Coherence et localisation dans les systemes d'electrons fortement correles

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fortement correles

Serge Florens

To cite this version:

Serge Florens. Coherence et localisation dans les systemes d’electrons fortement correles. Matière

Condensée [cond-mat]. Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2003. Français. �tel-00005825�

LABORATOIRE DE PHYSIQUE TH 

EORIQUE DE L'



ECOLE NORMALE SUP 

ERIEURE

TH 

ESE DE DOCTORAT DE L'UNIVERSIT  E PARIS6 Spe ialite : PHYSIQUE TH  EORIQUE presentee par Serge FLORENS pour obtenir le grade de DOCTEUR DE L'UNIVERSIT  E PARIS 6 Sujet : COH 

ERENCE ETLOCALISATIONDANS LES SYST  EMES D'



ELECTRONS FORTEMENT CORR

 EL

 ES

Soutenue le 17 juin 2003 devantle jury ompose de :

Mr. Denis FEINBERG (Rapporteur) Mr. Antoine GEORGES (Dire teur) Mr. Fran is o GUINEA (Rapporteur) Mr. Denis J



EROME

Mme. Claire LHUILLIER (Presidente) Mr. Gilles MONTAMBAUX

C'est un reel plaisir de debuter ette these par des remer iements, ar ette entreprise longue et diÆ ile ne peut se faire tout seul. Traditionnellement, on remer ie le dire teur de these poursonen adrement etsesqualites de her heur, les ollegues pourl'ouverture sur des sujets nouveaux,le personnel du laboratoire pourl'aide logistique, et lafamille et lesamispour le soutien moral et la vie non-s ientique. Je pense avoir eu la han e rare de trouver hez Antoine Georges un dire teur de these qui aete pour moi tout ela a la fois. Pour donner un exemple,notredernier semestrede re her heaSantaBarbara(organisedeAaZparsessoins) a ete aussi passionnant s ientiquement qu'agreable au quotidien. Ave le re ul, je voudrais surtout remer ier Antoine pour m'avoir en ourage ave patien e et ompeten e pendant es quatre annees.

Le ontenu dematheseaetefortementin uen epard'autres her heurs. Jeremer ieainsi sin erement Olivier Par ollet, mon prede esseur et passeur de temoin, dont les odes C++ m'ont permis de me lan er dans de nombreux projets. Le onta t ave des experimentateurs aete une sour e d'enseignements inegalee. Je remer ie don Patri e Limelette pour sesbelles experien es et les nombreuses intera tions que nous avons eues, ainsi que Mar o Grioni et Lu a Perfettipourune ollaborationele troniqueadouble titre.Jesuisre onnaissant auxdeux postdo sdugroupe pouravoirpartageave moiplusqueleurinter^etpourlaphysique :unebelle musiqueave RahulSiddharthan etunebellemaisonave Silke Biermann.J'aiparti ulierement appre ie lesnombreusesren ontresave GabrielKotliar,quisembletoujoursavoiruneideedans sonsa .Au ours du\workshop"aSantaBarbara,j'ai puren ontrerTheoCosti,Pa oGuinea, Pablo San Jose, Sergei Pankovet PingSun; elaaeteun vraiplaisir de travailler ave eux.Du ote d'Orsay, je remer ie Bernard Amadon, Karol Borejsza, Lu a de' Medi i, Ni olas Dupuis et Thierry Giamar hipour de nombreuses dis ussions.

Je voudrais aussi remer ier les membres du jury, Denis Jerome, Claire Lhuillier et Gilles Montambaux, en exprimantunere onnaissan e parti uliereenvers DenisFeinberg et Fran is o Guinea, qui ont a epte la lourde t^a he d'^etre rapporteurs.

Dans le petit lub des fran ophiles aliforniens, je remer ie Chitra, Mar elo Rozenberg, Andre-Marie Tremblay et Kay Wiese. Le groupe de travail ENS/Orsay/Sa lay (anime entre autres parBenoit Dou ot,PierreLe Doussal, Roderi h Moessner, EdmondOrigna ,Catherine Pepin) aete l'o asion de s'interesser a d'autres problemes. Je n'oublie pas bien s^ur de saluer l'equipe tres zende laD 13 (Giulio Biroli, Pas al Chauve,Gregory S hehr,Guilhem Semerjian et Christophe Deroulers), ainsi que les thesards du plateau d'Orsay.

Je remer ie nalement la dire tion du LPT-ENS et du LPS d'Orsay pour leur a ueil dans les meilleures onditions de travail, en parti ulier Mi helle Leliepvre, Mar elle Martin, Ni ole Ribet et Christiane Seguy pour leur aide pre ieuse et toujours dans la bonne humeur.

Bien entendu, rien n'aurait ete possible sans les meilleurs remedes de ma famille et belle-famille (soleil, musique, petits plats), et sans les quelques irredu tibles qui ont tente de me faire penser a autre hose que laphysique (Eugenie en t^ete).

Avant-propos 11

Partie I: Transition de Mott dans les materiaux orreles 15

1 Fermions orreles: materiaux, modeles et te hniques 17

1.1 Materiaux a fortes orrelations . . . 17

1.1.1 Generalites . . . 17

1.1.2 Un phenomene generique aux materiaux orreles: la transition de Mott 18 1.1.3 Signatures des orrelations fortes dans l'etat metallique . . . 22

1.2 Modelisation des materiaux orreles . . . 26

1.2.1 Modeles de basseenergie . . . 26

1.2.2  E he desappro hes traditionnelles pour la transition de Mott . . . 27

1.3 Theorie de hamp moyen dynamique . . . 28

1.3.1 Methodologie . . . 28

1.3.2 La transition de Mott en hamp moyen dynamique . . . 30

1.3.3 Quelques questions d'a tualite . . . 33

2 Materiaux orreles: omparaison theorie/experien e 37 2.1 Transport dans -BEDT-TTF . . . 37

2.1.1 Presentation experimentale . . . 37

2.1.2 Cal ul de la resistivite en DMFT . . . 43

2.1.3 Nouveau diagramme de phase . . . 47

2.2 Transition de Mott en surfa e de TaSe 2 : photoemission . . . 48

2.2.1 Presentation de l'experien e . . . 48

2.2.2 Lien ave la theorie . . . 53

2.3 Con lusion . . . 55

Arti le 1 59

Partie II: Methode de rotateurs es laves et appli ation a la transition

de Mott 71

3 Les rotateurs: generalites et modeles d'impuretes quantiques 73

3.1 Degeneres en e orbitale et orrelations . . . 73

3.1.1 Motivation physique . . . 73

3.1.2 Probleme etudie . . . 74

3.1.3 Appro hes numeriques du probleme . . . 74

3.1.4 Theorie de perturbation . . . 75

3.1.5 Bosons es laves: U= 1 . . . 75

3.1.6 Bosons es laves a U ni? . . . 77

3.2 Introdu tion au rotateur es lave . . . 79

3.3 Rotateur ondense a basseenergie: eet Kondo . . . 80

3.4 Rotateur dynamique:equations integrales a haute energie . . . 83

3.4.1 Limite multi- anal et equations integrales . . . 83

3.4.2 Origine de l'eet Kondo . . . 86

3.5 Con lusion . . . 87

4 Transition de Mott: appro he de rotateurs es laves 91 4.1 Une image simple de la transition de Mott: rotateurs ondenses . . . 91

4.1.1  Equations de hamp moyen . . . 91

4.1.2 La transition de Mott. . . 92

4.1.3  Etude numerique desequations de hamp moyen . . . 95

4.1.4 Con lusion partielle . . . 96

4.2 Rotateurs dynamiques et DMFT . . . 98

4.2.1 Resolution desequations DMFT . . . 98

4.2.2  Etude de ladegeneres en e orbitale . . . 101

4.2.3 Con lusion partielle . . . 102

4.3 Resultats exa tssur la transition metal-isolanta grande degeneres en e orbitale103 4.3.1 Methode proje tive multi-orbitale . . . 103

4.3.2 Solution expli ite a grand N . . . 105

4.4 Con lusion . . . 108

Arti le 3 111 Arti le 4 129 5 Eets des u tuations spatiales et de l'e rantage sur la transition de Mott 145 5.1 S enario pour la transition de Motten dimension nie . . . 145

5.1.1 Motivation . . . 145

5.1.2 Modele de Hubbard a trois dimensions: rotateurs es laves . . . 146

5.1.3 Dis ussion . . . 152

5.2 Eet de l'e rantage sur la transition metal-isolant . . . 154

5.2.2 EDMFT: presentation . . . 155

5.2.3 Limite atomique dynamique . . . 156

5.2.4 Traitement en rotateur es lave . . . 157

5.2.5  E rantage et transition de Mott . . . 159

5.2.6 Perspe tives . . . 161

Partie III:Correlationsele troniques dans les stru tures mesos opiques 165 6 Cir uits a un ele tron: realisations et theorie 167 6.1 Lespoints quantiques . . . 167

6.1.1 Realisation experimentale . . . 167

6.1.2 Des ription theorique . . . 171

6.2 Les^les metalliques . . . 174

6.2.1 Realisation . . . 174

6.2.2  Etude theorique . . . 175

7 Competition entre blo age de Coulomb et oheren eele tronique 183 7.1 Appro he theorique uniee pour les stru tures a un ele tron . . . 183

7.1.1 ^ Ile metallique: blo age de Coulomb . . . 184

7.1.2 Point quantique: blo age de Coulomb et eet Kondo . . . 185

7.2 Regimesintermediaires de ondu tion dans les points quantiques . . . 188

7.2.1 Eets de l'espa ement desniveaux . . . 189

7.2.2 Crossover inverse . . . 191

7.3 Con lusion . . . 194

Arti le 5 197 Partie IV: Flu tuations magnetiques dans les systemes de fermions orreles 213 8 Flu tuations magnetiques 215 8.1 Transition de phase quantique dans les fermions lourds . . . 215

8.1.1 Presentation des resultats experimentauxet interpretation theorique . . 215

8.1.2 Corre tions logarithmiques dans la theorie d'Hertz-Millis d =z =2 . . 218

8.1.3 Faiblesses de l'appro he EDMFT pour les phenomenes ritiques . . . . 218

8.1.4 Quelques remarques nales . . . 220

8.2 Au dela destheories lo ales: appli ation au magnetisme frustre . . . 221

8.2.1 Systeme de spinssur le reseau Kagome . . . 221

8.2.2 Appro he de luster-EDMFT . . . 224

Arti le 6 229

Arti le 7 243

Appendi es: 249

A Notations et formules utiles 251

A.1 Representation spe trale . . . 251 A.2 Densites d'etat diverses . . . 253

B Autour de la limite atomique 255

C Resolution numerique des equations integrales 259

C.1 Sur l'axeimaginaire . . . 259 C.2 Methode de al ul desfon tions spe trales . . . 261 D Quantites a deux parti ules ave la methode de rotateur 263

E EDMFT: formulations fon tionnelles 267

E.1 Premiere formulation . . . 267 E.2 Se onde formulation . . . 270

Le bouillonnementintelle tuelqui agitelesujetdesfermionsfortement orreles tient proba-blementtantalari hesseetala omplexitedesphenomenesobservesdans esmateriaux,qu'a larapidite ave laquellede nouveaux omposes interessantssontsynthetises.Les supra ondu -teurs a haute temperature ritique, de ouverts il y a une quinzaine d'annees, attirent en ore une a tivite experimentale et theorique importante, mais, gr^a e aux progres re ents dans les methodes de lithographie, un eort roissant va aussi dans l'etude de stru tures \arti ielles" de taille mesos opique omme les points quantiques, dans lesquelles les eets d'intera tions 

ele troniques sontaussi importants. Ces exemples \phares" ne doivent bienentendu pas mas-quer la grande diversite des es materiaux, et l'on pourrait tout aussi bien iter les omposes 

a fermionslourds ouamagnetoresistan e olossale, les ondu teurs organiques, les nanotubes de arbone, et m^eme les ondensats de Bose (bient^ot de Fermi?) dans des pieges lumineux periodiques.

Pour le theori ien, es divers systemes experimentaux presentent un de. D'une part, il s'agit de omprendre quels phenomenes fondamentaux gouvernent le omportement olle tif des ele trons dans es materiaux (qui n'est pas for ement tres intuitif, si l'on pense a l'eet Hallquantique fra tionnaire), et quelles ex itations vontdominerla physique de basseenergie. Par et aspe t des hoses, la on eption de modeles et leur etude par des methodes de phy-sique theorique(allant de latheorie des hampsaux simulations numeriques)restent un travail essentiel. D'autre part, fa e a la myriade d'eets observes dans es sytemes, a la variete des phasesen ompetition etaladiversite dese helles d'energie en jeu, ettet^a heest enpratique extr^emementardue. Onpeut biens^urespereridentier unpointxe simplepour omprendre le omportementdebassetemperaturedansteloutel ompose,maisenrealitelesregimes univer-sels sontsouvent repousses dans une region limitee du diagrame de phase,a destemperatures inferieures a l'energie de Fermi (renormalisee) ou a hes sousles phases ordonnees.On aalors besoin de methodes plus sophistiquees pour de rire les \ rossovers" qui prennent pla e dans les onditions experimentales.

Ilest aussibonde souligner que edomaineest a tuellementdansuneperiode de transition oul'on voit le rappro hement deste hniques a tuelles de probleme aN orps (qui onstituent l'etat de l'art dans le traitement des intera tions entre ele trons dans les solides) ave des al uls ab-initio de stru ture ele tronique (qui ont l'ambition, en partant de l'equation de S hrodinger, de traiter toutes les e helles d'energie). Mis a part la naissan e de nouveaux a ronymesbarbarestels \LDA+DMFT(QMC)", e ioreunenouvelle voiede developpement des al uls realistes pourles materiaux orreles. Ce domainede re her he entraine par ailleurs unemotivation supplementaire pourmettre aupointdeste hniquesplussimplesande traiter les orrelations ele troniques.

Cependant,la omplexitedesmodelesdefermions orreles estengeneral tres grande,etles methodes exa tes envisageables pourresoudre es modelesse trouvent^etre eÆ a es dans des ontextestreslimites(solution analytique de ertainsmodelesunidimensionnels) ouontdumal 

afran hir labarrierethermodynamique ( al ulsnumeriques).Ilestsouventplusaisede re ourir 

a desapproximations ontr^olees par un petit parametre, ommel'inverse du nombre de degres de liberte orbital, de la taille du spin, ou de la dimension (methodes grand N, grand S, grand d). Des methodes de e type ont ete developpees et etudiees au ours de ette these, ave l'idee de omprendre mieux les proprietes fondamentales des systemes de fermions orreles, mais aussi pour developper des te hniques qui pourront ^etre utiles en pratique. Parallelement, des al uls ont ete menes en relationave des experien es re entes menees sur essystemes. Cettetheseest onstruite autourde deuxthemesdistin ts,possedant toutefoisdesaspe ts physiques et methodologiques ommuns: les orrelations fortes dans les solides et l'in uen e des intera tions ele troniques dans les stru tures mesos opiques. Chaque theme est aborde par un hapitre introdu tif qui ouvre les generalites a la fois experimentales et theoriques du sujet ( hapitres 1 et 6). Tous les autres hapitres sont dedies a mes travaux de re her he, in luant si ne essaire une motivation plus detaillee des problemes qui ont ete onsideres. La plupart du temps, les details te hniques sont reportes a la le ture des arti les de re her he ( ompiles a la n de haque hapitre) et des appendi es, sauf en e qui on erne les travaux non en ore publies, qui sontpresentes dans le orps de lathese. L'organisation du manus ript est la suivante :

Le hapitre 1 est une introdu tion generale aux systemes de fermions orreles, ave l'emphasesur le phenomenede latransition metal-isolant(deMott) dueaux orrelations 

ele troniques. Ce i permettra de presenter les phenomenes de base observes dans es materiaux, et de donner la presentation d'une appro he theorique possible, la theorie de hamp moyen dynamique

1 .

Le hapitre 2 illustre des al uls entrepris dans le but de omprendre le r^ole des inter-a tions entre ele trons dans les solides, gr^a e a une omparaison dire te a deux etudes experimentalesre entes sur essystemes.Lapremierede es experien es, realiseeparP. Limelette a Orsay, onstitue une etude detaillee du transport de harge dans des om-poses organiques bidimensionels. La omparaison ave les predi tions de la theorie de hamp moyen dynamique aete beneque autant pour interpreter es donnees, que pour erner les limites de la modelisation que nous avons ee tuee. La se onde experien e, menee par L. Perfetti et M. Grioni a Lausanne, propose une etude par photoemission de la transition de Mott en surfa e d'un e hantillon de TaSe

2

et demontre, en a ord ave nos al ulstheoriques, laforte redistribution de poidsspe traldans ladensited'etat 

ele tronique qui est asso ieea e phenomene.

Le hapitre 3 presente une idee qui est au oeur de la partie theorique de ettethese : la representation de la hargeele tronique par unevariable olle tive de phase (rotateur es lave), qui permet un traitement non-perturbatif de l'intera tion oulombienne. Pour illustrer l'utilite et la simpli ite de ette appro he, on s'interessera i i a des problemes d'impurete quantique, qui interviennent dans la formulation moderne de la theorie de 1

plusieurs reprises par la suite.

Le hapitre4estl'appli ationdelamethodederotateures laveal'etudedelatransition de Mott dans le adre du hamp moyen dynamique. La question de la degeneres en e orbitale sera examinee la plus en detail, ave une omparaison de nos resultats a une nouvelle limite de N grand ainsi qu'a des al uls numeriques. On s'eor era par ailleurs de donner une image physique simple de la transition de Mott gr^a e a es nouvelles variablesde rotateurs.

Le hapitre 5 est l'o asion de mettre en oeuvre l'idee de rotateurs, testee dans les hapitrespre edents,envuedelever ertaineslimitationsinherentesalatheoriede hamp moyen dynamique (dans sa formulation la plus simple). On analysera ainsi des eets physiques dusa la onne tivite nie du reseau, an de mieux omprendre les singularites asso iees a la limite de grande dimension. La te hnique de rotateur trouvera aussi une appli ation naturelleala solution de modelespossedant une intera tion Coulombiennea plus longue portee, dans un s hema dit \Extended DMFT". Cette derniere appro he a onduit a une etude la question de l'e rantage pres de la transition de Mott.

Le hapitre 6 onstitue l'introdu tion au se ond theme, et aborde des aspe ts lies aux orrelations dans les stru tures mesos opiques. Ave la presentation de quelques realisations experimentales simples, il est detaille les phenomenes physiques de base ex-hibes par es systemes : le blo age de Coulomb et l'eet Kondo, ren ontres dans un ontexte dierent au ours des hapitres pre edents.

Le hapitre 7 est onsa re a l'utilisation de la methode de rotateurs es laves appliquee auxpointsquantiques.Laquestionphysiquequenousavonsexamineeestlarestorationde la oheren e abassetemperaturedans etypedestru ture, ainsiquedans desmateriaux ma ros opiques granulaires. Nous montrerons que la theorie presentee i i permet une appro he generale des eets d'intera tion dans les stru tures a un ele tron.

Le hapitre 8 est un peu de onne te des travaux pre edents et on erne des questions de magnetisme. Il omprend une introdu tion au probleme du point ritique quantique dans les omposes de fermions lourds, pourlequel nous avonsetudie en detail l'appro he de u tuations de spins. La se onde partie de e hapitre presente une tentative pour appliquer la theorie de hamp moyen dynamique a des systemesde spins frustres, gr^a e 

et te hniques

Ce hapitre propose une introdu tion generale aux systemes de fermions orreles, presentant ertains resultats experimentaux marquants, ainsi que la theorie de hamp moyen dynamique. L'a ent sera mis i i sur les eets des orrelations 

ele troniques dans la phase normale ave l'exemple de la transition de Mott, qui sera omnipresente tout au long de ette these. Il faut noter que d'autres themes 

etudies neseront introduitsqueplustard, ommeles sytemesmesos opiques ( ha-pitre6)oulemagnetismequantique( hapitre8).Le hapitre2seraaussil'o asion d'examiner un peuplus en detail deux materiaux orreles : le ondu teur organique bidimensionnel -(BEDT-TTF)

2

Cu[N(CN) 2

℄Cl et le di hal ogene TaSe 2

(en sur-fa e).

1.1 Materiaux a fortes orrelations

1.1.1 Generalites

Pour ommen er, il est bon de denir e que l'on entend par \systemes de fermions for-tement orreles", en se posant tout d'abord la question au niveau experimental. On peut par exemple remarquer que deux metaux

1 , l'aluminium et l'oxyde La 1:8 Sr 0:2 CuO 4 , presentent des proprietes physiques remarquablement dierentes. Le premier montre en eet un etat metallique et une phase supra ondu tri e a tres basse temperature qui se omprennent dans une image d'ele trons quasi-libres (formalisee par le duo des theories BCS et du liquide de Fermi). Dans le se ond, la for e des intera tions entre ele trons et la bidimensionalite des plans Cu-O sontresponsables de proprietes anormales dans la phase metallique (e.g. en trans-port),ave l'emergen e d'unordre supra ondu teur a destemperatures assezelevees(environ 40K). Ces anomalies nous poussent a lasser e ompose parmi les materiaux orreles. Cet exemple extr^eme ne doit pas a her le fait qu'une multitude de materiauxafortes orrelations possedent un etatmetallique aux proprietes tres analogues a elles de metaux simples omme Al, en poussant ependant l'image du liquide de Fermi dans ses retran hements. C'est le as des omposesdefermionslourds ommeUPt

3

,et, ommeonleverraen detailplusbas,de er-tainsoxydesde metauxde transitions.Onpeut deja iter les omposes V

2 O 3 etSr 1 x La x TiO 3 , qui presentent d'importants eets de renormalisation dus aux intera tions, sans violer drama-tiquement le liquide de Fermi [1℄.

1

1.1.2 Un phenomene generique aux materiaux orreles : la transition de Mott

On peut tout d'abord s'interroger sur l'origine des fortes intera tions presentes dans es materiaux,en soulignant toutefoisl'importan ede fa teurs purement geometriques, omme la basse dimensionalite ou la frustration magnetique. Qualitativement, la position dans la table periodique deselements metalliques qui omposent les materiaux orreles pre edemment ites nousdonne unepremierepiste.Ilsonttousen ommunlapresen e d'orbitales 3d, 4f ou5f qui donnent lieu dans le solide a des bandes etroites, partiellement remplies et pro hes du niveau de Fermi. Des lors, la question se pose de fa on plus quantitative, puisque les valeurs de la largeurde bandeet de l'intera tion Coulombienne dependent fortement de lastru ture pre ise de haque ompose. Unfa teur important est par exemple l'e rantage de l'intera tion dans la bande de ondu tion par les bandes de valen e voisines. Dans le as des oxydes, les atomes metalliques de la stru ture realisent une hybridation ave les oxygenes voisins, qui reduit en general la largeur de bande, augmentant ainsi l'eet relatif des orrelations. De tels eets menent a don alterer fortement a la fois la valeur de l'intera tion de Coulomb

2

et l'energie inetique des ele trons. Notons W ette derniere, U l'intera tion e rantee sur l'orbitale d, et
l'energie de transfert de harge entre l'orbitale d et l'orbitale p voisine, dans l'exemple d'un oxyde de metal de transition. On onstate qu'on peut se trouver alors dans dierents regimes. Lorsque
U W, les ele trons se lo alisent sur l'orbitale d poureviter de payer l'energie de Coulomb et on a un etat isolant (de Mott). Une autre possibilite, qui appara^t si U 
 W, est de bloquer les ele trons sur le site de l'oxygene; 'est alors un isolant a transfert de harge

3

. La destru tion de es deux types d'etats isolants, qui se produit lorsque W &U ou
, onduit, a traversune transition de Mottisolant-metal,a laformationd'unetat metallique dans lequel les eets des intera tions restent importants [2℄. L'exemple anonique illustrant ette transition ontrolee par la for e des intera tions est donne par l'oxyde V

2 O

3 (gure 1.1),maison onstatequedesdizainesde omposes dierentsexhibent ephenomene, ommeparexemplele ondu teurorganique-(BEDT-TTF)

2

Cu[N(CN) 2

℄Cl(voirgure1.2et hapitre2).Latransition deMottestdon universellementpresente danslessystemes orreles.

Unaspe timportant de ettephysique on erne lapossibilite d'a order de maniere onti-nuelalargeurdebandesur unm^eme ompose,and'examinerlatransitionde Mottdemaniere progressive (plut^ot qu'une simple lassi ation des materiauxentre metal et isolant de Mott). En pratique,pourdessystemesisolantspro hes de latransition,l'appli ation d'unepression de quelques kbars peut suÆre a augmenter le re ouvrement des orbitales de manierea retrouver un ara tere metallique ( ommepresente aux gures suivantes). Une autre fa on d'arriver au m^eme eet est d'utiliser des substitutions himiques deformant la stru ture ristalline (voir le paragraphe suivant).

2

Depuis desenergies atomiques ( olossales) a desvaleurs e rantees qui restent non negligeables devant la largeurdebande.

3

On parle souvent de fa on generique d'isolant de Mott an de dierentier un etat isolant a ause des intera tionsave un isolantdetypeAnderson (induitparledesordre),ouave les isolantsmagnetiques.

PSfrag repla ements Pression (bar) Temperature (K) Antiferro Supra Isolant Metal

Fig. 1.1 { Diagramme de phase de l'oxyde de metalde transition V 2 O 3 , d'apres [3℄.

40

30

20

10

0

600

400

200

0

PSfrag repla ements Pression (bar) T emp erature (K) Antiferro Supra Isolant Metal

Fig. 1.2 { Diagramme de phase du ondu teur organique -(BEDT-TTF) 2

Cu[N(CN) 2

℄Cl, d'apres des mesures de RMN [4℄.

 La stru ture perovskite : une autre fa on d'etudier la transition de Mott

La transition de Mott peut aussi ^etre atteinte en modiant le remplissage de la bande d, puisque l'isolant de Mott est instable vis a vis du dopage. Ce i peut se realiser en pratique par substitution himique progressive d'un atome de la stru ture ave un atome de valen e dierente,quijoueler^oledereservoirde harge.Onpeut iterle asdu omposeSr

1 x La x TiO 3 , qui fait partie d'une serie bien onnue d'oxydes ternaires de la ou he 3d, illustree par le diagramme de Fujimori (Fig. 1.3). Cette grande lasse d'oxydes tridimensionnels de stru ture perovskite (voir gure 1.4) demontre par ailleurs tres lairement la generalite du phenomene en question i i.

Fig.1.3{ Classi ationmetal-isolantenfon tiondelavalen e(axehorizontal)etde lalargeur de bande(verti alement)pourdesoxydes demetauxde transition dela ou he3d, d'apres [5℄. Les lignes en traits gras sont elles suivies par un ompose du type A

x A' 1 x BO 3 en fon tion de la omposition himique x.

On remarque de plus que lorsque deux atomes de m^eme valen e 4

sont e hanges, on dispose de la possibilite de varier ontinuement lalargeur de bande a remplissage onstant (si l'un desdeux atomesest plus gros, il produitune distorsion du reseau suÆsante pour modier legerement le re ouvrement des orbitales voisines des atomes metalliques de type B). C'est par exemple le as de Ca

1 x Sr

x VO

3

, qui reste malgre tout un metal pour toute valeur de x (ave deseets des orrelations assezimportants en surfa e [6,7℄). Cet eet de modi ation

4

Lesatomes entrauxdelastru tureperovskiteneparti ipentpasala ondu tion,etservent uniquementde reservoirde harge.

de lalargeur de bande joue aussi dans le as ou l'on hange le remplissage de labande, e qui omplique l'analysedesdonnees(lediagramme1.3trouve alors tout soninter^et pourvisualiser qualitativement les hangements produits).

Fig. 1.4 { Stru ture perovskite du ompose tridimensionnel SrTiO 3

(vue globale du reseau et ellule elementaire).

Bien s^ur, il ne s'agit pas de negliger le r^ole du magnetisme dans es systemes. D'une part par equ'on peut transiter dire tement de l'etatmetallique vers un isolant magnetique (transi-tion deMott-Heisenberg), par lapresen e de momentslo auxdans lemetalquisonttoutpr^ets 

a s'ordonner a basse temperature. Le type d'ordre magnetique ainsi obtenu (le plus souvent antiferromagnetique) depend fortement de la stru ture du materiau onsidere. D'autre part par e que le magnetisme a des eets tres importants, m^eme dans la phase normale ( u tua-tions magnetiques pres des phases ordonnees). Finalement, les intera tions diverses dans le se teur de spin (super-e hange, intera tion de Hund), la basse dimensionalite et la frustration de ertains omposes sontsour e de ompli ations supplementaires. On se ontentera de dire que la omplexite du probleme de la supra ondu tivite a haute temperature est intimement liee a l'ensemble de esquestions, puisque la phase supra ondu tri e des uprates emerge par dopage d'un isolant de Mott bidimensionnel antiferromagnetique.

1.1.3 Signatures des orrelations fortes dans l'etat metallique

Nous allons maintenant entrer un peu plus dans le detail de es materiaux parti uliers, en ommen ant par examiner les diverses proprietes anormales qui se manifestent dans leur phase metallique (paramagnetique). Nous nous on entrerons prin ipalement sur le ompose Sr 1 x La x TiO 3

, ar denombreuxmesuresexperimentalesontet emeneessur em^emesysteme, e qui permet une ara terisation quasi-exhaustive de la physique qui nous interesse i i (rap-pelons qu'il s'agit d'un ompose ou la transition de Mott se produit par dopage et non par modi ation de la largeur de bande).

 Renormalisation de la masse ee tive

Selonlatheorie duliquidede Fermi,les ex itationselementairesdans unmetalpeuvent^etre de rites omme des quasiparti ules ave desparametres renormalises et de faibles intera tions residuelles (m^eme si le probleme a N orps qui est en jeu reste formidablement omplexe). Ainsi la lo alisation progressive des ele trons au voisinage de la transition de Mott (du ^ote metallique) se manifeste par un a roissement de la masse ee tive, que l'on peut mettre en eviden e experimentalement par l'augmentation du oeÆ ient de la haleur spe ique a basse temperature C

V

= T, omme illustre a la gure 1.5 sur le ompose Sr 1 x La x TiO 3 5 .

Fig. 1.5 { CoeÆ ient du terme lineaire de la haleur spe ique et sus eptibilite magnetique  en fon tion du dopage dans Sr

1 x La x TiO 3 . 

A droite, fa teur de Wilson ( 2 k 2 B )=(3 2 B ). D'apres [8℄.

Cetteguremontreaussil'augmentationanaloguedelasus eptibilitedespin(independante de latemperature), etpermet de tra er le fa teurde Wilson = (normalisepar3

2 B =( 2 k 2 B )). 5

CeteetaetepredittheoriquementdanslestravauxpionniersdeBrinkmanetRi e.Nousyreviendronsau hapitre4.

Celui- i reste stable autour de la valeur 2, malgre la \divergen e" simultanee de et  pour x 1.Ce iindiquel'absen e de u tuationsmagnetiquesalatransition deMott(desmesures plusre entesatresfaibledopageont ependantmiseneviden eunephaseantiferromagnetique qui n'est pas signalee i i [9℄).

 Transport modie 

A trois dimensions, et en l'absen e de u tuations ritiques pres d'une phase ordonnee ou d'un point ritique quantique, un metal possede une resistivite quadratique (T) = 

0 + AT

2 

a basse temperature (liquide de Fermi). Le oeÆ ient A peut aussi presenter de fortes renormalisations dues aux intera tions, en parti ulier a proximite de la transition de Mott, ou il re ete la redu tion du temps de vie des quasiparti ules. Ce i est lairement montre sur les mesures de transport dans Sr

1 x La

x TiO

3

pour x pro he de 1 (gure 1.6). Ces donnees on ordentave l'entree orrespondante dansle diagrammede Fujimori, gure1.3,ouLaTiO

3 apparait bien omme un isolant au bord de la transition de Mott.

Fig. 1.6 { Resistivite [8℄dans Sr 1 x La x TiO 3 en fon tion de T 2

et pour dierents dopages.

 Faiblee helle de oheren e

Dansleregime orrele,ons'attenda equel'energiede oheren e   F

soitaussirenormalisee par les intera tions. Cette e helle d'energie peut ^etre ara terisee par une temperature de Fermi ee tive, T  =  F =k B

, en dessous de laquelle la theorie de Landau desliquides de Fermi s'applique. Cet eet est toutafait visible dans les donnees de transportpar unedeviationa la loi du T

2

pour des temperatures superieures a T 

(P) (gure 1.6). Ce hangement a bien une nature ele tronique, ommel'indique la de roissan e rapidede T

 

al'appro he de la transition de Mott.

 Regime de \mauvais metal"

Quand la temperature depasse la temperature de oheren e T 

, il persiste en general un regimede \mauvais metal" danslequel laresistivite ontinueaaugmenterave latemperature (leplussouventdefa onlineaire).Iln'est ependant paspossiblede parler ladequasiparti ules ave un temps de vie anormal, ar le libre par ours moyen ` que l'on extrait d'une formule de Drude et de la valeur de la resistivite dans e regime est alors inferieure aux distan es inter-atomiques, k

F

` . 1 (k F

est le ve teur d'onde de Fermi). Ce regime est don asso ie a des resistivites superieures a la limite de Mott:

 3D = 3 2 1 k 2 F ` h e 2 & 3 2 1 k F h e 2  Mott 3D (1.1)

 Transfert de poids spe tral

La disparition progressive des quasiparti ules a la transition de Mott doit se manifester de fa on dramatique dans les quantites dependantes de la frequen e. Ce i est observe dans des mesures de ondu tivite optique sur le ompose quenous avonsexamine toutau longde ette se tion, Sr 1 x La x TiO 3

.Onassisteainsi,lorsquex serappro he de1,aladisparitionprogressive du pi de Drudea bassefrequen e, qui s'a ompagne d'uneredistribution importantede poids spe tral, omme illustre sur la gure 1.7.

Fig. 1.7 { Condu tivite optique [10℄ en fon tion du dopage dans Sr Æ La 1 Æ TiO 3 (Æ =1 x).

Cet eet a ete aussi mis en eviden e par mesure de la fon tion spe trale ele tronique en photoemission (ARPES) sur V

2 O 3 et Ca 1 x Sr x VO 3

[6,7℄, malgre une longue ontroverse a e sujet, ainsi que sur la surfa e du ompose TaSe

2

, que l'on etudiera a la se tion 2.2. Il n'existe malheureusement pas a l'heure a tuelle de mesure dire te de la densite d'etats lo ale par mi ros opie a eet tunnel, qui pourrait merveilleusement illustrer la transition de Mott.

 Violation du liquide de Fermi

Desdeviationsimportantesau omportementLiquidedeFermisontobserveesdanslaphase normale de nombreux materiaux : oxydes omme La

1 x Sr x VO 3 [11℄, omposes de fermions lourds pres d'un point ritique quantique (voir le hapitre 8.1),et bien s^ur uprates super on-du teurs. La proximite de u tuations magnetiques importantes (sur lesquelles les ele trons diusent) est souvent avan ee pour expliquer etype d'anomalies.

1.2 Modelisation des materiaux orreles

Cette se tion debute la des ription theorique des systemes de fermions orreles, en intro-duisant les modeles pertinents pour etudier le phenomene de latransition de Mott.

1.2.1 Modeles de basse energie

L'idee de base est bien entendu de se ramener a la modelisation la plus simple possible, tout en gardant les degres de liberte essentiels pour la des ription des phenomenes auxquels on s'interesse. Les e helles d'energies ele troniques etant en general olossales par rapport 

a la temperature (superieures a l'ele tron-Volt, don au moins 12000 K), on se permet de negliger les orbitales lo alisees au oeur des atomes, ou formant des bandes dans le solide qui se trouvent loin du niveau de Fermi. Il ne faut ependant pas oublier que es \details" sont importants dans lamesureouils onduisenta desrenormalisations desparametresintervenant dans un modele de plus basse energie (par e rantage de l'intera tion Coulombienne ou par deformation des bandes de ondu tion). La stru ture ristalline est le plus generalement tiree des experien esde rayonsX, maisl'on peut a tuellementpredire ave plus oumoins de su es la stabilite relativeentre dierentes stru tures possibles du reseau.

Onpeut alorse rireun modelepourlesele trons dans desorbitales de Wannierpro hes des atomes,qui possedeunepartieliaisonforteetunepartied'intera tion entreele trons, ouplant sites (i), orbitales () et spins (),sous la forme suivante (en se onde quanti ation) :

H =

X

ij t  ij d y i d j +

X

ij 0 V ; 0 ij d y i d i d y j 0 d j 0 (1.2)

Ladeterminationdesparametresdebasseenergieintervenantdansuntelmodeleestenfaitune question extr^emement te hnique. En eet, on ne peut pas se ontenter d'estimer la matri e d'intera tion V

; 0 ij

par un al ul d'elements de matri e des orbitales de Wannier, puisque l'e rantageparlesbandesquel'onanegligepeutreduire ettevaleurdemaniereimportante.La question del'evaluationdesparametresdebandeetd'intera tion ne essitedon deste hniques ab-initio assez sophistiquees donton ne parlera pas i i [12℄.

 Modele de Hubbard

Onpeut simplier davantage l'Hamiltonien (1.2)dans le as ou ilne se trouve qu'une seule bande pro he du niveaude Fermi (par exemple lorsquela degeneres en e orbitale est leveepar les hamps ristallins ou les deformations du reseau). En negligeant la partie a longue portee de l'intera tion Coulombienne, exponentiellement de roissante dans un metal, on arrive alors au modele de Hubbard, qui ontient les ingredients de base pour de rire les proprietes des systemesd'ele trons orreles :

H =

X

ij t ij d y i d j +U

X

i d y i" d i" d y i# d i# : (1.3)

Le fait quel'e rantagese degradeprogressivement al'appro he delatransition de Mott,mene 

(voir se tion 5.2). Il faut aussi dire que la degeneres en e orbitale joue un r^ole important dans de nombreux omposes aun niveauquantitatif (voir se tion 4),mais peut onduire aussi 

a des eets tout a fait interessants [15℄ (brisure de symetrie orbitale, possibilite de liquide d'orbitales...).

1.2.2 

E he des appro hes traditionnelles pour la transition de Mott La omplexite du modele de Hubbard (1.3), a l'allure pourtant extr^emement simple, est de plusieurs ordres. Tout d'abord a ause de la multitude de phase ordonnees possibles (en fon tion de l'intera tion, du dopage et de ladimensionalite). Ensuite, par e que le regime qui nous interesse plusparti ulierement i i (transition de Mott) est diÆ ilement a essible par les te hniquesstandards.On peutremarqueraussi quele grandnombre de degres deliberte enjeu etlanature fermioniqueduproblemeposeen generaldeslimitesimportantespourlesmethodes numeriques (voir ependant [16℄).

 Methodes pertubatives

Les appro hes analytiques du modele de Hubbard supposent en general qu'il est legitime de traiter l'un des deux termes dans (1.3) en theorie de perturbation. Cela ore deux voies omplementairespour aborderle probleme, qui onteu dessu es importantspour omprendre la nature des regimes se trouvant de part et d'autre de la transition de Mott. On peut par exemple iter la theorie phenomenologique des liquides de Fermi (valide a ouplage faible), et la derivation de theories ee tives omme le modele de Heisenberg (pour U  t). Ces appro hes essent malheureusement d'^etre valides dans le regime de ouplage intermediaire, et sont don sans utilite pour de rire la transition de Mott, qui se produit pour des valeurs de l'intera tion omparablesa l'energie inetique desele trons.

 Autres appro hes: limites ontrolees

Dans la mesure ou il n'y a pas de petit parametre evident pour traiter e probleme 6

, il a 

ete developpe diverses extensions au modelede Hubbard (ou de ses derives, ommele modele t-J) qui permettent d'obtenir une solution non perturbative. Ce sont les limites de grande degeneres en e et de grande dimension. La premiere appro he etantassez ari aturale (on en reparlera au ours du hapitre 4), je vais presenter maintenant la limite d =1, ainsi que ses su es re ents on ernant latransition de Mott.

6

Les methodesexa tes(ansatz deBethe)ou detheoriedes hamps (bosonisation)sont engenerallimitees au as unidimensionel,dontlaphysiqueestdeplustresparti uliere.

1.3 Theorie de hamp moyen dynamique

1.3.1 Methodologie

Legainessentiel apporte parlalimitedegrandedimension estde s'aran hirdesproblemes lies alalimitethermodynamique,en mettantl'a entsur unedes ription lo alede laphysique. L'ideede base est de deriver unetheorie ee tive pour le mouvementdesele trons sur un site xedureseau,enesperantque ettedynamiqueresterasuÆsamentsimple.Le faitquelalimite \grand d" permette ette simpli ation peut se omprendre en theorie de perturbation : on peutvoirqueles ontributionsalaself-energiesontpurementlo alesdanslalimited !1[17℄. Pour progresser, il aete ru ial de onstruire une theorie ee tive qui de rit la dynamique lo ale des ele trons [18,19℄. Pour ela, on peut partir du modele de Hubbard, et integrer expli itement tous les sites du reseau sauf un site donne

7

. Considerons ainsi le al ul de la

BAIN

Fig. 1.8 { Cavite reee dans le reseau en eliminant un site donne, et transformation vers un probleme ee tif a un site.

fon tion de partition ( est le potentiel himique) :

Z =

Z

Dd Dd y e S (1.4) S =

Z

 0 d

X

i d y i (  )d i

X

ij t ij d y i d j +U

X

i d y i" d i" d y i# d i# (1.5)

ete rivonsl'a tionee tive lo alequi de rit le omportement desele trons ausite donne (par exemple i =0) : S lo =

Z

 0 d

X

 d y  (  )d  +Ud y " d " d y # d # +S e (1.6) S e = +1

X

n=1

X

i 1 j 1 :::i n j n G (0) i 1 j 1 :::i n j n ( 1  0 1 ::: p  0 p ) n

Y

p=1

Z

 0 d p

Z

 0 d 0 p t ip0 t jp0 d y  ( p )d  ( 0 p ) (1.7) en notant d y  = d y i=0;

le fermion au site de la avite et G (0)

la fon tion de Green onnexe 

a 2n-points, al ulee dans le reseau ave le site i = 0 en moins. Si l'on prend maintenant la 7

limite d !1 ave le hoix judi ieux t ij

/d

jji jjj=2

, on peut se onvain re que le n ieme

terme apparaissant dans (1.7) est d'ordre d

1 n

, et que l'a tion ee tive est purement quadratique (mis a part le terme d'intera tion lo al originellement present dans (1.6)). Il n'est pas diÆ ile d'evaluer ensuite la fon tion de Green a deux points en avite G

(0) ij

( 

0

), e qui permet d'arriver au resultat nal :

S lo =

Z

 0 d

X

 d y  (  )d  +Ud y " d " d y # d # +

Z

 0 d

Z

 0 d 0
(  0 )

X

 d y  ()d  ( 0 ) (1.8) G d (i! n )

d  (i! n )d y  (i! n )



j S lo =

X

k 1 G 1 d (i! n )+
(i! n )  k (1.9) ou  k

est la transformee de Fourier de t ij

. La premiere de es equation orrespond don a l'a tion ee tive du probleme lo al, dontle dernier terme signale quel'ele tron peut quitter a toutinstant()lesite i =0 poursepromenerdanslerestedureseau, etreveniraupointinitial 

aun instantulterieur ( 0

).Ce iimposed'introduireunefon tion d'hybridation
() quijoue le r^ole d'un hamp de Weiss pour eprobleme et qui est determineede fa on auto oherente par l'equation(1.9).Cettederniere s'interprete enremarquantquel'onpeutdeniruneself-energie 

d (i!

n

) pour l'a tion ee tive (1.8)par :

G d (i! n ) 1 i! n
(i! n )  d (i! n ) (1.10)

Commeonlenotesurl'equation(1.9)ensubstituantl'expression pre edente, etteself-energie du probleme ee tif est aussi la self-energie du probleme omplet sur le reseau (qui est don bien independante de k); ela permet de ree rire l'equation d'auto oheren e de maniere plus physique : G d (i! n )=

X

k 1 i! n  k  d (i! n ) (1.11)

Nousremarquonsparailleurs quel'a tionee tive(1.8)est elled'unmodeled'impurete quan-tique d'Anderson, introduit initialement pour de rire la formation des moments magnetiques dans les metaux et les anomalies de transport qui y sont observees (eet Kondo).

 

A propos de la limite d =1

Onpeutd'abords'interrogersurlaformepriseparleparametredesautt ij

/d

jji jjj=2

. Celle- i permet de trouver une energie inetique par parti ule d'ordre 1 quand d tend vers l'inni ( ette preuve est donnee a l'appendi e A.2). En utilisant e hoix, l'intera tion de Coulomb et l'energie inetique restent omparables et peuvent entrer en ompetition de maniere non triviale. De plus, le fait de resoudre un modele de maniere exa te dans une limite ontrolee (m^eme si un peu formelle) permet d'obtenir unetheorie oherente thermodynamiquement.

1.3.2 La transition de Mott en hamp moyen dynamique  Argumentsqualitatifs

On peut remarquer que par onstru tion lalimite de grande dimension de rit orre tement le as sans intera tion (U =0) et lalimite atomique (t =0)du modelede Hubbard.Elle ore don l'opportunite d'etudier la physique des problemes de fermions orreles dans le regime de ouplage intermediaire, ou l'on s'attend a unetransition de phase metal-isolant.

La presen e d'une phase metallique a ouplage faible (U  D, ou D est la demi-largeur de bande) est garantie par la forme m^eme de l'a tion ee tive (1.8) : on sait que le modele d'Anderson est asso ie a la produ tion d'une resonan e Kondo pres du niveau de Fermi [20℄, qui orrespond don a la formation de quasiparti ules metalliques dans le langage du modele de Hubbard. L'auto oheren e (1.9) joue ependant un r^ole important dans le sens ou le bain d'ele tron
()re etedire tementlastru turedelafon tiondeGreen physique.Enparti ulier, dans le as d'une densite d'etats semi ir ulaire de demi-largeur D =2t (reseau de Bethe), on a simplement :
() =t 2 G d () (1.12)

L'equation d'auto oheren e est ultimement responsable de la transition de Mott, puisque le modele d'Anderson ave un bain xe est regulier pour toute valeur de U : 'est la redu tion simultanee de la largeur de bandedes quasiparti ules dans G

d

et
qui onduit ala disparition de la phase metallique a U D.

 Diagramme de phase

Le diagramme de phase obtenu en resolvant 8

les equations DMFT (1.8-1.9) montre en eet l'existen ed'unetransition metal-isolant,duse ond ordreatemperaturenulle[21,22℄(on notera epoint ritiquepar U

2

'3D).La situationatemperaturenie est plus omplexe, ar la zone de transition s'etenda basse temperature en une region de oexisten e entre metal et isolant(delimiteeparleslignesenpointillesU

1 (T)etU 2 (T)surlagure1.9 9 ),oulatransition est du premierordre[23,24℄(ligne ontinue sur lam^emegure).Cette regionse termine enun autrepoint ritiqueduse ondordre(U

'2D),pourunetemperatureT

'D=40.Toute ette zone peut se omprendre qualitativement par une analogie ave la transition liquide gaz [25℄ 10

, qui est resumee au tableau suivant :

Transition Liquide-Gaz Transition de Mott Pression hydrostatique Largeur de bande (D) Temperature Temperature

Densite molaire Double o upation

Liquide Metal

Gaz Isolant

8

Dierentesmethodes,analytiques (theoriede perturbation,bosons es laves,equations integrales, methode proje tive)etnumeriques(MonteCarloQuantique,diagonalisationexa te,groupederenormalisationnumerique) sont envisageables.Voirlase tion2.1.2etle hapitre4.

9

Pour T <T

, la phase metallique persiste tant que U <U 2

(T), tandis que laphase isolante existe pour U

1

(T)<U. 10

Cetteremarqueaeteformalisee[26℄enanalysantl'energielibreDMFTauvoisinagedelatransitionaT

PSfrag repla ements T T U U 2 U 2 (T) U 1 (T) Metal Metal (Liquide de Fermi) Isolant de Mott Mauvais Semi-Condu teur

Fig. 1.9 { Diagramme de phase paramagnetique (s hematique) des dierents regimes autour de la transition de Mott. Les lignes pointillees entourent la region de oexisten e. La ligne de transition du premier ordre est donnee par le trait ontinu qui joint les deux deux points ritiques dis utes dans le texte. Les rossovers sont designes par les lignes epaisses grisees.

La phase dense orrespond don au metal, qui possede une plus grande densite de double o upations que l'isolant de Mott. Cette analogie devient par ontre quantitative a proximite du point ritique terminal, ou le omportement ritique est de rit par une transition ontinue dans la lasse d'universalite du modeled'Ising (en hamp moyen). On peut en eet e rire une 

equation d'etat, analogue a l'equation de Van der Waals (ou Ising sous hamp magnetique) : h(D;T)=r(D;T)+

3

(1.13) ou est un parametred'ordre, relie a la plupart des quantites physiques : double o upation, mais aussi ondu tivite ou densite d'etat au niveau de Fermi. Les ourbes de ondu tivite, dans laregion autour du point ritique terminal,illustrentde fa ontres parlante etteanalogie (gure 1.10).

Un autre aspe t important de la transition de Mott a temperature nie on erne le pas-sage de l'etat metallique (dans le sens d'une resistivite roissante en temperature) vers l'etat isolant lorsqu'on se trouve au-dessus du point ritique terminal. Ce hangement d'etatse fait de maniere indire te, par des rossovers intermediaires asso ies a des regimes de transport dierents, indiques a lagure 1.9. On remarquera ainsi a la gure 1.11 un regime de ondu -tion metallique ave des resistivites plus grandes que la limite de Mott (mauvais metal). Voir la se tion 2.1.2 pour plus de details.

0.995

1

0

1

2

3

4

5

PSfrag repla ements  = D=D

Fig. 1.10 { Condu tivite (D;T) en fon tion de la largeur de bande D, a proximite du point ritique (D

;T

) indique par le point noir; dierentes temperatures ont ete prises (T . T en haut a gau he, et T & T

en bas a droite). Cal ul DMFT par la methode IPT (voir se tion 2.1.2).

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.01

1

100

10000

PSfrag repla ements T  ( T ) = Mott

Fig.1.11{Cal ulDMFT(IPT)delaresistivite(T)danslemodeledeHubbardparlamethode IPT (remarquer l'e helle logarithmique). Une large gammede valeurs de l'intera tion U a ete hoisie, ave la ourbe en gras prise dans le regime U

1

< U <U 2

, pour illustrer le ara tere premier ordre de la transition de Mott.

1.3.3 Quelques questions d'a tualite  Proprietes ritiques de la transition de Mott

L'etude experimentale de l'aspe t liquide-gaz de la transition de Mott dans les systemes de fermions orreles ne essite une etude tres ne du transport au voisinage du point ritique terminal. L'utilisation d'une te hnique pre ise de balayage en pression par P. Limelette dans le groupe de D. Jerome a Orsay a permis une premiere investigation de ette question sur les ondu teurs organiques bidimensionels (voir Arti le-1), puis sur V

2 O

3

. Dans e dernier ompose, on observe une onrmation remarquable des predi tions de la theorie de hamp moyendynamique:latransition deMottsemble^etreunetransition d'Ising(atroisdimensions), ave deslois d'e helle ompatiblesave ette lassed'universalite. Notonsque ettete hnique a ete aussi utilisee pour faire l'etude en transport des rossovers mentionnes au paragraphe pre edent (voir se tion 2.1).

Nousremarquonsnalementquel'etudeexperimentaledelatransitiondeMottatemperature nulleestunequestion diÆ ile,a ausedelapresen e de phasesordonneesabassetemperature. Nous dis uterons des aspe ts theoriques de ette transition dans le adre de DMFT dans le hapitre 4 (voir aussi la se tion 5.1).

 Question du ouplage au reseau

Laquestiondu ouplagedesfermionsauxvibrationselastiquesdureseauestunautreaspe t important de la transition de Mott. En eet, dans la plupart des omposes ( ommeV

2 O

3 ), la transition metal-isolant s'a ompagne d'un hangement abrupt de la maille (en general sans modi ationstru turale).Bienqu'onpuisse argumenterdanslesensoppose, ilsembleprobable que et eet soit d^u a la proximite d'une singularite des proprietes ele troniques. Toutefois, il est on evable que l'instabilite du reseau puisse preempter la transition de Mott proprement dite, selon un argument de H. Krishnamurthy [27℄. Cette idee pourrait en parti ulier expliquer larelativemollesse du regime ritique pourles omposes organiques, qui sonthautement om-pressibles et dans lesquels la reponse du reseau aux instabilites ele troniques doit ^etre grande.

 Questions relatives a la lo alite de DMFT

Denombreux eetsphysiquesne sontpas prisen omptedans laformulationlaplussimple de DMFT ( omme les renormalisations de la surfa e de Fermi). Il semble ependant que la lo alite de la self-energie soit approximativement veriee dans des omposes tridimensionels ommeCa 1 x Sr x VO 3

, ommel'indique la omparaisondesmesuresdephotoemissionades al- ulsdestru tureele tronique.Ils'agitd'unebonneindi ationpourl'appli abilite delatheoriede hamp moyen dynamique dans l'etude (qualitative et peut-^etre quantitative) de es systemes. En deux dimensions, les u tuation non lo alessontplusimportantes. On peut ependant estimer que l'appro he de hamp moyen dynamique est valable pour de rire les regimes loin des phases ordonnees. De plus, le formalisme peut ^etre etendu pour prendre en ompte une partiedes orrelationsde ourte distan e: methodesExtended-DMFT [28{ 30℄(se tion 8.1.3) et Cluster-DMFT [31℄ (se tion 8.2).

 Vers un a ord quantitatif?

Malgre ertaines limitations dis utees plus haut, la theorie de hamp moyen dynamique ore un adre simplie pour aborder l'etude des materiaux orreles. En eet, les prin ipales 

e helles d'energiesenjeu(t;U;J;  F

)sontin orporeesnaturellement,etdesgeneralisationssont possibles pour reintroduire ertains eets manquants, omme les u tuations magnetiques.

Deplus,DMFTorel'opportunitedemarierleste hniquesmodernesdeproblemeaN orps ave des methodes de al uls \realistes", pour etudier plus pre isement les sytemes orreles. En eet, les methodes ab-initio omme la LDA, basees sur une image d'ele trons libres, ne sont pas satifaisantes pour aborder es materiaux

11

. Dans un futur pro he, on peut esperer obtenir une omprehension systematique des materiaux a fortes orrelations gr^a e a e type d'appro hes hybrides (qui sonta l'heure a tuelle en stade de developpement [32,33℄).

11

Onpeutendeduireunedenitionpratiqued'unmateriau orrele:un systeme pourlequelles predi tionsde laLDAsontgrossierementfausses(parexemple,les isolantsdeMottsontpreditsmetalliquesparlaLDA).

[1℄ M. Imada, A. Fujimori et Y. Tokura, Rev. Mod.Phys. 70,

1039 (1998)

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theorie/experien e

La theorie de hamp moyen dynamique, presentee au hapitre pre edent, est une voie simple pour etudier les problemes de fermions orreles, qui donne lieu a de nombreuses predi tions on ernant latransition de Mott. Nousallons i i omparer des al uls de transport en DMFT au voisinage de la transition de Mott ave une etude experimentale menee en parallele par P. Limelette (LPS-Orsay) sur le ondu teurorganique-(BEDT-TTF)

2

Cu[N(CN) 2

℄Cl 1

.Defa oninteressante, es resultats experimentaux nous ont pousse a ameliorer grandement la maniere de al uler les resistivites en DMFT. La se onde partie de e hapitre on erne la mise en eviden e plus dire te des hangements qui se produisent a la transition de Mott. Elle se base essentiellement sur des mesures de photoemission (ARPES) realisees a Lausanne sur le ompose TaSe

2

, dont la surfa e est le jeu d'important eets ele troniques reveles par ette experien e. Une omparaison des donnees experimentales a lafon tion spe trale al ulee en DMFT sera ee tuee

2 .

2.1 Transport dans -BEDT-TTF

2.1.1 Presentation experimentale

Aussi surprenant que ela puisse para^tre a premiere vue, les materiaux organiques b^atis autour de la mole ule BEDT-TTF (gure 2.1) se trouvent ^etre de bons metaux (suivant les onditions de pression, omme on va le voir plus bas). En plus de e fait deja remarquable, les proprietes physiques que revelent es systemes sont tres ri hes : le diagramme de phase (gure 2.2) de ette famille de ondu teurs organiques regroupe en eet un ordre antiferro-magnetique, une phase supra ondu tri e non onventionnelle, et des phases paramagnetiques (metal et isolant) au bord de la transition de Mott

3 .

Nous ommen onsparexaminerrapidementla stru turede es ristaux mole ulaires avant de rentrer dans le detail de leurs proprietes physiques. Tout d'abord, la possibilite d'obser-ver un omportement metallique dans es omposes provient de l'arrangement tres spe ial des mole ules BEDT-TTF entre elles, qui permet un re ouvrement important des orbitales mole ulaires voisines. Le solide est don ompose de plans dans lesquels la ondu tion des

1

Cetravailaeterealiseen ollaborationave T.A.Costi,A.Georges,D.JeromeetP.Limelette(Arti le-1). 2

Cetravailaeterealiseen ollaborationave A. Georges,M.GrionietL.Perfetti(Arti le-2). 3

H H

H H

S

S

S

S

S

S

S

S

H H H H

Fig. 2.1 { 

A gau he : mole ule Bis(EthyleneDiThio)-TetraThi oFul valen e, (BEDT-TTF). Au milieu : assemblagetridimensionnel du ompose -(BEDT-TTF)

2

Cu[N(CN) 2

℄Cl, se referant 

a lamanieredont les mole ules sont empilees (lesplans s'organisent dans les dire tions b et i i).



A droite : vue de la stru ture selon l'axea perpendi ulaire aux plans.



ele trons est fa ile (integrale de saut typique dans le plan t k

 100meV), et qui sont tres faiblement ouples dans la troisieme dire tion. En eet, la ondu tion inter-plans est limitee 

a la fois par la grande distan e entre les mole ules (faible integrale de transfert), et par la presen e d'anions qui viennent s'inter aler entre deux ou hes su essives. Ces ions, au a-ra tere ele tro-negatif tres fort, jouent toutefois un r^ole essentiel i i, ar il donnent lieu a un transfert de harge

4

qui permet d'une part de stabiliser la stru ture ristalline, et d'autrepart d'aboutir aune bande partiellement remplie. En pratique, la temperature est grande devantle parametre de saut hors-plan (t

? =k

B

 1K) : le systeme est don bidimensionnel en premiere approximation, e qui e laire la similarite frappante entre le diagramme de phase de es or-ganiques et elui des uprates (en parti ulier la proximite des phases antiferromagnetique et supra ondu tri e).

Les dierents membres de ette famille de ondu teurs organiques se distinguent a la fois par la maniere ave laquelle les mole ules s'empilent (on a represente l'empilement  sur la gure 2.1), e qui modie de fa on essentielle la stru ture de bande, et aussi par la nature de l'anion. Celui- i agit omme une pression himique, qui permet d'a order lalargeur de bande du systeme. Due a la forte ompressibilite me anique de es materiaux, on peut arriver a un eet similaire en appliquant une pression gaz de quelques entaines de bars. En omprimantlesmole ulesdavantageentreelles,lapression onduiteneetauna roissement de la ondu tivite dans le plan, et don a un ara tere plus metallique ( ommeindique sur le diagramme de phase)

5 . 4

Captured'unouplusieursele tronsde haquemole uleorganique. 5

Ilfautnoter quelapressionpeutprovoquerun eetopposedansle as d'isolants debandedontle gapest provoqueparunehybridationentredeuxorbitalesdierentes:pourYb,latransitionmetal-isolantseproduitainsi

40

30

20

10

0

600

400

200

0

PSfrag repla ements Pression (bar) T emp erature (K) Antiferro Supra Isolant Metal Cu[N(CN) 2 ℄Cl Cu[N(CN) 2 ℄Br Cu(NCS) 2

Fig. 2.2 { Diagramme de phase du ompose au hlore (extrait des mesures de RMN[3℄). On indique la position relative par rapport a d'autres omposes de la famille -(BEDT-TTF)

2 X (l'anion X est indique au sommet du graphe).

 Un ompose orrele

Lesintera tions fortes entrelesele trons semanisfestent de plusieurs manieres dansles or-ganiquesbidimensionnels.Toutd'aborddanslanaturedufondamentaldusysteme:l'emergen e d'une phase supra ondu tri e au voisinage d'un ordre antiferromagnetique est un signe que la for e d'appariement entre ele trons est mediee par les u tuations de spins [5℄. Il semble de plus bien etablit a l'heure a tuelle que la symetrie du gap supra soit non onventionelle [1℄, et de nombreux eets non BCS ont ete mis en eviden e : les mesures de mi ros opie a eet tunnelseparametrisentbienave ungapde symetried

x 2

y 2

,l'eetisotopique est tresfaible,et l'on retrouve des omportements de typepseudogap dans les experien es de RMN(diminution du \Knight shift" et renfor ement du taux de relaxation T

1 1

au-dessus de T

).

La partie paramagnetique du diagramme de phase est aussi le jeu d'eets tres forts des orrelations,puisquelesystemeestisolantabassepression,metalliqueahautepression,en pas-santparunetransition de Mottautour de P=300bars (pour-(BEDT-TTF)

2

Cu[N(CN) 2

℄Cl). Une eviden e dire te des orrelations ele troniques est donnee par l'e art important entre les mesures de sus eptibilite, haleur spe ique ( oeÆ ient ) et masse ee tive par rapport aux valeurs obtenues dans des al ulsde stru tureele tronique [6℄(ave des renormalisation allant typiquement d'un fa teur 2 a 4). Une serie d'experien es tres signi atives (sur un ompose 

plus metallique, ave un anion dierent) a par ailleurs ete menee dans le but de ara teriser l'evolution de la masseee tive m



en fon tion de la pression [7℄.Cette quantite, obtenue par mesures d'os illation de la magneto-resistan e (eet Shubnikov - de Haas) est montree a la gure2.3. Pour onrmer l'origineele tronique de et eet(la pression onduisant aussi aune distorsion de la stru ture de bande), une estimation de la masse nue m

opt

a ete extraite de mesures de ondu tivite optique [8℄ gr^a e a la regle de somme (n est la densite de porteurs) :

Z

+1 1 d! (!)=4 ne 2 m opt (2.1)

Cettequantite, montreeaupanneaudroitde lam^emegure,est ee tivementmoinssinguliere que m

 .

Fig. 2.3 { 

A gau he : masse ee tive (obtenue par os illations de magneto-resistan e [7℄).  A droite:masse nuedetermineegr^a eadesmesuresde ondu tivite optique[8℄pourle ompose ave X=Cu(NCS)

2 .

Une autre signature importante des orrelations se manifeste dans l'important transfert de poids spe tral observe dans la ondu tivite optique (en fon tion de la pression et de la temperature). Cet eet est illustre pour le ompose au brome [9℄, pour lequel on observe un pi de Drude a basse temperature dans la phase metallique, qui a ompletement disparu a 50 K (gure 2.4). Cesmesures montrent aussi l'existen e d'une faibleenergie de oheren e dans e systeme,au-dessus de laquelle le transport est in oherent.

Fig. 2.4 { Condu tivite optique de -(BEDT-TTF) 2

Cu[N(CN) 2

℄Br a pression ambiante pour 25 K et 50K, d'apres [9℄.

 Mesures de transport

Depremieresmesuresderesistivite sur-(BEDT-TTF) 2

Cu[N(CN) 2

℄Cl(danslesplans)ont 

eteee tueesparH.Itoilyaquelques anneesdeja[10℄,etaboutissentaundiagrammedephase en a ord ave les autres determinations experimentales (le transport permet de lo aliser plus ou moins fa ilement les phases antiferromagnetique, supra ondu tri e et la transition m etal-isolant). Cetteetude aete re onsideree plus re emmentparP. Limelette au ours de sathese au Laboratoire de Physique des Solides d'Orsay, selon des motivationsa la fois te hniques et physiques. Tout d'abord, la grande ompressibilite des organiques a ete l'idee motri e pour reprendre l'etude detaillee du transport en balayant la pression (a temperature xee). Un tel dispositif experimental, developpe dans le groupe de D. Jerome (au LPS), se demarque des te hniques usuelles par la grande qualite des donnees ainsi obtenues : les mesures isothermes autorisent en eet un tres bon ontr^ole de la temperature, tandis que travailler a pression onstante nemettrait pasal'abride fuites quiviennent parasiter lamesurelorsque l'on hange la temperature. Cette experien e a ainsi permis de mettre lairement en eviden e l'existen e d'une faible e helle de oheren e dans les donnees de transport, e qui a onduit a une etude globale du diagramme de phase paramagnetique et de ses \ rossovers" entre les dierents regimes de ondu tion. Il s'agit par ailleurs de la premiere tentative d'etude des proprietes ritiques de la transition de Mott (a temperature nie).

Une partie de es donnees 6

est presentee a la gure 2.5 (voir aussi l'Arti le-1). Sur le panneaude gau he, latransition metal-isolantdans esystemeappara^t lairement,etonpeut deja onstater que l'allure generale de es ourbes est remarquablement similaire aux al uls DMFT sur le modele de Hubbard (gure 1.11 et analysetheorique plus bas).

6

Comme de rit plus haut, es mesures ontetefaites en fon tion de lapressiona T xe; la representation naledesdonneesentemperatureaP onstantest ependantplusparlante.

50

100

150

200

250

0.0001

0.01

1

100

10000

50

100

150

0

0.1

0.2

0.3

PSfrag repla ements T (K)  (. m) PSfrag repla ements T(K)  (. m)

Fig. 2.5 { Resistivite en fon tion de la temperature pour des pressions allant de l'ambiante jusqu'a15kbars.



Agau he(T)estene helle logarithmiqueetlineaire(insert),pourillustrerla transition deMott.



Adroite:(T)enfon tiondeT 2



abassetemperaturedemontrel'evolution de l'e helle de oheren e ave la pression.



A droite, sur la m^eme gure, est represente le omportement basse temperature de es donnees, quimeteneviden ele ara tereLiquidede Fermidelaphasemetallique.Cequ'il faut remarquerestlamanieredontles ourbesde ollentdelaloiduT

2

aufuretamesurequel'onse rappro hedelatransitiondeMott.LatemperatureT



(P)quimarque e hangementderegime estasso ieeadesenergies unordredegrandeurplusfaiblesquel'energie deFerminavedonnee par les al uls de bande, un eet d^u aux fortes orrelations dans emateriau. L'eondrement de T



(P) a l'appro he de la transition de Mott (autour de 280 bars) se omprend par un eet de renormalisation de la largeur de bande [11℄. Pour les temperatures superieures a T

 , la resistivite est roissante, maisdepasse la valeurde Mott; 'est le regime mauvais metal.

Dansla zonede transition, on remarqueque la resistivite n'est pas unefon tion monotone de latemperature,maispasseparunmaximum( ontrairementaunmetalnormal).Ce isignale un\ rossover"versunregimede hautetemperaturequel'ondesignera ommesemi ondu teur (laresistiviteestde roissanteave T sans^etrepourautanta tivee).



Apressionplusfaible(eten parti ulieral'ambiante),onretrouve un omportementfran hementisolantave uneresistivite a tivee (voir l'Arti le-1 pour plus de details). Ces resultats sont resumes dans le diagramme de phase(paramagnetique) qui ouvre l'Arti le-1.Le but du paragraphe suivant est de montrer que l'ensemble de es\ rossovers" est apture par l'appro he de hamp moyen dynamique.