Energétique 1ère année Méthodes Numériques
Sup'Galilée Année 2012-2013
Examen du 10 avril 2013
durée : 1h30.
Sans documents, sans calculatrice, sans portable, ...
Tous les calculs doivent être justiés
Exercice 1 : 11 points
Soient α, β, ν et c quatre réels. On souhaite résoudre numériquement le problème suivant
u 2 p x q νu 1 p x q u p x q f p x q , @ x Ps a; b r , (1)
u 1 p a q α, (2)
u p b q β. (3)
Q. 1 1. Quelles sont les données du problème (1) à (3)? (préciser le type de chaque donnée : réel, entier, fonction, vecteur, ...)
2. Quelles sont les inconnues du problème (1) à (3)? (préciser le type) 3. Quelles sont les conditions initiales?
4. Quelles sont les conditions aux limites?
Q. 2 1. Expliquez ce qu'est une discrétisation régulière de l'intervalle r a; b s avec N pas de discrétisation en espace.
2. Ecrire la fonction (algorithmique ou Matlab) DisReg permettant d'obtenir cette discrétisation.
On note x i , i P v 0, N w cette discrétisation. On souhaite résoudre (1) à l'aide du schéma numérique u i 1 2u i u i 1
∆x 2 ν u i 1 u i 1
2∆x cu i f i . (4)
Q. 3 1. Expliquer comment le schéma (4) a été obtenu à partir de (1) et préciser ce que représente les termes u i , f i et ∆x ?
2. Donner l'ensemble E des valeurs que peut prendre i dans le schéma (4).
3. Construire une discrétisation des conditions aux limites d'ordre 2 au moins.
4. Le schéma global est de quel ordre? Justiez.
On note V V V le vecteur de dimension N 1, de composantes V V V i u i 1 , @ i P v 1, N 1 w . Q. 4 Montrer que le vecteur V V V est solution du système linéaire
A V V V F F F (5)
en explicitant la matrice A et le vecteur F F F (préciser les dimensions).
Q. 5 Ecrire la fonction (algorithmique ou Matlab) AssembleMat retournant une matrice M P M d pRq dénie par
M
α 1 α 2 α 3 0 . . . . . . 0 µ 1 µ 2 µ 3 0 . . . . . . 0 0 ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... 0 0 . . . . . . 0 µ 1 µ 2 µ 3
0 . . . . . . 0 β 1 β 2 β 3
(6)
où pour tout j P v 1, 3 w , α j , β j et µ j sont des réels donnés.
Q. 6 On suppose les données du problème (1) à (3) fournies et la fonction RSL permettant la résolution du système linéaire A x x x bbb déjà implémentée : x x x Ð RSLpA , bbb q . Ecrire un algorithme complet de résolution du problème (1) à (3) basé sur (5). (Utiliser au maximum les fonctions)
Exercice 2 : 12 points
On souhaite résoudre numériquement l'E.D.P. suivante B u
B t p t, x q ν B 2 u
B x 2 p t, x q f p t, x q , @p t, x q Ps t 0 ; t 0 T ss a; b r , (1)
u p t 0 , x q u 0 p x q , @ x P r a; b s , (2)
u p t, a q u a p t q , @ t P r t 0 ; t 0 T s , (3) B u
B x p t, b q v b p t q , @ t Ps t 0 ; t 0 T s . (4) avec ν un réel strictement positif, t 0 P R , T ¡ 0, p a, b q P R 2 , a b.
Q. 1 1. Que signie l'abréviation E.D.P.?
2. L'E.D.P. (1) est-elle elliptique, parabolique ou hyperbolique? Justier.
3. Quelles sont les données du problème (1) à (4)? (préciser le type de chaque donnée : réel, entier, fonction, vecteur, ...)
4. Quelles sont les inconnues du problème (1) à (4)? (préciser le type) 5. Quelles sont les conditions initiales?
6. Quelles sont les conditions aux limites?
On note t n , n P v 0, N t w et x i , i P v 0, N x w les discrétisations régulières des intervalles r t 0 ; t 0 T s et r a; b s avec N t pas de discrétisation en temps et N x pas de discrétisation en espace.
Q. 2 Donner explicitement les formules permettant de calculer l'ensemble des t n et des x i . On souhaite résoudre l'E.D.P. à l'aide des schémas numériques
u n i 1 u n i
∆t ν u n i 1 1 2u n i 1 u n i 1 1
∆x 2 f i n 1 . (5)
u n N 1
x
2 4u n N 1
x
1 3u n N 1
x
