Effets capacitifs de charge d'espace dans un diélectrique

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Submitted on 1 Jan 1966

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Effets capacitifs de charge d’espace dans un diélectrique

J. Huck, M. Maitrot

To cite this version:

J. Huck, M. Maitrot. Effets capacitifs de charge d’espace dans un diélectrique. Journal de Physique,

1966, 27 (7-8), pp.422-426. �10.1051/jphys:01966002707-8042200�. �jpa-00206421�

422.

EFFETS CAPACITIFS DE CHARGE D’ESPACE DANS UN

DIÉLECTRIQUE

Par J. HUCK et M.

MAITROT,

Laboratoire

d’Électronique

^de l’Université de

Lyon.

Résumé. ²⁰¹⁴ On

étudie,

^{en fonction d’un}

potentiel indépendant

^du temps, ^{les effets} capa- citifs

provoqués

par l’établissement d’une

charge d’espace

^{dans un milieu}

diélectrique

^conte-

nant deux types ^de porteurs

mobiles, bloqués

^aux électrodes. Une méthode

générale

^{de calcul}

de la

capacité

différentielle est

proposée, qui

^tient compte de la dissociation et de la recombi- naison des porteurs, ^{et une}

expression analytique

^est établie dans le cas d’une dissociation totale.

Abstract. ²⁰¹⁴ Static space

charge

^{effects are} studied when mobile

charge

carriers exist in dielectrics

having

^two

charge-blocking

electrodes. A

general

^{method for}

obtaining

differential

capacitance, taking

^{into account the} dissociation and recombination of

charge carriers,

^is

presented

^{and an}

analytic expression

^is

established,

when dissociation is total.

LE JOURNAL DE PHYSIQUE 27, 1966,

Introduction. ^- L’étude des

phénomènes

^{liés à}

l’établissement de

charges d’espace

^{dans les milieux}

diélectriques

^les

plus

^{variés a été} effectuée par de nombreux auteurs dans différents cas que l’on

peut

distinguer d’après

^les

hypothèses formulées, qui

concernent soit le milieu

diélectrique

^{et les}

porteurs

de

charges,

^{soit le contact}

diélectrique-électrodes,

^et

enfin

d’après

^les

caractéristiques

^du

signal électrique appliqué (fréquence, amplitude, etc...).

^{Un très}

grand

^intérêt a, ^en

général,

^été

porté

^{au cas où les}

porteurs

^de

charge

p ^{et n ont une}

origine

^commune

et

proviennent

^{de la} dissociation de centres fixes

primitivement

^neutres. Le processus de dissociation

peut

^être

quelconque,

pourvu

qu’on puisse

^{le carac-}

tériser _par un coefficient de

dissociation,

^{et seul le}

cas où la recombinaison des

porteurs

^{est directe et}

se fait à un taux

proportionnel

^au

produit

^{de leur}

densité,

^est

envisagé.

^Le

régime

alternatif a été l’un des

plus ^étudiés,

^ce

qui

^a

permis

^{de mettre en}

évidence des effets

capacitifs

^{variables avec la fré-}

quence du

signal appliqué, lorsque

les électrodes

sont ^«

bloquantes

^{» et} que les

porteurs

^{sont alors} dans

l’impossibilité

^de

communiquer

^leur

charge

^au

milieu extérieur. Divers résultats ont pu être obtenus

en

envisageant

^certaines conditions

particulières :

deux

porteurs mobiles,

dissociation

totale,

^{une seule}

électrode à distance

finie,

^un

porteur

^{mobile et un}

porteur fixe,

^{une ou} deux électrodes totalement blo-

quantes,

^etc...

[1-2-3].

Cependant,

la théorie établie en

régime

^sinusoïdal

est une

approximation qui

^{n’est valable} que

lorsque l’amplitude

^du

potentiel auquel

^est soumis le diélec-

trique

^est suffisamment faible pour

qu’on puisse

^le

traiter comme une

perturbation qui,

^en moyenne, modifie _{peu la} concentration à

l’équilibre

Co des

porteurs

^en l’absence de

champ.

^{Pour une}

amplitude

et une

fréquence quelconques,

^{il ne semble pas}

qu’une

^solution

générale

^{ait encore été}

proposée.

L’aspect statique

^{de la}

charge d’espace

^établie

après application

^d’un

potentiel indépendant

^du

temps a

lui aussi été

étudié,

^et les solutions diffèrent nota-

blement selon _que les

porteurs

sont tous deux mobiles ou que l’un d’entre ^eux est fixe : dans le

premier

^{cas, la}

répartition

^des

charges

^{est telle} que le

produit

^de leur densité reste constant en tout

point

^du

diélectrique, propriété qui

^{ne subsiste}

évidemment

plus

dans le second cas

[4-5-6].

Dans cet

exposé,

^{nous nous limitons à} l’étude des effets

capacitifs

^{liés à} l’établissement d’une

charge d’espace statique

^et

plus précisément

^{à l’étude de}

leurs variations en fonction de

l’amplitude

^du

poten-

tiel

appliqué

^{dans le cas où les}

porteurs

^de

charges

sont tous deux mobiles et les électrodes totalement

bloquantes.

^La résolution d’un tel

problème

^néces-

site

l’emploi d’intégrales elliptiques

^et de fonctions de

Jacobi,

^{et une} des difficultés réside dans le fait que les

paramètres physiques,

^tels que le

potentiel,

les dimensions de

l’échantillon,

^la concentration des

porteurs,

^{la constante}

diélectrique,

^les coefficients de dissociation et de

recombinaison,

etc...,

n’appa-

raissent _que de

façon implicite

^{à travers} les diverses

constantes

d’intégration qui

s’introduisent au cours

des

calculs,

^et

qu’il

^est alors difficile de situer avec

exactitude leur influence sur le

comportement

^des solutions. On a pu montrer comment

l’hypothèse

^du

blocage

^{total des}

électrodes,

^en

imposant

^{la conser-}

vation du nombre de

couples

^de

porteurs

^{et de}

centres neutres, ^se traduit _par une

équation qui

^lie

les divers

paramètres

^dont

dépendent

^les

intégrales

et fonctions

elliptiques susceptibles

^de

représenter

le

champ

^ou la densité de

charges [7]. L’aspect

^de

cette

équation permet

de suivre l’évolution des solu- tions

lorsque

^le

potentiel varie,

^{de calculer sous}

certaines conditions le

champ régnant

^{sur la fron-}

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:01966002707-8042200

423

tière du

diélectrique,

directement ^en fonction du

potentiel,

^{et par} là d’établir

l’expression

^{de la} capa- cité formée _par la

charge d’espace.

1. Les solutions

statiques.

^{- Le}

champ

^{en un}

point

^{x d’un}

diélectrique d’épaisseur ^L,

^{limité par}

deux

plans parallèles

^entre

lesquels

^on

applique

^une

tension V est donné par :

Eo

^{est le}

champ

^{au centre du}

diélectrique ;

n, p, ,,

~,’, D,

^{D’ sont la}

densité,

la mobilité ^et la diffusitivité des

porteurs négatifs

^et

positifs ;

-, ^ê est la constante

diélectrique.

^On pose aussi :

On résoud

(1)

^{dans le cas}

fll/2,

^en

posant :

v ⁼ cos cp, k2 ^--- 1-

E5 L).-1/2,

^{et en} introduisant

l’intégrale elliptique

de deuxième

espèce k) :

ce

qui permet d’exprimer

^le

champ

^{et la densité de}

charges

^{à l’aide des fonctions s?z, de Jacobi : *}

k’ est le module

complémentaire (k’2 ^-~-

^{k2 =}

1)

^et

LD

^la

longueur

^de

Debye

pour la concentration _Co des

porteurs

^{en l’absence de}

champ :

1~1

^et

l~2

^{sont les} coefficients de dissociation et de

recombinaison,

^{N la densité des centres}

primiti-

vement neutres. On pose aussi :

Les conditions aux limites ^et la conservation des porteurs

permettent

^{de calculer} po ^ou

Eo moyennant

la résolution du

système

suivant dans

lequel désigne l’intégrale elliptique

^de

première espèce :

Les solutions

correspondent,

^d’autre

part,

^{aH cas}

où le

potentiel

^est borné suivant :

On obtient

l’expression analytique

^{de la densité}

et du

champ,

^dans

l’approximation

^des

potentiels

faibles

( V*

^«

1)

^en considérant le

développement

des

intégrales elliptiques

^au

voisinage

^{de k’ - 0.}

Le milieu se

comporte

^{alors comme un circuit} linéaire dont la

capacité statique

^{est celle du diélec-}

trique

^sans

porteurs

⁼

0) multipliée

par le f acteur M coth

M, qui

^est sensiblement

égal

^à

l’unité _pour

M ,~

^{1 et à M dès} que

M ~

^{1. Pour}

un

potentiel quelconque,

^{une étude du}

système (8-9-10) peut

^être

envisagée moyennant

^certaines conditions sur M et V

(approximation

^des

potentiels moyens).

2.

Approximation

^des

potentiels

^{« moyens ». -}

Par suite du rôle

particulier

^que

joue

^{la concen-}

tration _po, il est

avantageux

^{d’étudier les solutions}

non pas directement ^en fonction du

potentiel,

^mais

en fonction du

rapport VP01co

^{dont on connaît par}

ailleurs la valeur à

l’origine

^pour

V* «

1,

^le

comportement asymptotique

pour

V* - oo,

^{et la valeur}

TC/2M pour

^{== 1 et}

N M2 ^____

sh V*

== N M2 .

Pour une valeur donnée de Co ^7U

il existe en

général

^{une infinité de solutions}

rp(L /2)

et k

qui

^vérifient

(1.8)

^{et seule doit être retenue celle}

qui

^de

plus

^{obéit à}

(1.9

^et

10).

L’examen de la

figure

¹

qui reproduit

^les variations de

F(y, k)

FIG. 1. ^- Variations de M en fonction de k,

c0

pour différentes valeurs de rp.

424

montre que les

grandes

valeurs de F ne

peuvent

être atteintes _que

lorsque

c~ et k sont dans le voisi- nage du

point singulier (ï:/2,

^{1) et il en résulte}

que

E( cp, k)

^est sensiblement voisine de l’unité tant

que

4.

Cette condition ne

peut

^{être réali-}

’

c

⁰

M

^p

sée que pour

M > 4,

^ce

qui

^{est en fait} peu restrictif

puisque

^{l’effet de}

charge d’espace

^est

négligeable

pour

M # 1,

^{aussi cette} limitation de 1V.Ï

(M > 4)

sera donc

toujours

conservée dans la suite des calculs.

Une

simplification

notable de

(1.10)

^{est obtenue}

par l’élimination de k’ dont les variations avec V*

sont a

priori inconnues,

^dès que k’ tg

y(L/2)

^est

suffisamment

grand,

^ce

qui

^en

pratique

^{est réalisé}

dès _que sh

V* ~ 3 ;

^le

gudermannien gd(V*)

atteint alors sensiblement sa valeur _asymp-

tique r/2.

^{On voit} finalement que pour des

poten-

tiels moyens

n’ayant cependant

pas réduit la densité de

charges

po au-dessous de

co(4~M)2, l’équation (1.10)

^se

simplifie

^{et devient :}

avec les conditions

d’approximation :

L’intérêt de

(1)

^{est de} permettre le calcul direct

en fonction de

V*,

^de Po

puis

^{de l~ au} moyen de l’inversion de

l’intégrale elliptique complète

^{de deu-}

xième

espèce

⁼

F(?r/2, k) :

u et l~ sont alors des fonctions connues de Y’~ et

l’on connaît ainsi le

champ

^{et la} distribution des

charges

^en

chaque point

^{en fonction du}

potentiel

(1.4

et

5). Lorsqu’on

^ne s’intéresse

qu’aux

^effets

capacitifs,

la distribution en volume n’est _{pas indis-}

pensable

^{et seule est} suffisante la valeur du

champ

sur la frontière du

diélectrique, ^qui s’exprime

^à

l’aide _{de po :}

’

3.

Étude

de la densité de

charges

po ^en

fonction

du

potentiel.

^{- On}

peut toujours

^{résoudre numé-}

riquement (2.1)

pour des valeurs arbitraires des coeiicients de dissociation ^et de

recombinaison,

mais nous nous bornerons à l’étude du ^cas où la dissociation est

totale, qui

^{outre son}

intérêt,

^conduit

à une

expression analytique simple

^{et très maniable}

de la concentration :

Les

figures

^{2 et 3}

représentent

^{les variations}

de avec x et avec V’~ _pour différentes valeurs de M

comprises

^{entre 10 et 103. On constate}

qu’avec

FIG. 2. ^- Variations de

B/ p°

^Co en fonction de ~.

FIG. 3. ^- Variations de la concentration des

porteurs

en fonction du

potentiel,

pour différentes valeurs de M

(10

^à

103).

l’approximation

^{utilisée po == c. pour sh V* ---=}

^1,

V* ~

0,9,

^et que le raccordement ^avec

l’approxi-

mation des

potentiels

^{faibles est d’autant meilleur}

que M est

plus ^élevé,

^ce

qui

^{est en accord avec les}

remarques du

paragraphe

^{2. On a aussi}

porté

^les

425

points correspondants

^{à k’ =}

1,

^{sh V* =}

M2/r,

p0 = R, ^qui représentent

les valeurs limites CO 2M

compatibles

^{avec le}

type

^{de solution}

envisagé (E2 d~~2). L’approche

^{de ces}

points

par

l’approxi-

mation

proposée apparaît

satisfaisante.

4.

Étude

du

champ E(L j2).

^{- Le}

champ

^{à la}

surface du

diélectrique

^{s’évalue à} l’aide de

(1.4)

^et

lorsque

^la dissociation est

totale,

^son

expression

devient :

Les variations avec le

potentiel

^sont

portées (fig. 4).

Les courbes

présentent près

^de

l’origine

^une

FIG. 4. ^- Variations du

champ

en fonction du

potentiel ⁽¹⁰ M 103).

partie

^linéaire

correspondant

^à

l’approximation

^des

potentiels

^{f aibles :}

L’approche

^des

points

limites k’ ⁼ 1 _par ces

courbes est en accord avec les remarques

précé-

dentes. D’autre

part,

^{ces dernières}

possèdent

^un

point d’inflexion,

^ce

qui

traduit l’existence d’un

extremum pour la

capacité.

5.

Étude

de la

capacité différentielle.

^-- La

charge Q

apparue ^sur les électrodes _par unité de surface est déterminée

par la

^{valeur du}

champ E(L /2)

à la surface du

diélectrique :

Puisque

^le

champ

^ne

dépend

pas linéairement du

potentiel,

^{il est} intéressant d’étudier non seulement

la

capacité statique

^{définie par le}

rapport

^{de la}

charge

^au

potentiel,

mais aussi la

capacité

^diffé-

rentielle définie de

façon

^usuelle par : C ⁼

dQldV.

La

capacité statique C(0)

^calculée pour V ⁼ 0 coïn- cide avec la

capacité

diff érentielle obtenue dans

l’approximation

^des

potentiels faibles,

^et

l’expres-

sion suivante de C est établie

lorsque

la dissociation est totale :

Le

comportement

^de

C jC(o)

^{en fonction du}

poten-

tiel est

représenté 5)

pour diverses valeurs de M

FIG. 5. ^- Variations de la

capacité

différentielle

en fonction du

potentiel (10 M ~ 103).

comprises

^{entre 10 et}

^103,

^{et de V* entre 0 et 10.}

A

l’origine,

les courbes

présentent

^un

palier C(V*) ~ C(O) qui correspond

^à

l’approximation

^des

potentiels

^faibles

(V* « 1).

^{On remarque ensuite}

l’existence d’une

région (x

^«

1)

^{où la}

capacité

^croît

suivant une loi

exponentielle, région

^d’autant

plus

étendue _que M est élevé :

La capacité

passe ensuite _par un maximum avant

de subir une décroissance sensiblement linéaire.

Ce

comportement

^est

intéressant,

^car les résultats antérieurs

[8]

^{obtenus pour}

^{M ~}

^{5 ne laissaient}

prévoir qu’une

croissance

exponentielle analogue

^à

^3,

426

mais valable _pour tout

1l*,

^et conduisaient de ce

fait à des

divergences

difficilement

acceptables : C( Y*)

⁼

C(0)

^{ch V*.}

(4)

On

peut cependant

remarquer que

l’expression (4)

avait été établie sans tenir

compte

^de

l’équation

^de

conservation

(1.10) qui

^{est une}

conséquence

^{du blo-}

cage total des

électrodes,

^{et en admettant}

implici-

tement que po ^est

indépendant

^du

potentiel (po

⁼

co)

et que 1~’ est

petit.

Les calculs

qui précèdent

per- mettent de

préciser

pour

quelles

valeurs du

poten-

tiel ces conditions peuvent ^être

réalisées,

^en

parti-

culier

(3.1)

^montre que po , c. seulement _pour

,x y

1, auquel

^cas

(5.3)

^est effectivement vérifié.

Conclusion. ^- L’étude de la

charge d’espace

formée _par l’accumulation de

porteurs

p ^et n, ^tous deux

mobiles,

^{dans un}

diélectrique

^{aux électrodes}

totalement

bloquantes,.

^{a été}

envisagée

^{en fonction}

de

l’amplitude

^du

potentiel appliqué.

^{La distri-}

bution des

porteurs

^{et du}

champ

^est déterminée _par la résolution du

système ( § 1, 4

^à

10) qui,

^en

général,

ne

peut

^être

intégré

que

numériquement,

^{mais dont}

on

peut

^{obtenir une solution}

approchée moyennant

les conditions

(§ 2.2)

^{sur M et V*. La concentra-}

tion _p,, dont la connaissance est nécessaire à la détermination du

champ (§ 2.4)

^{et de la capa-}

cité

(5.1),

^se calcule alors à l’aide de

l’équation (~ 2.1)

et

lorsque

^la dissociation est

totale,

^{on obtient}

l’expression analytique

^{de ces}

quantités (§

^{3.1 et}

§ 5.2)

^en fonction du

potentiel.

^La

capacité

^diffé-

rentielle

présente

^{un maximum}

qui,

suivant les valeurs de

lVl,

^{est atteint}

généralement

pour des

potentiels d’amplitude

peu élevée.

Manuscrit _reçu le 17

septembre

^1965.

BIBLIOGRAPHIE

[1]

^MACDONALD

(J. R.), Phys. Rev., 1953, 92, 4.

[2]

^GHANG

(H.)

^{et JAFFÉ}

(G.),

^{J. Chem.}

Physics, 1952, 20,1071.

[3]

^FRIAUF

(R. J.),

^{J. Chem.}

Physics, 1954, 22, 1329.

[4]

^JAFFÉ

(G.),

^Ann.

Physique, 1933, 16, 217.

[5]

^PROCTOR

(T. M.)

^{et SUTTON}

(P. M.),

^{J. Chem.}

Physics, 1959, 30,

^212.

[6]

^MACDONALD

(J. R.),

^{J. Chem.}

Physics, 1959, 30, 806, [7]

^HUCK

(J.)

^{et MAITROT}

(M.),

^J.

Physique,

¹⁹⁶⁵

26, 229

^A.

[8]

^MACDONALD

(J. R.),

^{J. Chem.}

Physics, 1954, 22,

1317.