Application des théories à ordre élevé de déformation de cisaillement pour l’étude du comportement mécanique des plaques épaisses

UNIVERSITE DJILLALI LIABES SIDI BEL ABBES

Laboratoire des Matériaux & Hydrologie

FACULTE DE TECHNOLOGIE DEPARTEMENT DE GENIE CIVIL

THESE DE DOCTORAT EN 3éme cycle

Option : Structures & Matériaux

Présentée par

Mr :

BOUKHARI Ahmed

Intitulé de la thèse

Composition du jury :

TOUNSI Abdelouahed Pr Président UDL SBA

ADDA BEDIA El Abbas Pr Directeur de thèse UDL SBA

FEKRAR Abdelkader MCA Examinateur UDL SBA

BOUAZZA Mokhtar MCA Examinateur U DE BECHAR

AMEUR Mohammed MCA Examinateur ENP D’ORAN

HOUARI Mohamed Sid Ahmed BENRAHOU Kouider Halim

MCA Pr Examinateur Invité U DE MASCARA UDL SBA

Application des théories à ordre élevé de déformation

de cisaillement pour l’étude du comportement

Je dédie le présent travail

A celle qui a tant sacrifie pour moi et qui m’a toujours été une très bonne conseillère et sous laquelle je ne serais pas devenu ce que je suis puisse t-elle-trouver en ce travail une marque de

reconnaissance et l’expression de mon immense gratitude A ma très chère mère Maman A celui qui a toujours guider mes pas et qui sans lui je ne serais pas qui je suis, Mon tant

aimé Père Yahiaoui Raouti dont je suis fier d’être le petit fils sans oublier ma très chère grande mère

A ma très tante et son marie est ses enfants A tous mes amis de prés ou de loin

l'analyse de la propagation d'ondes d'une plaque à gradient infini en présence d'environnements thermiques. En divisant le déplacement transversal en flexion et en cisaillement, le nombre des inconnues des équations de la théorie actuelle est réduit, et par conséquent, il est simple de l’utiliser. Les effets thermiques et les propriétés du matériau dépendant de la température sont tous deux pris en compte. Le champ de température est supposé être une distribution uniforme sur la surface de la plaque et variée dans le sens de l'épaisseur seulement. Les propriétés du matériau sont supposés être dépendant de la température, et classés dans le sens de l'épaisseur selon une distribution de loi de puissance simple en termes de fractions de volume des constituants. Les équations de la propagation des ondes dans la plaque fonctionnellement graduée sont dérivées en utilisant le principe de Hamilton et le concept de la surface neutre physique. Il n'y a pas d'effet de couplage étirement-flexion dans la formulation basée sur la surface neutre, et par conséquent, les équations et conditions aux limites de la plaque fonctionnellement graduée en fonction de la surface neutre ont les formes simples par rapport à celles des plaques isotropes. La relation de dispersion analytique de la plaque fonctionnellement graduée est obtenue en résolvant un problème de valeurs propres. Les effets des distributions de fraction volumique et la température sur la propagation des ondes de la plaque fonctionnellement graduée sont discutés en détail. On peut en conclure que la théorie actuelle est non seulement précise, mais aussi simple pour prédire les caractéristiques de propagation des ondes dans la plaque fonctionnellement graduée. Les résultats obtenus peuvent être utilisés dans les techniques d'inspection par ultrasons et surveillance des structures de santé.

Mots-clés : propagation des ondes ; plaque Fonctionnellement graduée ; Les effets thermiques

An efficient shear deformation theory is developed for wave propagation analysis of an infinite functionally graded plate in the presence of thermal environments. By dividing the transverse displacement into bending and shear parts, the number of unknowns and governing equations of the present theory is reduced, and hence, makes it simple to use. The thermal effects and temperature-dependent material properties are both taken into account. The temperature field is assumed to be a uniform distribution over the plate surface and varied in the thickness direction only. Material properties are assumed to be temperature-dependent, and graded in the thickness direction according to a simple power law distribution in terms of the volume fractions of the constituents. The governing equations of the wave propagation in the functionally graded plate are derived by employing the Hamilton’s principle and the physical neutral surface concept. There is no stretching–bending coupling effect in the neutral surface-based formulation, and consequently, the governing equations and boundary conditions of functionally graded plates based on neutral surface have the simple forms as those of isotropic plates. The analytic dispersion relation of the functionally graded plate is obtained by solving an eigenvalue problem. The effects of the volume fraction distributions and temperature on wave propagation of functionally graded plate are discussed in detail. It can be concluded that the present theory is not only accurate but also simple in predicting the wave propagation characteristics in the functionally graded plate. The results carried out can be used in the ultrasonic inspection techniques and structural health monitoring.

Keywords: Wave propagation; Functionally graded plate; Thermal effects; Efficient shear deformation

ﺺﺨﻠﳌا

ﰲ ةدﺎﳌا ﺔ�رﺪتﻣ ﺔ�ﻮﻟ ﲆ� تﺎ�ﻮﳌا رﺎﺸتﻧا ةﺮﻫﺎﻇ ﺔﺳار� ﺺﻘﻟ� ﻩﻮﺸتﻟا ﺔﯾﺮﻈﻧ ﻞﻤﻌﺘ�ﺴ� ةﺮ�ﺬﳌا ﻩﺬﻫ ﰲ

و ءﺎﻨﳓ� ﻦﻋ ﺔﲡ� ﺔﻛﺮﺣ ﱃا ﺔﯿﺿﺮﻌﻟا ﺔﻛﺮﳊا ﲓ�ﺴﻘﺘﺑ مﻮﻘﻧ .ﺔﯾراﺮﺣ ﺔئيﺑ

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ﺢﻄﺳ ﻒﻗﻮﻣ

ﺪﯾﺎﳏ

Dédicace Remerciement

Résumé………... i

Abstrat……….. ﺺﺨﻠﻣ……… ii iii Liste des notations………. iv

Liste des figures………. vi

Liste des tableaux……… viii

Introduction générale……… 01

Chapitre I : Généralités Sur Les Matériaux à

Gradient De Propriétés

I.1. Introduction :………... 06

I.2. Concept des matériaux à gradient de propriétés :………... 06

I.3. Histoire de développement des matériaux à gradient de propriétés :……….. 09

I.4. Motivation………. 11

I.5. Classification……….……… 12

I.6. Champs d’utilisation……… 13

I.6. 1.Aéronautique……….. 13

I.6. 2.Matières industrielles……… 13

I.6. 3.Optoélectronique ………...……. 13

I.6. 4.Biomatériaux ……… 14

I.6. 5.Autres ……… 14

I.4. Méthodes d’élaboration des matériaux à gradient de propriétés :……… 14

I.4.1. Coulage en bande (Tape Casting ou Doctor-Blade) :……… 14

I.4.2. Coulage séquentiel en barbotine (Slip Casting) :……… 15

I.4.3. Compaction sèche des Poudres :………... 16

I.4.4. Projection plasma :……… 16

I.4.5. Frittage et Infiltration :……… 16

I.5. Domaines d’applications des matériaux à gradient de propriétés :……… 17

I.6. Lois régissantes la variation des propriétés matérielles des plaques FGM :……… 19

I.6.1. Propriétés matérielles de la plaque P-FGM :………... 20

I.6.2. Propriétés matérielles de la plaque S-FGM :……… 20

I.6.3. Les propriétés matérielles de la plaque E-FGM :……… 21

II.2. Les modèles analytiques des plaques FGM :……… …. 23

II.2.1 La théorie classique des plaques minces de Love-Kirchhoff (CPT) :………... 23

II.2.2 La théorie de déformation en cisaillement du premier ordre (FSDT) :……… 24

II.2.3 La théorie de déformation en cisaillement d’ordre élevé (HSDT) :………. 25

II.3. Revue sur les différents modèles de la théorie d’ordre élevé :……….. 27

II.4. Conclusion……….. 31

Chapitre III : Analyse théorique de la propagation des ondes dans les

plaques en FGM

III.1.INTRODUCTION ……… 32

III.2. FORMULATIONS THEORIQUES……… 32

III.2.1 Concept physique de la surface neutre……… 32

III.3. Equations fondamentales……… 35

III.3.1 Hypothèses de base……… 35

III.3.2 Equations cinématique et constitutive……… 36

III.3.3 Equations de mouvement……… 38

III.4.Les relations de la dispersion d’onde……… 41

III.5.Conclusion……… 43

Chapitre IV : Résultats Et Discussion

IV.1. Introduction………. 44

IV.2. Les résultats numériques et discussion……….. 44

IV.3.Propagation d’ondes dans les plaques FGM dans une température ambiante……… 45

IV.4. Conclusions………. 51

Conclusion Générale et perspective 52 Référence bibliographique 54

Liste des notations

{ } Vecteur colonne [ ] Matrice

Σ Sommation

zms Position de la surface moyenne

zns Position de la surface neutre

Vc La fraction volumique

h Hauteur de la plaque

n Indice de la loi de puissance

C La distance entre la surface neutre et la surface médiane P Indice de fraction volumique

E1, E2 Module de Young PM Propriété du métal PC Propriété de la céramique ρ Densité massique ν Coefficient de poisson u Déplacement suivant X w Déplacement transversale us, vs, ws Composantes de cisaillement ub, vb, wb Composantes de flexion γxz, γxy, γyz Composantes de déformation τxz, τyz Contrainte de cisaillement σx, σy Contrainte normale σx, σy Contraintes longitudinales

τxz, τyz Contraintes de cisaillement transversales

ε Contrainte de déformation Ω La surface supérieure

Qij Coefficient de rigidité M Le moment de flexion N L’effort normal

Nx Effort normal par unité de longueur

Mx Moment de flexion par unité de longueur

q0 L'intensité de la charge au centre de la plaque

f(z) Fonction de cisaillement Aij, Bij , Dij, Hij Les composantes de rigidité

M

P and P_C

les propriétés correspondantes du métal et la céramique

0

P , P₋₁, P₁, P₂et P₃ sont les coefficients montrant la température

Liste des Figures

CHAPITRE I

Figure I.1 : Concept des matériaux à gradient de propriétés. 08

Figure I.2 : Protection thermique. 09

Figure I.3 : Schéma montrant deux géométries : l’architecture sur la gauche est

discrète tandis que celle de droite est continue. 11

Figure I.4 : Classification des matériaux FGM selon [6]. 12

Figure I.5 : Principe de la méthode coulage en bande [Lostec, 1997]. 15

Figure I.6 : Les principaux domaines d’application des FGM. 18

Figure I.7 : Géométrie d’une plaque en FGM. 19

Figure I.8 : Variation de la fraction volumique dans une plaque P-FGM. 20

Figure I.9 : Variation de la fraction volumique dans une plaque S-FGM. 21

Figure I.10 : Variation du module de Young dans une plaque E-FGM. 22

CHAPITRE II

Figure II.1 : Illustration de la plaque de Love Kirchhoff [Reddy, 1997]. 24

Figure II.2 : Illustration de la plaque de Reissner-Mindlin [Reddy, 1997]. 25

Figure II.3 : Illustration de la plaque d’ordre élevé [Reddy, 1997]. 26

CHAPITRE III

Figure III.1 : la position de la surface medium et la surface neutre pour une plaque

fonctionnellement graduée. 33

CHAPITRE IV

Figure IV.1 : Les courbes de dispersion des différentes plaques gradient fonctionnel pour le

Figure IV.2 : Les courbes de vitesse de phase des différentes plaques fonctionnellement

gradués pour le mode d'onde M0 (T_M =T_C =300K). 46 Figure (IV- 3): Les courbes de dispersion des différentes plaques en FGM

(TM =TC =300K). 48

Figure. IV.4: Les courbes de la vitesse de phase des différentes plaques en FGM

Liste des Tableaux

CHAPITRE I

Tableau I.1 : Comparaison entre les propriétés de la céramique et du métal 07

CHAPITRE II

Tableau II.1 : Différentes fonctions de cisaillement utilisées dans les théories des plaques

isotropes et FGM 30

CHAPITRE IV

Introduction générale

Fonctionnellement matériaux graduées (FGM) sont de nouveaux matériaux qui sont conçus pour obtenir une performance fonctionnelle avec des propriétés progressivement variables dans une ou plusieurs directions (Koizumi, 1992). Cette continuité empêche le matériau d'avoir les inconvénients des composites tels que la délamination due à des contraintes interlaminaire, l'initiation et la propagation des fissures en raison de grandes déformations plastiques au niveau des interfaces et ainsi de suite. Typiquement, FGM sont faits d'un mélange de céramique et d'une combinaison de différents métaux (Bennoun et al 2016;. Ebrahimi et Dashti, 2015; Sallai et al, 2015;. Meradjah et al, 2015;. Kar et Panda, 2015; Pradhan et Chakraverty, 2015; Bakora et Tounsi, 2015; Bouchafa et al, 2015;. Arefi, 2015; Akbaş 2015; Mansouri et Shariyat, 2015; Belabed et al, 2014;. Khalfi et al, 2014;. Mansouri et Shariyat 2014; Hadji et al, 2014;.. Fekrar et al, 2014;. Tounsi et al, 2013a;. Bouderba et al, 2013;. Bourada et al, 2012;. Benachour et al, 2011). Donc, le point clé est une description précise des variables et les propriétés du matériau dans le sens de l'épaisseur, d'effectuer une analyse satisfaisante du comportement mécanique des plaques de MGF. De nombreux travaux sur les structures de MGF ont été étudiés dans la littérature. Par exemple, Reddy (2000) a analysé le comportement statique des plaques rectangulaires MGF sur la base de sa théorie de la plaque de déformation de cisaillement de troisième ordre. Reddy et Cheng (2001) ont présenté un modèle en trois dimensions pour une plaque de MGF soumis à des charges mécaniques et thermiques, à la fois par le sommet de la plaque. Vél et Batra (2004) ont proposé une solution en trois dimensions pour vibrations des plaques rectangulaires MGF. Zenkour (2006) a présenté une théorie de déformation de cisaillement généralisé dans lequel les déplacements dans le plan sont développés comme types sinusoïdales à travers l'épaisseur. Woo et al. (2006) ont étudié le comportement de vibration libre non linéaire des plaques en FGM en utilisant la théorie de Von Karman pour une grande déviation transversale. En outre, Park et Kim (2006) ont étudié la postbuckling thermique et analyses vibrations des plaques de FG. Kim (2005) a discuté de la personne à charge l'analyse des vibrations de la température des plaques rectangulaires MGF. Matsunaga (2008) a étudié les fréquences naturelles et les contraintes de flambage de FG simplement appuyés plaques rectangulaires sur la base 2D d'ordre supérieur de la théorie de la plaque approximative (2D Hapt). Shahrjerdi et al. (2011) ont utilisé la théorie de déformation de cisaillement du second ordre pour analyser les vibrations des plaques solaires fonctionnellement graduées selon la température. Arefi et Rahimi (2011) ont étudié la réponse non linéaire d'une plaque carrée de FG avec deux

couches intelligentes comme un capteur et de l'actionneur sous pression. Arefi (2013) a analysé le comportement non linéaire thermo-élastique du cylindre piézo-électrique à gradation fonctionnelle à paroi épaisse. Sobhy (2013) a étudié la vibration et le comportement de flambage de façon exponentielle classé matériau sandwich à la plaque reposant sur des fondations élastiques dans différentes conditions aux limites. La théorie du premier ordre de déformation de cisaillement (FSDT), y compris les effets de cisaillement déformation transversale, a été employé par quelques recherches pour analyser le comportement de flambage de plaques de MGF modérément épaisses (Yaghoobi et Yaghoobi, 2013; Bouazza et al., 2010). En utilisant une théorie raffinée efficace et simple, Ait Amar Meziane et al. (2014) ont étudié le flambage et sans vibration des plaques sandwich exponentiellement classés dans diverses conditions aux limites. HEBALI et al (2014) a proposé une nouvelle théorie de la déformation de cisaillement hyperbolique quasi-3D pour la vibration statique et libre

Reddy et Cheng (2001) ont présenté un modèle en trois dimensions pour une plaque de MGF soumis à des charges mécaniques et thermiques, à la fois par le sommet de la plaque. Vél et Batra (2004) ont proposé une solution en trois dimensions pour vibrations des plaques rectangulaires MGF. Zenkour (2006) a présenté une théorie de déformation de cisaillement généralisé dans lequel les déplacements dans le plan sont développés comme types sinusoïdales à travers l'épaisseur. Woo et al. (2006) ont étudié le comportement de vibration libre non linéaire des plaques en FGM en utilisant la théorie de Von Karman pour une grande déviation transversale. En outre, Park et Kim (2006) ont étudié la postbuckling thermique et analyses vibrations des plaques de FG. Kim (2005) a discuté de la personne à charge l'analyse des vibrations de la température des plaques rectangulaires MGF. Matsunaga (2008) a étudié les fréquences naturelles et les contraintes de flambage de FG simplement appuyés plaques rectangulaires sur la base 2D d'ordre supérieur de la théorie de la plaque approximative (2D Hapt). Shahrjerdi et al. (2011) ont utilisé la théorie de déformation de cisaillement du second ordre pour analyser les vibrations des plaques solaires fonctionnellement graduées selon la température. Arefi et Rahimi (2011) ont étudié la réponse non linéaire d'une plaque carrée de FG avec deux couches intelligentes comme un capteur et de l'actionneur sous pression. Arefi (2013) a analysé le comportement non linéaire thermo-élastique du cylindre piézo-électrique à gradation fonctionnelle à paroi épaisse. Sobhy (2013) a étudié la vibration et le comportement de flambage de façon exponentielle classé matériau sandwich à la plaque reposant sur des fondations élastiques dans différentes conditions aux limites. La théorie du premier ordre de déformation de cisaillement (FSDT), y compris les effets de cisaillement déformation transversale, a été employé par quelques recherches pour analyser le comportement de

flambage de plaques de MGF modérément épaisses (Yaghoobi et Yaghoobi, 2013; Bouazza et al., 2010). En utilisant une théorie raffinée efficace et simple, Ait Amar Meziane et al. (2014) ont étudié le flambage et sans vibration des plaques sandwich exponentiellement classés dans diverses conditions aux limites. HEBALI et al (2014) a proposé une nouvelle théorie de la déformation de cisaillement hyperbolique quasi-3D pour la vibration statique et libre

analyse des plaques de FG. Bousahla et al (2014) ont présenté un nouveau plus haut cisaillement de l'ordre et de la théorie de la déformation normale basée sur la position de surface neutre pour le cintrage analyse des plaques composites avancés. Zidi et al (2014) ont utilisé une théorie de la plaque quatre variables raffinée pour plier l'analyse des plaques FG sous hygro-thermo-mécanique de chargement. Yaghoobi et al (2014) a présenté une étude analytique sur le post-flambage et non linéaire sans analyse des vibrations de FG poutres reposant sur fondation élastique non linéaire sous thermo-mécanique chargement à l'aide VIM. Ait Yahia et al (2015) a étudié la propagation des ondes dans des plaques fonctionnellement graduées avec des porosités utilisant diverses théories de la plaque de déformation de cisaillement d'ordre supérieur. Nguyen et al. (2015) a proposé une théorie de la déformation de cisaillement raffiné d'ordre supérieur pour le pliage, les vibrations et le flambage analyse des plaques FG sandwich. Bourada et al. (2015) ont examiné les réponses de flexion et de vibration des poutres épaisses FG en proposant une théorie simple de cisaillement et les déformations normales romanes. Mahi et al. (2015) ont développé un nouveau modèle hyperbolique de déformation de cisaillement pour l'analyse statique et dynamique des isotrope, fonctionnellement graduée, sandwich et stratifiées plaques composites. Ait Atmane et al. (2015) ont utilisé une théorie de déformation de cisaillement variationnellement cohérente pour le comportement dynamique des faisceaux FG épais avec des porosités. Attia et al. (2015) ont étudié la réponse dynamique des plaques FG ayant des propriétés dépendant de la température en utilisant différents modèles raffinés quatre variables de plaques. Larbi Chaht et al (2015) ont étudié les comportements de flexion et flambage de FG dépendant de la taille nanométrique des faisceaux dont l'épaisseur effet de tension. Bouguenina et al. (2015) a présenté une analyse numérique des plaques FGM d'épaisseur variable soumise à flambage thermique. Tagrara et al (2015) ont étudié la flexion, flambage et les réponses de vibration des faisceaux de nanotubes de carbone renforcé fonctionnellement graduées composites. Belkorissat et al. (2015) ont étudié les propriétés dynamiques des plaques à l'échelle nanométrique FG en utilisant un nonlocal quatre raffinée théorie variables roman. Bennai et al. (2015) ont proposé un cisaillement roman d'ordre supérieur et de la théorie de la déformation normale pour les poutres FG sandwich. Tebboune et al (2015) ont

analysé le comportement de flambement thermique des plaques FG reposant sur fondation élastique basée sur une théorie de la déformation de cisaillement trigonométrique simple et efficace. Hamidi et al (2015) a présenté une théorie des plaques sinusoïdal avec 5-inconnues et l'effet d'étirement pour flexion thermomécanique des plaques FG sandwich. Bennoun et al. (2016) a proposé une nouvelle cinq variables théorie des plaques raffiné pour l'analyse des vibrations des plaques FG sandwich. Ait Atmane et al. (2016) ont étudié l'effet de l'épaisseur et de la porosité d'étirement sur la réponse mécanique d'une FG poutres reposant sur des fondations élastiques.

L'étude de la propagation des ondes dans les structures de MGF a reçu également beaucoup d'attention de divers chercheurs. Chen et al. (2007) ont étudié le comportement de dispersion des ondes dans une plaque de gradation fonctionnelle ayant des propriétés matérielles différentes selon la direction de l'épaisseur. Han et Liu (2002) ont étudié les ondes SH dans des plaques de MGF, où la variation de la propriété matérielle a été supposé être une fonction quadratique par morceaux dans le sens de l'épaisseur. Han et al. (2001) ont proposé une méthode analytique-numérique pour analyser les caractéristiques des ondes dans des cylindres de MGF. Han et al. (2002) ont également proposé une méthode numérique pour étudier l'onde transitoire dans des plaques de MGF excités par des charges d'impact. Sun et Luo (2011a) ont également étudié la propagation des ondes et la réponse dynamique des plaques rectangulaires de matériau fonctionnellement graduées avec des supports serrés remplis sous une charge impulsive. Compte tenu des effets thermiques et les propriétés du matériau dépendant de la température, Sun et Luo (2011b) ont étudié la propagation des ondes d'une plaque fonctionnellement graduée infinie en utilisant la théorie de la plaque de déformation de cisaillement d'ordre supérieur.

Parmi les ordre supérieur théories de déformation de cisaillement susmentionnées ( HSDTs ) , la théorie de l' Reddy est le plus largement utilisé en raison de sa grande efficacité et de simplicité ( Reddy , 2000; Sun et Luo , 2011b ) . Étant donné que les déplacements dans le plan de la théorie de l' Reddy sont développés comme fonction cubique de l'épaisseur de coordonnées , les équations du mouvement sont plus compliquées que celles des FSDT . Par conséquent, il y a une possibilité de développer une théorie précise , ce qui est simple à utiliser .

Le but de cette étude est de développer une théorie de la plaque de déformation de cisaillement pour la propagation des ondes d'une plaque fonctionnellement graduée infinie qui est simple à utiliser. La théorie est basée sur l'hypothèse selon laquelle le plan et des déplacements transversaux sont constitués de flexion et de cisaillement des composants, dans

lequel les composantes de flexion ne contribuent pas à l'égard des forces de cisaillement et, de même, les composantes de cisaillement ne contribuent pas à l'égard des moments de flexion. La caractéristique la plus intéressante de cette théorie est que cela représente une variation quadratique des déformations de cisaillement transversales à travers l'épaisseur et qui satisfait aux conditions aux limites de traction nulle sur les surfaces supérieure et inférieure de la plaque sans l'aide de facteurs de correction de cisaillement. En outre, il contient quatre inconnues et a de fortes similitudes avec le CPT dans certains aspects tels que les équations du mouvement, des conditions aux limites, et les expressions du stress qui en résultent. Pour simplifier les équations pour la plaque de MGF, le système de coordonnées est situé à la surface neutre physique de la plaque. Ceci est dû au fait que l'étirement - n'existe pas lorsque la surface neutre physique est considéré comme un système de coordonnées (Bellifa et al, 2016 accouplement de flexion dans les équations constitutives d'une plaque d'excision, Ould Larbi et al, 2013;.. Yahoobi et Feraidoon, 2010). Les équations qui régissent la propagation des ondes dans la plaque de gradation fonctionnelle sont obtenus en utilisant le principe de Hamilton, où les effets de déformation par cisaillement et la rotation d'inertie sont pris en compte. Les courbes de la propagation des ondes dans la plaque gradation fonctionnelle dans des environnements thermiques dispersion, vitesse de phase et vitesse de groupe sont tracés. L'influence de l'indice de fraction volumique et de la température sur la vitesse de propagation des ondes dans la plaque de dispersion à gradation fonctionnelle, la vitesse de phase et le groupe sont clairement discutés.

Le présent travail de thèse s'articule autour de deux aspects essentiels qui reflètent toute notre démarche, à savoir les aspects:

 Théorique

 Analytique

Regroupés en quatre chapitres qui se résument comme suit :

L'aspect théorique comprend deux chapitres :

Le premier chapitre présente les matériaux à gradient de propriétés, l’histoire de leur développement, leurs méthodes de fabrication, ainsi que leurs domaines d’application

L’aspect analytique est scindé en deux chapitres :

Au troisième chapitre, Analyse théorique de la propagation des ondes dans les plaques en FGM

Le quatrième chapitre est consacré à la validation du modèle proposé, tout en le comparant avec ceux trouvés dans les études et théories relatives au cisaillement.

En fin, ce travail se termine par une conclusion générale et perspective.

L’organisation générale de ce présent travail est illustrée par l’organigramme suivant :

Application des théories à ordre élevé de déformation de cisaillement pour l’étude du comportement mécanique des plaques épaisses

Aspect Théorique

Aspect Analytique

Généralités sur les matériaux à gradients de propriétés

Analyse théorique de la propagation des ondes dans les

plaques en FGM

Comparaison et validation des résultats

Les différentes théories des plaques

Conclusion générale & Perspectives

Chapitre I : Généralités Sur Les Matériaux à

Gradient De Propriétés

I.1. Introduction :

De nombreux milieux naturels présentent des variations unidirectionnelles et continues de leurs propriétés élastiques. Les tissus vivants, la croûte terrestre, les océans ou encore l’os cortical en font partie. Tirant leur inspiration de la Nature qui les entoure, les scientifiques (chercheurs et ingénieurs), se sont penchés sur les avantages que présentent ce type de matériaux en terme de comportement mécanique et c’est ainsi que l’on vit apparaître, dans les années 1980, les matériaux à gradients de propriétés (Functionally Graded Materials « FGM »). Ils permettent par exemple de reproduire les propriétés structurales et matérielles des tissus biologiques tels que l’os à différentes étapes de son évolution (croissance, vieillissement ou pathologie).

Les matériaux à gradient de propriétés (FGM), sont considérés comme des matériaux composites, produits par un changement non interrompu de leurs fractions volumiques dans la direction de leur épaisseur. Ce type de matériau à récemment suscité un grand intérêt de la communauté scientifique, en raison des avantages qu’il offre, par la diminution de la disparité dans les propriétés réduisant ainsi les contraintes thermiques [Zhong, 2007]. La variation continue des propriétés mécaniques confère au matériau un comportement optimisé. Les FGM sont particulièrement utilisés dans les applications de haute technologique: aéronautique, aérospatiale, nucléaire, semi-conducteurs, et en Génie Civil et trouvent également leurs applications dans le domaine de la biomédicale [Baron, 2008].

I.2. Concept des matériaux à gradient de propriétés :

Les matériaux constituants les parois des engins spatiaux (navettes spatiales ou des avions hypersoniques) sont souvent soumis à des températures élevées. Les pièces les plus exposées sont le cône d’entrée, les bords d’attaque des ailes ainsi que centaines surfaces inférieures. Pour cette raison les matériaux constituant les parois de ces pièces doivent être capables de supporter sur une dizaine de millimètres un chargement thermique induit par des températures d’atmosphère environnant les 1800°C. Il n’ya aucun matériaux monolithique capable de résister à une telle contrainte thermique [Koizumi, 1992].

La solution envisagée est la mise en œuvre de matériaux composites et notamment l’utilisation les matériaux à gradient de propriétés. On peut imaginer un matériau dont la face exposée à très haute température possèderait des propriétés de résistance aux fortes sollicitations thermiques et à l’oxydation, tel que la céramique, et dont la face intérieure serait très bonne conductrice de la chaleur et possèderait une bonne résistance mécanique et une meilleure ténacité, comme le métal.

Cependant, si l’on considère un simple assemblage de ces deux matériaux, ils présentent immédiatement une rupture due aux contraintes thermiques exercées à l’interface entre les deux types de matériaux ayant des propriétés thermiques différentes. L’idéal serait de supprimer cette interface en créant une transition continue entre les deux faces.

C’est ainsi qu’est né le concept de matériau à gradient de fonction dans les années 1980 par un groupe de chercheurs au laboratoire national d’aérospatial (National Aerospace Laboratory, STA) au japon. Le FGM consiste en l’association de deux matériaux aux propriétés structurales et fonctionnelles différentes avec une transition idéalement continue de la composition, de la structure et de la distribution des porosités entre ces matériaux.

Généralement, les « FGM » sont des matériaux constitués de plusieurs couches contenant des composants différents tels que les céramiques et les métaux. Les vides sont également considérés comme une composante des matériaux FGM [Kokini, 1990]. Ils sont donc des composites présentant des caractéristiques macroscopiquement inhomogènes.

La plupart des « FGM » sont constitués des céramiques et des métaux dont les propriétés mécaniques sont comparés dans le tableau I.1.

La face à haute température Céramique - Bonne résistance thermique ; - Bonne résistance à l’oxydation ; - Faible conductivité thermique. Continuité du matériau d’un

point à l’autre « couches intermédiaires »

Céramique-métal -Élimination des problèmes de

l'interface ;

-Relaxer les contraintes thermiques. La face à basse température

Métal

- Bonne résistance mécanique ; - Conductivité thermique élevée, - Très bonne ténacité.

Le changement continu dans la composition et donc dans la microstructure d’un matériau « FGM » est illustré dans la figure I.1. Il en résulte un gradient qui déterminera les propriétés des « FGM ». Dans certains cas, on peut avoir un FGM constitué d'un même matériau mais de microstructure différente [Boch, 1986].

La figure I.2 montre les concentrations de contraintes dans les panneaux de protection thermiques conventionnels au niveau des interfaces (changement brutale de composition). Il montre également comment un FGM peut alléger Ces concentrations de contraintes en changeant graduellement les propriétés matérielles et assure toujours la protection thermique trouvée dans les barrières thermiques conventionnelles.

Contraintes thermiques Résistance mécanique Conductivité thermique Métal Céramique

I.3. Histoire de développement des matériaux à gradient de propriétés :

Le concept de "Matériaux à Gradient de propriétés" a été développé dans le laboratoire national d'aérospatial du Japon en 1984 par M. Niino et ses collègues à Sendai. L'idée est de réaliser des matériaux utilisés comme barrière thermique dans les structures spatiales et les réacteurs à fusion [Koizumi, 1992]. Les changements continues dans la composition, dans la microstructure, et même dans la porosité de ces matériaux a comme conséquences des gradients des propriétés matérielles telles que la résistance mécanique et la conductivité thermique [Koizumi, 1997]. Cette nouvelle classe de matériaux composites peut être utilisés pour différentes applications, telles que les enduits des barrières thermiques pour les moteurs en céramique, turbines à gaz, couches minces optiques, [Croce, 2004].

En 1987, le gouvernement Japonais a lancé un vaste projet intitulé "la recherche sur la technologie de base pour développement de Matériaux à Gradient de propriétés et l'étude de la relaxation des contraintes thermiques". L'intérêt du projet est de développer des matériaux présentant des structures utilisées comme barrière thermique dans les programmes

Rupture

Décollement

Barrière thermique conventionnelle

Compression Traction Contraintes thermiques induites

Compression Traction

Matériaux à gradient de propriétés _{Contraintes thermiques induites}

aérospatiaux. 17 laboratoires nationaux de recherche, des universités et des entreprises ont été engagées dans ce projet [Koizumi, 1997].

Les matériaux constituants les parois des engins spatiaux et les murs thermiques spéciaux sont appelés à travailler à des températures de surface de 1800°C ainsi qu'à un gradient de température de l'ordre de 1300 °C. A cette année-là, aucun matériau industriel n'était connu pour supporter de telles sollicitations thermomécaniques [Koizumi, 1992].

Trois caractéristiques sont à considérer pour la conception de tels matériaux:

-Résistance thermique et résistance à l'oxydation à haute température de la couche superficielle du matériau;

-Ténacité du matériau côté basse température.

-Relaxation effective de la contrainte thermique le long du matériau.

Pour répondre à un tel cahier des charges, l'idée originale des F.G.M a été proposée pour élaborer un nouveau composite profitant à la fois des propriétés des céramiques (côté haute températures) et des métaux (côté basse température).

À la fin de la première étape (1987-1989), les chercheurs avaient réussi à fabriquer des petites pièces expérimentales (1-10mm d'épaisseur et 30 mm de diamètre) pouvant résister à des températures maximales de 2000K (température de surface) et à un gradient de température de 1000K. Quatre techniques ont été utilisées pour fabriquer les matériaux présentant un gradient de composition et de structure. Les techniques utilisées dans la fabrication de tels matériaux sont les suivantes : le système SiC/C par C.V.D., le système PSZ/Mo par la technique de la compaction sèche des poudres, le système TiB2/Cu par synthèse par auto-propagation à haute température, et enfin le système (Ni-Cr-Al-Y)/(ZrO2

-Y2O3) par projection plasma à double torches [Okamura, 1991].

Dans la seconde étape (1990-1991), le but était de réaliser des pièces de tailles plus grandes et de forme plus complexes par rapport à celles réalisées dans la première étape. Pendant les années 90, non seulement les champs d'applications des FGM s'est développé pour les matériaux de structure fonctionnant à haute température, mais s'est aussi élargi à d'autres applications: biomécaniques, technologie de capteur, optique, [Okamura, 1991].

Le concept des matériaux à gradient de propriétés tient son intérêt non seulement dans l’élaboration des nouveaux matériaux réfractaires performants pour leurs éventuelles utilisations dans le domaine aérospatial, mais également dans le développement de divers matériaux fonctionnels, employés dans les domaines de l’optique et de l’électronique. A cet effet, un deuxième projet a été lancé pour la recherche et développement des matériaux FGM en qualité de matériaux fonctionnels « Recherche sur les matériaux de conservation

d’énergie avec la structure à gradient de propriétés ». Ce programme vise développer la technologie des FGM dans le but d’améliorer leur efficacité énergétique pour des applications dans le nucléaire, photovoltaïque et thermoélectrique.

I.4. Motivation

Les avances significatives dans les techniques de fabrication et de transformation au cours de la dernière décennie ont permis de produire FGM utilisant des procédés qui permettent d’offrir une grande latitude dans la confection de la microstructure et la com-position matérielle. Dans l’avenir, les FGM avec des formes et des propriétés complexes, y compris deux et trois dimensions de gradient, seront produits à l’aide de la fabrica- tion avec une technique qui nécessitant l’ordinateur. Ce potentiel signifie que le concepteur ne se limite plus à une palette de matériaux homogènes existants, bien que beau- coup de recherches ont été consacrées à l’analyse de ce matériau, les ingénieurs et autres professionnels sont engagés dans le processus de conception avec les FGM manque un cadre unifié pour la prise de décisions concernant la façon de faire les meilleurs choix possible, basé sur ce menu de matériel avec les composants disparates et les profils du matériel composé. L’objectif des recherches est de développer une méthodologie solide pour l’adaptation de la composition spatiale d’un matériau à gradient évalué lors de l’ap- plication d’une haute température ou haute flux de chaleur. La méthodologie proposée est prévue d’une manière significative de notre capacité de concevoir les composants du (FGM) pour une variété de la mécanique et les applications aérospatiales où les condi- tions de fonctionnement sont sévères.

Figure I.3 – Schéma montrant deux géométries : l’architecture sur la gauche est discrète tandis que celle de droite est continue.

I.5. Classification

Peut-être les FGM sont mieux classifiés selon le traitement, comme illustré dans figure II-4, qui sépare les FGM en deux catégories : ceux par des processus constructifs et ceux produits par les processus transporter-basés [9]. En résumé, les processus constructifs se fondent sur le placement des phases dans une structure par l’ingénieur des méthodes. Les processus Transporter-basés se fondent sur des réactions ou des processus well-timed et sont conçus pendant la fabrication matérielle. Beaucoup de revêtements de protec- tion (par exemple, revêtements d’isolation thermiques) se rangent dans l’ancienne caté- gorie. La carburation de l’acier se range dans la dernière catégorie. Naturellement, une approche de conception dans laquelle une gradation est formée in situ, par un processus transporter-basé, serait plus simple et généralement plus souhaitable qu’une approche constructive.

I.6. Champs d’utilisation I.6. 1.Aéronautique

Le concept de FGM a été initialement conçu pour ce champ. Possédant deux proprié- tés contradictoires, comme la conductivité thermique et de propriété barrière thermique dans un matériau, il permet de produire le poids-léger et des matériaux solides.

Surtout, ce sera une technologie indispensable pour la roquette et à la construction de station spatiale. Les FGM sont également applicables à un mur externe de l’avion spatial et des parties de moteur de fusée.

I.6. 2.Matières industrielles

De nombreuses applications de FGM ont été récemment réalisées pour les matériaux industriels. Comme les produits récents sont s’intensifier en raison d’une résistance ac- crue et la résistance thermique et énergiques de réduction et de la forme, la demande d’un nouveau matériau pour l’outil industriel sont en pleine croissance. Dans ce domaine, il est nécessaire d’avoir les deux résistances à l’usure et la ténacité ; ainsi, nous pouvons dire que la demande de la FGM est une solution. D’ailleurs, comme les besoins n’pour la coupe à sec et ne pas utiliser de liquide de coupe augmenter en contrepartie de l’environ- nement, le développement d’une autolubrifiant et outil de haute résistance thermique est attendu.

Une production à l’essai de l’outil industriel a été menée avec succès à l’aide de diamants (à l’extérieur) et l’acier (à l’intérieur), et le développement est maintenant prévu pour un outil à grande vitesse dans n’importe quelle taille ou forme.

I.6. 3.Optoélectronique

Il y a tant de variations dans les moyens de communication. Maintenant, les outils de communication utilisant les fibres optiques ont besoins de nouveaux progrès ainsi que des informations de plus en plus de volume. Une idée est une lumière de longueur d’onde système multiplex de communication utilisant des filtres optiques, en particulier, en utilisant un indice de réfraction filer le classement. Il a une structure que l’indice de réfraction des ondes transmettant le sens varie avec la fréquence en continu le long lon- gueur d’onde. Avec le filtre, la réfraction inutile peut être évitée dans une certaine mesure.

Application des FGM aux fibres optiques plastiques peuvent assurer une transmission à haute vitesse. Par conséquent, il sera capable de se propager système de communication optique jusqu’au niveau des ménages.

I.6. 4.Biomatériaux

Notre corps est soutenu par 206 os couvrant le cerveau et d’autres organes. Si nous avons une douleur à un os ou une articulation, nous aurons des troubles dans notre vie. Pour résoudre ces problèmes, on a besoin d’un nouveau matériau qui peut remplacer les os et les articulations et a une longue vie a été souhaité. La technologie FGM est appli- cable aux os artificiels, des articulations et des dents. La technologie de classification de structure est utilisée dans la recherche pour la prévention du cancer aussi.

I.6. 5.Autres

Téléphone cellulaire est l’un des moyens d’outils de communication pratique. Il de- vient de plus mince et plus petit. La technologie FGM est applicable dans ce domaine aussi. Pour la minimisation de la taille et l’efficacité de transmission, une permittivité- technologie de classification peut être appliquée lors de la production des substrats.

De même, dans d’autres domaines tels que le champ de l’électronique et domaine de la chimie, les FGM sont également applicables. Les fibres optiques entièrement faites de polymère fluoré ont été développées.

I.7. Méthodes d'élaboration des matériaux à gradient de propriétés :

Le processus de fabrication des matériaux à gradient de propriétés peut être divisé en établissant la structure dans l’espace non homogène « gradation » et la transformation de cette structure en matériau en bloc « consolidation ». Il existe de nombreux procédés d'élaboration des FGM, les paragraphes suivants s’attachent à décrire les principales méthodes d’élaboration des FGM utilisées dans l’industrie.

I.7.1. Coulage en bande (Tape Casting ou Doctor-Blade) :

Le coulage en bande est une technique de mise en forme par voie liquide qui consiste à étaler une barbotine de poudres fines en suspension sur une surface plane en couches minces et régulières. L’étalement de la bande est obtenu par le mouvement relatif d'un réservoir ou sabot.

La suspension est ainsi laminée par son passage entre la lame du réservoir et le support (figure I.3), ce qui confère à la bande déposée une épaisseur uniforme sur toute sa longueur. La hauteur du couteau du réservoir par rapport au support détermine l'épaisseur de la bande [Lostec, 1997]. Les produits obtenus sont des feuillets avec des épaisseurs contrôlées

(25-1000 µm). Après un raffermissement de la pâte, les feuillets sont démoulés et ensuite découpés.

Le procédé de coulage en bande est largement utilisé pour réaliser des matériaux composites laminaires suivant deux méthodes : soit par réalisation directe de bandes multicouches grâce à un système de lames multiples, c'est le cas des tri-couches élaborés par Mistler [Mistler, 1973] ; soit par empilage de couches élaborées séparément, dont la cohésion est ensuite assurée par une étape de thermo-compression [Boch, 1986].

I.7.2. Coulage séquentiel en barbotine (Slip Casting) :

Le coulage en barbotine (slip casting) consiste à couler une suspension dans un moule poreux qui va drainer le liquide grâce aux forces capillaires, laissant un tesson (couche de poudre compacte) sur la surface du moule. Après séchage, on obtient le corps en cru.

Donc le coulage se décompose en deux étapes essentielles: -formation du tesson ou "prise".

-consolidation du tesson ou "raffermissement".

La filtration, c'est à dire la formation du tesson lors du coulage, peut être considéré comme un processus d'élimination d'une partie de l'eau de la barbotine; Cette eau migre à travers la couche de tesson déjà formée, sous l'effet:

-du pouvoir de succion du plâtre (coulage classique [Moya, 1992]). -ou d'une pression appliquée sur la barbotine (coulage sous pression).

Dans le cas de la fabrication de multicouches, après la formation du premier tesson, le dépôt de la deuxième couche s'effectue de manière telle que la barbotine ne pénètre pas dans le tesson formé. Ce procédé est successivement reproduit pour les autres couches.

I.7.3. Compaction sèche des Poudres :

Dans cette technique les poudres sont successivement versées dans un moule en acier. Chaque fois qu'une poudre est versée, une faible compression est exercée. Ensuite, la compaction de l'ensemble des couches sera effectuée. Ce procédé est suivi, généralement, par une pression isostatique et un déliant âge. La densification sera enfin l'étape finale [Bishop, 1993].

Ce procédé peut être envisagé pour la fabrication de pièces de formes complexes. En effet il s'applique aussi avec la technique du pressage isostatique, et de façon industrielle.

I.7.4. Projection plasma :

Un gaz soumis à une forte température (par exemple celle d'un arc électrique), se transforme en un état ionisé (plasma). Cette transformation est accompagnée d'un dégagement de chaleur important. Si une particule de céramique se trouve dans cet environnement, elle se fond totalement ou superficiellement, ce qui permet de la situer sur un substrat.

La projection plasma des particules des divers matériaux est devenue une méthode très utilisée pour fabriquer des FGM. L'équipement relativement simple, le rendement élevé du dépôt des particules sur des substrats à géométrie compliquée, les performances des surfaces en fonctionnement et la compatibilité des céramiques avec les métaux sont les avantages essentiels de cette technique [Steffens, 1990].

I.7.5. Frittage et Infiltration :

Cette technique est constituée de deux étapes et convient à la fabrication d'un composite à gradient de fonction composé de deux matériaux dont les températures de fusion sont très différentes. La première étape est de fabriquer une matrice frittée du matériau à haute température de fusion avec un gradient de porosité. La seconde est de remplir ces porosités avec le deuxième matériau fondu par infiltration. Le résultat est excellent pour la diminution de la contrainte thermique [Takahashi, 1990].

Cette technique peut être généralement appliquée pour plusieurs combinaisons de matériaux qui sont chimiquement inertes et qui ont des points de fusion bien différents les uns par rapport aux autres.

I.8. Domaines d’applications des matériaux à gradient de propriétés :

Le concept des matériaux à gradient de propriétés est applicable dans des nombreux domaines, comme il est illustré dans la figure I.4. Il a été initialement conçu pour l’industrie de l'aéronautique, où les FGM ont fournis deux propriétés contradictoires telles que la conductivité thermique et d'isolation thermique dans un matériau. Actuellement, elles permettent la production des matériaux légers, forts et durables, et elles sont applicables dans un large intervalle des domaines tels que les matériaux de construction, matériaux de conversion d'énergie, nucléaire et semi-conducteurs.

I.9. Lois régissantes la variation des propriétés matérielles des plaques FGM :

Les matériaux à gradient de propriétés « FGM » consistent en l’association de deux matériaux aux propriétés structurales et fonctionnelles différentes avec une transition idéalement continue de la composition, de la structure et de la distribution des porosités entre ces matériaux de manière à optimiser les performances de la structure qu’ils constituent.

Outils de coupe Éléments de moteur

Ingénierie

Composants des réacteurs nucléaires Pastilles de combustible L’énergie nucléaire Fibres optiques Lentilles Optiques Implants Peau artificielle Matières biologiques Composants de moteur-fusée

Corps des avions spatiaux Aérospatial

L'échangeur de chaleur Tube de chaleur Récipient de réaction

Chimique

Semi-conducteur à bande graduée Capteurs Électronique Générateur thermoélectrique Convertisseur thermoïonique Pile à combustible Conversiond'énergie Matériaux de constructions Corps de voiture Verres de fenêtre Produits

Les caractéristiques les plus distinctes des matériaux FGM sont leurs microstructures non-uniformes avec des macro-propriétés graduées dans l’espace. Un FGM peut être définie par la variation des fractions de volume. La plupart des chercheurs emploient la fonction de puissance, la fonction exponentielle, ou la fonction sigmoïde pour décrire les fractions de volume.

Les liaisons entre les particules doivent être assez dures à l’intérieur pour résister à la rupture, et également assez dures à l’extérieur pour empêcher l’usure.

Les coordonnées x et y définissent le plan de la plaque, tandis que l’axe z

perpendiculaire à la surface moyenne de la plaque et dans la direction de l’épaisseur.

Les propriétés du matériau dont le module de Young et le coefficient de Poisson sur les surfaces supérieures et inférieures sont différentes mais sont déterminés selon les demandes d’exécution.

Toutefois le module de Young et le coefficient de Poisson varient de façon continue, dans le sens de l’épaisseur (l’axez ) soit: E =E(z),ν =ν(z). Le module de Young dans le sens de l’épaisseur de la plaque FGM varie en fonction de la loi de puissance (P-FGM) ou la fonction exponentielle (E-FGM) ou avec la fonction sigmoïde (S-FGM).

Figure I.7 :Géométrie d’une plaque en FGM.

h Plaque FGM E=E(z) Em Ec y z x

I.9.1. Propriétés matérielles de la plaque P-FGM :

La fraction volumique de la classe P-FGM obéit à une fonction en loi de puissance.

p h 2 h z z V       + = / ) ( Où p est un paramètre matériels et h est l’épaisseur de la plaque. Une fois la fraction volumique locale V(z) à été définie, les propriétés matérielles d’une plaque P-FGM peuvent être déterminées par la loi des mélanges [Bao, 1995] :

E(z)= Em +

(

Ec −Em

)

V(z)

Où Em et Ec sont respectivement les modules de Young de la surface inférieure

) /

(z=−h 2 et de la surface supérieure(z=h/2)de la plaque FGM, la variation du moule de Young dans la direction d’épaisseur de la plaque P-FGM est représentée sur la figure I.6, il apparait clairement que la fraction volumique change rapidement près de surface inférieure pourp<1, et augmenté rapidement près de la surface supérieure pourp>1.

I.9.2. Propriétés matérielles de la plaque S-FGM :

Dans le cas d’ajouter une plaque P-FGM d’une simple fonction de loi de puissance à une plaque composite multicouche, les concentrations des contraintes apparaissent sur

Figure I.8 : Variation de la fraction volumique dans une plaque P-FGM.

-0,5 -0,4 -0,3 -0,2 -0,1 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 p=0.1 p=0.2 p=0.5 p=1 p=2 p=5 p=10 Fraction volumique (z /h ) (I.1) (I.2)

l’interfaces où le matériau est continu mais change rapidement [Bao, 1995]. Par conséquent, Chung et chi [Shyang-ho, 2003] ont défini la fraction de volume de la plaque FGM en utilisant deux fonctions de loi de puissance pour assurer une bonne distribution des contraintes parmi toutes les interfaces. Les deux fonctions de loi de puissance sont définis par : p 1 2 h z 2 h 2 1 z V       + = / / ) ( Pour −h/2≤z≤0 p 2 2 h z 2 h 2 1 1 z V       − − = / / ) ( Pour 0≤z≤h/2

En utilisant la loi des mélanges, le module de Young de la plaque S-FGM peut être calculé par :

E(z)=V₁(z)Ec+[1−V₁(z)]Em Pour − /h 2≤z≤0 (I.4.a) E(z)=V₂(z)Ec+[1−V₂(z)]Em Pour 0≤z≤h/2 (I.4.b)

La figure I.7 montre que la variation de la fraction volumique dans les équations (I.4.a)

et (I.4.b) représente les distributions sigmoïdes, et cette plaque FGM est appelée (Plaque S-FGM).

Figure I.9: Variation de la fraction volumique dans une plaque S-FGM.

-0,5 -0,4 -0,3 -0,2 -0,1 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 p=0.1 p=0.2 p=0.5 p=1 p=2 p=5 p=10 Fraction volumique (z /h) (I.3.a) (I.3.b)

I.9.3. Les propriétés matérielles de la plaque E-FGM :

Pour décrire les propriétés matérielles des matériaux FGM, la plupart des chercheurs utilisent la fonction exponentielle qui s’écrit sous la forme, [Delale, 1983] :

E(z) EceB(z h/2) + = Avec _      = c m E E h 1 B ln La variation du module de Young à travers l’épaisseur de la plaque E-FGM est représentée dans la figure I.8.

Figure I.10 : Variation du module de Young dans une plaque E-FGM.

-0,5 -0,4 -0,3 -0,2 -0,1 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 70 120 170 220 270 320 370

Module de Young E(z)

(z

/h)

(

GPa

)

(I.5.a)

I.10. Conclusion :

Dans ce chapitre, nous avons définit les matériaux à gradient de propriétés « FGM », l’histoire de leur développement, leurs propriétés, leurs principales méthodes de fabrication et leurs domaines d’application

La variation spatiale et progressive des propriétés des matériaux à gradient de propriétés permet de créer des structures innovantes qui peuvent être exploitées dans de nombreux domaines d’application à savoir les structures spéciales et de génie civil.

Chapitre II : Théorie des plaques

II.1. Introduction :

Afin de résoudre les problèmes des structures ayant comme éléments structuraux des poutres et des plaques FGM dans le domaine élastique, il est nécessaire de choisir la bonne théorie décrivant correctement le comportement statique et dynamique de la structure ainsi que la méthode de résolution à appliquer.

C’est en 1888 que Love utilisa les hypothèses de Gustav Kirchhoff, elles-mêmes inspirées des hypothèses d’Euler-Bernoulli pour fonder une théorie des plaques minces (également appelée théorie classique ou théorie de Kirchhoff-Love). La théorie des plaques semi-épaisses (théorie des déformations du premier ordre) a été consolidée par Mindlin à partir des travaux de Rayleigh (1877), Timoshenko (1921), Reissner (1945) et Uflyand (1948). Ensuite, des théories d’ordre supérieur sont venues améliorer les hypothèses des théories classiques et du premier ordre lorsque l’épaisseur de la plaque devient importante. Il existe aussi la théorie basée sur l’élasticité tridimensionnelle (théorie 3-D) qui ne fait aucune hypothèse restrictive sur les déplacements de la plaque.

Nous présentons dans ce chapitre quelques modèles sur les théories des plaques développées dans la littérature pour améliorer l'évolution de la variation du champ des déplacements à travers l'épaisseur des plaques.

II.2. Les modèles analytiques des plaques FGM :

II.2.1 La théorie classique des plaques minces de Love-Kirchhoff (CPT) :

On parle d’une plaque mince, lorsque la flèche générée par les déformations de cisaillement reste négligeable devant la flèche générée par la courbure de la plaque. Dans le cas d’une plaque homogène isotrope, la part de cisaillement dans la flèche est directement reliée à l’élancement (L h).

La théorie classique des plaques minces (CPT) se base sur les hypothèses de Love-Kirchhoff, selon les quelles une droite normale au plan moyen de la plaque reste perpendiculaire après déformation (figure II.1), ce qui revient à négliger les effets de déformation en cisaillement transverse.

Ce modèle de plaque peut être référé en Timoshenko et Woinowsky-Krieger [Timoshenko, 1959], [Reddy, 1997], [Reddy, 1999],

En se basant sur les hypothèses ci-dessus, le champ de déplacement basé sur est donné par : ) , ( ) , , ( ) , ( ) , , ( ) , ( ) , , ( 0 0 0 0 0 y x w z y x w y w z y x v z y x v x w z y x u z y x u = ∂ ∂ − = ∂ ∂ − =

Avec (u ,₀ v ,₀ w ) sont les composantes du champ de déplacement sur le plan moyen de la ₀ plaque (z= ). 0

Puisque ce modèle ne tient pas en compte l’effet de cisaillement transverse, il donne des résultats imprécis pour les plaques épaisses.

II.2.2 La théorie de déformation en cisaillement du premier ordre (FSDT) :

La théorie de déformation en cisaillement du premier ordre a prolongé la théorie classique des plaques en tenant compte de l’effet de cisaillement transverse, dans ce cas les contraintes et les déformations sont constantes à travers l’épaisseur de la plaque, ce qui oblige l’introduction d’un du facteur de correction. Les études sur la théorie de déformation en cisaillement du premier ordre (FSDT) peuvent être référées dans [Reissner, 1945],

Figure II.1 : Illustration de la plaque de Love Kirchhoff [Reddy, 1997].

(II.1.a) (II.1.b) (II.1.c)

[Mindlin, 1951] qui a mené au modèle de plaque de Reissner-Mindlin. Ainsi que Timoshenko et Woinowsky-Krieger [Timoshenko, 1959], [Reddy, 1997], [Reddy, 1999].

La théorie du premier ordre est basée sur le champ de déplacement suivant :

) , ( ) , , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , , ( y x w z y x w y x z y x z y x v z y x v y x z y x z y x u z y x u y y x x 0 0 0 = + + = + + = ϕ φ ϕ φ

Avec : (u ,₀ v ,₀ w ) et (₀ φ , ) sont les déplacements en membrane et les _x φ_y rotations autour des axes x et y, respectivement.

Le champ de déplacement définis dans l’expression ci-dessus permet de reprendre la théorie classique des plaques décrite dans la dernière section par le remplacement

x w₀ x ∂ ∂ − = φ ; y w₀ y _∂ ∂ − = φ .

D’ailleurs pour éviter l’introduction d’un facteur de correction, des théories de déformation en cisaillement d’ordre élevée ont été développées.

II.2.3 La théorie de déformation en cisaillement d’ordre élevé (HSDT) :

À la différence de la théorie CPT et la théorie FSDT avec les acceptations de la distribution linéaire du déplacement par l'épaisseur, la théorie d'ordre élevé est basée sur une distribution non linéaire des champs dans l’épaisseur. Par conséquent, on tient compte des effets de la déformation transversale de cisaillement et / ou de la déformation normale transversale. Ces modèles n'exigent pas des facteurs de correction. Les références sur de tels

Figure II.2 :

Illustration

de la plaque de Reissner-Mindlin [Reddy, 1997]. (II.2.a) (II.2.b) (II.2.c)

modèles peuvent être trouvées dans [Hildebrand, 1949], [Naghdi, 1957], [Reissner, 1975], [Reddy, 1984], et [Kant, 2002]). Nous avons introduit ici quartes modèles de plaque utilisés pour analyser le comportement des matériaux à gradient de propriétés.

Le champ de déplacement est généralement écrit comme suit:

) , ( ) , , ( ) , ( ) ( ) , ( ) , ( ) , , ( ) , ( ) ( ) , ( ) , ( ) , , ( y x w z y x w y x z y y x w z y x v z y x v y x z x y x w z y x u z y x u y x 0 0 0 0 0 = Ψ + ∂ ∂ − = Ψ + ∂ ∂ − = ϕ ϕ

Avec : (u ,₀ v ,0 w ) et (0 φ , ) sont les déplacements en membrane et les rotations x φy autour des axes x et y , respectivement, Ψ(z) est une fonction de cisaillement transverse caractérisant les théories correspondantes. En effet, les déplacements de la théorie classique de plaque (CPT) est obtenue par en prenantΨ )(z =0, alors que la théorie de premier ordre (FSDT) peut être obtenue parΨ )(z =z.

Les déplacements de théorie de déformation de cisaillement de la troisième de Reddy (TSDT) [Reddy, 1997], [Reddy, 1999] sont obtenus par :

) ( ) ( 2 2 z h 3 4 1 z z = − Ψ

Figure II.3:

Illustration

de la plaque d’ordre élevé [Reddy, 1997].

(II.4) (II.3.a) (II.3.b) (II.3.c)

Dans le modèle de Reddy, le champ de déplacement membranaire est cubique. Ce modèle donne une bonne approximation pour les contraintes de cisaillement transverse par rapport à la solution d’élasticité tridimensionnelle.

La distribution des contraintes de cisaillement transverse est parabolique dans l’épaisseur .Les conditions aux limites sur les surfaces libres sont satisfaites.

[Touratier, 1991] propose le modèle sinus (SSDT) qui est différent des autres modèles d’ordre supérieurs puisqu’il n’utilise pas de fonction polynomiale. Une fonction trigonométrique sinusoïdale est donc introduite pour modéliser la répartition des contraintes de cisaillement dans l’épaisseur. La fonction de cisaillement transverse s’écrit comme ci-dessous :

      π π = Ψ h z h z) sin (

Les contraintes de cisaillement transverses déterminées par les modèles (sinus) prennent une forme cosinusoidale dans l’épaisseur de la poutre. La précision de ce modèle par rapport à la solution exacte est meilleure que la théorie de Reddy.

La version exponentielle de la théorie de déformation de cisaillement d’ordre élevé (The exponential shear deformation plate theory ESDPT) développée par Karama et al.

[Pindera, 1994] est obtenue en prenant :

( )2 h z 2 ze z) / ( = − Ψ Et ϕ_z =0

La version hyperbolique de la théorie de déformation de cisaillement d’ordre élevé (The hyperbolic shear deformation plate theory HSDPT) développée par [Ait Atmane, 2010] est obtenue en prenant :

(

)

(

)

[

]

(

)

(

)

[

2 1

]

z h h z 1 2 2 z − π       π π − − π π = Ψ / cosh sinh / / cosh / cosh ) ( et ϕz =0

II.3. Revue sur les différents modèles de la théorie d’ordre élevé :

Pour franchir les limites des théories du premier ordre, plusieurs auteurs ont proposé quelques contributions importantes pour le développement de modèles d’ordre élevé qui se sont distingués dans la littérature par l’expression de la fonction de cisaillement ψ(z). Les modèles sont basés sur une distribution non linéaire des champs de déplacement à travers l’épaisseur, et qui permettent de représenter le gauchissement de la section transversale dans (II.5)

(II.6)