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Navier-Stokes dynamical shape control : from state derivative to Min-Max principle

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Academic year: 2021

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(1)Navier-Stokes dynamical shape control : from state derivative to Min-Max principle Raja Dziri, Marwan Moubachir, Jean-Paul Zolésio. To cite this version: Raja Dziri, Marwan Moubachir, Jean-Paul Zolésio. Navier-Stokes dynamical shape control : from state derivative to Min-Max principle. [Research Report] RR-4610, INRIA. 2002. �inria-00071975�. HAL Id: inria-00071975 https://hal.inria.fr/inria-00071975 Submitted on 23 May 2006. HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of scientific research documents, whether they are published or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.. L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés..

(2) INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE. Navier-Stokes dynamical shape control : from state derivative to Min-Max principle Raja Dziri — Marwan Moubachir — Jean-Paul Zolésio. N° 4610 Octobre 2002. ISSN 0249-6399. ISRN INRIA/RR--4610--FR+ENG. THÈME 4. apport de recherche.

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(55)    / * ¼ . .  1 α|B u|2 + γ H|K V |2 2.  5.  “”.   ! (B, B ∗ , BΣ ) = (I, − I, 0) (K, K∗ , KΣ ) = (I, − I, 0). . 0          !  9 

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(67)  9  !  −∂t ϕ − D ϕ · u + ∗ D u · ϕ − ν∆ϕ + ∇π = α u,    div(ϕ) = 0, ϕ = 0,    ϕ(T ) = 0,. “º . Q(V ) Q(V ) Σ(V ) ΩT.  λ          !  0    !    0,

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(77) !  ! . = (curl, curl, ∧n) = (I, − I, 0).  “’. α γ k curl uk2L2 (Q(V )) + kV k2L2 (Σ(V )) 2 2. . 2!. . (ϕ, π).      !        0

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(81)  9  ! .  −∂t ϕ − D ϕ · u + ∗ D u · ϕ − ν∆ϕ + ∇π = −α ∆u, Q(V )    div(ϕ) = 0, Q(V ) Σ(V )  ϕ = 0,   ϕ(T ) = 0, ΩT.  “.4.  λ          !  0    !    0,

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(86). . t.  “V™ . ∇j(V ) = −λ n − σ(ϕ, π) · n + α (curl u) ∧ n + γ V. !.

(87). Γ. λ(T ) = 0,. . f = [−ν D ϕ · n + α (curl u) ∧ n] · (D V · n − D u · n) +. ïï ÍKL!M#NPO. . ΓT (V ).  1 α| curl u|2 + γ H|V |2 2.  –}”.

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(102) « Žeu8‚ev´vqrb?e ~ e{|jtšvux8o} o}dMe;Ωq|e; ¤jl{¤u?s*dsv |eŽq|b?e4{€m?x8xOsv €qTΩ(V •?) mzq¤ oVqrb?e; ²q|b?e4ªyentsz‚;jµq‡ Äo ~e;nªV~ o}uEVqroy∈šyeUqrsqr r=oyu8{€C¦¹sy([0, ~ r q 8 b V o  q 8 • ? m t j n {~ q|j b?"Kee |{|em?uEx?q|xKjpo}synX |q‚;oy«wnl‚;a m?b?ntmOjp{2{q|sve@u(‚b?o¥u?jpªv±Eem?‚e¥q|syb8 2ov{|{2x8q|oyb?‚;ee T ]; (W (D)) ) r d | { 8 b y o O x  e ; ‚ } o p n  ‚ 8 m t n 8 m 4 { l j E u | q ­ s ; ‚ l n v o | { | { p j ; ‚ } o n jqrpº{Ž r”oy r_u8e´ ¦¹{|te“ªy |f e; rí e« {|~ e A syÄqrs Žen oy~ f u­« _´ syt#“ q|5b?íe« ¤e‚b?;¦¹sysyjp r‚ee2{‡•8qovoV{€qre jtu?~ š¥svq|ub?qreb?deoyu?jtsyu¸u?¨í r‚;eE{|m?nljlntu q~ s} r¦1jl‚q|o}b8nKjlj{4~ {€ee@uE‚3q|qrjtq‡jtsvu

(103) xK´8e;£" |q|em? r re•8‚;oVoyqrntjtn

(104) svq|u

(105) b?´keq|b8u8e4s}q| rjlesyo u¸~ e;sy ¦ (

(106) 

(107)  ŸV   : ¼ Ÿ0 ¼   /2/ *

(108) "G¡y z#ž " À  ¼  "¹#ž " À   , !     T 9  .

(109)           !  (V, W ) ∈ U         !    1. t. 2. 0. *). t. t. def. ad. 0. k,∞. d.    .    !. . . . . t ρ. . Tρt : Ωt x. . ad. def. −→ Ωρt = Ωt (V + ρW ) Tt (V + ρW ) ◦ Tt (V )−1. 7→. ­  ¼    z Ÿ     0 ,!  0  !              <C    !  !  

(110)   9   0 ,

(111)  Ω (V ). a®O sVb8£ e¤¦¹£svntjtnlq|sVbw£ |jle@u?{€šxK ree‚{|q m?q|ntsq1{€q|qrb?o}eq|exK{+e;qr |b8q|m8oVq1 |•8qro}b?q|e"jlsyq|u o}ªVu8o}{| rªyjleoy r•?{|nteJe do}´ x T b8ov{+jµq{€enµ¦Oq|b?eŽ{€q| rm8‚3qrm? re¤sy¦Oo ~ ku8o}dMjp‚;o}n ρ - ¼kÀ Ÿ ¼  %  %

(112)   0 !     T   =    9        Z      C !    . . . . .

(113).

(114).

(115).

(116) .

(117). . t. t ρ. . . . def Zρt =. . t ρ. . t. Z (ρ, .) =. . ∂Tρt ∂ρ. .     !

(118) 0

(119)     !    

(120)  

(121)   9   . . t ρ.  –z“. ◦ (Tρt )−1. Ttρ (Zρt ) : Ωt −→ Ωρt. x 7−→. . x(ρ, x) ≡ Ttρ (Zρt )(x). d x(ρ) = Z t (ρ, x(ρ)), dρ x(ρ = 0) = x,.  –y–. ρ≥0. . zh jtu8‚;ey´¤£¤e£jtnln do}jlu?nt ‚;syu8{|j ~ e; ~ e |jlªVoVq|jlªye@{sy¦xKe; |q|m? r•Oe ~ ¦¹m8u8‚3qrjtsvu8{oVqMxOsvjtuEq ρ = 0 ´J£"e{|eq Z nljlu?e=oy Zq|jlde «1~ ŠEuO¦¹o}m?dMu jl~ ‚o}o}dMn{|e;kuE{€qrq|oyenRd |e@~ {€m?exOntq¤enlu jle~ {¤jlu?jtšusyq|b?u­e‰q|¦äb8oye‚q²ªyeq|bO‚q|oVsvq ZÄ e;n‚;~ oy{ u¥(V,•Oe4Wsy•?)qro}∈jlu?Ue ~ oy´ {²q|b?e2{|synlmzq|jlsyu¥sy¦ def. t. t ρ=0. Ωt (V ). t. ad. ïï ÍKL!M#NPO.

(122) “@”.         

(123)   < 0=

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(125) .  !. ¼kÀ Ÿ ¼  -. ( 

(126) <$. . 2!.   9    !   . . . .

(127)   < 

(128). .    9  !   

(129)     !=  =  . def.  . – º . ∂t Zt + [Zt , V ] = W, D × (0, T ) Zt=0 = 0, D. [Zt , V ] = DZt · V − DV · Zt. (Zt , V ). . ¼ Á ¼ Ÿ" :? zž#" : ¼ ÀJ+ À ¾ ¡ ½ *

(130) " ÁŸ "ä¡v  * +  ¡y.ž " À   *ä £"a e2b8e |e@d‚;oyo}ntjlnu¥b?qreb? |e;evsv´ |ed sy¦

(131) q|b8jl{ {|e‚3qrjtsvu¥m8{|e{²q|b?e4u?syq|jlsyu¥sy¦&u?syu?¨í‚;Enljlu ~ rjl‚o}n8do}q|e; rjpo}n ~ e; rjtªVo}q|jlªyeŽqrb8oVq ¼ "¹ž#" À % 0 !

(132)  f (V ) ∈ H(Ω (V ))  ,    P !  

(133)    

(134)   !           ,

(135)    !   

(136)  !  0 ,

(137)  (

(138)  %. 8 -+ 0/.    0

(139)  

(140)  !

(141) 0

(142)     !    . Zt. .

(143). . t. ˙ ;W) f(V. V ∈ Uad. . . W ∈ Uad.

(144). . . ρ. f : [0, ρ0 ] → H(Ωt (V )).   !!J,

(145)  !    J. ρ=0. . ρ 7→ f (V + ρW ) ◦ Tρt.  . (t, x) ∈ Q(V ). . .

(146)

(147) ˙ ; W ) = d f ρ

(148) f˙(V ) · W = f(V dρ

(149) ρ=0. ¬jluEq|jteq|šyb o}q|npb8{¤ew£oyjt•Oq|bwsVªv re e{|~ xOe e@Ä ‚3u?q jtq|q|sMjlsyqru

(150) b?´¤e;£¤jl ewdM‚;sVoyªku jtu?{€šqroV{|qrm?ex?xKqrb?sye |q~´ j "Ke |euvqrjloy•?jlntjtq‡$x? rsyxKe; |q|jle{*s}¦u?svuz¨·‚kntjlu ~ rjp‚;o}n - ¼kÀ Ÿ ¼  $ 

(151) <$  

(152)      0     9 0 !      Ω    0    Γ  ! <   0    ! J   ,

(153)    !   

(154) 0     

(155) . 

(156). .

(157).

(158). . 0. . &

(159). .

(160). 0. .  ,   P   

(161) 2  

(162)     9,  f(V ˙ )·W f (V )    J (.)    

(163)  ! 

(164)       J V ∈ U   

(165)   !  9  

(166)       ad !   1

(167)  !   

(168)  . W ∈U. . . . . . . . .

(169) . J10 (V. )·W =. Z. h. i f˙(V ) · W + f (V ) div Zt dΩ. 0     f (V )  ,  P    

(170)  P    9,  

(171)       !    

(172)  !  

(173) .

(174). Ωt (V ). . . 0      .

(175) . . f 0 (V ) · W = f˙(V ) · W − ∇f (V ) · Zt.   

(176). . J10 (V ) · W =. Ω0. Z.         . J10 (V ) · W =. Z.    J <  !

(177) # 

(178) 0     . f 0 (V ) · W dΩ + Ωt (V ). Z. Γ0.  –y—  –y’. [f 0 (V ) · W + div(f (V ) Zt )] dΩ. Ωt (V ).  –}f . .  !. f (V ) hZt , nidΓ.  –E™ . Γt (V ). ɹÊ+ï

(179) ÉÕÆ.

(180) “v“. 

(181)  . ­ 0¼   z Ÿ 0   % ! 

(182) D!  9!    !J ,P       

(183)   0

(184)  ,

(185)   J   !  2<    

(186)      

(187) 

(188)    , . 7íq¤jl{¤o}np{€sxKsv{r{|jt•?nle q|se{€qro}•8ntjp{€b¥o{€jldMjtnpo} ¤ |e@{€m?ntqX¦¹sy ¤jtuEqre;šy o}np{XsVªve; XdMsVªkjtu?š•Ksym8u ~ o} rjle{« A sy Jqrb8oVq x8m? |xKsv{|ey´z£"e2u?e;e ~ q|s ~ e Ä u?e2q|b?eu8syuz¨·‚knljtu ~ |jp‚;oynOqo}u?šve;uEq|jpo}ndo}q|e; rjpo}n ~ e; rjlª0o}q|jlªyev´ ¼  "¹#ž " À ( 0 ,

(189)  g(V ) ∈ H(Γ (V ))  ,   P   

(190)     

(191)   !     J      !

(192)    !   

(193)  9   0 !

(194)  . .

(195).

(196). . .

(197). . . t. V ∈ Uad. g(V ˙ ;W).

(198). .   !!J,

(199)  !    J. .

(200). . . W ∈ Uad.

(201). . . g ρ : [0, ρ0 ] → H(Γt (V )) ρ 7→ g(V + ρW ) ◦ Tρt ρ=0. .  . (t, x) ∈ Σ(V ). . . g(V ˙ ;W) =.

(202). d ρ

(203) dρ g

(204). a b8jl{‚;syu8‚;e;xzqŽjp{ jtukªvsynlªye ~ jtuqrb?e ~ j "Ke |euvqrjloy•?jlntjtq‡¥x? rsyxKe; |q‡¥s}¦+•Osvm?u ~ oy |jtuEq|ešy o}np{;´ - ¼kÀ Ÿ ¼  > 

(205)     0      0       Ω    0    Γ  ! <   ! J   ,

(206)    !   

(207) 0       

(208). .

(209). . 0. . W ∈U. ρ=0. 

(210). .

(211). 0. . 9 

(212) 0.  

(213)  P   

(214)    !

(215)   !  9 g(V g(V ) ˙ )·W    J (.)    

(216)  ! 

(217)        J V ∈ U   

(218)   !  9  

(219)       ad !   2

(220)  !   

(221) . . . . . . . . .

(222) . J20 (V ) · W =. Z.  – 4. [g(V ˙ ) · W + g(V ) divΓ Zt ] dΓ. 0     g(V )  

(223)  P    

(224)     !   9

(225) !#!   !   

(226)  !! 

(227) .

(228). Γt (V ). . . . . . g 0 (V ) · W = g(V ˙ ) · W − ∇Γ g(V ) · Zt.    J20 (V. )·W =. Z. . Γt (V ) . .  . f . . 0      .

(229). g(V ) = g˜(V )|Γt (V ). t. J20 (V. ïï ÍKL!M#NPO. )·W =. Z. [g 0 (V ) · W + (∇˜ g (V ) · n + H g(V )) hZt , ni] dΓ Γt (V ).  –5  º ”. [g 0 (V ) · W + H g(V )hZt , ni] dΓ. 2! H     !    , 

(230) 0 

(231) 0       g˜ ∈ H(Ω (V )). .  º “.

(232) “0–.         

(233)   < 0=

(234) 0E 

(235) . › Á À " žž;ŸV   : ¼ Ÿ0 ¼ 1¼ *äÁ 7íqŽjp{ xKsv{r{€jl•?nle‰qrs ~ e Ä u?e2q|b?e{|synlmzqrjtsvu­sy¦&q|b8eo ~ †‡svjtuEq q| o}u8{|ªye r{|e2{€z{€q|e;dw´ - ¼kÀ Ÿ ¼  ; 

(236) 0(  F ∈ L (0, T ; (H (D)) )  !   ,  0   !  (

(237)  (. . 2. d . 1.

(238). . 

(239). Λ ∈ C 0 ([0, T ]; (L2 (D))d ).  

(240) 0,

(241)            

(242)   9  ! . . . −∂t Λ − D Λ · V − ∗ D V · Λ − (div V )Λ = F, Λ(T ) = 0,.  º –. (0, T ). ­ ¼  0 ,

(243)  z Ÿ   (        J 2Λ !     9   . 

(244) 9   

(245)       # !

(246)       !      

(247)   9  9     !     Z   . 7·u4qrb?jl{o} |q|jp‚nley´£¤eJ{|b8o}nln ~ e@o}n}£jtq|bo{|xKe‚j Ä ‚X rjlšybEq€¨íb8o}u ~ {|j ~ e F sy¦Eqrb?e1¦¹sy rd F (t) = γ (f (t)n) « a {€q|b8 rm8e;u­‚q|m?q|b? reye´ o ~ †‡syjluvq Ä en ~ Λ jl{{|m?x?xKsy |q|e ~ svu¥qrb?edMsVªEjlu?š*•Osvm?u ~ oy | Γ (V ) o}u ~ b8ov{¤q|b?e4¦¹synlnlsV£jtu?š - ¼kÀ Ÿ ¼  G 

(248) <$      0   (t)n) 

(249) C     f ∈ L (0, T ; L (Γ (V ))   0,

(250)  Λ       

(251) F 9(t)  =  γ !  (f  ºyº  Λ = (λ ◦ p) ∇ χ ∈ C ([0, T ]; (H (Γ )) ) . 

(252). .

(253). . . . . . t. . ∗. Γt (V ). t. . 2!  9  !. ∗. .

(254). . #. . . . 2. !. 0. 1. 2. .

(255). 

(256). t. d.    0

(257)  

(258)  !

(259) 0

(260)     !    

(261)  

(262) 0      

(263)  Ωt (V ). λ ∈ C 0 ([0, T ]; H 1(Γt )). Γt (V ) . t. .  º f . −∂t λ − ∇Γ λ · V − (div V )λ = f, (0, T ) λ(T ) = 0, Γt (V ).    

(264)    !

(265)      D. p. Γt (V ). . . χΩt (V ).         ,

(266)

(267) 0 !

(268)   . Ωt (V ). 0Ÿ  8Á2" ¼ ž À+ À ¾ ¡ ½ *

(269) " ÁŸ"ä¡y  * +  ¡yž." À   *ä 7·uqrb?e2u?eƒkq{|e‚3qrjtsvu8{´z£¤e2£jlntn

(270) sy¦Õq|eu ~ eo}n£jtq|bw•Ksym?u ~ o} r¥jluvqre;šv roynl{"s}¦+q|b8e‰¦¹svntnlsV£jlu?š¦¹sy rdM{´ (

(271)  $. . K=. Z. T. Z. E(V ) hZt , ni. £ªVoyjt |q|jpb o}•?E(V nle Z) jl∈u8{|jL~ e‰(0,qrb?Te2;¦¹m?Γu8(V‚q|jlsy))u8«-oyn a Kb8´ew¦¹synlntsV£jlu?šÃ |e@{€m8nµqoyntnlsV£Ž{Mm8{Mqrs$e;nljtdMjlu8oVqrewq|b?e©oymzƒzjtnlntjpo} r - ¼kÀ Ÿ ¼  3 

(272) <$  

(273)    J E(V ) ∈ L (0, T ; Γ (V ))   (V, W ) ∈ U =  !   

(274)  !J,   9 Z Z Z Z  º —  λhW, ni E(V ) hZ , ni = − 2. 0. Γt (V ). t. t.

(275) . . 2. . . t. . ad. T. T. t. 2!.   

(276) 0 

(277)   

(278) 0,

(279)         (Γ )) 0. 0. λ ∈ C ([0, T ]; H. 1. 0. Γt (V ). . t. Γt (V ).  . . . f = E. ɹÊ+ï

(280) ÉÕÆ.

(281) Ҽ. 

(282)   .  $'(*$' +. .

(283)  +   $' +.    . £7·oyu u jtq|~ q|b b?‚kjpsk{sy≥xO ~ o}2jl u8o}syoVšy¦1qr e‚;o}{"s x8~•kb

(284) jt´&dM£"m8e;{|euOjt{€u8 rjlš*e;syªkuwqrjlb?e;sy£eu8ejluv•8jtqroyu |{|jljpu8R‚{|jle;‚‰« nle;qa dMo}b?u?e;e2švuEe;q¦¹syuE{nlq|nlsyjpsVo}¦ £n ~ jt~ u?#j e"Rš¥ |e;jl royªVe;oVx?uEq|x?qrjl rªyjlsvoyevovn¤« ‚‚;b­oynlo0‚;ªym?svnlm8j ~ {{"svq|u b?eo mOC{€e¨sy¦1{€m?nlsz•8‚;dMoyoyn

(285) u?•8jtoy¦¹sy{|en ~ { k. d. Ÿ " ¼ ž ¼ Á ÁE"䝁ž  ¡ ¼ +  ¡}ž." À ~‹&jle{€q qroyΩu8‚•Ke4e"¦¹oym?uu8sv‚q|xOjlesyu u~ q|ssvd•Ko}ejluoy{¤s}¦¹¦Ksv‚ntnpnloysV{r£Ž{ {;C´ jlu R £jµqrb‚;sydMx8oy‚q+•Ksym8u ~ o} r Γ «+¬(e ~ e Ä u?e¤q|b?e sv |jle;uEq|e ~ ( % 

(286) . d. k. bΩ (x) =. . x ∈ Rd \ Ω x ∈Ω. dΓ (x), −dΓ (x),. £b8e; re d (x) = min |y − x| « & Ÿ À / À ."äž." À  

(287) 0F 2  Ω        0        

(288)    !

(289) 9  0. Γ. . .  

(290).    ! 9  C k ! k ≥ 2  Rd       E

(291)     b ∈ C k (U (Γ))

(292) 0      U (Γ) Γ. y∈Ω. 

(293).    9  Γ !   

(294)  ! 

(295) !  ∇b| = n  2! n     !  

(296) 0     

(297)      2 Γ  Γ D2 b : T Γ → T Γ    !.         !    !J  !   . . . . . . p(x). p(x). p : U (Γ) → x 7→.    9  !        ,

(298)     

(299)   (0, β , . . . , β )    

(300)   

(301) !  . 2 . Γ. Γ x − b(x) · ∇b(x).      

(302) 0 9

(303) 0          ,

(304)  

(305) 0 9

(306) 0! . (n, µ1 , . . . , µd−1 ). (βi , µi )1≤i≤d−1. . . . ∗. . C2. . .  =  !

(307)     

(308). p.     

(309)       ,. D p = D p = I −∇b · ∗ ∇b − b D2 b D p · τ = τ, Γ,.   Γ D p · n = 0, ¼ "¹ž#" À $ 

(310) 0F  Γ   9   C 2 E    

(311) 0 

(312) 0 H             !      !    Γ ¯ H = Tr D2 b = ∆b = (d − 1)H,   H¯    9 !    

(313) 0 9

(314) 0 Γ. . . . ïï ÍKL!M#NPO. 2!.  .     !   

(315) D!J . 9  .

(316)       !

(317) D!

(318) 0 ,

(319)  D2 b. d−1. Ÿ À / À ."äž." À % 

(320)  0F    !    !   9   !    

(321) Γ ! 

(322) ! . Γ. Tp(x) Γ. . 1. &. .  º ’. Γ.      9    . º ™ .

(323) “f.         

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(329) 9     !

(330)  F ∈ C (U (Γ))  f ∈ C (Γ)    

(331)  

(332) 

(333) 

(334)  = f        9  º 4 ∇ f = ∇F | − (∂ F ) n ( %  %. d. ). d. 2. .

(335) . . 1. . 1. . def. Γ. 2!. &. ∂n F = ∇F · n. Ÿ À / À ."äž." À. ( 

(336) 0F .  

(337) 0   . Γ.   9 . n. C2.    ! . . f ∈ C 1 (Γ). .  !. . 2 . . Γ. Tp(x) Γ. def. P = I −∇b∗ ∇b. ∇Γ f = (P ∇F )|Γ n · ∇Γ f = ∇b · ∇Γ f = 0.  º 5.   ∇(f ◦ p) = I −b D2 b ∇Γ f ◦ p ∇(f ◦ p)|Γ = ∇Γ f.  fv”.      

(338) D    !

(339)  !       

(340)  = . . pjšv{& re;qro u8o}~ ‚;u8jlee;šyuEe;(fquE´ q◦p)q|sŽqrx8b?nlo0e"znte{&ªyq|e;b?nke {| resyqr{nle¤s}sy¦ ¦Obo‰« B¤‚o}svu?u8sv{€u?e@jp±E‚;m?o}e;nkuEe;q|ƒEnlqrye;´0u8£"{|e¤jlsy‚uo}ujlu~ qre b?Ä e u?u?e¤e;jtjlušy•Ko}syu rjlb?uEskq|s rjt~ u8{|Ujp‚J(Γ)£ o0o}u qr~ b?e²jµqq{+o}šyu? švo e;~ uEjlq|e;jpuEo}q n ¼  "¹#ž " À ;  Γ    9  C   f ∈ C (Γ)    

(341)  

(342) 

(343) 

(344)    f         f8“  ∇ f = ∇(f ◦ p)| 7·uBq|b?ew{|e±Em?e;n_´J£"e­{|b8o}nln m8{|e¥q|b8ewoy•OsVªve ~ e Ä u?jtq|jlsyu ¦¹sv q|b?e­qroyu?šyeuvqrjloyn¤šv ro ~ jle;uEq*£b?eu?e;ªve; *q|b?e ¦¹qm8o}u8u?‚3švqre;jtuEsvq|u jpo}m?nRu sv~ xOee ro}~ q|esy | jl{ªV´ oVqrjtsvu jp{jluEq| rjtuO{€jp‚;oyntnl ~ e Ä u?e ~ syu Γ «¸¬(e­u?sV£ ~ e Ä u8eq|b?e­s}qrb?e; ‚;nlov{|{|jp‚;o}n ¼  "¹#ž " À G  Γ    9  C ). 2. 1. Γ. . . Γ. 2. ɹÊ+ï

(345) ÉÕÆ.

(346) “0—. 

(347)   ! v ∈ (C 1 (Γ))d          9 !     . v˜ ∈ (C 1 (U (Γ)))d DΓ v. 0      .   !  C  !

(348)     

(349) D 

(350)     

(351) 

(352) . def. =. D v˜|Γ − (D v˜ · n)∗ n. =. D v˜|Γ − D v˜ · (n ⊗ n).  fE–.

(353). f º .   D(v ◦ p) = DΓ v ◦ p I −b D2 b DΓ v = D(v ◦ p)|Γ. ! v ∈ (C 1 (Γ))d          9 !     . v˜ ∈ (C 1 (U (Γ)))d def. divΓ v. 0      . =.    ,     

(354)      

(355) D 

(356)   !

(357)    . .  fvf . div v˜|Γ − (D v˜ · n) · n.

(358).  fk—. divΓ v = div(v ◦ p)|Γ = Tr(DΓ v). !  f ∈ C 2 (Γ)    F ∈ C 2 (U (Γ))    ,     

(359)       

(360)  

(361)  2                   !     . . . .  fv’. ∆Γ f = ∆F |Γ − H∂n F − ∂n2 F. 0  !   .

(362). ∂n2 F = (D2 F · n) · n.  fk™ . ∆Γ f = divΓ (∇Γ f ) = ∆(f ◦ p)|Γ. svuEq|sou8sy rdMoyn&o}u ~ v o*qo}u?šve;uEq|jpo}n

(363) ‚;sydMxOsvu?e;uEq@´ ¼  "¹#ž " À 3  v ∈ (C (Γ))        

(364) D!J,

(365)    !J v ∈ (C (Γ))        2   !J v ∈ C (Γ)   C   f 4 v =v +v n ‰{€jlu?šq|b8jl{ ~ e Ä u?jtq|jlsyu&´?£¤e2sv•zqroyjtu­q|b?e2¦¹svntnlsV£jlu?šMj ~ euEq|jtq|jle{´ & Ÿ À / À . "ä.ž " À $  v ∈ (C (Γ))   9  f 5 D v =D v +v ·D b+n· ∇ v  —}”  ∇ v = D v n + D bv  —z“  div v = div v + Hv. 7·u©{|sydMe‚oy{|e{´8jtq‰do0•KejluEq|e |e@{‡qrjtu?š¥q|s¥m8{|eo¥{|x?nljµq|q|jlu?šsy¦1q|b?e¦¹m?u8‚3qrjtsvu. d . 1. n.

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