Introduction

(1)

- p. 1/40

Résolution d’équations différentielles

Polytech’Paris-UPMC

(2)

Introduction Le problème

Existence de la solution Exemple

Principe Exemple Approximation Exemple Pourquoi ? Amélioration

Méthodes d’intégration à pas séparés

Les méthodes

méthodes de RUNGE-KUTTA

Introduction - p. 2/40

(3)

Les méthodes

- p. 3/40

Le problème

Soit un intervalle [a, b], a < b.

Soit une fonction définie et continue f : [a, b] × IR → IR.

Soient x ₀ ∈ [a, b] et y ₀ ∈ IR.

On cherche une fonction z : [a, b] → IR continue et dérivable telle que :

( z ^′ (x) = f (x, z(x)), ∀ x ∈ [a, b]

z(x ₀ ) = y ₀

Ce problème est appelé problème de C AUCHY .

La condition z (x ₀ ) = y ₀ est appelée condition de C ^AUCHY

(4)

Les méthodes

- p. 4/40

Existence de la solution

Définition (Fonctions lipschitziennes) Une fonction f : [a, b] × IR → IR

x, y 7→ f (x, y)

est dite lipschitzienne indépendamment de x et par rapport à y si

∃ L ∈ IR ⁺ tel que :

∀ (x, y, z ) ∈ [a, b] × IR ² | f (x, y) − f (x, z) | ≤ L | y − z |

(5)

Les méthodes

- p. 4/40

Existence de la solution

Définition (Fonctions lipschitziennes) Une fonction f : [a, b] × IR → IR

x, y 7→ f (x, y)

est dite lipschitzienne indépendamment de x et par rapport à y si

∃ L ∈ IR ⁺ tel que :

∀ (x, y, z ) ∈ [a, b] × IR ² | f (x, y) − f (x, z) | ≤ L | y − z | Théorème (C ^AUCHY -L ^IPSCHITZ )

Si f (x, y) est continue sur [a, b] × IR et lipschitzienne

indépendamment de x par rapport à y et si (x ₀ , y ₀ ) ∈ [a, b] × IR alors l’équation :

( z ^′ (x) = f (x, z(x)), ∀ x ∈ [a, b]

z (x ₀ ) = y ₀

admet une solution unique sur [a, b]

(6)

Les méthodes

- p. 5/40

Exemple

0 1 2 3 4 5

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

1 2 3 4

b

( z ^′ (x) = 0.1 × x × z(x), ∀ x ∈ [a, b]

z (0) = 1

(7)

Les méthodes

- p. 5/40

Exemple

0 1 2 3 4 5

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

1 2 3 4

b

( z ^′ (x) = 0.1 × x × z(x), ∀ x ∈ [a, b]

z (0) = 1

(8)

Les méthodes

- p. 5/40

Exemple

0 1 2 3 4 5

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

1 2 3 4

b

x ₀

( z ^′ (x) = 0.1 × x × z(x), ∀ x ∈ [a, b]

z (0) = 1

(9)

Les méthodes

- p. 5/40

Exemple

0 1 2 3 4 5

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

1 2 3 4

b

x ₀

( z ^′ (x) = 0.1 × x × z(x), ∀ x ∈ [a, b]

z (0) = 1

(10)

Les méthodes

- p. 5/40

Exemple

0 1 2 3 4 5

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

1 2 3 4

b

x ₀

b

x ₁

( z ^′ (x) = 0.1 × x × z(x), ∀ x ∈ [a, b]

z (0) = 1

(11)

Les méthodes

- p. 5/40

Exemple

0 1 2 3 4 5

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

1 2 3 4

b

x ₀

b

x ₁

b

x ₂

( z ^′ (x) = 0.1 × x × z(x), ∀ x ∈ [a, b]

z (0) = 1

(12)

Les méthodes

- p. 5/40

Exemple

0 1 2 3 4 5

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

1 2 3 4

b

x ₀

b

x ₁

b

x ₂

b

x ₃

( z ^′ (x) = 0.1 × x × z(x), ∀ x ∈ [a, b]

z (0) = 1

(13)

Les méthodes

- p. 5/40

Exemple

0 1 2 3 4 5

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

1 2 3 4

b

x ₀

b

x ₁

b

x ₂

b

x ₃

b

x ₄

( z ^′ (x) = 0.1 × x × z(x), ∀ x ∈ [a, b]

z (0) = 1

(14)

Les méthodes

- p. 5/40

Exemple

0 1 2 3 4 5

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

1 2 3 4

b

x ₀

b

x ₁

b

x ₂

b

x ₃

b

x ₄

b

x ₅

( z ^′ (x) = 0.1 × x × z(x), ∀ x ∈ [a, b]

z (0) = 1

(15)

Les méthodes

- p. 6/40

Principe

Pour résoudre :

( z ^′ (x) = f (x, z (x)) z (x ₀ ) = y ₀

On connaît z (x ₀ ) et z ^′ (x ₀ ).

On choisit un pas h.

Il est alors possible d’obtenir une approximation de z (x ₀ + h) grâce à la formule :

z (x ₀ + h) ≃ z (x ₀ ) + h × z ^′ (x ₀ )

≃ y ₀ + h × f (x ₀ , z (x ₀ ))

On pose x ₁ = x ₀ + h et y ₁ = y ₀ + h × f (x ₀ , z (x ₀ )) et on itère

. . .

(16)

Les méthodes

- p. 7/40

Exemple

0 1 2 3 4 5

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

1 2 3 4

b

x ₀

(17)

Les méthodes

- p. 7/40

Exemple

0 1 2 3 4 5

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

1 2 3 4

b

x ₀

b

b bb

b b

Avec un pas de 1

(18)

Les méthodes

- p. 7/40

Exemple

0 1 2 3 4 5

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

1 2 3 4

b

x ₀

b

b bb bb bb bb bb b b

b b

Avec un pas de 0.5

(19)

Les méthodes

- p. 7/40

Exemple

0 1 2 3 4 5

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

1 2 3 4

b

x ₀

b

b bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb b b

b b

Avec un pas de 0.3

(20)

Les méthodes

- p. 7/40

Exemple

0 1 2 3 4 5

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

1 2 3 4

b

x ₀

Avec un pas de 0.1

(21)

Les méthodes

- p. 7/40

Exemple

0 1 2 3 4 5

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

1 2 3 4

b

x ₀

Avec un pas de 0.05

(22)

Les méthodes

- p. 8/40

Approximation

Dans cet algorithme, on fait deux approximations :

(23)

Les méthodes

- p. 8/40

Approximation

Dans cet algorithme, on fait deux approximations :

On approche z par son développement limité à l’ordre 1 z(x _k+1 ) = z (x k + h)

≃ z (x k ) + h × z ^′ (x k )

(24)

Les méthodes

- p. 8/40

Approximation

Dans cet algorithme, on fait deux approximations :

On approche z par son développement limité à l’ordre 1 z(x _k+1 ) = z (x k + h)

≃ z (x k ) + h × z ^′ (x k )

De plus comme on ne connaît pas z ^′ (x _k ), on fait une deuxième approximation

z ^′ (x k ) = f (x k , z (x k ))

≃ f (x k , y _k )

(25)

Les méthodes

- p. 8/40

Approximation

Dans cet algorithme, on fait deux approximations :

On approche z par son développement limité à l’ordre 1 z(x _k+1 ) = z (x k + h)

≃ z (x k ) + h × z ^′ (x k )

De plus comme on ne connaît pas z ^′ (x _k ), on fait une deuxième approximation

z ^′ (x k ) = f (x k , z (x k ))

≃ f (x k , y _k )

Cette approximation est permise car f (x, y) est lip-

schitzienne par rapport à y et indépendamment de

x

(26)

Les méthodes

- p. 8/40

Approximation

Dans cet algorithme, on fait deux approximations :

On approche z par son développement limité à l’ordre 1 z(x _k+1 ) = z (x k + h)

≃ z (x k ) + h × z ^′ (x k )

De plus comme on ne connaît pas z ^′ (x _k ), on fait une deuxième approximation

z ^′ (x k ) = f (x k , z (x k ))

≃ f (x k , y _k )

Cette approximation est permise car f (x, y) est lip-

schitzienne par rapport à y et indépendamment de

Ces deux approximations sont-elles toujours valides ? x

(27)

Les méthodes

- p. 9/40

Exemple

0 1 2 3 4 5

0 1 2 3 4

b

x ₀

b b

L’équation :

( z (1) = 1

z ^′ (x) = ¹ ₂ ⁻ ^√ ^30x _x + 15z(x) a pour solution :

z (x) = √

x

(28)

Les méthodes

- p. 9/40

Exemple

0 1 2 3 4 5

0 1 2 3 4

b

x ₀

b b bb

L’équation :

( z (1) = 1

z ^′ (x) = ¹ ₂ ⁻ ^√ ^30x _x + 15z(x) a pour solution :

z (x) = √

x

(29)

Les méthodes

- p. 9/40

Exemple

0 1 2 3 4 5

0 1 2 3 4

b

x ₀

b b bb bb

L’équation :

( z (1) = 1

z ^′ (x) = ¹ ₂ ⁻ ^√ ^30x _x + 15z(x) a pour solution :

z (x) = √

x

(30)

Les méthodes

- p. 9/40

Exemple

0 1 2 3 4 5

0 1 2 3 4

b

x ₀

b b bb bb

b b

L’équation :

( z (1) = 1

z ^′ (x) = ¹ ₂ ⁻ ^√ ^30x _x + 15z(x) a pour solution :

z (x) = √

x

(31)

Les méthodes

- p. 9/40

Exemple

0 1 2 3 4 5

0 1 2 3 4

b

x ₀

b b bb bb

b b

b

L’équation :

( z (1) = 1

z ^′ (x) = ¹ ₂ ⁻ ^√ ^30x _x + 15z(x) a pour solution :

z (x) = √

x

(32)

Les méthodes

- p. 9/40

Exemple

0 1 2 3 4 5

0 1 2 3 4

b

x ₀

b b bb bb

b b

L’équation :

( z (1) = 1

z ^′ (x) = ¹ ₂ ⁻ ^√ ^30x _x + 15z(x) a pour solution :

z (x) = √

x

(33)

Les méthodes

- p. 10/40

Pourquoi ?

En utilisant l’algorithme, on calcule la suite :



 

 

x ₀ = 1 y ₀ = 1

y _k ₊₁ = y _k + h ×

1 − 30x ^k 2 √

x k + 15y k

(34)

Les méthodes

- p. 10/40

Pourquoi ?

En utilisant l’algorithme, on calcule la suite :



 

 

x ₀ = 1 y ₀ = 1

y _k ₊₁ = y _k + h ×

1 − 30x ^k 2 √

x k + 15y k

Cela signifie qu’on approche z ^′ (x k ) par la valeur 1 − 30x k

2 √ x _k + 15y k = 1

2 √ x _k + 15(y k − √ x _k )

Idéalement, y _k = √ x _k , la valeur précédante se simplifie et donne z ^′ (x k ) = ₂ ^√ ¹ _x _k dont la solution est bien √

x.

(35)

Les méthodes

- p. 10/40

Pourquoi ?

En utilisant l’algorithme, on calcule la suite :



 

 

x ₀ = 1 y ₀ = 1

y _k ₊₁ = y _k + h ×

1 − 30x ^k 2 √

x k + 15y k

Cela signifie qu’on approche z ^′ (x k ) par la valeur 1 − 30x k

2 √ x _k + 15y k = 1

2 √ x _k + 15(y k − √ x _k )

Idéalement, y _k = √ x _k , la valeur précédante se simplifie et donne z ^′ (x k ) = ₂ ^√ ¹ _x _k dont la solution est bien √

x.

Malheureusement, comme y ₁ n’est qu’une approximation de √ x ₁ , cette petite erreur fait dévier la suite vers une autre solution de la forme z (x) = √

x + λe ^15x

(36)

Les méthodes

- p. 11/40

Amélioration

On peut tenter d’améliorer la méthode en améliorant

l’approximation de z (x n + h) = z (x n +1 ). Par exemple, au lieu d’utiliser

z (x _k+1 ) ≃ z (x _k ) + h × z ^′ (x _k )

(37)

Les méthodes

- p. 11/40

Amélioration

On peut tenter d’améliorer la méthode en améliorant

l’approximation de z (x n + h) = z (x n +1 ). Par exemple, au lieu d’utiliser

z (x _k+1 ) ≃ z (x _k ) + h × z ^′ (x _k ) on peut utiliser l’approximation au point milieu :

z (x _k+1 ) ≃ z(x _k ) + h × z ^′ (x _k + h

2 )

qui est exacte si z est un polynôme de degré 2.

(38)

Les méthodes

- p. 11/40

Amélioration

On peut tenter d’améliorer la méthode en améliorant

l’approximation de z (x n + h) = z (x n +1 ). Par exemple, au lieu d’utiliser

z (x _k+1 ) ≃ z (x _k ) + h × z ^′ (x _k ) on peut utiliser l’approximation au point milieu :

z (x _k+1 ) ≃ z(x _k ) + h × z ^′ (x _k + h 2 ) qui est exacte si z est un polynôme de degré 2.

Pour calculer z ^′ (x k + ^h ₂ ) on utilise la méthode précédente : z ^′ (x _k + h

2 ) ≃ f (x _k + h

2 , y _k + h

2 f (x _k , y _k ))

(39)

Introduction

Convergence

Conditions de convergence Définitions

Théorème Preuve

Preuve du théorème - I Preuve du théorème - II Preuve du théorème - III Ordre d’une méthode Les méthodes

Méthodes d’intégration à pas séparés - p. 12/40

Méthodes d’intégration à pas séparés

(40)

Introduction

Convergence

Théorème Preuve

- p. 13/40

Méthodes d’intégration à pas séparés

De manière générale, on considère la double suite :



 

 

x ₀ , y ₀ donnés

x _k ₊₁ = x _k + h

y _k ₊₁ = y _k + h × ϕ(x k , y _k , h)

Les méthodes utilisant des suites de cette forme sont appelées

méthodes d’intégration à pas séparés

(41)

Introduction

Convergence

Théorème Preuve

- p. 13/40

Méthodes d’intégration à pas séparés

De manière générale, on considère la double suite :



 

 

x ₀ , y ₀ donnés

x _k ₊₁ = x _k + h

y _k ₊₁ = y _k + h × ϕ(x k , y _k , h)

Les méthodes utilisant des suites de cette forme sont appelées méthodes d’intégration à pas séparés

Dans quel cas cela va-t-il fonctionner ?

(42)

Introduction

Convergence

Théorème Preuve

- p. 13/40

Méthodes d’intégration à pas séparés

De manière générale, on considère la double suite :



 

 

x ₀ , y ₀ donnés

x _k ₊₁ = x _k + h

y _k ₊₁ = y _k + h × ϕ(x k , y _k , h)

Les méthodes utilisant des suites de cette forme sont appelées méthodes d’intégration à pas séparés

Dans quel cas cela va-t-il fonctionner ?

Qu’est-ce qu’on appelle fonctionner ?

(43)

Introduction

Convergence

Théorème Preuve

- p. 13/40

Méthodes d’intégration à pas séparés

De manière générale, on considère la double suite :



 

 

x ₀ , y ₀ donnés

x _k ₊₁ = x _k + h

y _k ₊₁ = y _k + h × ϕ(x k , y _k , h)

Les méthodes utilisant des suites de cette forme sont appelées méthodes d’intégration à pas séparés

Dans quel cas cela va-t-il fonctionner ? Qu’est-ce qu’on appelle fonctionner ?

! Dans cette suite le terme x _k a pour expression x _k = x ₀ + kh

On ne considère dans la suite que les valeurs de k

telles que x _k ∈ [a, b]

(44)

Introduction

Convergence

Théorème Preuve

- p. 14/40

Convergence

Définition Une méthode d’intégration à pas séparés définie par : y _k+1 = y _k + hϕ(x k , y _k , h)

est dite convergente pour l’équation

z ^′ (x) = f (x, z(x)) x ∈ [a, b]

avec la condition z (x ₀ ) = y ₀ , x ₀ ∈ [a, b] et vérifiant les conditions du théorème de C ^AUCHY -L ^IPSCHITZ si

h lim → 0 max

k t.q. x k ∈ [a,b] | y _k − z(x k ) | = 0

où z (x) est l’unique solution

(45)

Introduction

Convergence

Théorème Preuve

- p. 15/40

Conditions de convergence

(46)

Introduction

Convergence

Théorème Preuve

- p. 15/40

Conditions de convergence

Pour que cela fonctionne il faut que l’itération utilisée ait un sens et

que la solution obtenue tende vers z si h tend vers 0.

(47)

Introduction

Convergence

Théorème Preuve

- p. 15/40

Conditions de convergence

Pour que cela fonctionne il faut que l’itération utilisée ait un sens et que la solution obtenue tende vers z si h tend vers 0.

l’équation z ^′ (x) = ϕ(x, z(x), h) doit avoir une solution donc

∃ L tel que ∀ (x, y, z, h) ∈ [a, b] × IR ³

| ϕ(x, y, h) − ϕ(x, z, h) | ≤ L | y − z |

(48)

Introduction

Convergence

Théorème Preuve

- p. 15/40

Conditions de convergence

Pour que cela fonctionne il faut que l’itération utilisée ait un sens et que la solution obtenue tende vers z si h tend vers 0.

l’équation z ^′ (x) = ϕ(x, z(x), h) doit avoir une solution donc

∃ L tel que ∀ (x, y, z, h) ∈ [a, b] × IR ³

| ϕ(x, y, h) − ϕ(x, z, h) | ≤ L | y − z |

La solution précédente doit tendre vers z si h → 0 donc il faut

que :

(49)

Introduction

Convergence

Théorème Preuve

- p. 15/40

Conditions de convergence

Pour que cela fonctionne il faut que l’itération utilisée ait un sens et que la solution obtenue tende vers z si h tend vers 0.

l’équation z ^′ (x) = ϕ(x, z(x), h) doit avoir une solution donc

∃ L tel que ∀ (x, y, z, h) ∈ [a, b] × IR ³

| ϕ(x, y, h) − ϕ(x, z, h) | ≤ L | y − z |

La solution précédente doit tendre vers z si h → 0 donc il faut que :

∀ (x, y) ∈ [a, b] × IR,

ϕ(x, y, 0) = f (x, y)

(50)

Introduction

Convergence

Théorème Preuve

- p. 15/40

Conditions de convergence

Pour que cela fonctionne il faut que l’itération utilisée ait un sens et que la solution obtenue tende vers z si h tend vers 0.

l’équation z ^′ (x) = ϕ(x, z(x), h) doit avoir une solution donc

∃ L tel que ∀ (x, y, z, h) ∈ [a, b] × IR ³

| ϕ(x, y, h) − ϕ(x, z, h) | ≤ L | y − z |

La solution précédente doit tendre vers z si h → 0 donc il faut que :

∀ (x, y) ∈ [a, b] × IR,

ϕ(x, y, 0) = f (x, y)

ϕ(x, y, h) soit continue par rapport à (x, y, h)

(51)

Introduction

Convergence

Théorème Preuve

- p. 16/40

Définitions

Définition (Consistance) Une méthode d’intégration à pas séparés définie par :

y _k+1 = y _k + hϕ(x _k , y _k , h)

est dite consistante pour l’équation z ^′ (x) = f (x, z (x)) x ∈ [a, b]

si ϕ est continue par rapport à (x, y, h) et si

∀ (x, y) ∈ [a, b] × IR ϕ(x, y, 0) = f (x, y)

(52)

Introduction

Convergence

Théorème Preuve

- p. 16/40

Définitions

Définition (Consistance) Une méthode d’intégration à pas séparés définie par :

y _k+1 = y _k + hϕ(x _k , y _k , h)

est dite consistante pour l’équation z ^′ (x) = f (x, z (x)) x ∈ [a, b]

si ϕ est continue par rapport à (x, y, h) et si

∀ (x, y) ∈ [a, b] × IR ϕ(x, y, 0) = f (x, y)

Définition (Stabilité) Une méthode d’intégration à pas séparés définie par :

y _k+1 = y _k + hϕ(x k , y _k , h)

est dite stable pour l’équation z ^′ (x) = f (x, z (x)) avec x ∈ [a, b]

si ∀ H , ∃ L tel que ∀ (x, y, z, h) ∈ [a, b] × IR ² × [0, H ]

| ϕ(x, y, h) − ϕ(x, z, h) | ≤ L | y − z |

(53)

Introduction

Convergence

Théorème Preuve

- p. 17/40

Théorème

Une méthode d’intégration à pas séparés qui est consistante et

stable est convergente.

(54)

Introduction

Convergence

Théorème Preuve

- p. 18/40

Preuve

Lemme Soit (u n ) n ∈ IN une suite de réels positifs et soient (A, B, h, r) quatre réels strictement positifs tels que :

∀ n, u _n ≤ (1 + Ah)u _n ₋ ₁ + Bh ^r ⁺¹ Alors

∀ n, u _n ≤ (1 + Ah) ⁿ u ₀ + B ((1 + Ah) ⁿ − 1)

A h ^r

(55)

Introduction

Convergence

Théorème Preuve

- p. 18/40

Preuve

Lemme Soit (u n ) n ∈ IN une suite de réels positifs et soient (A, B, h, r) quatre réels strictement positifs tels que :

∀ n, u _n ≤ (1 + Ah)u _n ₋ ₁ + Bh ^r ⁺¹ Alors

∀ n, u _n ≤ (1 + Ah) ⁿ u ₀ + B ((1 + Ah) ⁿ − 1)

A h ^r

La preuve se fait par récurrence sur n. Le lemme est vrai pour

n = 0, de plus

(56)

Introduction

Convergence

Théorème Preuve

- p. 18/40

Preuve

Lemme Soit (u n ) n ∈ IN une suite de réels positifs et soient (A, B, h, r) quatre réels strictement positifs tels que :

∀ n, u _n ≤ (1 + Ah)u _n ₋ ₁ + Bh ^r ⁺¹ Alors

∀ n, u _n ≤ (1 + Ah) ⁿ u ₀ + B ((1 + Ah) ⁿ − 1)

A h ^r

La preuve se fait par récurrence sur n. Le lemme est vrai pour n = 0, de plus

u _n+1 ≤ (1 + Ah)u n + Bh ^r+1

(57)

Introduction

Convergence

Théorème Preuve

- p. 18/40

Preuve

Lemme Soit (u n ) n ∈ IN une suite de réels positifs et soient (A, B, h, r) quatre réels strictement positifs tels que :

∀ n, u _n ≤ (1 + Ah)u _n ₋ ₁ + Bh ^r ⁺¹ Alors

∀ n, u _n ≤ (1 + Ah) ⁿ u ₀ + B ((1 + Ah) ⁿ − 1)

A h ^r

La preuve se fait par récurrence sur n. Le lemme est vrai pour n = 0, de plus

u _n+1 ≤ (1 + Ah)u n + Bh ^r+1

≤ (1 + Ah) ⁿ⁺¹ u ₀ + ^B ( ⁽¹⁺ ^Ah ⁾ ⁿ ⁺¹ ⁻ ¹ ⁻ ^Ah )

A h ^r

(58)

Introduction

Convergence

Théorème Preuve

- p. 18/40

Preuve

Lemme Soit (u n ) n ∈ IN une suite de réels positifs et soient (A, B, h, r) quatre réels strictement positifs tels que :

∀ n, u _n ≤ (1 + Ah)u _n ₋ ₁ + Bh ^r ⁺¹ Alors

∀ n, u _n ≤ (1 + Ah) ⁿ u ₀ + B ((1 + Ah) ⁿ − 1)

A h ^r

La preuve se fait par récurrence sur n. Le lemme est vrai pour n = 0, de plus

u _n+1 ≤ (1 + Ah)u n + Bh ^r+1

≤ (1 + Ah) ⁿ⁺¹ u ₀ + ^B ( ⁽¹⁺ ^Ah ⁾ ⁿ ⁺¹ ⁻ ¹ ⁻ ^Ah )

A h ^r + B ^Ah _A h ^r

(59)

Introduction

Convergence

Théorème Preuve

- p. 18/40

Preuve

Lemme Soit (u n ) n ∈ IN une suite de réels positifs et soient (A, B, h, r) quatre réels strictement positifs tels que :

∀ n, u _n ≤ (1 + Ah)u _n ₋ ₁ + Bh ^r ⁺¹ Alors

∀ n, u _n ≤ (1 + Ah) ⁿ u ₀ + B ((1 + Ah) ⁿ − 1)

A h ^r

La preuve se fait par récurrence sur n. Le lemme est vrai pour n = 0, de plus

u _n+1 ≤ (1 + Ah)u n + Bh ^r+1

≤ (1 + Ah) ⁿ⁺¹ u ₀ + ^B ( ⁽¹⁺ ^Ah ⁾ ⁿ ⁺¹ ⁻ ¹ ⁻ ^Ah )

A h ^r + B ^Ah _A h ^r

≤ (1 + Ah) ⁿ⁺¹ u ₀ + B (1 + Ah) ⁿ⁺¹ − 1

A h ^r

(60)

- p. 19/40

Preuve du théorème - I

Pour utiliser le lemme, on majore | y _k+1 − z (x _k+1 ) | en fonction de | y _k − z (x k ) |

(61)

- p. 19/40

Preuve du théorème - I

Pour utiliser le lemme, on majore | y _k+1 − z (x _k+1 ) | en fonction de | y _k − z (x k ) |

| y _k+1 − z (x _k+1 ) | = | y _k + hϕ(x _k , y _k , h) − z (x _k+1 ) |

(62)

- p. 19/40

Preuve du théorème - I

Pour utiliser le lemme, on majore | y _k+1 − z (x _k+1 ) | en fonction de | y _k − z (x k ) |

| y _k+1 − z (x _k+1 ) | = | y _k + hϕ(x _k , y _k , h) − z (x _k+1 ) |

≤ | y _k − z (x _k ) | + | z (x _k+1 ) − z (x _k ) + hf (x _k , z (x _k )) | + h | f (x _k , z (x _k )) − ϕ(x _k , z(x _k ), h) |

+ h | ϕ(x _k , z (x _k ), h) − ϕ(x _k , y _k , h) |

(63)

- p. 19/40

Preuve du théorème - I

Pour utiliser le lemme, on majore | y _k+1 − z (x _k+1 ) | en fonction de | y _k − z (x k ) |

| y _k+1 − z (x _k+1 ) | = | y _k + hϕ(x _k , y _k , h) − z (x _k+1 ) |

≤ | y _k − z (x _k ) | + | z (x _k+1 ) − z (x _k ) + hf (x _k , z (x _k )) | + h | f (x _k , z (x _k )) − ϕ(x _k , z(x _k ), h) |

+ h | ϕ(x _k , z (x _k ), h) − ϕ(x _k , y _k , h) |

Comme z est dérivable et f est continue,

(64)

- p. 19/40

Preuve du théorème - I

Pour utiliser le lemme, on majore | y _k+1 − z (x _k+1 ) | en fonction de | y _k − z (x k ) |

| y _k+1 − z (x _k+1 ) | = | y _k + hϕ(x _k , y _k , h) − z (x _k+1 ) |

≤ | y _k − z (x _k ) | + | z (x _k+1 ) − z (x _k ) + hf (x _k , z (x _k )) | + h | f (x _k , z (x _k )) − ϕ(x _k , z(x _k ), h) |

+ h | ϕ(x _k , z (x _k ), h) − ϕ(x _k , y _k , h) | Comme z est dérivable et f est continue,

∀ ε, ∃ α > 0 tel que :

∀ x ∈ [x ₀ , b], ∀ h ∈ [0, α] | z (x _k+1 ) − z (x _k ) + hf (x _k , z (x _k )) | ≤ hε

(65)

- p. 19/40

Preuve du théorème - I

Pour utiliser le lemme, on majore | y _k+1 − z (x _k+1 ) | en fonction de | y _k − z (x k ) |

| y _k+1 − z (x _k+1 ) | = | y _k + hϕ(x _k , y _k , h) − z (x _k+1 ) |

≤ | y _k − z (x _k ) | + | z (x _k+1 ) − z (x _k ) + hf (x _k , z (x _k )) | + h | f (x _k , z (x _k )) − ϕ(x _k , z(x _k ), h) |

+ h | ϕ(x _k , z (x _k ), h) − ϕ(x _k , y _k , h) | Comme z est dérivable et f est continue,

∀ ε, ∃ α > 0 tel que :

∀ x ∈ [x ₀ , b], ∀ h ∈ [0, α] | z (x _k+1 ) − z (x _k ) + hf (x _k , z (x _k )) | ≤ hε

Comme f et ϕ sont continues et que ϕ(x, y, 0) = f (x, y) (hyp. de consistance)

(66)

- p. 19/40

Preuve du théorème - I

Pour utiliser le lemme, on majore | y _k+1 − z (x _k+1 ) | en fonction de | y _k − z (x k ) |

| y _k+1 − z (x _k+1 ) | = | y _k + hϕ(x _k , y _k , h) − z (x _k+1 ) |

≤ | y _k − z (x _k ) | + | z (x _k+1 ) − z (x _k ) + hf (x _k , z (x _k )) | + h | f (x _k , z (x _k )) − ϕ(x _k , z(x _k ), h) |

+ h | ϕ(x _k , z (x _k ), h) − ϕ(x _k , y _k , h) | Comme z est dérivable et f est continue,

∀ ε, ∃ α > 0 tel que :

∀ x ∈ [x ₀ , b], ∀ h ∈ [0, α] | z (x _k+1 ) − z (x _k ) + hf (x _k , z (x _k )) | ≤ hε

Comme f et ϕ sont continues et que ϕ(x, y, 0) = f (x, y) (hyp. de consistance)

∀ ε, ∃ β > 0 tel que :

∀ x ∈ [x ₀ , b], ∀ h ∈ [0, β ] | f (x k , z(x k )) − ϕ(x k , z (x k ), h) | ≤ ε

(67)

- p. 20/40

Preuve du théorème - II

Il nous faut encore majorer le terme h | ϕ(x k , z(x k ), h) − ϕ(x k , y _k , h) |

(68)

- p. 20/40

Preuve du théorème - II

Il nous faut encore majorer le terme h | ϕ(x k , z(x k ), h) − ϕ(x k , y _k , h) | L’hypothèse de stabilité nous dit que :

∃ A > 0 tel que

∀ (x, y, z, h) ∈ [x ₀ , b] × IR ² × [0, 1] | ϕ(x, y, h) − ϕ(x, z, h) | ≤ A | y − z | d’où

h | ϕ(x k , z (x k ), h) − ϕ(x k , y _k , h) | ≤ Ah | y _k − z (x k ) |

(69)

- p. 20/40

Preuve du théorème - II

Il nous faut encore majorer le terme h | ϕ(x k , z(x k ), h) − ϕ(x k , y _k , h) | L’hypothèse de stabilité nous dit que :

∃ A > 0 tel que

∀ (x, y, z, h) ∈ [x ₀ , b] × IR ² × [0, 1] | ϕ(x, y, h) − ϕ(x, z, h) | ≤ A | y − z | d’où

h | ϕ(x k , z (x k ), h) − ϕ(x k , y _k , h) | ≤ Ah | y _k − z (x k ) | Donc en prenant γ = min(α, β, 1), on obtient :

∀ ε, ∃ γ > 0 tel que ∀ h ≤ γ :

| y _k ₊₁ − z (x k +1 ) | ≤ (1 + Ah) | y _k − z (x k ) | + 2εh

(70)

- p. 20/40

Preuve du théorème - II

Il nous faut encore majorer le terme h | ϕ(x k , z(x k ), h) − ϕ(x k , y _k , h) | L’hypothèse de stabilité nous dit que :

∃ A > 0 tel que

∀ (x, y, z, h) ∈ [x ₀ , b] × IR ² × [0, 1] | ϕ(x, y, h) − ϕ(x, z, h) | ≤ A | y − z | d’où

h | ϕ(x k , z (x k ), h) − ϕ(x k , y _k , h) | ≤ Ah | y _k − z (x k ) | Donc en prenant γ = min(α, β, 1), on obtient :

∀ ε, ∃ γ > 0 tel que ∀ h ≤ γ :

| y _k ₊₁ − z (x k +1 ) | ≤ (1 + Ah) | y _k − z (x k ) | + 2εh En utilisant le lemme | y _k+1 − z (x _k+1 ) | ≤ 2ε (1 + Ah) ^k+1 − 1

A

(71)

- p. 21/40

Preuve du théorème - III

(1 + Ah) ^k ⁺¹

(72)

- p. 21/40

Preuve du théorème - III

(1 + Ah) ^k ⁺¹ dépend de k mais il peut être majoré si h ≤ 1

(1 + Ah) ^k+1 − 1

≤ e ^Ah ⁽ ^k ⁺¹⁾ − 1

(73)

- p. 21/40

Preuve du théorème - III

(1 + Ah) ^k ⁺¹ dépend de k mais il peut être majoré si h ≤ 1

(1 + Ah) ^k+1 − 1

≤ e ^Ah ⁽ ^k ⁺¹⁾ − 1 ≤ e ^A(b ⁻ ^x ⁰ ⁺¹⁾ − 1

(74)

- p. 21/40

Preuve du théorème - III

(1 + Ah) ^k ⁺¹ dépend de k mais il peut être majoré si h ≤ 1

(1 + Ah) ^k+1 − 1

≤ e ^Ah ⁽ ^k ⁺¹⁾ − 1 ≤ e ^A(b ⁻ ^x ⁰ ⁺¹⁾ − 1 Finalement, si on pose M = 2

A

e ^A(b ⁻ ^x ⁰ ⁺¹⁾ − 1

∀ ε > 0, ∃ γ > 0 tel que :

∀ h ∈ [0, γ ], max

k t.q. x ₀ + kh ∈ [ a,b ] | y _k − z (x _k ) | ≤ M ε

(75)

- p. 21/40

Preuve du théorème - III

(1 + Ah) ^k ⁺¹ dépend de k mais il peut être majoré si h ≤ 1

(1 + Ah) ^k+1 − 1

≤ e ^Ah ⁽ ^k ⁺¹⁾ − 1 ≤ e ^A(b ⁻ ^x ⁰ ⁺¹⁾ − 1 Finalement, si on pose M = 2

A

e ^A(b ⁻ ^x ⁰ ⁺¹⁾ − 1

∀ ε > 0, ∃ γ > 0 tel que :

∀ h ∈ [0, γ ], max

k t.q. x ₀ + kh ∈ [ a,b ] | y _k − z (x _k ) | ≤ M ε

C.Q.F.D.

(76)

Introduction

Convergence

Théorème Preuve

Preuve du théorème - I Preuve du théorème - II Preuve du théorème - III Ordre d’une méthode

Les méthodes

- p. 22/40

Ordre d’une méthode

Pourquoi généraliser ?

(77)

Introduction

Convergence

Théorème Preuve

Les méthodes

- p. 22/40

Ordre d’une méthode

Pourquoi généraliser ?

La preuve convient pour la première méthode proposée

ϕ(x, y, h) = f (x, y)

(78)

Introduction

Convergence

Théorème Preuve

Les méthodes

- p. 22/40

Ordre d’une méthode

Pourquoi généraliser ?

La preuve convient pour la première méthode proposée ϕ(x, y, h) = f (x, y)

ϕ peut être construit de manière à minimiser le terme d’erreur :

| z (x _k+1 ) − z (x k ) − hϕ(x k , z(x k ), h) |

(79)

Introduction

Convergence

Théorème Preuve

Les méthodes

- p. 22/40

Ordre d’une méthode

Pourquoi généraliser ?

La preuve convient pour la première méthode proposée ϕ(x, y, h) = f (x, y)

ϕ peut être construit de manière à minimiser le terme d’erreur :

| z (x _k+1 ) − z (x k ) − hϕ(x k , z(x k ), h) |

Définition Une méthode d’intégration à pas séparés caractérisée par ϕ est d’ordre r si il existe une constante L indépendante de h telle que :

k t.q. x k =x max 0 +kh ∈ [a,b]

z(x _k+1 ) − z(x k )

h − ϕ(x k , y _k , h)

≤ Lh ^r

(80)

Introduction

Convergence

Théorème Preuve

Les méthodes

- p. 22/40

Ordre d’une méthode

Pourquoi généraliser ?

La preuve convient pour la première méthode proposée ϕ(x, y, h) = f (x, y)

ϕ peut être construit de manière à minimiser le terme d’erreur :

| z (x _k+1 ) − z (x k ) − hϕ(x k , z(x k ), h) |

Définition Une méthode d’intégration à pas séparés caractérisée par ϕ est d’ordre r si il existe une constante L indépendante de h telle que :

k t.q. x k =x max 0 +kh ∈ [a,b]

z(x _k+1 ) − z(x k )

h − ϕ(x k , y _k , h)

≤ Lh ^r Alors, si une méthode est d’ordre r alors il existe une constante K indépendante de h telle que :

kt.q.x max k ∈ [a,b] | y _k − z (x k ) | ≤ Kh ^r

La preuve est la même que la précédente.

(81)

Introduction

Les méthodes Méthode d’EULER

Ordre de la méthode Exemple

Méthode de HEUN

Ordre de la méthode Ordre de convergence (suite) Ordre de convergence (fin) Exemple

Les méthodes - p. 23/40

Les méthodes

(82)

Introduction

Méthode de HEUN

- p. 24/40

Méthode d’E ^ULER

C’est la méthode la plus simple :

ϕ(x, y, h) = f (x, y)

(83)

Introduction

Méthode de HEUN

- p. 24/40

Méthode d’E ^ULER

C’est la méthode la plus simple :

ϕ(x, y, h) = f (x, y) Par définition la méthode est

Consistante

(84)

Introduction

Méthode de HEUN

- p. 24/40

Méthode d’E ^ULER

C’est la méthode la plus simple :

ϕ(x, y, h) = f (x, y) Par définition la méthode est

Consistante

ϕ est continue car f est continue, ϕ(x, y, 0) = f (x, y)

Stable

(85)

Introduction

Méthode de HEUN

- p. 24/40

Méthode d’E ^ULER

C’est la méthode la plus simple :

ϕ(x, y, h) = f (x, y) Par définition la méthode est

Consistante

ϕ est continue car f est continue, ϕ(x, y, 0) = f (x, y)

Stable

car f est lipschitzienne.

(86)

Introduction

Méthode de HEUN

- p. 24/40

Méthode d’E ^ULER

C’est la méthode la plus simple :

ϕ(x, y, h) = f (x, y) Par définition la méthode est

Consistante

ϕ est continue car f est continue, ϕ(x, y, 0) = f (x, y)

Stable

car f est lipschitzienne.

⇒ La méthode est convergente

(87)

- p. 25/40

Ordre de la méthode

Si f est C ¹ , la méthode est d’ordre

(88)

- p. 25/40

Ordre de la méthode

Si f est C ¹ , la méthode est d’ordre 1

(89)

- p. 25/40

Ordre de la méthode

Si f est C ¹ , la méthode est d’ordre 1

En effet, si f est C ¹ la solution z est C ²

(90)

Introduction - p. 2/40

- p. 1/40

Résolution d’équations différentielles

Polytech’Paris-UPMC

Introduction - p. 2/40

Introduction

- p. 3/40

Le problème

Soit un intervalle [a, b], a < b.

Soit une fonction définie et continue f : [a, b] × IR → IR.

Soient x 0 ∈ [a, b] et y 0 ∈ IR.

On cherche une fonction z : [a, b] → IR continue et dérivable telle que :

( z ′ (x) = f (x, z(x)), ∀ x ∈ [a, b]

z(x 0 ) = y 0

Ce problème est appelé problème de C AUCHY .

La condition z (x 0 ) = y 0 est appelée condition de C AUCHY

- p. 4/40

Existence de la solution

Définition (Fonctions lipschitziennes) Une fonction f : [a, b] × IR → IR

x, y 7→ f (x, y)

est dite lipschitzienne indépendamment de x et par rapport à y si

∃ L ∈ IR + tel que :

∀ (x, y, z ) ∈ [a, b] × IR 2 | f (x, y) − f (x, z) | ≤ L | y − z |

- p. 4/40

Existence de la solution

Définition (Fonctions lipschitziennes) Une fonction f : [a, b] × IR → IR

x, y 7→ f (x, y)

est dite lipschitzienne indépendamment de x et par rapport à y si

∃ L ∈ IR + tel que :

∀ (x, y, z ) ∈ [a, b] × IR 2 | f (x, y) − f (x, z) | ≤ L | y − z | Théorème (C AUCHY -L IPSCHITZ )

Si f (x, y) est continue sur [a, b] × IR et lipschitzienne

indépendamment de x par rapport à y et si (x 0 , y 0 ) ∈ [a, b] × IR alors l’équation :

( z ′ (x) = f (x, z(x)), ∀ x ∈ [a, b]

z (x 0 ) = y 0

admet une solution unique sur [a, b]

- p. 5/40

Exemple

0 1 2 3 4 5

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

1 2 3 4

( z ′ (x) = 0.1 × x × z(x), ∀ x ∈ [a, b]

z (0) = 1

- p. 5/40

Exemple

0 1 2 3 4 5

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

1 2 3 4

( z ′ (x) = 0.1 × x × z(x), ∀ x ∈ [a, b]

z (0) = 1

- p. 5/40

Exemple

0 1 2 3 4 5

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

1 2 3 4

x 0

( z ′ (x) = 0.1 × x × z(x), ∀ x ∈ [a, b]

z (0) = 1

- p. 5/40

Exemple

0 1 2 3 4 5

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

1 2 3 4

x 0

( z ′ (x) = 0.1 × x × z(x), ∀ x ∈ [a, b]

Soient x ₀ ∈ [a, b] et y ₀ ∈ IR.

( z ^′ (x) = f (x, z(x)), ∀ x ∈ [a, b]

z(x ₀ ) = y ₀

La condition z (x ₀ ) = y ₀ est appelée condition de C ^AUCHY

∃ L ∈ IR ⁺ tel que :

∀ (x, y, z ) ∈ [a, b] × IR ² | f (x, y) − f (x, z) | ≤ L | y − z |

∃ L ∈ IR ⁺ tel que :

∀ (x, y, z ) ∈ [a, b] × IR ² | f (x, y) − f (x, z) | ≤ L | y − z | Théorème (C ^AUCHY -L ^IPSCHITZ )

indépendamment de x par rapport à y et si (x ₀ , y ₀ ) ∈ [a, b] × IR alors l’équation :

( z ^′ (x) = f (x, z(x)), ∀ x ∈ [a, b]

z (x ₀ ) = y ₀

( z ^′ (x) = 0.1 × x × z(x), ∀ x ∈ [a, b]

( z ^′ (x) = 0.1 × x × z(x), ∀ x ∈ [a, b]

x ₀

( z ^′ (x) = 0.1 × x × z(x), ∀ x ∈ [a, b]

x ₀

( z ^′ (x) = 0.1 × x × z(x), ∀ x ∈ [a, b]

x ₀

x ₁

( z ^′ (x) = 0.1 × x × z(x), ∀ x ∈ [a, b]

x ₀

x ₁

x ₂

( z ^′ (x) = 0.1 × x × z(x), ∀ x ∈ [a, b]

x ₀

x ₁

x ₂

x ₃

( z ^′ (x) = 0.1 × x × z(x), ∀ x ∈ [a, b]

x ₀

x ₁

x ₂

x ₃

x ₄

( z ^′ (x) = 0.1 × x × z(x), ∀ x ∈ [a, b]

x ₀

x ₁