF

C r’

L, r

Y

₂

Y

1

u

1

u

₂

P

P

i

fig.1 - Oscillations forcées d’un Circuit RLC série

Le diviseur de tension réalisé grâce au potentiomètre P permet d’abaisser la résistance interne du générateur alimentant le circuit et donc de s’approcher d’un générateur idéal de tension.

L’oscilloscope permet de visualiser la tension d’alimentation u1(t) du circuit et la tension u2(t) proportionnelle à l’intensité i(t). On utilisera le mode double trace ou le mode X-Y.

Valeurs des éléments :

P : boîte de résistance x1  réglé à :  = 5/11 GBF : sinusoïdal, amplitude = 10 V

Bobine : L = 1 H, r = 350 C = 0,1 F ; r’ = 200 

 Pouvez-vous donner l’ordre de grandeur de la résistance interne du générateur équivalent alimentant le circuit RLC ?

 Déterminer, avec les valeurs approchées ci-dessus, les valeurs attendues pour la fréquence propre f

0

et le facteur de qualité

Q

.

2) Mesures rapides

 En faisant varier manuellement la fréquence, vérifier qu’il y a bien « résonance » de l’intensité.

 Déterminer la fréquence de résonance fr.

Pourquoi est-il plus précis d’utiliser le déphasage de u2 par rapport à u1 plutôt que le passage de l’amplitude de u2 par un maximum ?

 Mesurer aussi l’amplitude maximale U2M (ou la valeur efficace maximale).

20

 Déterminer rapidement la bande passante (à -3dB) en utilisant les curseurs de mesure. On rappelle qu’aux bords de la bande passante l’amplitude de u2 est : ² 0,71. ₂

2

M

M

U  U

Déduire des mesures précédentes la fréquence propre f0 et le facteur de qualité Q du circuit, comparer aux valeurs prévues par les expressions théoriques.

3) Tracé automatique

En utilisant les possibilités de l’oscilloscope numérique et la fonction « wobulation » du GBF, on peut enregistrer automatiquement les variations de l’amplitude de la tension u2 en fonction de la fréquence f du signal fourni par le générateur.

En mode wobulation le générateur délivre une tension par exemple « sinusoïdale » mais dont la fréquence est lentement variable entre une valeur fmin et une valeur fmax. La variation de fréquence s’effectue linéairement sur l’intervalle [fmin , fmax] pendant une durée Twob.

/!\

Twob doit être suffisamment élevée pour qu’« à chaque instant » le circuit puisse être considéré comme étant en régime permanent sinusoïdal.

Il faut donc régler le GBF dans le menu SWEEP pour voir un intervalle [fmin , fmax] qui permette de passer par la résonance.

Il faut ensuite régler l’oscilloscope : la vitesse de balayage doit être adaptée à Twob, par exemple pour Twob = 1s on prendra une vitesse de 0,1 s/div.

Pour faciliter la lecture des fréquences à l’oscilloscope, on veillera à ce qu’une division horizontale corresponde à une valeur « ronde » en Hertz (par exemple : 1 division ↔ 100 Hz).

Enfin pour assurer la synchronisation du balayage on utilisera le signal de synchronisation fourni par le GBF et la synchronisation extérieure de l’oscilloscope.

 A partir de l’enregistrement ainsi obtenu, déterminer la fréquence de résonance fr ainsi que la largeur de la bande passante f. En déduire à nouveau la fréquence propre fo ainsi que le facteur de qualité Q. Imprimer les copies d’écran sur lesquelles doivent figurer les curseurs qui vous ont permis de déterminer f.

 Modifier le montage pour afficher sur l’oscilloscope la résonance en tension aux bornes de C.

Faire la même étude que pour la résonance en intensité et comparer. Pour quelle valeur de R n’y a-t-il, en théorie, plus de résonance ?

 Essayer de vérifier cette valeur limite de R.

S’il reste du temps, faire l’étude de la tension aux bornes de L Quel est la nature du filtre réalisé dans chacune des 3 configurations ?

21

II. Pendule élastique vertical amorti en régime sinusoïdal forcé 1) Description et modélisation du système

On se reportera à l’énoncé du TP n°7 pour une description et une modélisation générale du pendule élastique. On se concentre ici sur la réponse du système à une excitation sinusoïdale.

Régime forcé

En l’absence de frottements solides, si l’extrémité B du ressort est animée d’un mouvement sinusoïdal z’(t) = Zm’.cos(t) l’équation du mouvement de la plaque (P) devient :

' kz kz 3 z h z

m

  

(1)

ou :

 

cos( )

'

z Q z z Z

o

t

o

o m





 

 



2 2

3 (2)

Le système se comporte donc de la même manière que si l’on soumettait la plaque (P) à une force extérieure sinusoïdale d’amplitude :

F m Z

m

o m





²

3

'

.

 Expliquer l'établissement d'un régime d'oscillations forcées sinusoïdales de pulsation

, après un régime transitoire dont on précisera l’ordre de grandeur de la durée.

 En régime sinusoïdal forcé, la réponse à l’excitation est de la forme :

       

z t



Z  ^cos  t





(3)

 En utilisant la notation complexe, montrer que :

Z( Z

Q

m

o o









 )

'

 /



 

 



 

 

 















3

1

1 1

2 2 2 1 2 (4)

et ^{  }

 ^{ , 0} 

^{   }

^ ₂ ^{arctan Q}

^_^{ }_^

^ _

^{o }

_ ^

^_^_^

o

(5) En particulier :

    

  

 ₀ 

0

 ₀    ₀  

:



; :



2 ; :

 (6)

 Quelle est la nature du filtre mécanique formé ? passe-bas ? passe-haut ? passe

bande ?

22 Résonance d’élongation

 Vérifier que si l'amortissement n'est pas trop élevé (Q >

1 / 2

) l'amplitude Z() passe par un maximum noté ZM pour = M . On dit qu'il y a résonance d’élongation :

_M 

  

Q

 



0 2

12

1 1

2 (7)

Z Z Q

Q

M

 m











 



'

3

1 1

2

2 1 2

(8)

En particulier si Q >> 1 (faible amortissement) : 3 Q Z Z

;

' m M 0

M  



(9)

Capteurs et actionneur

Pour étudier quantitativement les oscillations du pendule élastique, celui-ci est muni de deux capteurs de positions permettant la mesure de la position z(t) de la plaque (P) et z’(t) de l’extrémité B du ressort :

 z(t) est mesurée à l’aide du capteur à magnétostriction (voir TP n°7)

 z’(t) est mesurée au moyen d’un potentiomètre qui est entraîné par le fil, grâce à une poulie. Les deux extrémités du potentiomètre étant reliées à deux tensions symétriques -5V et +5V, on dispose entre le curseur C et la masse M, d’une tension u’(t) proportionnelle à la position z’(t) :

u'= kz' C

-5V +5V

M

 Le moteur qui permet d'imposer les variations « sinusoïdales » à z'(t) est un moteur "pas à pas", dont la vitesse angulaire  est réglable.

Précisément, la fréquence de rotation :

f

 



2

est imposée par une électronique de commande pilotée par un oscillateur de fréquence fosc telle que :

f f

N

 osc où N est le nombre de pas du moteur (par exemple, pour le moteur pas à pas entraînant la trotteuse d'une horloge, N vaudrait 60).

La fréquence de rotation f peut ainsi être déterminée de manière très précise à partir de la mesure de fosc au moyen d'un fréquencemètre.

 Finalement on dispose des trois tensions suivantes : a) u(t) proportionnelle à la position z(t) (« position ») b) u’(t) proportionnelle à la position z’(t) (« force »)

c) uos(t) dont la fréquence est proportionnelle à celle du moteur : f = fosc / N (« fréquence »)

23 2) MANIPULATIONS

TRES IMPORTANT !!!

Dans l’étude des oscillations forcées il est indispensable d’AMORTIR suffisamment le système (Q < 7) sous peine de l’endommager suite à une résonance trop aiguë (surélongation trop importante) !

 Régler l'amortissement de manière à ce qu'en oscillations libres, la plaque effectue environ 7 oscillations avant de s’immobiliser.

 Comme dans le TP précédent, alimenter le système d’acquisition au moyen d’une alimentation symétrique -15V, 0, +15V. (connexions à gauche du boitier)

 Alimenter d’autre part le moteur "pas à pas" à l’aide de l’alimentation stabilisée de 5V

(connexions à droite du boîtier). Utiliser la fonction fréquencemètre d’un multimètre numérique pour mesurer la fréquence fosc de l'oscillateur de commande du moteur pas à pas qui impose la fréquence f de la force excitatrice.

 Effectuer un lent balayage en fréquence (bouton « vitesse ») afin d’évaluer grossièrement la valeur de la fréquence de résonance fosc pour laquelle on observe la résonance . Observer visuellement l’oscillation de la plaque (P) ainsi que le mouvement de l’extrémité B du fil. Ces observations sont-elles conformes aux limites hautes et basses fréquences données en (6) ?

Résonance d’élongation

Pour une étude plus quantitative, il est commode d’utiliser un oscilloscope numérique en mode déroulement (Roll).

 Visualiser le signal proportionnel à la « force » excitatrice sinusoïdale sur la voie 1 de l'oscilloscope et celui image de la position z(t) sur la voie 2.

 En comparant la mesure de fosc au multimètre et une mesure automatique de f réalisée à l'aide de l'oscilloscope, déterminer la valeur de N.

 Visualiser les deux tensions en mode DC puis en mode AC. Expliquer les différences observées.

Quel mode est-il préférable d’utiliser ici ? Pourquoi ?

On souhaite construire "point par point" les graphes donnant l'amplitude Z(f) et l’avance de phase (f) du mouvement de (P) par rapport à B en fonction de la fréquence f.

On utilisera l’oscilloscope numérique pour mesurer « automatiquement » amplitude crête à crête (ou la valeur efficace... laquelle vaut-il mieux choisir ? ) et l'avance de phase du signal image de z(t).

 Sous Régressi, (« fichier / nouveau / clavier ») remplir un tableau de mesures de la forme :

f

_osc

f (grandeur calculée) Z Φ

 On effectuera une vingtaine de mesures au moins en les resserrant au voisinage de la résonance.

Réfléchir à une méthode pratique permettant de les échelonner convenablement sachant que le balayage en fréquence est commandé par un « potentiomètre 10 tours ».

Attention : Après chaque changement de fréquence, il est indispensable d'attendre quelques secondes que le régime sinusoïdal forcé soit bien établi.

24

On souhaite ici procéder à une validation du modèle théorique de l'oscillateur amorti par frottement fluide développé en page 3.

Dans le menu modélisation de Régressi, choisir le modèle prédéfini de filtre du second ordre correspondant à vos attentes et essayer d'obtenir un bon ajustement sur la courbe d'amplitude.

Donner les valeurs de la fréquence propre f0 et du facteur de qualité Q obtenus après convergence de l’algorithme de modélisation. Commenter les résultats obtenus.

En ce qui concerne la courbe de phase, on se contentera de vérifier sa conformité avec les relations (5) et (6) et les observations visuelles.

Etablissement du régime forcé

Pour mettre en évidence le régime transitoire, précédant l'établissement du régime permanent, conserver toujours l'amortissement précédent (Q ≈ 7).

 La plaque (P) étant initialement au repos, faire démarrer le moteur « pas à pas » à une fréquence f1 supérieure à fo d'environ 15%.

 Enregistrer le régime transitoire (mode « single » de l’oscilloscope numérique) et interpréter l’allure de l’oscillogramme obtenu.

Distinction entre fréquence propre et fréquence de résonance

Dans l’étude qui vient d’être menée, les relations (7) et (9) indiquent que fréquence propre f0 et

fréquence de résonance fM du système étaient quasiment confondues. On souhaite se placer maintenant dans des conditions expérimentales permettant de faire apparaître clairement une distinction entre ces deux fréquences. Préciser la modification à réaliser sur le dispositif ainsi que le protocole à suivre pour évaluer séparément ces deux fréquences.

La relation (7) est-elle compatible (au moins qualitativement) avec vos observations ?

25

TP N °9 : T RACE ET EXPLOITATION D ’ UN DIAGRAMME DE B ODE Objectifs principaux :



Savoir déterminer rapidement la nature d’un filtre linéaire du 1

^er

ou du 2

^nd

ordre.



Réaliser le tracé d’un diagramme de Bode à l’aide d’un logiciel de traitement de données ou sur papier semi-logarithmique puis l’exploiter.



Utiliser le diagramme de Bode pour interpréter l’allure du signal en sortie du filtre.

I. Etude de l’étage d’entrée d’un oscilloscope numérique

1) Rappels du TP n°3 : Les différents couplages d’entrée : « AC - DC - GND »

Les bornes d’entrée des voies 1 et 2 de l'oscilloscope numérique sont reliées à l’amplificateur correspondant par l’intermédiaire d’un circuit de couplage :

- en position DC (« direct current ») il y a couplage direct du signal à l’amplificateur si bien que l’on amplifie la totalité du signal (au sens de l’analyse de Fourier), c’est à dire sa

composante continue

(= valeur moyenne) et sa

composante alternative (= somme des

composantes sinusoïdales).

- en position AC (« alternating current ») il y a couplage capacitif par l’intermédiaire de C (de l’ordre de quelques dizaines de nF). Le dipôle d’entrée de l’amplificateur est équivalent à une résistance R

_e

(de l’ordre du Men parallèle avec un condensateur C

e

(de l’ordre d’une dizaine de pF). L'association C + (R

e

//C

e

) constitue un filtre passe-haut du premier ordre qui permet d’éliminer la composante continue du signal.

 Etablir l’expression de la fonction de transfert de ce filtre passe haut puis la simplifier en tenant compte des ordres de grandeurs indiqués. Indiquer l’ordre de grandeur de sa fréquence de coupure.

E

M

C

DC AC

GND R

e

Ampli.

Oscilloscope

C

e

26 2) Détermination de R

e

 En vous inspirant de la « méthode de la tension moitié » évoquée en cours pour mesurer la résistance de sortie d’un GBF, proposer un protocole expérimental précis permettant de mesurer la résistance d’entrée R

e

de l’oscilloscope numérique.

 Mettre en œuvre le protocole retenu et présenter correctement le résultat.

R

_e

=



3) Tracé du diagramme de Bode et détermination de C

 Indiquer la marche à suivre et les branchements à effectuer (voies, couplages,

grandeurs mesurées) permettant de réaliser le diagramme de Bode du filtre passe-haut évoqué plus haut.

 Mettre en œuvre le protocole retenu. Les mesures seront traitées à l’aide du logiciel Régressi.

On superposera sur un même graphe les courbes de gain et de phase.

 Utiliser une modélisation affine pour déterminer la pente de la courbe de gain à basse fréquence ainsi que la fréquence de coupure du filtre.

En déduire une valeur expérimentale de la capacité C.

Imprimer l’ensemble du travail réalisé sous Regressi.

Apporter les précisions nécessaires avant de le joindre à ce document réponse.