Navier-Stokes dynamical shape control : from state derivative to Min-Max principle
Texte intégral
(2) INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE. Navier-Stokes dynamical shape control : from state derivative to Min-Max principle Raja Dziri — Marwan Moubachir — Jean-Paul Zolésio. N° 4610 Octobre 2002. ISSN 0249-6399. ISRN INRIA/RR--4610--FR+ENG. THÈME 4. apport de recherche.
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(54) qrb?e4qro}u8ye;uEqrjloyn ~ ku8oydMjlo}nR{z{q|e;dw´ . £jtq|b. −∂t λ − ∇Γ λ · V − (div V ) λ = f, (0, T ) λ(T ) = 0, ΓT (V ). f = [−(σ(ϕ, π) · n) + α BΣ B u] · (D V · n − D u · n) +. ) ?
(55) / * ¼ . . 1 α|B u|2 + γ H|K V |2 2. 5. . ! (B, B ∗ , BΣ ) = (I, − I, 0) (K, K∗ , KΣ ) = (I, − I, 0). . 0 ! 9
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(57) JV (u, p) =. ,
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(60) ! ! . α γ kuk2L2(Q(V )) + kV k2L2 (Σ(V )) 2 2. . ∇j(V ) = −λ n − σ(ϕ, π) · n + γ V. y @. ɹÊ+ï
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(63) 2!. . (ϕ, π). ! 0
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(67) 9 ! −∂t ϕ − D ϕ · u + ∗ D u · ϕ − ν∆ϕ + ∇π = α u, div(ϕ) = 0, ϕ = 0, ϕ(T ) = 0,. º . Q(V ) Q(V ) Σ(V ) ΩT. λ ! 0 ! 0,
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(71) 2 9 ;f −∂ λ − ∇ λ · V − (div V ) λ = f, (0, T ) .
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(75)
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(77) ! ! . = (curl, curl, ∧n) = (I, − I, 0). . α γ k curl uk2L2 (Q(V )) + kV k2L2 (Σ(V )) 2 2. . 2!. . (ϕ, π). ! 0
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(85) 2 9 .5 −∂ λ − ∇ λ · V − (div V ) λ = f, (0, T ) .
(86). . t. V . ∇j(V ) = −λ n − σ(ϕ, π) · n + α (curl u) ∧ n + γ V. !.
(87). Γ. λ(T ) = 0,. . f = [−ν D ϕ · n + α (curl u) ∧ n] · (D V · n − D u · n) +. ïï ÍKL!M#NPO. . ΓT (V ). 1 α| curl u|2 + γ H|V |2 2. }.
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(109) ! (V, W ) ∈ U ! 1. t. 2. 0. *). t. t. def. ad. 0. k,∞. d. . !. . . . . t ρ. . Tρt : Ωt x. . ad. def. −→ Ωρt = Ωt (V + ρW ) Tt (V + ρW ) ◦ Tt (V )−1. 7→. ¼ z 0 ,! 0 ! <C ! !
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(111) Ω (V ). a®O sVb8£ e¤¦¹£svntjtnlq|sVbw£ |jle@u?{xK ree{|q m?q|ntsq1{q|qrb?o}eq|exK{+e;qr |b8q|m8oVq1 |8qro}b?q|e"jlsyq|u o}ªVu8o}{| rªyjleoy r?{|nteJe do}´ x T b8ov{+jµq{enµ¦Oq|b?e{q| rm83qrm? re¤sy¦Oo ~ ku8o}dMjp;o}n ρ - ¼kÀ ¼ % %
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(133)
(134) ! ,
(135) !
(136) ! 0 ,
(137) (
(138) %. 8 -+ 0/. 0
(139)
(140) !
(141) 0
(142) ! . Zt. .
(143). . t. ˙ ;W) f(V. V ∈ Uad. . . W ∈ Uad.
(144). . . ρ. f : [0, ρ0 ] → H(Ωt (V )). !!J,
(145) ! J. ρ=0. . ρ 7→ f (V + ρW ) ◦ Tρt. . (t, x) ∈ Q(V ). . .
(146)
(147) ˙ ; W ) = d f ρ
(148) f˙(V ) · W = f(V dρ
(149) ρ=0. ¬jluEq|jteq|yb o}q|npb8{¤ew£oyjtOq|bwsVªv re e{|~ xOe e@Ä 3u?q jtq|q|sMjlsyqru
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(160). 0. . , P
(161) 2
(162) 9, f(V ˙ )·W f (V ) J (.)
(163) !
(164) J V ∈ U
(165) ! 9
(166) ad ! 1
(167) !
(168) . W ∈U. . . . . . . . .
(169) . J10 (V. )·W =. Z. h. i f˙(V ) · W + f (V ) div Zt dΩ. 0 f (V ) , P
(170) P 9,
(171) !
(172) !
(173) .
(174). Ωt (V ). . . 0 .
(175) . . f 0 (V ) · W = f˙(V ) · W − ∇f (V ) · Zt.
(176). . J10 (V ) · W =. Ω0. Z. . J10 (V ) · W =. Z. J < !
(177) #
(178) 0 . f 0 (V ) · W dΩ + Ωt (V ). Z. Γ0. y y. [f 0 (V ) · W + div(f (V ) Zt )] dΩ. Ωt (V ). }f . . !. f (V ) hZt , nidΓ. E . Γt (V ). ɹÊ+ï
(179) ÉÕÆ.
(180) v.
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(182) D! 9! !J ,P
(183) 0
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(186)
(187)
(188) , . 7íq¤jl{¤o}np{sxKsv{r{|jt?nle q|se{qro}8ntjp{b¥o{jldMjtnpo} ¤ |e@{m?ntqX¦¹sy ¤jtuEqre;y o}np{XsVªve; XdMsVªkjtu?Ksym8u ~ o} rjle{« A sy Jqrb8oVq x8m? |xKsv{|ey´z£"e2u?e;e ~ q|s ~ e Ä u?e2q|b?eu8syuz¨·knljtu ~ |jp;oynOqo}u?ve;uEq|jpo}ndo}q|e; rjpo}n ~ e; rjlª0o}q|jlªyev´ ¼ "¹# " À ( 0 ,
(189) g(V ) ∈ H(Γ (V )) , P
(190)
(191) ! J !
(192) !
(193) 9 0 !
(194) . .
(195).
(196). . .
(197). . . t. V ∈ Uad. g(V ˙ ;W).
(198). . !!J,
(199) ! J. .
(200). . . W ∈ Uad.
(201). . . g ρ : [0, ρ0 ] → H(Γt (V )) ρ 7→ g(V + ρW ) ◦ Tρt ρ=0. . . (t, x) ∈ Σ(V ). . . g(V ˙ ;W) =.
(202). d ρ
(203) dρ g
(204). a b8jl{;syu8;e;xzqjp{ jtukªvsynlªye ~ jtuqrb?e ~ j "Ke |euvqrjloy?jlntjtq¥x? rsyxKe; |q¥s}¦+Osvm?u ~ oy |jtuEq|ey o}np{;´ - ¼kÀ ¼ >
(205) 0 0 Ω 0 Γ ! < ! J ,
(206) !
(207) 0
(208). .
(209). . 0. . W ∈U. ρ=0.
(210). .
(211). 0. . 9
(212) 0.
(213) P
(214) !
(215) ! 9 g(V g(V ) ˙ )·W J (.)
(216) !
(217) J V ∈ U
(218) ! 9
(219) ad ! 2
(220) !
(221) . . . . . . . . .
(222) . J20 (V ) · W =. Z. 4. [g(V ˙ ) · W + g(V ) divΓ Zt ] dΓ. 0 g(V )
(223) P
(224) ! 9
(225) !#! !
(226) !!
(227) .
(228). Γt (V ). . . . . . g 0 (V ) · W = g(V ˙ ) · W − ∇Γ g(V ) · Zt. J20 (V. )·W =. Z. . Γt (V ) . . . f . . 0 .
(229). g(V ) = g˜(V )|Γt (V ). t. J20 (V. ïï ÍKL!M#NPO. )·W =. Z. [g 0 (V ) · W + (∇˜ g (V ) · n + H g(V )) hZt , ni] dΓ Γt (V ). 5 º . [g 0 (V ) · W + H g(V )hZt , ni] dΓ. 2! H ! ,
(230) 0
(231) 0 g˜ ∈ H(Ω (V )). . º .
(232) 0.
(233) < 0=
(234) 0E
(235) . Á À " ;V : ¼ 0 ¼ 1¼ *äÁ 7íqjp{ xKsv{r{jl?nleqrs ~ e Ä u?e2q|b?e{|synlmzqrjtsvusy¦&q|b8eo ~ svjtuEq q| o}u8{|ªye r{|e2{z{q|e;dw´ - ¼kÀ ¼ ;
(236) 0( F ∈ L (0, T ; (H (D)) ) ! , 0 ! (
(237) (. . 2. d . 1.
(238). .
(239). Λ ∈ C 0 ([0, T ]; (L2 (D))d ).
(240) 0,
(241)
(242) 9 ! . . . −∂t Λ − D Λ · V − ∗ D V · Λ − (div V )Λ = F, Λ(T ) = 0,. º . (0, T ). ¼ 0 ,
(243) z ( J 2Λ ! 9 .
(244) 9
(245) # !
(246) !
(247) 9 9 ! Z . 7·u4qrb?jl{o} |q|jpnley´£¤eJ{|b8o}nln ~ e@o}n}£jtq|bo{|xKej Ä X rjlybEq¨íb8o}u ~ {|j ~ e F sy¦Eqrb?e1¦¹sy rd F (t) = γ (f (t)n) « a {q|b8 rm8e;uq|m?q|b? reye´ o ~ syjluvq Ä en ~ Λ jl{{|m?x?xKsy |q|e ~ svu¥qrb?edMsVªEjlu?*Osvm?u ~ oy | Γ (V ) o}u ~ b8ov{¤q|b?e4¦¹synlnlsV£jtu? - ¼kÀ ¼ G
(248) <$ 0 (t)n)
(249) C f ∈ L (0, T ; L (Γ (V )) 0,
(250) Λ
(251) F 9(t) = γ ! (f ºyº Λ = (λ ◦ p) ∇ χ ∈ C ([0, T ]; (H (Γ )) ) .
(252). .
(253). . . . . . t. . ∗. Γt (V ). t. . 2! 9 !. ∗. .
(254). . #. . . . 2. !. 0. 1. 2. .
(255).
(256). t. d. 0
(257)
(258) !
(259) 0
(260) !
(261)
(262) 0
(263) Ωt (V ). λ ∈ C 0 ([0, T ]; H 1(Γt )). Γt (V ) . t. . º f . −∂t λ − ∇Γ λ · V − (div V )λ = f, (0, T ) λ(T ) = 0, Γt (V ).
(264) !
(265) D. p. Γt (V ). . . χΩt (V ). ,
(266)
(267) 0 !
(268) . Ωt (V ). 0 8Á2" ¼ À+ À ¾ ¡ ½ *
(269) " Á"ä¡y * + ¡y." À *ä 7·uqrb?e2u?ekq{|e3qrjtsvu8{´z£¤e2£jlntn
(270) sy¦Õq|eu ~ eo}n£jtq|bwKsym?u ~ o} r¥jluvqre;v roynl{"s}¦+q|b8e¦¹svntnlsV£jlu?¦¹sy rdM{´ (
(271) $. . K=. Z. T. Z. E(V ) hZt , ni. £ªVoyjt |q|jpb o}?E(V nle Z) jl∈u8{|jL~ e(0,qrb?Te2;¦¹m?Γu8(Vq|jlsy))u8«-oyn a Kb8´ew¦¹synlntsV£jlu?à |e@{m8nµqoyntnlsV£{Mm8{Mqrs$e;nljtdMjlu8oVqrewq|b?e©oymzzjtnlntjpo} r - ¼kÀ ¼ 3
(272) <$
(273) J E(V ) ∈ L (0, T ; Γ (V )) (V, W ) ∈ U = !
(274) !J, 9 Z Z Z Z º λhW, ni E(V ) hZ , ni = − 2. 0. Γt (V ). t. t.
(275) . . 2. . . t. . ad. T. T. t. 2!.
(276) 0
(277)
(278) 0,
(279) (Γ )) 0. 0. λ ∈ C ([0, T ]; H. 1. 0. Γt (V ). . t. Γt (V ). . . . f = E. ɹÊ+ï
(280) ÉÕÆ.
(281) º.
(282) . $'(*$' +. .
(283) + $' +. . £7·oyu u jtq|~ q|b b?kjpsk{sy≥xO ~ o}2jl u8o}syoVy¦1qr e;o}{"s x8~kb
(284) jt´&dM£"m8e;{|euOjt{u8 rjl*e;syªkuwqrjlb?e;sy£eu8ejluv8jtqroyu |{|jljpu8R{|jle;« nle;qa dMo}b?u?e;e2vuEe;q¦¹syuE{nlq|nlsyjpsVo}¦ £n ~ jt~ u?#j e"R¥ |e;jl royªVe;oVx?uEq|x?qrjl rªyjlsvoyevovn¤« ;boynlo0;ªym?svnlm8j ~ {{"svq|u b?eo mOC{e¨sy¦1{m?nlsz8;dMoyoyn
(285) u?8jtoy¦¹sy{|en ~ { k. d. " ¼ ¼ Á ÁE"ä ¡ ¼ + ¡}." À ~&jle{q qroyΩu8Ke4e"¦¹oym?uu8svq|xOjlesyu u~ q|ssvdKo}ejluoy{¤s}¦¹¦KsvntnpnloysV{r£{ {;C´ jlu R £jµqrb;sydMx8oyq+Ksym8u ~ o} r Γ «+¬(e ~ e Ä u?e¤q|b?e sv |jle;uEq|e ~ ( %
(286) . d. k. bΩ (x) =. . x ∈ Rd \ Ω x ∈Ω. dΓ (x), −dΓ (x),. £b8e; re d (x) = min |y − x| « & À / À ."ä." À
(287) 0F 2 Ω 0
(288) !
(289) 9 0. Γ. . .
(290). ! 9 C k ! k ≥ 2 Rd E
(291) b ∈ C k (U (Γ))
(292) 0 U (Γ) Γ. y∈Ω.
(293). 9 Γ !
(294) !
(295) ! ∇b| = n 2! n !
(296) 0
(297) 2 Γ Γ D2 b : T Γ → T Γ !. ! !J ! . . . . . . p(x). p(x). p : U (Γ) → x 7→. 9 ! ,
(298)
(299) (0, β , . . . , β )
(300)
(301) ! . 2 . Γ. Γ x − b(x) · ∇b(x).
(302) 0 9
(303) 0 ,
(304)
(305) 0 9
(306) 0! . (n, µ1 , . . . , µd−1 ). (βi , µi )1≤i≤d−1. . . . ∗. . C2. . . = !
(307)
(308). p.
(309) ,. D p = D p = I −∇b · ∗ ∇b − b D2 b D p · τ = τ, Γ,. Γ D p · n = 0, ¼ "¹#" À $
(310) 0F Γ 9 C 2 E
(311) 0
(312) 0 H ! ! Γ ¯ H = Tr D2 b = ∆b = (d − 1)H, H¯ 9 !
(313) 0 9
(314) 0 Γ. . . . ïï ÍKL!M#NPO. 2!. . !
(315) D!J . 9 .
(316) !
(317) D!
(318) 0 ,
(319) D2 b. d−1. À / À ."ä." À %
(320) 0F ! ! 9 !
(321) Γ !
(322) ! . Γ. Tp(x) Γ. . 1. &. . º . Γ. 9 . º .
(323) f.
(324) < 0=
(325) 0E
(326) ! ;" # "ä¡ E1. ¼ #"ä * ¡v *ä¡ *% £ r{e o0~ jl m8u?sye ¦ o}~ r~ q|?e sjtÄ q|;u8 nlo}jtovu? r{|©{|jp{;qrdMo}o}nu8sk~ ys}je;qr"KuEbeqr |jleeoykuvnJqrqre;syjlu8oyxKnv{|e;jt svo}oVuqrnpsysym? ¦&nl{;m8¦¹« m?{uOjtu 3eq|u8jlsyuOe«2{ q|7·u~b?ee q|Ä b?~ u8jpj#{+e "R~ {e;e@ rsy3e;q|u uEjlsyq|Γjpuo}q|n"£¤s ;eJoyΩ rnle;∈m?o}ntRmOnlnG{´V{´zsyqrjlu$oy{"u qrd~ b?o}eoy u?dM~ jµ¦¹¦¹svsvsy{n r~q d{;m8nl;ovnloyov{|u${|{Rjp¦¹;Osyo}e n ~oyj#"R{|ewe; r£e;uEb?q|e;jpo} renyqrq|oyb?u?e©yee;uvkqrq|jle;oyuOny{svjlxOsyeu ro}jlq|{¥sys} {¦4m8q|{|b?jle©u?o}o}u? r?svjtu?q|Rjl o}o} rn qe;kExKqree;u8{|jlsyu8{«
(327) ¬ « e¤a o}b?np{|jp{se;jp{MdMq|x?b?b8e¸ov{Ojl§;oyeJ{|jlq|{Mb?sye¤¦2x8o$o} |q|{|jpjtdMm?x?npo}nle ~ j#"Re; re;uEq|jpo}n
(328) o}npm?nlm8{ jluq|b?eu?ejtvbkOsvm? |b8sEs ~ s}¦ Γ « (f ◦ p) ¼ "¹# " À > Γ 9 C
(329) 9 !
(330) F ∈ C (U (Γ)) f ∈ C (Γ)
(331)
(332)
(333)
(334) = f 9 º 4 ∇ f = ∇F | − (∂ F ) n ( % %. d. ). d. 2. .
(335) . . 1. . 1. . def. Γ. 2!. &. ∂n F = ∇F · n. À / À ."ä." À. (
(336) 0F .
(337) 0 . Γ. 9 . n. C2. ! . . f ∈ C 1 (Γ). . !. . 2 . . Γ. Tp(x) Γ. def. P = I −∇b∗ ∇b. ∇Γ f = (P ∇F )|Γ n · ∇Γ f = ∇b · ∇Γ f = 0. º 5. ∇(f ◦ p) = I −b D2 b ∇Γ f ◦ p ∇(f ◦ p)|Γ = ∇Γ f. fv.
(338) D !
(339) !
(340) = . . pjv{& re;qro u8o}~ ;u8jlee;yuEe;(fquE´ q◦p)q|sqrx8b?nlo0e"znte{&ªyq|e;b?nke {| resyqr{nle¤s}sy¦ ¦Obo« B¤o}svu?u8sv{u?e@jp±E;m?o}e;nkuEe;q|Enlqrye;´0u8£"{|e¤jlsyuo}ujlu~ qre b?Ä e u?u?e¤e;jtjluyKo}syu rjlb?uEskq|s rjt~ u8{|UjpJ(Γ)£ o0o}u qr~ b?e²jµqq{+o}yu? vo e;~ uEjlq|e;jpuEo}q n ¼ "¹# " À ; Γ 9 C f ∈ C (Γ)
(341)
(342)
(343)
(344) f f8 ∇ f = ∇(f ◦ p)| 7·uBq|b?ew{|e±Em?e;n_´J£"e{|b8o}nln m8{|e¥q|b8ewoyOsVªve ~ e Ä u?jtq|jlsyu ¦¹sv q|b?eqroyu?yeuvqrjloyn¤v ro ~ jle;uEq*£b?eu?e;ªve; *q|b?e ¦¹qm8o}u8u?3vqre;jtuEsvq|u jpo}m?nRu sv~ xOee ro}~ q|esy | jl{ªV´ oVqrjtsvu jp{jluEq| rjtuO{jp;oyntnl ~ e Ä u?e ~ syu Γ «¸¬(eu?sV£ ~ e Ä u8eq|b?es}qrb?e; ;nlov{|{|jp;o}n ¼ "¹# " À G Γ 9 C ). 2. 1. Γ. . . Γ. 2. ɹÊ+ï
(345) ÉÕÆ.
(346) 0.
(347) ! v ∈ (C 1 (Γ))d 9 ! . v˜ ∈ (C 1 (U (Γ)))d DΓ v. 0 . ! C !
(348)
(349) D
(350)
(351)
(352) . def. =. D v˜|Γ − (D v˜ · n)∗ n. =. D v˜|Γ − D v˜ · (n ⊗ n). fE.
(353). f º . D(v ◦ p) = DΓ v ◦ p I −b D2 b DΓ v = D(v ◦ p)|Γ. ! v ∈ (C 1 (Γ))d 9 ! . v˜ ∈ (C 1 (U (Γ)))d def. divΓ v. 0 . =. ,
(354)
(355) D
(356) !
(357) . . fvf . div v˜|Γ − (D v˜ · n) · n.
(358). fk. divΓ v = div(v ◦ p)|Γ = Tr(DΓ v). ! f ∈ C 2 (Γ) F ∈ C 2 (U (Γ)) ,
(359)
(360)
(361) 2 ! . . . . fv. ∆Γ f = ∆F |Γ − H∂n F − ∂n2 F. 0 ! .
(362). ∂n2 F = (D2 F · n) · n. fk . ∆Γ f = divΓ (∇Γ f ) = ∆(f ◦ p)|Γ. svuEq|sou8sy rdMoyn&o}u ~ v o*qo}u?ve;uEq|jpo}n
(363) ;sydMxOsvu?e;uEq@´ ¼ "¹# " À 3 v ∈ (C (Γ))
(364) D!J,
(365) !J v ∈ (C (Γ)) 2 !J v ∈ C (Γ) C f 4 v =v +v n {jlu?q|b8jl{ ~ e Ä u?jtq|jlsyu&´?£¤e2svzqroyjtuq|b?e2¦¹svntnlsV£jlu?Mj ~ euEq|jtq|jle{´ & À / À . "ä. " À $ v ∈ (C (Γ)) 9 f 5 D v =D v +v ·D b+n· ∇ v } ∇ v = D v n + D bv z div v = div v + Hv. 7·u©{|sydMeoy{|e{´8jtqdo0KejluEq|e |e@{qrjtu?¥q|s¥m8{|eo¥{|x?nljµq|q|jlu?sy¦1q|b?e¦¹m?u83qrjtsvu. d . 1. n.
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