11.12 Posons f (x) = 4 − x
2x
2= (2 + x) (2 − x)
x
2= − 1 + 4 x
2.
−2 0 2
2 + x − + + +
2 − x + + + −
x
2+ + + +
f − + + −
0
0
0 0
Calculons l’aire du domaine borné du premier quadrant limité par les axes de coordonnées, la droite d’équation y = 8 et la courbe d’équation y = f (x) .
= +
Déterminons les abscisses des points d’intersection entre la droite y = 8 et la courbe y = f(x) :
8 = 4 − x
2x
28 x
2= 4 − x
20 = 4 − 9 x
2= (2 + 3 x ) (2 − 3 x ) x = −
23ou x =
23Z
230
8 dx + Z
22 3
4 − x
2x
2dx =
Z
230
8 dx + Z
22 3
− 1 + 4 x
2dx =
Z
230
8 dx + Z
22 3
− 1 + 4 x
−2dx = 8 x
2 3
0
!
+ − x − 4 x
−12
2 3
!
=
8 x
2 3
0
!
+ − x − 4 x
2
2 3
!
= 8 ·
23− 8 · 0 +
− 2 − 4 2
− −
23− 4
2 3
=
16 3
− 0
+ − 4 − ( −
203)
=
163+
83= 8
Analyse : intégrales Corrigé 11.12
Calculons l’aire du domaine borné du premier quadrant limité par les axes de coordonnées, la droite d’équation y = b et la courbe d’équation y = f(x) .
= +
Déterminons les abscisses des points d’intersection entre la droite y = b et la courbe y = f(x) :
b = 4 − x
2x
2b x
2= 4 − x
2(b + 1) x
2= 4 x
2=
b+14x = ±
√b2+1Z
√2 b+10
b dx + Z
22
√b+1
4 − x
2x
2dx = b x
2
√b+1
0
!
+ − x − 4 x
2
2
√b+1
!
=
b ·
√b2+1− b · 0 +
− 2 − 4 2
− −
√b2+1− 4
√b2+1
=
2b
√b+1
− 0
+ − 4 − ( −
√b2+1− 2 √
b + 1)
= 2 √
b + 1 − 4 +
√2bb+2+1=
2 (b+1)−4√
b+1+2b+2
√b+1
=
4 (b+1√−b+1√b+1)Finalement, le problème se ramène à résoudre :
4 (b+1−
√b+1)
√b+1
=
12· 8 = 4 b + 1 − √
b + 1 = √ b + 1 b + 1 = 2 √
b + 1 (b + 1)
2= 4 (b + 1)
0 = (b + 1)
2− 4 (b + 1) = (b + 1) (b + 1) − 4
= (b + 1) (b − 3) On doit avoir b > 0 et on vérifie que, si b = 3 , alors
4 (3+1−√ √3+1)3+1
= 4 .
Analyse : intégrales Corrigé 11.12
