Chapitre 2
Puissances et racines
introduction
La légende se situe vers l’an 3000 avant JC. Pour le remercier des plaisirs que lui procurait le jeu d’échecs, l’empereur Shiram promit à son inventeur Sissa le cadeau suivant : "Sur la première case du jeu, il déposerait 1 grain de riz, puis le double sur la deuxième case et ainsi de suite jusqu’à la dernière (64ème case) en doublant chaque fois le nombre de grains. Je me contenterai de la dernière case." Le conseiller de l’empereur lui dit qu’en acceptant sa demande, il venait de précipiter le royaume dans la ruine. En calculant le nombre de grains de riz obtenus, expliquer pourquoi.
Remarque
Il faudrait donc plus de 9 milliards de milliards de grains, ce qui correspond à environ 1 000 ans de production mondiale de riz.
I. Puissances
Définition
Pour tout nombre réelaet pour tout entier natureln, on a : a0 =1
a1 =a
an =a×a×a. . .×a(ntermes) a−n = 1
an Exemple
• 30 =1
• (−5)1 =−5
• (−7)0 =1
• 7−2= 1 72 = 1
49
• 23 =2×2×2=8
Propriétés
Si les nombres élevés à la puissance sont les mêmes : (ici a) an+m =an×am an−m = a
n
am
(an)m =an×m
Exemple
75×79= 53×52×5−5= 68 67 =
(3−4)5
=
Propriétés
Si les puissances sont les mêmes : (ici n)
an×bn = (a×b)n an
bn = (a
b )n
Exemple
• 75×45 = (7×4)5 =255
• 68 48 =
(6 4
)8
= (3
2 )8
Remarques
+ Si les nombres élevés à la puissance sont différents et si les puissances sont différentes, il n’existe pas de règle de calcul :
75×43 =?? 58
45 =??
+ Il n’y a pas de règle pour additionner ou soustraire des puissances : il faut factoriser : 231−230 =. . .
Puissances et écriture scientifique
Définition
En notation scientifique, un nombre s’écrit sous la formea×10n oùaest un nombre décimal supérieur ou égal à 1 et strictement inférieur à 10, etnest un nombre relatif.
Remarque
Un nombre décimal s’écrit avec un nombre fini de chiffres après la virgule (comme 5, 76 ou 109, 7895 mais pasπ).
Un nombre relatif est un nombre entier, positif ou négatif (−5 ; 0 ; 999 ;−657 ; etc).
Exemple
Ecrire en notation scientifique :
• 546, 7×109 =5, 467×1011 • 0, 045×10−3 =45×10−5
1) Rappels
Définition
Soitaun nombre réel positif.
√aest l’unique nombre réel positif dont le carré vauta.
C’est une des deux solutions de l’équationx2=a Le symbole√ s’appelle leradical.
Exemple
√5 est tel que(√
5)2=5 Remarques
+ L’autre solution àx2= aest−√ a.
+ La racine carrée d’un nombre négatif n’existe pas : par exemple √
−25 n’existe pas ! C’est une deuxième opération interdite.
Propriété
√a=a12
Démonstration - non exigible D’une part (√
a)2 = a par définition. D’autre part (a12)2 = a Donc √
a et a12 sont deux nombres positifs qui ont le même carré. Ils sont donc égaux.
Exemple
√5=512
Remarque
Les racines à connaître sont :
√0=0
√1=1
√4=2
√9=3
√16=4
√25=5
√36=6
√49=7
√64=8
√81=9
√100=10
√121=11
√144=12
√169=13
√196=14
√225=15.
2) Propriétés de calcul
Propriétés
Soientaetbdeux réels positifs.
• √ a×√
b =√
a×b • sib ̸=0,
√a
√b =
√a b
• √
an = an2
Remarques
+ Pour retenir ces règles, comme√
a=a12, il suffit de connaître les règles des puissances en étendant les propriétés au nombre (non entier) 12 : √
a×√
b =a12 ×b12 = a×b12 =
√a×b
+ On fera bien attention comme pour les puissances à bien appliquer ces règles avec un signe × ou une fraction, mais pas avec une somme ou une différence. Par exemple
√5+√
6 ne se simplifie pas davantage.
Démonstration D’une part(√
a×√
b)2 =√
a2×√
b2=ab.
D’autre part√
a×b2 =ab Donc √
a×√
b et √
a×b sont deux nombres positifs qui ont le même carré. Ils sont donc égaux.
Exemple
Calculer : A =√
4, 9×√ 10 A =√
4, 9×10 A =√
49 =7
B =
√54
√6
B =
√54 6 B =√
9 =3
C =√ 24 C = (24)12
C =24×12 =22 =4
3) Calculs avec des racines
a) Simplifier une racine en "sortant un carré"
Exemple
√75=√
25×3=√
25×√
3=5×√
3=5√
√ 3
54=√
9×6=√ 9×√
6=3×√
6=3√ 6
b) Simplifier une fraction avec une racine au dénominateur
Méthode
• Premier cas : le dénominateur est de la formeb√ a
Alors on multiplie le numérateur et le dénominateur par√
apour faire apparaitre un carré au dénominateur.
• Deuxième cas : le dénominateur est de la formeb√ a+c Alors on multiplie par le nombre conjuguéb√
a−c Exemple
√1
2 = 1×√
√ 2 2×√
2 =
√2 2 2×√
5 3√
5×√ 5 = 2
√5 3×5 = 2
√5 15
1 3+√
2 = 1×(3−√ 2) (3+√
2)(3−√
2) = 3−√ 2 7 2
4−√
5 = 2(4+√ 5) (4−√
5)(4+√
5) = 8+2√ 5 11
c) Résoudre une équation du typex2 =a Méthode
Les solutions de l’équation sontx=√
aet x=−√ a Exemple
x2 =7 Réponse :
Les solutions de l’équation sontx=√
aet x=−√
a, donc : x=√
7 etx=−√ 7 S =
{−√ 7;√
7 }
