Comportement en grand temps et intégrabilité de certaines équations dispersives sur l'espace de Hardy

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certaines équations dispersives sur l’espace de Hardy

Ruoci Sun

To cite this version:

Ruoci Sun. Comportement en grand temps et intégrabilité de certaines équations dispersives sur

l’espace de Hardy.

Equations aux dérivées partielles [math.AP]. Université Paris-Saclay, 2020.

Français. �NNT : 2020UPASS111�. �tel-03092314�

Thè

se de

doctorat

NNT

:

2020UP

ASS111

Comportement en grand temps et

intégrabilité de certaines équations

dispersives sur l’espace de Hardy

Thèse de doctorat de l’université Paris-Saclay

Ecole Doctorale de Mathématiques Hadamard (EDMH) n

₅₇₄

Spécialité de doctorat : Mathématiques fondamentales

Unité de recherche : Université Paris-Saclay, CNRS, Laboratoire de mathématiques d’Orsay, 91405, Orsay, France Référent : Faculté des sciences d’Orsay

Thèse présentée et soutenue à Orsay, le 26 juin 2020, par

Ruoci SUN

Composition du jury :

Sandrine GRELLIER Présidente

Professeure, Université d’Orléans

Erwan FAOU Rapporteur & Examinateur Directeur de recherche, (HDR), Université de Rennes 1,

École Normale Supérieure de Rennes

Didier PILOD Rapporteur & Examinateur Professeur, University of Bergen

Oana POCOVNICU Examinatrice

Professeure, Heriot-Watt University, Maxwell Institute for Mathematical Sciences

Frédéric ROUSSET Examinateur

Professeur, Université Paris-Saclay

Patrick GÉRARD Directeur de thèse

Remerciements

Je voudrais tout d’abord exprimer ma plus grande reconnaissance envers mon directeur de th`ese, Patrick G´erard. Son enthousiasme communicatif, sa rigueur de pens´ee, sa g´en´erosit´e intellectuelle m’ont pro-fond´ement marqu´e. Il m’a fait d´ecouvrir des domaines de recherche passionnants. Il m’a soutenu toujours lors de difficult´es de recherche et de pr´eparation des articles. Ses explications sont toujours hyper claires et coh´erentes. J’ai pu en profiter pendant ces quatre ann´ees de th`ese et je suis conscient que c’est une grande chance. J’ai ´et´e aussi particuli`erement impressionn´e par sa capacit´e `a s’int´eresser `a tous les domaines des math´ematiques et donc `a pouvoir toujours r´epondre `a mes questions quel que soit le sujet. C’est pour moi un mod`ele `a suivre. Il m’a aid´e aussi ´enorm´ement dans la langue fran¸caise, je lui en suis tr`es reconnaissant. Je remercie vivement Erwan Faou et Didier Pilod d’avoir accept´e avec obligeance de relire ma th`ese en d´etail, et d’´ecrire sur elle leur rapport. L’attention de math´ematiciens de leur envergure, la minutie de leur travail (dont j’ose `a peine imaginer le temps qu’il leur a coˆut´e), ainsi que la pertinence de leurs remarques, sont autant d’honneurs dont je mesure la port´ee.

Sandrine Grellier, Oana Pocovnicu et Fr´ed´eric Rousset me font une vraie faveur en donnant de leur temps pour si´eger `a mon jury : puissent ces mots leur t´emoigner ma gratitude. La sollicitude des math´ematiciens accomplis pour leurs cadets est pour moi un constant motif d’´emerveillement.

Je remercie toute l’´equipe analyse num´erique et ´equations aux d´eriv´ees partielles (ANEDP) pour son ac-cueil et son dynamique. Merci `a Fr´ed´eric Paulin et St´ephane Nonnenmacher pour m’accepter d’entrer `a l’ ´Ecole dotorale de math´ematiques Hadamard (EDMH). Je voudrais remercier aussi l’institut de Fields `a Toronto pour trois semaines extraordinaires que j’y ai pass´es, et o`u point`erent les germes du chapitres 2 `a 4 du pr´esent manuscrit. Je voudrais exprimer mes remerciements `a Catherine Sulem et Jean-Claude Saut pour leurs acceuil et pour leurs aides `a obtenir mon visa de Canada. Je voudrais remercier Claude Zuily et Laurent Thomann pour ses invitations aux colloques ’analyse asympototique’ en Italie et `a Marseille. Merci ´egalement `a David Dos Santos Ferreira, `a Fr´ed´eric Rousset et aux tous les organisateurs(trices) des conf´erences Journ´ees EDPs qui portent toujours des expos´es magn´efiques chaque ann´ee. Merci `a Herbert Koch pour son accueil `a Bonn en janvier 2020. Je voudrais remercier ´egalement Sijue Wu pour son invitation `a Michigan, qui me permet de pr´esenter mes r´esultats par poster.

Les voyages effectu´es au cours de ma th`ese ont beaucoup stimul´e ma cr´eativit´e. Merci `a tous ceux qui les ont financ´es, en particulier, `a l’EDMH, `a l’ANR ANA ´E et `a l’equipe ANEDP. Je voudrais exprimer mes remerciements `a Marie-Christine Myoupo, Clotilde d’Epenoux, Laurie Vincent, Severine Simon, Florence Rey, Estelle Savinien et Oph´elie Molle pour leurs tr`es grande efficacit´e pour des affaires ad-ministratives. Merci `a Mathilde Rousseau, Laurent Dang et le service informatique `a LMO pour leurs aides `a la visio-conf´erence de ma soutenance et `a r´esoudre des probl`emes de l’ordinateur dans mon bureau. Je profite aussi de l’occasion pour remercier tous les professeurs que j’ai pu avoir dans ma scolarit´e et qui m’ont donn´e envie de faire des math´ematiques, sp´ecialement `a l’ ´Ecole Normale Sup´erieure (ENS), `

a l’Universit´e de Paris-Sud 11, `a l’Universit´e de Paris-Dauphine et `a l’Universit´e Paris VI . Je voudrais d’abord remercier mes trois tuteurs `a l’ENS: Bastien Mallein, Bertrand Maury et Cyril Imbert pour leurs guides et soutiens sur ma scolarit´e `a l’ENS. Je voudrais exprimer mes grands remerciements `a mes professeurs Thomas Alazard, Scott Armstrong, Nalini Anantharaman, Patrick Bernard, Olivier Biquard, Yann Brenier, Nicolas Burq, Rapha¨el Cerf, Jean-Yves Chemin, Olivier Debarre, Thomas Duquesne, Jacques F´ejoz, Patrick G´erard, Ilia Itenberg, Christophe Lacave, Nicolas Lerner, Mathieu Lewin, Yvan

manuel Tr´elat, Claude Viterbo, etc pour leur cours excellents que j’ai suivis pendant mes scolarit´e de Licence 3 au Master 2, qui m’ont incit´e `a choisir EDPs hamiltoniennes comme domaine de recherche. Je remercie ´egalement `a Guy David, Maria Paula Gomez Aparicio, David Harari et Hans Henrik Rugh pour me donner la chance d’enseigner les TDs `a l’Universit´e Paris-Sud. L’exp´erience de 350 heures de TDs sur math´ematiques me permet de toucher d’autre domaines math´ematiques dehors analyse des EDPs. La recherche ´etant bien plus int´eressante lorsqu’elle est collective, je suis tr`es heureux d’avoir discut´e mon sujet avec Piotr Bizo´n, Walter Craig, Jean-Marc Delort, Alessio Figalli, Benoˆıt Gr´ebert, Zaher Hani, Slim Ibrahim, Thomas Kappeler, Joachim Krieger, Tai-Ping Liu, Fabricio Maci`a, Nader Mas-moudi, Cl´ement Mouhot, Sohrab Shahshahani, Avraham Soffer, Gigliola Staffilani, John Francis Toland, Nikolay Tzvetkov, Michael Weinstein, Ping Zhang etc. Les discussions avec eux m’ont aid´e beaucoup dans ma recherche. Je les suis tr`es reconnaissant.

J’ai eu la chance de rencontrer des jeunes edpistes du monde: Siddhant Agrawal, L´eo Bigorgne, Charles Collot, Elek Csobo, Stefan Czimek, Yu Deng, Thibault de Poyferr´e, Anne-Sophie de Suzzoni, Chenjie Fan, Francesco Fanelli, Olivier Graf, Chenlin Gu, Jiao He, Jiaxi Huang, C´ecile Huneau, Maxime Ingre-meau, Jacek Jendrej, Yang Lan, Camille Laurent, Hugo Lavenant, Zongyuan Li, Xian Liao, Baoping Liu, Jiaqi Liu, Shuang Miao, Alexis Michelat, Quang Huy Nguyen, Chenmin Sun, Pierre Roux, Julien Sabin, Annalaura Stingo, Qingtang Su, Joseph Thirouin, Victor Vila¸ca da Rocha, Yuexun Wang, Allen Yilun Wu, Shengquan Xiang, Haiyan Xu, Pin Yu, Xu Yuan, Haitian Yue, Katherine Zhiyuan Zhang, Lei Zhao, Zhiyan Zhao, Zehua Zhao, Jiqiang Zheng, Hui Zhu etc. Merci `a eux pour leur conversation, math´ematique ou non, qui m’a ´elev´e l’esprit et l’ˆame.

Je suis tr`es reconnaissant `a mes coll`egues `a l’Universit´e Paris-Sud, qui ont cr´e une atmosph`ere amicale tr`es agr´eable, tout particuli`erement Yang Cao, Zhangchi Chen, Linxiao Chen, Cl´ementine Court`es, Lu-cile Devin, Wei-Guo Foo, Agn`es Gadbled, Ning Guo, Weikun He, Zhizhong Huang, Magda Khalile, Yasir Ammar Kilic, Camille Labourie, Thomas & Luc Leh´ericy, Bingxiao Liu, Sasha Minet, Claire Brecheteau, Jeanne Nguyen, Jingrui Niu, Davi Obeta, Gabriel Pallier, Anthony Preux, Yi Pan, Zicheng Qian, Cagri Sert, Julien Sedro, Changzhen Sun, Salim Tayou, Yisheng Tian, Simeng Wang, Xiaozong Wang, Bo Xia, Songyan Xie, Cong Xue, Daxin Xu, Yeping Zhang.

Je suis tr`es heureux de rencontrer mes camarades `a l’ENS: Elie Casbi, Kaitong Hu, Jialun Li, Shengyuan Zhao, Linyuan Liu, Shinan Liu, Disheng Xu, Lizao Ye, Ruxi Shi, Zhihao Duan, Hugo Federico, Censi Li, Tristan Ozuch-Meersseman, Eliot Pacherie, Jiaxin Qiao, Yichen Qin, Julien Sazadaly, Aur´elien Velleret, Hua Wang, Yilin Wang, Mingchen Xia, Junyi Zhang, Yi Zhang, Tunan Zhu, Peng Zheng, etc. Leurs brillances exceptionnelles m’ont impression´e beaucoup. Je les suis aussi reconnaissant.

Finalement, je voudrais exprimer mes plus grands remerciements `a ma famille qui me soutient en tout le temps.

1

R´esum´e On s’int´eresse dans cette th`ese `a trois mod`eles d’´equations hamiltoniennes dispersives non lin´eaires : l’´equation de Schr¨odinger cubique d´efocalisante filtr´ee par le projecteur de Szeg˝o ΠT<sub>, qui enl`eve</sub>

tous les modes de Fourier strictement n´_{egatifs, sur le tore T := R/2πZ (NLS–Szeg˝o cubique), l’´equation} de Schr¨odinger quintique focalisante filtr´ee par le projecteur de Szeg˝o ΠR _{sur la droite R (NLS–Szeg˝o}

quintique) et l’´equation de Benjamin–Ono (BO) sur la droite. Comme pour les deux mod`eles pr´ec´edents, l’´equation de BO peut encore s’´ecrire sous la forme d’une ´equation de Schr¨odinger quadratique filtr´ee par le projecteur de Szeg˝o ΠR<sub>. Ces trois mod`eles nous donnent l’occasion d’´etudier les propri´et´es qualitatives</sub>

de certaines ondes progressives, le ph´enom`ene de croissance de normes de Sobolev, le ph´enom`ene de dif-fusion non lin´eaire et certaines propri´et´es d’int´egrabilit´e de syst`emes dynamiques hamiltoniens. Le but de cette th`ese est de comprendre l’influence des op´erateurs non locaux ΠT_{et Π}R _{sur des ´equations de type}

de Schr¨odinger et d’adapter les outils li´es `a l’espace de Hardy sur le cercle et sur la droite. On applique aussi la m´ethode de forme normale de Birkhoff, l’argument de concentration–compacit´e, qui est pr´ecis´e `

a travers le th´eor`eme de d´ecomposition en profils, et la transform´ee spectrale inverse pour r´esoudre ces probl`emes. Dans le troisi`eme mod`ele, la th´eorie de l’int´egrabilit´e permet de faire le lien avec certains aspects alg´ebriques et g´eom´etriques.

Mots − clefs : Equation de Schr¨´ odinger non lin´eaire, Projecteur de Szeg˝o, ´Equation de Benjamin–Ono, Espace de Hardy, Stabilit´e orbitale, Onde progressive, Turbulence d’onde, Forme normale de Birkhoff, Concentration–compacit´e, Seuil de diffusion, Multi-soliton, Paire de Lax, Coordonn´ees d’action–angle, Op´erateur de Toeplitz

Abstract We are interested in three non linear dispersive Hamiltonian equations : the defocusing cu-bic Schr¨odinger equation filtered by the Szeg˝o projector ΠT _{that cancels every negative Fourier modes,}

leading to the cubic NLS–Szeg˝_{o equation on the torus T := R/2πZ ; the focusing quintic Schr¨odinger} equation, which is filtered by the Szeg˝o projector ΠR_{, leading to the quintic NLS–Szeg˝o equation on the}

line R ; and the Benjamin–Ono (BO) equation on the line. Similarly to the other two models, the BO equation on the line can be written as a quadratic Schr¨odinger-type equation that is filtered by the Szeg˝o projector ΠR_{. These three models allow us to study their qualitative properties of some traveling waves,}

the phenomenon of the growth of Sobolev norms, the phenomenon of non linear scattering and some pro-perties about the complete integrability of Hamiltonian dynamical systems. The goal of this thesis is to investigate the influence of the non local operators ΠT_{and Π}R_{on some one-dimensional Schr¨odinger-type}

equations and to adapt the tools of the Hardy space on the torus and on the line. We also use the Birkhoff normal form transform, the concentration–compactness argument, refined as the profile decomposition theorem, and the inverse spectral transform in order to solve these problems. In the third model, the integrability theory allows to establish the connection with some algebraic and geometric aspects.

Keywords : Non linear Schr¨odinger equation, Szeg˝o projector, Benjamin–Ono equation, Hardy space, Orbital stability, Traveling wave, Wave turbulence, Birkhoff normal form, Concentration–compactness, Scattering mass threshold, Multi-soliton, Lax pair, Action–angle coordinates, Toeplitz operator

Table des mati`

eres

1 Introduction g´en´erale 5

1.1 Pr´esentation du contexte. . . 5

1.1.1 L’´equation de Szeg˝o sur le tore . . . 7

1.1.2 L’´equation de Szeg˝o sur la droite . . . 10

1.2 Enonc´´ es des r´esultats. . . 13

1.2.1 L’´equation de NLS–Szeg˝o cubique sur le tore . . . 14

1.2.2 L’´equation de NLS–Szeg˝o quintique sur la droite . . . 17

1.2.3 L’´equation de Benjamin–Ono sur la droite . . . 21

1.3 Perspectives de recherche . . . 26

1.3.1 L’´equation de NLS–Szeg˝o amortie . . . 26

1.3.2 Unicit´e des ´etats fondamentaux . . . 27

1.3.3 Transformation de diffusion inverse (IST) de l’´equation de BO . . . 28

1.4 Pr´eliminaires . . . 28

1.4.1 D´ecomposition en profils. . . 29

1.4.2 Probl`eme de Cauchy pour l’´equation de NLS–Szeg˝o cubique sur la tore . . . 29

2 Long time behavior of the NLS–Szeg˝o equation on the torus 37 2.1 Introduction. . . 38

2.1.1 Motivation . . . 38

2.1.2 Main results. . . 39

2.2 The cubic Szeg˝o equation . . . 42

2.2.1 The Lax pair structure and L∞-estimate. . . 42

2.2.2 Wave turbulence . . . 42

2.2.3 A special case . . . 43

2.3 Long time behavior for small data . . . 44

2.3.1 The case α ≥ 2 . . . 44

2.3.2 The case 0 ≤ α < 2. . . 46

2.4 Orbital stability of the plane wave . . . 53

2.4.1 The proof of Theorem 2.1.5 . . . 53

2.4.2 Long time Hs_{-stability . . . . 54}

2.4.3 Long time Hs_{-stability in the case α = 0. . . . 58}

2.5 Comparison to the NLS equation . . . 63

2.6 Appendix . . . 64 3

3 Traveling waves of NLS–Szeg˝o equation on the line 67

3.1 Introduction. . . 68

3.2 Profile decomposition . . . 74

3.3 Orbital stability. . . 76

3.3.1 Proof of theorem 3.1.6 . . . 76

3.3.2 The special case γ = 2 . . . 78

3.4 Appendices . . . 79

3.4.1 Persistence of regularity for scattering . . . 80

3.4.2 The open problem of uniqueness of ground states . . . 81

4 Integrability of the BO equation on the line 85 4.1 Introduction. . . 86

4.1.1 Notation. . . 88

4.1.2 Organization of this paper. . . 89

4.1.3 Related work . . . 90

4.2 The Lax operator. . . 91

4.2.1 Unitary equivalence . . . 95

4.2.2 Spectral analysis I . . . 95

4.2.3 Conservation laws . . . 98

4.2.4 Lax pair formulation . . . 99

4.3 The action of the shift semigroup . . . 102

4.4 The manifold of multi-solitons. . . 104

4.4.1 Differential structure . . . 107

4.4.2 Spectral analysis II. . . 110

4.4.3 Characterization theorem . . . 114

4.4.4 The stability under the Benjamin–Ono flow . . . 115

4.5 The generalized action–angle coordinates . . . 118

4.5.1 The associated matrix . . . 119

4.5.2 Inverse spectral formulas. . . 121

4.5.3 Poisson brackets . . . 123

4.5.4 The diffeomorphism property . . . 126

4.5.5 A Lagrangian submanifold. . . 128

4.5.6 The symplectomorphism property . . . 129

4.6 Appendices . . . 133

4.6.1 The simple connectedness of UN . . . 133

Chapitre 1

Introduction g´

en´

erale

1.1

Pr´

esentation du contexte

Dans cette th`ese, on s’int´eresse au comportement en grand temps et `a l’int´egrabilit´e de certaines ´equations dispersives. L’´etude des ´equations aux d´eriv´ees d’´evolution non lin´eaires (EDPs) est motiv´ee par la mod´elisation d’ ´evolutions temporelles de certaines quantit´es d´efinies sur un milieu continu pour des prob`emes issus des sciences physiques, naturelles, sociales et d’autres domaines reli´es directement aux math´ematiques. Pendant un demi-si`ecle, l’analyse des EDPs s’est beaucoup consacr´ee `a l’´etude de l’exis-tence et de l’unicit´e de solutions locales et globales dans des espaces fonctionnels bien choisis. Par contraste avec les ´equations diff´erentielles ordinaires dont les solutions sont `a valeurs dans des espaces vectoriels ou des vari´et´es lisses de dimension finie, les ´equations aux d´eriv´ees partielles peuvent ˆetre vues comme des syst`emes dynamiques dont les orbites sont incluses dans des espaces vectoriels ou dans des vari´et´es de dimension infinie. Grˆace aux outils de l’analyse fonctionnelle, des notions de solution faible et forte ont pu voir le jour, permettant de d´efinir des trajectoires dans des espaces de fonctions avec diff´erents niveaux de r´egularit´e.

Une ´equation aux d´eriv´ees partielles est dite dispersive si ses solutions se d´ecrivent sous la forme d’ondes qui se propagent `a des vitesses qui varient en fonction de la longueur d’onde. Une ´equation dispersive semi lin´eaire s’´ecrit le plus souvent sous la forme

∂tw(t) + Lw(t) = N (w(t)), (1.1.1)

o`u L est un op´erateur anti-auto-adjoint non born´e et dens´ement d´efini sur certain espace d’Hilbert H, et N est une fonctionnelle non lin´eaire d´efinie sur le domaine de d´efinition de L. L’´equation (1.1.1) peut se reformuler `a l’aide de la formule de Duhamel,

w(t) = e−(t−t0)L_u(t

0) +

Z t

t0

e−(s−t0)L_{N (w(s))ds. (1.1.2)}

Par exemple, pour r´esoudre le probl`eme de Cauchy en basse r´egularit´e de l’´equation de Schr¨odinger semi-lin´eaire

i∂tw + ∆w = N (w), (t, x) ∈ R × M (1.1.3)

o`_{u M est R}d

ou Td

, avec T = R/2πZ, on utilise souvent la th´eorie de Strichartz–Ginibre–Velo qui permet 5

de convertir l’estimation dispersive keit∆ϕk_Lp_(Rd₎.d,p|t|d( 1 p− 1 2)kϕk L p p−1_(Rd₎, ϕ ∈ L p p−1(Rd), 2 ≤ p ≤ +∞ (1.1.4)

en des in´egalit´es contrˆolant la norme en espace–temps de Lebesgue de la solution. On renvoie `a Strichartz [130], Ginibre–Velo [58,59,60], Tao [138] et Bahouri–Chemin–Danchin [5_{] etc. pour le cas M = R}d_,

Bour-gain [13_{] pour le cas M = T}d_{, Burq–G´erard–Tzvetkov [18,19,20] pour le cas M est une vari´et´e compacte}

quelconque, etc.

Apr`es avoir r´esolu le probl`eme de Cauchy, on s’int´eresse au comportement en grand temps d’une solution de l’´equation (1.1.1), en particulier la stabilit´e d’ondes progressives, le ph´enom`ene de turbulence faible du point de vue de la croissance de normes de Sobolev, le ph´enom`ene de la diffusion non lin´eaire, etc. Par exemple, on consid`ere l’´equation de Schr¨odinger cubique d´_{efocalisante sur le tore T}d_,

i∂tw + ∆w = |w|2w, (t, x) ∈ R × Td (1.1.5)

et on pose la question : la solution t ∈ R 7→ u(t) ∈ Hs

(T) est-elle uniform´ement born´ee sur R, pour tout s ≥ 0 ?

La r´eponse est positive lorsque d = 1 `a l’aide de la suite de lois de conservation engendr´ee par une paire de Lax d´ecouverte par Zakharov–Shabat [152]. Ces lois de conservation contrˆolent toutes les Hs_-normes

de Sobolev de la solution (dans le cas s ≥ 0 entier, voir Faddeev–Takhtajan [33], Gr´ebert–Kappeler [65], G´erard [46], Sun [131] ; dans le cas s > 1 non entier, voir Kappeler–Schaad–Topalov [82] ; dans le cas −1

2 < s < 0, voir Koch–Tataru [91] et Killip–Vi¸san–Zhang [90]).

Proposition 1.1.1. Si w0∈ C∞(T) et w ∈ C∞(R × T) r´esout l’´equation (1.1.5) en dimension d = 1

avec la donn´ee initiale w(0) = w0, on a sup_t∈Rkw(t)kHs_(T)< +∞, pour tout s ≥ 0.

Lorsque d ≥ 2, Colliander–Keel–Staffilani–Takaoka–Tao [29] et Guardia–Haus–Procesi [67] ont montr´e que pour tout d ≥ 2, K  1 et s > 1, il existe une solution w : t 7→ w(t) ∈ Hs

(Td_{) globale de l’´equation}

(1.1.5) telle que kw(0)kHs < K−1 et kw(T )kHs > K pour un certain T > 0. Par cons´equent, il n’existe

pas de loi de conservation contrˆolant la norme Hs_{, si s > 1. Dans le cas o`}

u Td _{est remplac´ee par l’espace}

de produit R × Td_{, lorsque d ≥ 2, Hani–Pausader–Tzvetkov–Visciglia [69] ont montr´e, `a l’aide d’une}

proc´edure de diffusion modifi´ee, qu’il existe des solutions dont l’orbite n’est pas born´ee dans Hs _{pour s}

assez grand.

Dans le cas M = T2, l’´equation (1.1.3) cubique admet le terme nonlin´eaire compl`etement r´esonant, N = NR, NR(w) = X n∈Z2   X (n1,n2,n3)∈ΓR(n) wn1wn2wn3  e in·x<sub>, w =</sub> X n∈Z2 wnein·x, R ∈ Z \ [0, +∞), (1.1.6) o`u ΓR(n) = {(n1, n2, n3) ∈ (Z2)3: n1− n2+ n3= n et kn1k2_R2− kn2k2_R2+ kn3k2_R2− knk 2 R2∈ [−R, R]},

et Hani [68] a trouv´e qu’il existe une solution globale de l’´equation (1.1.3) dont l’orbite n’est pas born´ee. On s’int´eresse `a la relation entre l’existence d’une infinit´e de lois de conservations lin´eairement ind´ependantes, et le ph´enom`ene de croissance de normes de Sobolev de la solution d’une ´equation du type (1.1.1) arbi-traire. On pose une autre question : existe-il une ´equation du type (1.1.1) qui admet simultan´ement ces

1.1. PR ´ESENTATION DU CONTEXTE 7

deux ph´enom`enes ?

La r´eponse est positive. Consid´erons l’´equation de Szeg˝_{o cubique sur le tore T}

i∂tw = ΠT(|w|2w), (t, x) ∈ R × T, (1.1.7)

o`u ΠT_{: L}2_{(T) → L}2_{(T) est projecteur de Szeg˝o qui supprime tous les modes de Fourier n´egatifs,}

ΠT_{f (x) =}X n≥0 fneinx, si f ∈ L2(T), f (x) = X n∈Z fneinx, (1.1.8) avec fn = _2π1 R2π 0 f (x)e −inx_{dx. On d´efinit L}2 +(T) = ΠT(L2(T)) et H+s(T) := L2+(T)T Hs(T). Introduite

par G´erard–Grellier [47,49,51,52], cette ´equation admet simultan´ement une paire de Lax qui permet de construire des variables d’action–angle, de trouver une formule explicite pour le flot `a l’aide d’une transfor-mation spectrale inverse, et des solutions turbulentes engendr´ees par des donn´ees initiales g´en´eriquement d´efinies dans le sous-espace C₊∞_{(T) := C}∞_(T)T L2

+(T). La structure de paire de Lax engendre une

suite de lois de conservation lin´eairement ind´ependantes de l’´equation (1.1.7), mais aucune parmi elles ne contrˆole la norme Hs

+(T), si s > 1

2. Inspir´ee par ces r´esultats, O. Pocovnicu a trouv´e des r´esultats

similaires sur l’´equation de Szeg˝o cubique sur la droite dans [119,120]. H. Xu [148,149] a ´etudi´e une perturbation lin´eaire de l’´equation de Szeg˝o cubique sur le tore et elle a trouv´e une solution qui admet une croissance de norme de Sobolev exactement exponentielle. Elle a aussi impl´ement´e la strat´egie de Hani–Pausader–Tzvetkov–Visciglia [69] dans le cadre de l’´equation de ’guide d’onde’ dans Xu [150]. J. Thirouin a ´etabli une estimation de norme de Sobolev en grand temps de l’´equation de Schr¨odinger frac-tionnelle dans [140]. Il a men´e l’´etude d’une ´equation de Szeg˝o quadratique. Dans Thirouin [141], il a trouv´e l’estimation optimale de la croissance de norme de Sobolev et dans Thirouin [142] il a classifi´e compl`etement les ondes progressives de cette ´equation. On renvoie aussi `a Biasi–Bizo´n–Evnin [10] pour la croissance de norme de Sobolev dans le cas d’une autre variante de l’´equation de Szeg˝o cubique. Rappelons maintenant certains r´esultats sur l’´equation de Szeg˝o cubique, d’abord sur la tore, ensuite sur la droite, qui sont reli´es aux r´esultats principaux de cette th`ese.

1.1.1

L’´

equation de Szeg˝

o sur le tore

D´efinition 1.1.2. Sur L2_{(T), on introduit le produit scalaire hf, gi}L2_(T)= _2π1

R2π

0 f (x)g(x)dx et la forme

symplectique ωL2_(T)(f, g) := Imhf, gi_L2_(T). L’energie E_SzegoT (w) = 1₄kwk4_L4_(T) est densement d´efinie sur

L2 +.

Alors l’´equation de Szeg˝o cubique sur le tore (1.1.7) est de type hamiltonien, ∂tw = XET

Szego(w), o`u le

champ hamiltonien de ET

Szego par rapport `a ωL2_(T) est donn´e par

dET Szego(w)(h) = ωL2_(T)(h, X_ET Szego(w)), ∀w, h ∈ H 1 2 +(T).

Notons que, malgr´e la forme (1.1.1), cette ´equation est totalement non dispersive, puisque l’op´erateur L est nul !

Proposition 1.1.3. (G´erard–Grellier [47]). Soit w0 ∈ H

1 2

+(T), il existe une unique fonction w ∈

Cb(R, H

1 2

+(T)) qui r´esout l’´equation (1.1.7) avec la donn´ee initiale w(0) = w0 et l’application du flot

w0∈ H 1 2 +(T) 7→ w ∈ L∞(R, H 1 2 +(T)) est continue. Si s > 12 et w0∈ H s (T), alors w ∈ C∞(R, Hs +(T)).

Soient w ∈ L2

+(T) et b ∈ L∞(T), l’op´erateur de Hankel de symbole w et l’op´erateur de Toeplitz de

symbole b sont deux op´erateurs born´es sur L2_{+(T), qui sont d´efinis par} HT

w(h) = ΠT(wh), TbT(h) = ΠT(bh), ∀h ∈ L 2

+(T). (1.1.9)

L’op´erateur de Hankel HT

w est anti-lin´eaire et l’op´erateur de Toeplitz TbT est lin´eaire. L’op´erateur de

d´ecalage ST_{: L}2

+(T) → L2+(T) est d´efini par

ST_{h(x) = e}ix_h(x),

∀x ∈ T et h ∈ L2+(T). (1.1.10)

Ensuite l’op´erateur de Hankel d´ecal´e KT

w: L2+(T) → L2+(T) est d´efini par

KT

w= (ST) ∗_H

w= HwST= H(ST₎∗_w. (1.1.11)

Alors on a le th´eor`eme suivant.

Th´eor`eme 1.1.4. (G´erard–Grellier [47]). Soient s > 1₂ et w ∈ C∞_{(R, H+}s_{(T)) r´esout l’´equation de Szeg˝o} cubique sur la tore i∂tw = ΠT(|w|2w), on d´efinit ATw = −iT|w|T 2+

i 2(HwT)2 et CwT = −iT|w|T 2+ i 2(KwT)2. Alors on a ∂tHwT = [ATw, HwT], ∂tKwT = [CwT, KwT]. (1.1.12)

On identifie les ´el´ements w ∈ L2_{+(T) aux traces des fonctions holomorphes sur le disque unit´e w ∈} Hol(D(0, 1)), D(0, 1) = {z ∈ C : |z| < 1}, telles que sup0≤r<1

R2π 0 |w(re ix_)|2_{dx < +∞ par la} correspon-dance suivante w ∈ L2+(T) 7→  w : z ∈ D(0, 1) 7→X n≥0 wnzn  , w(x) = lim r→1w(re ix_{) (1.1.13)}

qui ´etablit un isomorphisme d’espace de Hilbert de l’espace L2

+(T) vers l’espace de Hardy sur le disque

unit´e (voir Chapter 17 of Rudin [124]).

Th´eor`eme 1.1.5. (G´erard–Grellier [51]). Soient w0 ∈ H

1 2 +(T) et w ∈ C(R, H 1 2 +(T)) la solution de

l’´equation (1.1.7) avec la donn´ee initiale w(0) = w0, alors on a la formule suivante,

w(t, z) =   Id_L2 +(T)− ze −it(HT w0) 2 eit(Kw0)2_(ST₎∗−1_e−it(Hw0T ) 2 w0, 1  L2_(T) , (1.1.14)

o`u la fonction 1(x) = 1 est constante.

D´efinition 1.1.6. L’ensemble M(N )T _{consiste en toutes les fractions rationnelles w ∈ L}2

+(T) de la

forme w(x) = A(e_B(eixix)₎, o`u B(0) = 1, les polynˆomes A ∈ C≤N −1[X], B ∈ C≤N[X] sont premiers entre eux

et tels que deg(A) = N − 1 ou deg(B) = N , les racines de B sont dehors le disque unit´e ferm´e D(0, 1). Ici C≤N[X] d´esigne l’ensemble des polynˆomes P ∈ C[X] de degr´e deg(P ) ≤ N .

Muni du produit int´erieur de L2

+(T), l’ensemble M(N )T est une sous-vari´et´e k¨ahl´erienne de L2+(T) de

dimension complexe dim_C(M(N )T_{) = 2N . Un th´eor`eme qui remonte `a Kronecker [94] dit qu’une fonction}

w ∈ M(N )T _{si et seulement si le rang de l’op´erateur de Hankel H}T

w est ´egal `a N .

D´efinition 1.1.7. L’ensemble M(N )T

gen consiste en toutes les fonctions w ∈ M(N )T telles que 1 /∈

Im(HT

1.1. PR ´ESENTATION DU CONTEXTE 9

L’ensemble M(N )T

genest une partie ouverte de M(N )Tdont le compl´ementaire est de mesure de Lebesgue

nulle. Munie de la forme symplectique ωL2_(T), M(N )T_gen est une vari´et´e symplectique de dimension

dim_R(M(N )T

gen) = 4N . Les actions sont donn´ees par

ΩT

N = {(I1T, I2T, · · · , INT; J1T, J2T, · · · , JNT) ∈ R 2N _{: I}T

k > JkT> Ik+1T > 0}.

La forme symplectique canonique sur la vari´et´e ΩT

N× T2N est νT=

PN

k=1(dIkT∧ dϕTk+ dLTk∧ dθTk).

Th´eor`eme 1.1.8. (G´erard–Grellier [49]). Il existe un symplectomorphisme r´eellement analytique χT N : (M(N )Tgen, ωL2_(T)) → (ΩT_N × T2N, νT) (1.1.15) telle que ET Szego◦ χTN
−1 (IT 1, · · · , INT; LT1, · · · , LTN; ϕT1, · · · , ϕTN; θT1, · · · , θTN) = 1 4 PN k=1(|IkT| 2_{− |L}T k| 2_).

L’application χ_N introduit les coordonn´ees action–angle pour l’´equation de Szeg˝o cubique sur le tore. Si χT

N(w) = (I1T(w), · · · , INT(w); LT1(w), · · · , LTN(w); ϕT1(w), · · · , ϕTN(w); θT1(w), · · · , θTN(w)) ∈ ΩTN × T 2N_,

alors l’´equation (1.1.7) est lin´earis´ee sous ces coordonn´_{ees, si w : t ∈ R 7→ w(t) ∈ M(N )}T _{r´esout (1.1.7),}

∂t(IkT◦ w)(t) = ∂t(LTk◦ w)(t) = 0, ∂t(ϕTk◦ w)(t) = (IT k ◦ w)(t) 2 , ∂t(θ T k ◦ w)(t) = − (LT k◦ w)(t) 2 . Plus pr´ecis´ement, la famille {1

2IkT(w)}k≥1consiste en l’ensemble des valeurs propres de l’op´erateur (HwT)2

et la famille {1₂LT

k(w)}k≥1 consiste en l’ensemble des valeurs propres de l’op´erateur (KwT)2. De plus,

l’application χT

N admet une g´en´eralisation en dimension infinie. (voir G´erard–Grellier [49]). La solution

w : t 7→ w(t) ∈ M(N )T _{est quasi-p´eriodique (voir G´erard–Grellier [51]). Le r´esultat suivant met en}

´

evidence un ph´enom`ene de turbulence faible pour l’´equation (1.1.7).

Th´eor`eme 1.1.9. (G´erard–Grellier [50]). Il existe une partie Gδ-dense V ⊂ C+∞(T) telle que si w0∈ V,

alors la solution w : t ∈ R 7→ w(t) ∈ C+∞ telle que la donn´ee initiale est w(0) = w0 v´erifie les propri´et´es

suivantes :

• il existe une suite temporelle tn tendant vers +∞, telle que ∀s >1₂, ∀M ∈ N, on a

lim

n→+∞

kw(tn)kHs (T)

tM_n = +∞;

• il existe une suite temporelle t_n tendant vers +∞, telle que lim

n→+∞w(tn) = w0 dans C ∞ +(T).

Par ailleurs, pour tout w0∈ C+∞(T), il existe une constante Cs> 0 telle que

kw(t)kHs_(T)≤ Cskw0kHs_(T)eCskw0k 2

Hs (T)|t|_, ∀t ∈ R. _(1.1.16)

Comme l’union S

N ≥1M(N )T est dense dans C+∞(T) et V est Gδ-dense dans C+∞(T), on voit que le

comportement en grand temps de l’´equation de Szeg˝o cubique (1.1.7) d´epend de fa¸con sensible de sa donn´ee initiale.

Remarque 1.1.10. On consid`ere l’´equation hamiltonienne avec la mˆeme ´energie sans le projecteur de Szeg˝o ΠT_{: L}2 +(T) → L 2 +(T) sur la tore : i∂tV = |V |2V, (t, x) ∈ R × T. (1.1.17) Alors on a V (t, x) = eit|V0|2_V

0(x) et kV (t)kHs ' |t|s, pour tout s ≥ 0, si |V₀| n’est pas une fonction

constante. Donc le projecteur de Szeg˝o ΠT_{: L}2

(T) → L2

+(T) acc´el`ere le transfert d’´energie vers les hautes

fr´equences.

Xu [148,149] a men´e l’´etude d’une ´equation de Szeg˝o cubique perturb´ee par un terme lin´eaire i∂tw = ΠT(|w|2w) + α

Z

T

w, _{α ∈ R.} (1.1.18)

Dans ce cas, (HT

w, ATw) n’est plus une paire de Lax, mais (KwT, CwT) est encore une paire de Lax. Lorsque

α > 0 et w0(x) = eix+

√

α, on note w : t ∈ R 7→ w(t) ∈ H+s(T) la solution de l’´equation (1.1.18), alors

on a la croissance exponentielle exacte de la norme de Sobolev, lorsque t → ±∞, kw(t)kHs_(T)' e(2s−1)

√ α|t|

, ∀s > 1 2.

Thirouin [141,142] a trouv´e l’estimation optimale de la croissance de norme de Sobolev et a classifi´e compl`etement les ondes progressives de l’´equation de Szeg˝o quadratique

i∂tw = 2J ΠT(|w|2) + J w2, ∀(t, x) ∈ R × T, J := J (u) =

Z

T

|w|2

w ∈ C. (1.1.19)

1.1.2

L’´

equation de Szeg˝

o sur la droite

Consid´erons l’´equation cubique sur la droite (voir Pocovnicu [119,120])

i∂tw = ΠR(|w|2w), (t, x) ∈ R × R, (1.1.20)

o`u ΠR_{: L}2

(R) → L2

(R) est projecteur de Szeg˝o sur la droite,

ΠR_{f (x) =} 1 2π Z +∞ 0 eixξf (ξ)dx,ˆ ∀f ∈ L2 (R). (1.1.21)

On d´efinit les espaces de Sobolev filtr´es par L2_{+(R) := Π}R_(L2_{(R)) et H}s

+(R) = L 2

+(R)T H s

(R), pour tout s ≥ 0. Le th´eor`eme de Paley–Wiener (Theorem 19.2 of Rudin [124]) donne l’identification entre l’espace L2+ et l’espace de Hardy sur le demi-plan de Poincar´e C+ = {z ∈ C : Imz > 0}, on a l’isomorphisme

d’Hilbert suivant w ∈ L2+(R) 7→ w ∈ H2(C+) = {g ∈ Hol(C+) : kgkH2_(C

+)< +∞}, o`u kgkHp_(C+)= sup y>0 Z R |g(x + iy)|p_dx p1 , si p ∈ (0, +∞), (1.1.22)

Alors l’´equation (1.1.20) est aussi de type hamiltonien par rapport `a la forme symplectique ωL2_(R)(f, g) =

Imhf, giL2_(R)avec le produit scalaire hf, giL2_(R)=

R

Rf g. L’´energie de l’´equation (1.1.20) est E R Szego(w) = 1 4 R R|w| 4_{, pour tout w ∈ L}4 (R)T L2

+(R). L’´equation de Szeg˝o sur la droite est globalement bien pos´ee

sur Hs

1.1. PR ´ESENTATION DU CONTEXTE 11

D´efinition 1.1.11. Soient w ∈ L2

+(R) et b ∈ L∞(R), l’op´erateur de Hankel HwR : L2+(R) → L2+(R)

et l’op´erateur de Toeplitz TR b : L

2

+(R) → L2+(R) sont d´efinis par HwR(h) = ΠR(wh) et TbR(h) = ΠR(bh)

respectivement.

Th´eor`eme 1.1.12. (Pocovnicu [119]). Soient s > 1

2 et w ∈ C ∞

(R, Hs

+(R)) r´esout l’´equation (1.1.20),

on d´efinit un op´erateur AR

w= −iT|w|R 2+

i

2(HwR)2. Alors ∂tHwR= [ARw, HwR].

Ainsi l’´equation (1.1.20) admet aussi une paire de Lax. En revanche l’op´eration de d´ecalage n’existe plus mais devient un semi-groupe (S(η))η≥0avec S(η) : L2+(R) → L

2

+(R) d´efini S(η)f = eηf , o`u eη(x) = eiηx,

x ∈ R, dont l’adjoint est donn´e par S(η)∗ = Te−η. Inspir´e par la d´efinition1.1.6, on introduit la vari´et´e

M(N )R_{, qui consiste en toutes les fractions rationnelles sous la forme w(x) =} A(x)

B(x), o`u B(0) = 1, les

polynˆ_{omes A ∈ C}≤N −1[X], B ∈ C≤N[X] ´etant premiers entre eux et tels que deg(A) = N − 1 ou

deg(B) = N , les racines de B ´etant contenues dans le demi-plan inf´erieur de Poincar´_{e C}−. Muni du

produit int´erieur de L2

+(R), l’ensemble M(N )R est une sous-vari´et´e k¨ahl´erienne de L2+(R) de dimension

dim_C(M(N )R_{) = 2N . De plus M(N )}R_{est le revˆetement universel de la vari´et´e M(N )}T _{donn´ee dans la}

d´efinition1.1.6. (voir Sun [135]) Le th´eor`eme de Kronecker [94] donne la caract´erisation par le rang des op´erateurs de Hankel

M(N )R_{= {w ∈ L}2

+(R) : rang(HwR) := dimC(ImHwR) = N }. (1.1.23)

D´efinition 1.1.13. Soit w ∈ M(N )R_{, il existe une unique fonction g ∈ Im(H}R

w) = Im((HwR)2) telle que

HR

wg = w. L’ensemble des valeurs propres de (HwR)2 est σpp((HwR)2) = {λ21, λ22, · · · , λ2N}, o`u λk= λk(w),

tel que 0 < λk ≤ λk+1. Il existe une base orthonorm´ee du sous-espace Im(HwR) not´ee par {ek}Nk=1 form´ee

par des vecteurs propres qui satisfont HR

wek = λkek, pour tout k = 1, 2, · · · , N .

Th´eor`eme 1.1.14. (Pocovnicu [120]). Soit w0 ∈ M(N )R et notons W (t) := e

it

2(H

R

w0)2_{, l’op´erateur de}

d´ecalage infinit´esimal compress´e T : Im(HR

w0) → Im(H

R

w0) est d´efini par

T f (x) := xf (x) −  lim x→+∞xf (x)  (1 − g0). (1.1.24)

o`u la fonction g0∈ Im(HwR0) v´erifie que H

R

w0g0= w0, donn´ee dans la d´efinition1.1.13. Soit j = 1, 2, · · · , N

fix´e et on note Mj ⊂ N qui consiste en l’ensemble de tous les indices k tels que HwR0ek= λjek. On d´efinit

βj:= hg0, ejiL2_(R) et l’op´erateur lin´eaire S(t) : Im(H_wR

0) → Im(H R w0) par hS(t)ek, ejiL2_(R)=    λj 2πi(λ2 k−λ2j) eit2(λ 2 k−λ 2 j) _λjβ jβk− λkβkβj
, si k ∈ {1, 2, · · · , N }\Mj λ2_j 2πβjβkt + hTej, ekiL2_(R), si k ∈ M_j. Si on note w : t ∈ R 7→ w(t) ∈ Im(HR

w0) la solution de l’´equation de Szeg˝o associ´ee `a la donn´ee initiale

w(0) = w0, alors on a la formule explicite suivante

w(t, x) = i 2πhw0, W (t) (S(t) − x) −1 W (t)g0iL2_(R), ∀(t, x) ∈ R × R. (1.1.25) Remarque 1.1.15. Soit s > 1 2, comme l’union S

N ≥1M(N )Rest dense dans H s

+(R), la formule (1.1.25)

se g´en´eralise au cas d’une solution `a donn´ee initiale arbitraire dans Hs

+(R) telle que x 7→ xw0(x) ∈ L∞(R)

D´efinition 1.1.16. Une fonction w ∈ M(N )R_{est dite g´en´erique si l’op´erateur (H}R

w)2 n’admet que des

valeurs propres non nulles simples 0 < λ2₁ < λ2₂ < · · · < λ2_N. On note M(N )R

gen l’ensemble de telles

fonctions g´en´eriques, qui est une partie ouverte dense de M(N )R_.

Remarque 1.1.17. Une fonction g´en´erique w ∈ M(N )R

gen v´erifie que hw, ekiL2_(R) 6= 0, pour tout k =

1, 2, · · · , N , o`u les fonctions propres {ek}Nk=1 sont donn´ees dans la d´efinition 1.1.13, d’apr`es G´erard–

Pushnitski [57]. Alors (M(N )R

gen, ωL2_(R)) est une vari´et´e symplectique de dimension dim_R(M(N )R_gen) = 4N . On d´efinit

YN := (−ΩN) × (R∗+) N × RN × TN_{, o`u (−Ω} N) = {0 < I1R < I2R < · · · < INR}. Muni de la forme symplectique canonique, νR₌ N X k=1 dIR k ∧ dϕRk+ dLRk∧ dθkR
, ϕRk ∈ R, θkR∈ T.

YN est une vari´et´e symplectique r´eellement analytique de dimension dimR(Y) = 4N .

Th´eor`eme 1.1.18. (Pocovnicu [120]). Il existe un symplectomorphisme r´eellement analytique χR

N : (M(N )Rgen, ωL2_(R)) → (Y_N, νR),

tel que ER

Szego◦(χRN)−1ne d´epend que des variables d’actions (I1R, I2R, · · · , INR; LR1, LR2, · · · , LRN) ∈ (−ΩN)×

(R∗ +)N.

Remarque 1.1.19. L’application χR

N introduit les coordonn´ees d’action–angle g´en´eralis´ees. La moiti´e

des actions et des angles IR

k, ϕRk, k = 1, 2, · · · , N , co¨ıncide dans le cas de l’´equation de Szeg˝o cubique

sur la tore. La famille {_4π1 IR

k(w)}k≥1 consiste en l’ensemble des valeurs propres de l’op´erateur de Hankel

(HR

w)2. Cependant, l’autre moiti´e est compl`etement diff´erente. Dans le cas T, le deuxi`eme op´erateur de

Lax est trouv´e, c’est l’op´erateur de Hankel d´ecal´e Kw= HwTST dont ses valeurs propres et ses fonctions

propres donnent le reste des coordonn´_{ees. Dans le cas R, l’action de d´ecalage devient le semi-groupe} (S(η)∗)η≥0. On d´efinit LRk(w) = 4|hw, ekiL2_(R)|2, o`u e<sub>k</sub> est la fonction propre associ´ee `a la valeur propre

λ2_j = _4π1 IR

k(w) de l’op´erateur de Hankel (HwR)

2_{, donn´ee par la d´efinition 1.1.13. On a LR}

k(w) > 0, pour

tout k = 1, 2, · · · , N , d’apr`es la remarque1.1.17.

D´efinition 1.1.20. Une onde solitaire de l’´equation de Szeg˝o cubique sur la droite (1.1.20) est une solution lisse w : t ∈ R 7→ w(t) ∈ C+∞(R) qui s’´ecrit sous la forme w(t, x) = e−iωtw0(x − ct), pour

certaines constantes c, ω ∈ R, o`u w0= w(0).

Inspir´ee de la classification des ondes progressives pour l’´equation de Szeg˝o sur la tore (voir G´erard– Grellier [47]), Pocovnicu a classifi´e l’ensemble des ondes solitaires de l’´equation (1.1.20) `a l’aide du th´eor`eme de Beurling–Lax qui permet de caract´eriser tous les sous-espaces translation–invariants de l’espace de Hardy L2

+(R).

Th´eor`eme 1.1.21. (Pocovnicu [119_{]). Une fonction w ∈ C(R, H}12

+(R)) est une onde solitaire si et

seulement s’il existe C, p ∈ C telles que Imp < 0 telle que

w(t, x) = Ce

−iωt

x − ct − p (1.1.26) o`u les constantes c et ω d´ependent de C et p.

1.2. ´ENONC ´ES DES R ´ESULTATS 13

De plus, Pocovnicu a montr´e la stabilit´e orbitale de l’onde solitaire (1.1.26) par la m´ethode de concentration– compacit´e (voir Lions [101,102]), qui est am´elior´ee comme le th´eor`eme de d´ecomposition en profils par G´erard [45] (voir aussi Bahouri–G´erard [6]). Ce th´eor`eme est r´ecapitul´e dans la sous-section1.4.1. Th´eor`eme 1.1.22. (Pocovnicu [119]). Soient a, r > 0, consid`ere le cylindre

C(a, r) = {x ∈ R 7→ _{x − p}α ∈ C : |α| = a, Imp = −r} ⊂ H+∞(R). (1.1.27)

Pour tout  > 0, il existe δ = δ(, a, r) > 0 telle que ∀w0∈ H

1 2

+(R) v´erifiant infφ∈C(a,r)kw0−φk

H12_(R)< δ,

on note w : t ∈ R 7→ w(t) ∈ H12

+(R) la solution de l’´equation de Szeg˝o sur la droite (1.1.20), alors

sup

t∈R

inf

φ∈C(a,r)kw(t) − φkH12_(R)< .

D´efinition 1.1.23. Une donn´ee initiale w0 ∈ M(N ) est dite fortement g´en´erique si l’op´erateur Hw20

a ses valeurs propres non nulles simples 0 < λ21 < λ22 < · · · < λ2N avec hw0, ekiL2_(T), pour tout

k = 1, 2, · · · , N et |hw0, ejiL2_(T)| 6= |hw₀, e_ki_L2_(T)| pour tout k 6= j. L’ensemble des fonctions fortement

g´en´eriques est not´e par M(N )sgen.

Th´eor`eme 1.1.24. (Pocovnicu [120]). Soit w0 ∈ M(N )sgen une donn´ee initiale fortement g´en´erique

pour l’´equation de Szeg˝o cubique sur la droite (1.1.20), la solution correspondante s’´ecrit comme une somme de N -solitons et d’un reste. Plus pr´ecis´ement, on a

u(t, x) = N X j=1 Cje−iωjt x − cjt − pj + ε(t, x), lim t→±∞kε(t, x)kH s +(R)= 0, ∀s ≥ 0,

o`u ωj= λ2j, les constantes pj ∈ C− et Cj∈ C d´ependent de λj, ej et w0.

Th´eor`eme 1.1.25. (Pocovnicu [120]). Soient s > 1_{2, il existe des solutions w : t ∈ R 7→ w(t) ∈ H}+s(R)

de l’´equation de Szeg˝o, telles que limt→±∞kw(t)kHs_(R)= +∞.

1.2

Enonc´

´

es des r´

esultats

L’´equation de Schr¨odinger cubique sur le tore de dimension 1 n’a aucune solution turbulente d’apr`es la proposition 1.1.1. D’un autre cˆot´e, le projecteur de Szeg˝o ΠT _{: L}2

(T) → L2

+(T) acc´el`ere le transfert

d’´energie vers les fr´equences hautes pour l’´equation (1.1.17). On s’int´eresse donc `a l’influence du projecteur de Szeg˝o sur l’´equation de NLS cubique (1.1.5) dans le cas d = 1, en introduisant l’´equation de NLS–Szeg˝o cubique d´efocalisante sur le tore

i∂tu + ∂2xu = ΠT(|u|2u), (t, x) ∈ R × T. (1.2.1)

Sur la droite, on s’int´eresse `a l’influence du projecteur de Szeg˝o ΠR_{: L}2

(R) → L2

+(R) donn´e par (1.1.21)

sur l’´equation de Schr¨odinger L2-critique focalisante sur la droite i∂tw + ∂x2w = −|w|

4_w,

(t, x) ∈ R × R. (1.2.2) Cette ´equation admet l’invariance galil´eenne et un seuil de masse, au–dessus duquel il existe des solutions qui explosent en temps fini, et sous lequel la solution diffuse toujours. (voir Cazenave–Weissler [25,26],

Cazenave–Lions [24], Weinstein [145] et Dodson [31]) En ajoutant le projecteur de Szeg˝o ΠR _{devant le}

terme non lin´eaire, on obtient l’´equation de NLS–Szeg˝o quintique focalisante sur la droite,

i∂tu + ∂2xu = −ΠR(|u|4u), (t, x) ∈ R × R . (1.2.3)

On voit tout de suite des grandes diff´erences entre l’´equation (1.2.2) et l’´equation (1.2.3). Les r´esultats sur les ´equations de NLS–Szeg˝o sfont l’objet des chapitres 2 et 3 de cette th`ese, voir [133,134]. Quant au chapitre 4, il est consacr´e `a l’´equation de Benjamin–Ono (BO) sur la droite,

∂tu = H∂x2u − ∂x(u2), (t, x) ∈ R × R, (1.2.4)

o`u u est `a valeurs r´eelles et H est la transformation d’Hilbert H = −isign(D), d´efinie par c

Hf (ξ) = −isign(ξ) ˆf (ξ), ∀f ∈ L2(R). (1.2.5) avec sign(±ξ) = ±1, pour tout ξ > 0. On remarque que le projecteur de Szeg˝o peut s’´ecrire sous la forme ΠR ₌ 1

2(IdL2_(R)+ iH). On utilise l’abr´eviation Lp(R) = Lp(R, C). L’espace Lp(R, R) consiste en toutes

les Lp_{-fonctions `a valeurs r´eelles. Comme dans les travaux pr´ec´edents, on peut en fait ´ecrire l’´equation}

de BO sous la forme d’une ´equation de Schr¨odinger non lin´eaire filtr´ee par le projecteur de Szeg˝o ΠR_{. Si}

on pose v = ΠR_{u, o`u u r´esout l’´equation (1.2.4), alors}

i∂tv − ∂2xv + ∂x[v2+ 2ΠR(|v|2)] = 0, (t, x) ∈ R × R. (1.2.6)

1.2.1

L’´

equation de NLS–Szeg˝

o cubique sur le tore

Ce projet correspond au chapitre2et `a l’article [133]. L’´equation de NLS-Szeg˝o cubique d´efocalisante sur le tore (1.2.1) peut s’obtenir `a partir de l’´equation de Szeg˝o cubique (1.1.7) en ajoutant le terme dispersif ∂2

x. Afin de mesurer la gradation de dispersivit´e, on rajoute un param`etre devant le laplacien ∂x2. L’objet

principal de cette sous-section est l’´equation suivante i∂tu + α∂x2u = ΠT(|u|

2_{u), 0 <  < 1, α ≥ 0. (1.2.7)}

On munit encore L2

(T) de la forme symplectique ωL2_(T)(f, g) = Imhf, gi_L2_(T), en sorte que l’´equation

(1.2.7) est hamiltonienne avec l’´energie d´efinie dans H1 +(T) : Eα,(u) =  α 2k∂xuk 2 L2+ 1 4kuk 4 L4, u ∈ H 1 +. (1.2.8)

L’´equation (1.2.7) admet encore deux autres lois de conservation, Q(u) = kuk2_L2, I(u) = Im

Z T u∂xu = k|D| 1 2_uk2 L2_(T).

Rappelons l’estimation d’interpolation sup t∈R ku(t)kHs ≤ ku₀k1−2s_L2 ku0k2s H12, ∀s ∈ [0, 1 2].

Afin de montrer l’existence et l’unicit´e de la solution globale de l’´equation (1.2.7), on utilise l’in´egalit´e de Brezis–Gallou¨et [17], le th´eor`eme d’Aubin–Lions–Simon (voir Theorem II.5.16 de Boyer–Fabrie [15]) et l’in´egalit´e de Trudinger (voir Yudovich [151], Vladimirov [144], Ogawa [114] et G´erard–Grellier [47]). L’existence et l’unicit´e dans les espaces de Sobolev en basse r´egularit´e peuvent ˆetre obtenues comme dans Bourgain [13]. Dans ce qui suit, on ne consid`ere que les estimations dans l’espace de Sobolev en haute r´egularit´e.

1.2. ´ENONC ´ES DES R ´ESULTATS 15

Proposition 1.2.1. Soient s ≥ 1₂ et u0 ∈ H+s(T), il existe une unique fonction u ∈ C(R, H+s(T)) qui

r´esout l’´equation (1.2.7) avec la donn´ee initiale u(0) = u0. Pour tout T > 0, l’application flot u0 ∈

H₊s_{(T) 7→ u ∈ C([−T, T ], H+}s_{(T)) est continue.}

Cette proposition est r´ecapitul´ee au th´eor`eme 1.4.2 plus loin. On obtient deux ensembles de r´esultats concernant le comportement en grand temps des solutions de l’´equation (1.2.7). Le premier r´esultat concerne l’estimation en grand temps de la norme de Sobolev de la solution. Si la donn´ee initiale u0 est

born´ee par , on cherche un intervalle dans lequel la solution u(t) reste encore born´ee par O().

Theorem 1.2.2. Soit s > 1₂, il existe deux constantes as ∈]0, 1[ et Ks > 0 telles que si 0 <   1 et

u0∈ H+s avec ku0kHs = , u r´esout l’´equation (1.2.7) avec u(0) = u₀, alors on a

(sup_|t|≤ as 4−α ku(t)kHs ≤ K_s, si α ∈ [0, 2]; sup_|t|≤as 2 ku(t)kHs ≤ Ks, si α > 2. (1.2.9)

De plus, dans le cas α > 2 et s ≥ 1, l’intervalle temporel Iα = [−a2s,

as

2] est maximal au sens o`u

∀ 0 <   1, il existe une donn´ee u0∈ C+∞ telle que ku0kHs '  et pour tout β > 0, et on a

sup |t|≤ 1 2+β ku(t)kHs& | ln | 1 2  , u(0) = u 0.

Remark 1.2.3. Dans le cas α ∈ [0, 2), on utilise la m´ethode de forme normale de Birkhoff, qui est similaire `a Bambusi [7], Gr´ebert [64], G´erard–Grellier [48] et Faou–Gauckler–Lubich [34] etc. En revanche, on ne sait pas si l’intervalle temporel [− as

4−α,

as

4−α] est optimal. Les termes de r´esonances `a 6 indices

dans l’´equation homologique ne peut pas ˆetre supprim´es par notre transformation de forme normale de Birkhoff.(voir le chapitre 2)

Le deuxi`eme ensemble de r´esultats concerne la stabilit´e en grand temps d’une onde plane. On d´efinit l’onde plane em: x 7→ eimx, pour tout m ∈ N et s ≥ 1. Soit u = u(t, x) une solution de l’´equation (1.2.7)

telle que ku(0) − emkHs = . Par conservation de ´energie (2.1.6), on d´eduit l’estimation suivante :

sup t∈R ku(t)kH1 ._ku0k H1  −α 2_, ∀0 <  < 1, _{α ≥ 0. (1.2.10)}

En revanche, aucune information sur la stabilit´e de l’onde plane em n’est obtenue `a partir de (1.2.10)

lorsque  → 0+_{. Compte tenu du ph´enom`ene de croissance de norme de Sobolev pour l’´equation de Szeg˝o}

cubique (1.1.7) sur le tore (voir th´eor`eme 1.1.9), le ph´enom`ene de turbulence d’onde pour (1.2.7) va d´ependre de la taille de sa dispersion. On commence par trois r´esultats sur la stabilit´e de l’onde plane dans le cas o`u la dispersion est polynomiale en , α_∂2

x avec 0 ≤ α ≤ 2. Le prochain th´eor`eme indique la

stabilit´e orbitale de l’onde plane empar rapport `a la norme H1 pour l’´equation (1.2.7).

Th´eor`_{eme 1.2.4. Soient  ∈]0, 1[, α ∈ [0, 2] et m ∈ N, il existe C}m> 0 telle que si ku(0) − emkH1 = ,

alors on a sup t∈R inf θ∈Rku(t) − e iθ_e mkH1 ≤ Cm1− α 2.

Pour tout t ∈ R, la borne inf´erieure est atteint lorsque θ = arg um(t). Des r´esultats similaires sont obtenus

par Zhidkov [153, Sect. 3.3] et Gallay–Haragus [43,44] pour l’´equation de Schr¨odinger cubique (1.1.5) avec d = 1. Dans le cas de basse dispersion, le th´eor`eme1.2.4am´eliore l’estimation (1.2.10). Pour tout φ ∈ H12

+, on note u : t ∈ R 7→ Sα,(t)φ ∈ H

1 2

Corollary 1.2.5. Soit m ∈ N, on a sup0<<1 0≤α≤2

sup_kφ−emk

H1≤supt∈RkSα,(t)φkH1< ∞.

En comparant avec le ph´enom`ene de marguerite dans G´erard–Grellier [47,48,51], le terme dispersif α_∂2 x

empˆeche la croissance de la norme H1_{, pour l’´equation (1.2.7), si 0 ≤ α ≤ 2. En utilisant le changement}

de variable u(t) = ei arg um(t)_(e

m+ 1−

α

2v(t)), un argument de bootstrap conduit `a la stabilit´e orbitale en

grand temps de l’onde plane em par rapport aux normes de Sobolev en hautes fr´equences.

Proposition 1.2.6. Soient s ≥ 1 et m ∈ N, il existe deux constantes bm,s∈]0, 1[ et Lm,s> 0 telles que

si 0 ≤ α < 2 et ku(0) − emkHs =  ∈]0, 1[, alors on a sup |t|≤bm,s 1− α2 inf θ∈Rku(t) − e iθ_e mkHs ≤ L_m,s1− α 2_{. (1.2.11)}

On aimerait trouver un intervalle temporel plus grand dans lequel l’estimation (1.2.11) soit encore vraie par la transformation de forme normale de Birkhoff. Mais les coefficients devant les modes de Fourier de hautes fr´equences dans l’´equation homologique peuvent ˆetre arbitrairement grands, si α ∈]0, 2[. Donc on revient au cas α = 0 et on consid`ere l’´equation suivante.

i∂tu + ∂2xu = ΠT(|u|2u), (t, x) ∈ R × T.

Dans ce cas, on a le th´eor`eme suivant.

Theorem 1.2.7. Pour tout s ≥ 1, pour tout m ∈ N, il existe trois constantes dm,s, m,s ∈ (0, 1) et

Km,s> 0 telles que si ku(0) − emkHs=  ∈ (0, _m,s), alors

sup |t|≤dm,s 2 inf θ∈Rku(t) − e iθ_e mkHs ≤ K_m,s.

Des r´esultats similaires ont ´et´e ´etablis par Faou–Gauckler–Lubich [34] pour l’´equation de Schr¨odinger cubique (1.1.5_{) pour tous les d ∈ N. (voir le chapitre} 2pour la comparaison entre l’´equation (1.2.7) et (1.1.5)) Apr`es avoir ´etabli ces r´esultats de stabilit´e, on va construire des solutions pour l’´equation (1.2.7) qui sont grandes par rapport `a leur donn´ees initiales.

Theorem 1.2.8. Il existe une constante K > 0 telle que pour tout 0 < δ  1, on note U : t ∈ R 7→ U (t) ∈ C₊∞_{(T) la solution de l’´equation de NLS-Szeg˝o suivante}

i∂tU + ν2∂x2U = ΠT(|U |2U ), U (0, x) = eix+ δ, (1.2.12)

o`u ν = e−πK2δ2, alors on a kU (tδ)k_H1 ' 1_δ avec tδ := π

δ√4+δ2.

En d’autres termes, le support de l’´energie de la solution de l’´equation (1.2.12) est transf´er´e vers les grandes modes de Fourier. Ce r´esultat est similaire au cas de l’´equation de Szeg˝o cubique (1.1.7) obtenu par G´erard–Grellier [50,51, 52] et au cas l’´equation de Schr¨odinger cubique (1.1.5) avec d = 2 obtenu par Colliander–Keel–Staffilani–Takaoka–Tao [29]. En comparant avec le th´eor`eme 1.2.4, on montre que le ph´enom`ene de turbulence faible demeure si la dispersion de l’´equation de NLS–Szeg˝o est exponentiel-lement basse par rapport `a la perturbation de l’onde plane e1: x 7→ eix.

Remarque 1.2.9. La deuxi`eme partie du th´eor`eme 1.2.2 est une cons´equence du th´eor`eme 1.2.8. En fait, `a chaque α > 2 fix´e, on fait la dilatation u(t, x) = U (2_{t, x) avec e}−πK

2δ2 = ν =  α−2

2 . Alors u r´esout

(1.2.7) avec la donn´ee initiale u(0, x) = (eix_{+ δ) et on a}

ku(tδ 2)kH1 = kU (tδ)k_H1 '  δ '  p (α − 2)| ln |  ,

1.2. ´ENONC ´ES DES R ´ESULTATS 17 et _tδ2 ' √ (α−2)| ln | 2  1

2+β, pour tout β > 0. En revanche, cette m´ethode ne marche pas dans le cas

critique α = 2. Si u r´esout

i∂tu + 2∂x2u = ΠT(|u| 2

u), u(0, x) = (eix+ δ),

on fait le changement de variable U (t, x) = −1u(−2t, x) et on obtient l’´equation (1.2.12) avec ν = 1. Grˆace aux th´eor`emes 1.2.4et1.2.7, on a des estimations suivantes

sup

t∈R

ku(t)kH1= O(), sup

|t|≤_{2 δ2}d1,s

ku(t)kHs= O(), ∀0 < δ  1, ∀0 <  < 1,

pour tout s > 1

2. Le probl`eme de trouver l’intervalle temporel optimal dans le cas α = 2 du th´eor`eme1.2.2

reste ouvert.

1.2.2

L’´

equation de NLS–Szeg˝

o quintique sur la droite

Ce projet correspond au chapitre3de la th`ese et `a l’article Sun [134]. On rappelle d’abord la d´efinition de la diffusion pour une solution de (1.2.3).

D´efinition 1.2.10. Soit s ≥ 0 fix´_{e, une solution globale u ∈ C(R; H}s

+(R)) de l’´equation (1.2.3) est dite

Hs_{-diffuse vers l’avant en temps s’il existe une fonction u}

+∈ H+s(R) telle que

lim

t→+∞ke it∂2_xu

+− u(t)kHs_(R)= 0.

Une solution globale u ∈ C(R; H+s(R)) de l’´equation (1.2.3) est dite Hs-diffuse vers l’arri`ere en temps s’il

existe une fonction u−∈ H+s(R) telle que

lim

t→−∞ke it∂2

x_u

−− u(t)kHs_(R)= 0.

Dans le cas d’une donn´ee petite dans L2_{, l’´equation (1.2.3) et (1.2.2) sont globalement bien pos´ees dans}

l’espace de Hardy L2

+(R) et leurs solutions L2-diffusent simultan´ement `a l’avant et `a l’arri`ere en temps.

La preuve est bas´ee sur l’in´egalit´e de Strichartz, et est similaire `a celle de Cazenave–Weissler [25,26]. Proposition 1.2.11. Il existe 0> 0 telle que si ku0kL2 ≤ ₀, il existe une unique fonction u ∈ C(R; L2₊)

qui r´esout l’´equation (1.2.3) et u L2-diffuse simultan´ement `a l’avant et `a l’arri`ere en temps. Il y a trois lois de conservation communes pour (1.2.2) et (1.2.3)

M (u) = kuk2_L2, P (u) = hDu, uiL2, EN LS(u) =

k∂xuk2L2

2 − kuk6

L6

6 , (1.2.13) o`u D = −i∂xet on choisit u ∈ H+1(R) pour (1.2.3), w ∈ H1(R) pour (1.2.2). Si u ∈ C(R; H+1(R)) r´esout

l’´equation (1.2.3), alors la quantit´e de mouvement P (u) = k|D|12uk2

L2_(R) et la masse M (u) contrˆolent la

norme H12 de la solution, ce qui permet de r´esoudre le probl`eme de Cauchy de l’´equation de NLS–Szeg˝o

L2_{-(sur)critique sur la droite, pour tous les donn´ees initiales u}

0∈ H+1(R).

Th´eor`eme 1.2.12. Soient m ≥ 0, λ = ±1 et u0∈ H+1(R), il existe une unique fonction u ∈ C(R; H+1(R))

qui r´esout l’´equation de NLS–Szeg˝o, i∂tu + ∂x2u = λΠR(|u|

2m_{u), u(0, x) = u}

D´emonstration. L’existence et l’unicit´e sont obtenues par l’injection de Sobolev. Dans le cas λ = −1, pour montrer que la solution soit globale, il suffit d’utiliser l’in´egalit´e de Gagliardo–Nirenberg suivante,

kukL2m+2_(R)._mk|D| 1 2uk m m+1 L2_(R)kuk 1 m+1 L2_(R), ∀m ≥ 0, ∀u ∈ H 1 2 +(R). (1.2.15)

et les trois lois de conservation (1.2.13) pour obtenir que sup t∈R k∂xu(t)k2L2_(R).mk∂xu0k2L2_(R)+ k|D| 1 2_u0k2m L2_(R)ku0k2L2_(R).

En revanche, lorsque la donn´ee initiale w0∈ H1(R) telle que EN LS(w0) < 0 et w0∈ L2(R, x2dx), alors il

est bien connu que la solution w : t ∈ R 7→ w(t) ∈ H1

(R) de l’´equation (1.2.2) associ´ee `a la donn´ee initiale w0explose en temps fini, grˆace `a l’identit´e du viriel (voir Glassey [61], Cazenave [22,23], Ogawa–Tsutsumi

[115] etc.). On fait r´ef´erence `a Perelman [118] et Merle–Rapha¨el [106] pour une description d´etaill´ee de la dynamique de l’explosion pour l’´equation (1.2.2).

On va montrer que l’´equation (1.2.3), admet une onde progressive qui s’´ecrit sous la forme u(t, x) = eiωt

Q(x + ct) pour certaines constantes ω, c ∈ R. La fonction u r´esout l’´equation (1.2.3) si et seulement si le profil Q r´esout l’´equation elliptique non locale suivante

∂x2Q + ΠR(|Q|4Q) = ωQ + cDQ. (1.2.16)

Pour m ≥ 2 et γ ≥ 0, on d´efinit une fonctionnelle qui est invariante par la translation spatiale, par la rotation de phase et par la dilatation int´erieure et ext´erieure,

Im(γ)(f ) := k∂xf km_L2_(R)kf k m+2 L2_(R)+ γk|D| 1 2f k2m L2_(R)kf k2_L2_(R) kf k2m+2 L2m+2_(R) , ∀f ∈ H1_(R)\{0}. (1.2.17)

on a Im(γ)(f ) = Im(γ)(fλ,µ,y,θ), o`u fλ,µ,y,θ(x) = λeiθf (µx + y), ∀x, y, θ ∈ R et ∀λ, µ > 0.

D´efinition 1.2.13. La borne inf´erieure de Im(γ) est not´ee par J (γ)

m = inff ∈H1

+(R)\{0}I

(γ)

m (f ). L’ensemble

de ses minimiseurs est not´e par

G(γ)_m = {f ∈ H₊1_(R)\{0} : I_m(γ)(f ) = J_m(γ)} = [ a,b>0 G(γ)_m (a, b), (1.2.18) o`u G(γ)m (a, b) = {f ∈ G (γ) m : kf kL2_(R)= a, kf k_L2m+2_(R)= b}. Alors on a G(γ)_m (a, b) = {λf (µ·) ∈ H₊1_(R)\{0} : f ∈ G(γ)_m (1, 1), λ = a−m1b m+1 m et µ = b 2m+2 m a− 2m+2 m }.

Une cons´equence du th´eor`eme de d´ecomposition en profil (th´eor`eme 1.4.1) est le r´esultat suivant, qui indique l’existence de miniseurs de Im(γ).

Th´eor`eme 1.2.14. Soient m ≥ 2 et γ ≥ 0, si (fn)n∈N⊂ H+1(R) est une suite minimisante de I (γ) m telle que kfnkL2_(R) = kfnkL2m+2_(R) = 1 et limn→+∞I (γ) m (fn) = J (γ) m , il existe un profil U ∈ G (γ) m (1, 1), une

fonction strictement croissante ψ : N → N et une suite `a valeurs r´eelles (xn)n∈N tels que

lim

1.2. ´ENONC ´ES DES R ´ESULTATS 19

Remarque 1.2.15. Si H1

+(R) est remplac´e par H1(R), alors il existe w ∈ H1(R)\{0} telle que kwkL2_(R)=

kwkL2m+2_(R)= 1, Im(γ)(w) = minf ∈H1_(R)\{0}Im(γ)(f ) et la limite (1.2.19) marche encore.

Soient m ≥ 2, γ ≥ 0 et f ∈ H1 +\{0} est un minimiseur de I (γ) m , alors _dd   _=0log I (γ) m (f + h) = 0, pour tout h ∈ H1

+. f r´esout l’´equation d’Euler–Lagrange

mkf km+2_L2 k∂xf km−2_L2 ∂ 2 xf + 2(m + 1)J (γ) m ΠR(|f | 2m_{f )} =((m + 2)kf km_L2k∂xf kmL2+ 2γk|D| 1 2f k2m L2)f + 2γmkf k2_L2k|D| 1 2f k2m−2 L2 Df. (1.2.20)

On fixe m = 2. Ensuite l’´equation (1.2.16) est identifi´ee comme l’´equation suivante kQk4 L2 3J₂(γ) ∂_x2Q + ΠR_(|Q|4_{Q) =} 2kQk 2 L2k∂xQk2_L2+ γk|D| 1 2Qk4 L2 3J₂(γ) Q +2γkQk 2 L2k|D| 1 2Qk2 L2 3J₂(γ) DQ. Un minimiseur Q(γ)_{∈ G}(γ)

2 sera appel´e un ´etat fondamental de la fonctionnelle I (γ)

2 , si kQ(γ)k4L2= 3J

(γ) 2 .

Lorsque u(t, x) = eiωt_Q(γ)_{(x + ct) r´esout (1.2.3) et Q}(γ) _{∈ G}(γ) 2 (

4

q

3J₂(γ), b) pour certaines constantes b, ω > 0 et c, γ ≥ 0, alors c = 0 si et seulement si γ = 0. Si γ = 0, alors on a k∂xQ(γ)k2_L2 = ω 2 q 3J₂(0) and kQ(γ)_k6 L6 = 3ω 2 q 3J₂(0). Si γ > 0, alors on a k∂xQ(γ)k2L2 = q 3J₂(γ) 8γ (4γω − c 2_), k|D|12Q(γ)k2 L2= q 3J₂(γ)c 2γ , kQ (γ) k6_L6= 3 q 3J₂(γ)(ω 2 + c2 8γ). De plus, l’in´egalit´e k|D|12Q(γ)k2

L2≤ kQ(γ)kL2k∂xQ(γ)kL2 implique que c2≤4γ

2_ω

γ+2.

Mˆeme si les ´etats fondamentaux ne sont pas encore tous classifi´es, on a une version faible de H1_-stabilit´e

orbitale par le th´eor`eme1.2.14et par la conservation de la ˙H12-norme.

Th´eor`eme 1.2.16. Soient , b > 0 et γ ≥ 0, il existe δ = δ(b, , γ) > 0 telle que si inf f ∈G(γ)₂ (4 q 3J₂(γ),b) ku0− f kH1 +(R)< δ,

alors on a sup_t∈Rinf

Ψ∈S C(γ)−1 ≤θ≤C(γ)G (γ) 2 ( 4 q 3J₂(γ),θb)ku(t)−ΨkH 1

+(R)< , o`u u est la solution de l’´equation

(1.2.3) avec la donn´ee initiale u(0) = u0 et C(γ) :=

 inf_{f ∈H}1 +(R)\{0} k|D|13f k_{L2 (R)} kf k_{L6 (R)} −1 6 r J₂(γ) 1+γ.

Remarque 1.2.17. Le probl`eme d’unicit´e de l’´etat fondamental d’une ´equation elliptique non locale est difficile `a r´esoudre. (Voir Frank–Lenzmann [40] et Frank–Lenzmann–Silvestre [41] pour les Laplaciens fractionnaires dans R et aussi Lenzmann–Sok [99] pour un principe de r´earrangement de Fourier) Pour un γ ≥ 0 g´en´eral , on a seulement la stabilit´e orbitale avec dilatation parce que l’unicit´e des ´etats fon-damentaux de I₂(γ) est inconnue, la norme de L6 _{de l’´etat fondamental Ψ qui s’approche u(t) est aussi}

inconnue. On a seulement un domaine kf kL6

C(γ) ≤ kΨkL6 ≤ C(γ)kf kL6, o`u f est l’´etat fondamental qui

Toutefois, dans un cas particulier, on peut montrer l’unicit´e des ´etats fondamentaux `a dilatation, `a rotation de phase et `a translation spatiale pr`es, en utilisant l’in´egalit´e de Cauchy–Schwarz.

Proposition 1.2.18. Dans le cas γ = m = 2, on a

J₂(2)= min f ∈H1 +\{0} I₂(2)(f ) = 8π 2 3 , G (2) 2 = {x 7→ λeiθ µx + y + i ∈ H 1 +: ∀λ, µ > 0 ∀θ, y ∈ R}. (1.2.21)

Si u(t, x) = eiωtQ(x + ct) est l’onde progressive de l’´equation (1.2.3) et Q ∈ G(2)₂ , alors on a 3c2= 8ω, kQk4 L2 = 8π 2_{, kQk}6 L6= 3πc2 √ 2 , k|D| 1 2Qk2 L2 = πc √ 2, k∂xQk 2 L2 = πc2 2√2. On en d´eduit que l’onde progressive uc(t, x) = e

3c2 it

8 Q_c(x + ct) est H1-stable orbitalement, pour tout

c > 0, o`u Qc∈ G (2) 2 ( 4 √ 8π2_,q6 3πc_√2 2 ).

Th´eor`eme 1.2.19. Pour tout , c > 0, il existe une constante δ,c> 0 telle que

inf

f ∈G(2)₂ (√48π2_,q6 3πc2√

2 )

ku0− f kH1< δ,

alors on a sup_t∈Rinf

f ∈G(2)₂ (√48π2_,q6 3πc2_√

2 )

ku(t) − f kH1 < , o`u u r´esout l’´equation (1.2.3) avec la donn´ee

initiale u(0) = u0.

On trouvera des r´esultats similaires de classification des ´etats fondamentaux au moyen de l’in´egalit´e de Cauchy–Schwarz dans Foschi [39], G´erard–Grellier [47,52], Pocovnicu [119] etc.

Dans le cas γ = 0, on a I₂(0)(f ) := k∂xf k 2 L2kf k4_L2 kf k6 L6 , ∀f ∈ H1 (R)\{0}.

Tous les ´etats fondamentaux dans H1

(R) de I2(0) sont compl`etement classifi´es dans Weinstein [145].

On sait que minf ∈H1_(R)\{0}I

(0) 2 (f ) =

π2

4. Il existe une unique fonction radiale `a valeurs positives qui

vaut R(x) = 4

√ 3

√

cosh(2x) telle que (I (0) 2 )−1( π2 4) = {λe iθ_{R(µ · −y) : λ, µ > 0} θ, y ∈ R}. L’onde progrs-sive w(t, x) = eiωt_{R(x) est une solution instable de l’´equation de Schr¨odinger L}2_{-critique focalisante}

(1.2.2) au sens suivant : il existe une suite w(n)₀ = (1 + 1_n)R ⊂ H1

(R) telle que w(n)0 → R, lorsque

n → +∞, mais la solution maximale correspondante w(n) _{s’explose en temps fini. On note un ´etat}

fon-damental par Q(0) _{∈ G}(0) 2 ( 4 q 3J₂(0), kQ(0)_k L6) de I (0)

2 dans l’espace de Hardy H+1(R). Comme R /∈ H+1 et

Q+: x 7→ _x+i1 ∈ H+1, on a π2 4 = I (0) 2 (R) < J (0) 2 = I (0) 2 (Q(0)) ≤ I (0) 2 (Q+) =4π 2 3 .

La proposition1.2.11implique que les solutions de l’´equation (1.2.3) et de l’´equation (1.2.2) L2_-diffusent

simultan´ement `a l’avant et `a l’arri`ere en temps, lorsque leurs donn´ees initiales sont suffisament petites. De plus, Dodson [31] a montr´e que la solution globale de l’´equation de Schr¨odinger L2-critique focalisante (1.2.2) L2-diffusent simultan´ement `a l’avant et `a l’arri`ere en temps, si sa donn´ee initiale admet la masse kw0k < kRkL2. Vu le r´esultat d’instabilit´e de Weinstein [145], le seui”l de masse de l’´equation (1.2.2)

pour L2_{-diffusion ´egale la masse de l’´etat fondamental R ∈ H}1