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Submitted on 16 Nov 2005

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d’Arakelov

Amaury Thuillier

To cite this version:

Amaury Thuillier. Théorie du potentiel sur les courbes en géométrie analytique non archimédienne.

Applications à la théorie d’Arakelov. Mathématiques [math]. Université Rennes 1, 2005. Français.

�tel-00010990�

présentée

DEVANT L'UNIVERSITÉ DE RENNES 1

pour obtenir le grade de

DOCTEUR DE L'UNIVERSITÉ DE RENNES 1

Mention :Mathématiques et Appliations

par

Amaury THUILLIER

Institut de Reherhe Mathématique de Rennes

Éole Dotorale MATISSE

U.F.R. de Mathématiques

Théorie du potentiel sur les ourbes en géométrie analytique

non arhimédienne.

Appliations à la théorie d'Arakelov.

Soutenue le jeudi 13 otobre 2005 devant la ommission d'Examen

Composition du jury :

M. J.-B. Bost Rapporteur

M. A. Chambert-Loir Direteur de thèse

M. A. Duros Examinateur

M. C. Favre Examinateur

M. L. Moret-Bailly Examinateur

M. R. Rumely Rapporteur

Appliations à la théorie d'Arakelov.

Amaury Thuillier

ourriel :amaury.thuilliermathematik.uni-regensburg.de

Version du 4 otobre 2005

Jedoisàl'enthousiasmeetàlagrandepatiened'AntoineChambert-Loird'êtrenalement

parvenuàaheverettethèse,ommenéeilyaquatreanssurunsujetdiérent.Depuismon

mémoire de D.E.A., rédigé sous sa diretion en 2000, fort nombreuses ont été les oasions

d'apprendredesmathématiquesàsonontatet j'aiessayé,autant quejelepouvais,de pro-

terde ladiversitédesses entres d'intérêts et del'étendue de sesonnaissanes. Également

nombreusesont été pour moi les phases de doute et de déouragement; s'il doitles avoir lui

aussi partagées, il n'en a rien laissé paraître et m'a prodigué ave onstane ses enourage-

ments.Jeluisuisenpartiulierprofondémentreonnaissantdelaonanequ'ilm'aaordée

enaeptant,plusd'unan etdemiaprès ledébut demathèse,quej'orientemontravaildans

une diretion diérente. Je le remerie d'avoir su être toujours disponible, même lors de ses

allersetretourshebdomadairesentreParisetRennes,etluisouhaite,àl'avenir,desdiretions

dethèses moinstortueuses.

J'exprimemaprofondegratitudeàJean-BenoîtBostetRobertRumelypour avoiraepté

de rédigerun rapport surmontravail et pour lesoin ave lequelils se sont aquités deette

tâhe; le présent texte a grandement bénéié de leur leture vigilante et des nombreuses

remarquesqu'ils m'ont faites. Il est par ailleurs évident ette thèse doit son existenemême

àleurs travaux.

Je suis très heureux que les deux rapporteursaient aepté d'assister à masoutenane de

thèse et les remerie de s'être spéialement déplaés; pare que le hemin est long depuis

les États-Unis d'Amérique, j'appréie tout partiulièrement la présene de Robert Rumely.

L'intérêtd'AntoineDurospourlagéométrieanalytiquenonarhimédienneetsaonnaissane

destravauxde Berkovih ont sansdoute inuené montravail au ours destroisannées que

j'ai passées à Rennes. Il y a maintenant plus d'un an que Charles Favre a manifesté de

l'intérêtpourmes reherheset m'aparlédessiennes;ilm'a également faitbénéierdesses

ommentaires une fois ette thèse ahevée. Laurent Moret-Bailly, enn,m'a aueilli lors de

monarrivée à Renneset aontribué,par ses remarques,à améliorere texte. Je lesremerie

vivement d'avoir aepté d'appartenir au jury.

Je tienségalement àexprimermagratitudeà KlausKünnemann : soninvitation àvenir à

Regensburg faire un exposé au mois de mars dernier m'a donné l'impulsion néessaire pour

aborderertainsprolongementsdeetravailet l'oredestagepost-dotoral qu'ilm'aensuite

faitea joué unrle apaisant lorsde l'ahèvement de ettethèse.

Je suis heureux d'avoir appartenu à l'IRMAR pendant les trois dernières années : j'y ai

trouvé d'exellentes onditions de travail et salue en partiulier les membres de l'équipe de

géométrie algébrique, ainsi que toutes les personnes ave qui j'ai ollaboré dans le adre de

monmonitorat; jen'oublie pas, non plus, quej'ai eu lahane de faire mes études dansdes

onditions privilégiéesgrâe àmon passagepar l'ENS Cahan.

L'enthousiasmeet les enouragements, maintes foisrenouvelés, deFrédéri Paugam m'ont

été préieux, en partiulier lors de la réorientation de ma thèse opérée au ours de la pre-

mière année passée à Rennes; 'est aussi par son intermédiaire que j'ai déouvert la ville

et l'université de Regensburg. Il a également été fort agréable de partager un bureau ave

Cette thèse n'existerait enn pas davantage si je n'avais eu le soutien onstant de mes

parents,nipum'appuyer surlesenouragementsmaliieuxdemas÷ur.Jelesremeried'être

venusàRennespourlasoutenaneetveuxégalement saluermesgrands-parents, quiauraient

sansdouteaimé pouvoir yassister.

Introdution

Présentation générale.

Cettethèse a pour objetde montrer qu'il existe, dansleadre de lagéométrie analytique

non arhimédienne, une théorie du potentiel formellement identique à elle lassiquement

développée surles ourbes analytiques omplexes(surfaes de Riemann). Considérées simul-

tanément, les théories du potentiel assoiées aux diérentes valeurs absolues sur

Q

^{ont des}

appliationsà l'arithmétiquedes(

Q

^-)ourbesalgébriques.

Si et avatar non arhimédien de la lassique théorie du potentiel est une émanation na-

turelle de la géométrie analytique, il onvient d'ores et déjà de préiser que les motivations

présidantàetravailsont,initialement,denaturearithmétique.LethéorèmedeFekete-Szeg®,

onernant l'existene d'entiers algébriques dont les plongements omplexes satisfont à er-

taines onditions de nature géométrique, établit un lien entre la théorie du potentiel sur

C

et la théorie des nombres. Comme l'ont observé J.-B. Bost [11℄ et R. Rumely [28℄, e théo-

rème peut s'interpréter dansle adred'une généralisation de lathéoried'Arakelov originelle

faisantintervenir, auxplaes arhimédiennes, desfontionsdeGreen provenant de lathéorie

dupotentiel.

Reprenant enpartie desidées deD.Cantor, R.Rumelyparvint àétablirunevastegénéra-

lisation duthéorèmedeFekete-Szeg® àunadreadélique ([26℄),ladroite aneétant deplus

remplaée parun ouvertane (dense)d'une ourbealgébriquepropre

X

^sur

Q

^{. Iltransposa}

pour efaireplusieurs résultatsde lathéoriedupotentielusuelledansunontextenonarhi-

médien mais les pathologies de l'espae topologique

X(C _p )

^,

C _p

^{désignant la omplétion}

d'unelturealgébriquede

Q _p

^{,sontlasoured'unertainnombre dediultés: l'absenede}

onnexité loale s'oppose à une dénitionloale de lanotion de fontion harmonique tandis

que la théorie de la mesure est rendue plus déliate du fait du défaut de ompaité loale.

La théorie non arhimédienne du potentiel, telle que nous la dérivons dans e travail, uti-

lisel'approhe de lagéométrie analytique non arhimédienne inaugurée par V.G.Berkovih,

laquellefournit, en partiulier, des espaestopologiques loalements ompats et loalement

onnexesparars.Commenousleonstateronsaposteriori,lepointdevueadoptédansette

thèseprolonge et simplie lespremiers travaux deRumely.

Ilpeut êtreutile de rappeler,danslesgrandes lignes,quel fut ledéveloppement historique

delagéométrieanalytiquenonarhimédienne,notretravailétantunsous-produitdupointde

vuenouveau introduitpar V.G.Berkovih. Soit

k

^{un orps ompletpour une valeurabsolue}

non arhimédienne

|.| : k → R _≥0

^{, supposée non triviale.Les premiers fondements d'une géo-}

métrieanalytiquesur

k

^{ont étéétablispar J.Tateauxalentoursde 1960 puisdéveloppéspar}

L.Gerritzen, H.Grauert, R.Kiehl, R. Remmert,et. au ours desannées qui suivirent. Les

espaes analytiques sont obtenus par reollement de pièes loales, dites anoïdes, dérites

en termes d'algèbres de séries formelles onvergentes; toutefois, la nature ultramétrique de

la valeur absolue

|.|

^{rendant la topologie naturelle totalement} disontinue, les proédés de loalisationmis en ÷uvredoivent relever d'une topologie deGrothendiek garantissant su-

samment de rigidité. Cettegéométrie rigide-analytique permet, par exemple,d'assoier à

tout

k

^{-shéma loalement de type ni}

X

^{un espae} (rigide-)analytique

X ^an

^{, dont l'ensemble}

sous-jaent estelui despoints fermés de

X

^{. F}ondamentale maisimpliite durant ette pre- mière phase, l'idée d'A. Grothendiek de onevoir les espaes (rigide-)analytiques omme

bresgénériquesde shémas formels (voir l'introdution de[21℄) aété introduite etélaborée

arhimédienne desourbesalgébriques.Cetterédution delagéométrie (rigide-)analytique à

lagéométrie formellefutdéveloppéesystématiquement parS.Bosh,W.LutkebohmertetM.

Raynaud unedizaine d'années plustard.

V.G. Berkovih introduit un point de vue nouveau dans le livre [3℄ : toute algèbre

k

^-

anoïde

A

^est naturellement une algèbre de fontions sur un espae topologique ompat et loalement onnexe par ars

M(A)

^{(son spetre) et les espaes}

k

-analytiques généraux s'obtiennentparreollement detelsespaes

M(A)

^,essentiellementdelamême façonquel'on obtient un polyèdre en reollant despolytopes. L'espaetopologique sous-jaent à un espae

k

-analytique

X

^{estloalement ompatetloalementonnexeparars;ondisposeégalement}

d'une topologie de Grothendiek sur

X

^{, engendrée par les domaines}

k

^{-anoïdes, et le}

faiseau strutural

O X

^de

X

^{est déni à partir de la} orrespondane

M(A) 7→ A

^{; 'est un}

faiseausurl'espae topologique sous-jaent ainsiquesur lesite deGrothendiek de

X

^.

L'espae

Sp(A)

^{assoié à une algèbre}

k

^{-anoïde du point de vue de Tate est naturelle-}

ment un sous-ensemble de

M(A)

^{sur lequel la topologie induite est totalement disontinue}

et l'on peut toujours dénir labre générique

X η

^d'un

Spf(k ^◦ )

^{-shéma formel}

X

^loalement

de présentation nie. Comme préédemment, à tout

k

^{-shéma loalement de type ni}

X

^est

assoié un espae

k

-analytique

X

^{an au sens de Berkovih et l'on dispose d'une appliation}

ρ : X

^an

→ X

(sous-jaente à un morphisme de sites) telle que la bre de

ρ

^{au-dessus d'un}

point

x

^de

X

^{soit en bijetion ave l'ensemble desvaleursabsoluessur leorps résiduel}

κ(x)

de

x

prolongeant la valeur absolue de

k

^{. Dans la théorie} rigide-analytique antérieure, seuls interviennent les points fermés de

X

^{, pour lequels il existe un unique} prolongement de la valeurabsolue de

k

^à

κ(x)

^.

Onlevoit,l'undesaspetslesplusprégnantsdel'approhedeBerkovihestl'introdution

denombreux pointssupplémentairesdanslesespaesanalytiques.Outrelefaitd'instaurerla

onnexitéloalefaisantdéfautdansleadreinitial,laprésenedeespointspermetdedénir

desstrutures polyédrales dans les bres génériques

X η

^{de ertains}

Spf(k ^◦ )

^{-shémas formels}

X

^{;demanièregénérale,}l'utilisationdesidéesdeBerkovihenrihitfortementlaoneptionde Grothendiek/Raynaud desespaesanalytiques omme bresgénériquesdeshémasformels.

Venons-en à lathéoriedupotentiel surune ourbe (stritement)

k

-analytique lisse

X

^{, vue}

omme unespae loalement annelé

(|X|, O X )

^.

H.Bauer, M. Brelotet J. Doob ont développé une approhe axiomatiquede lathéorie du

potentiel lassique, ayant omme point de départ un espae topologique muni d'un faiseau

H

^{de (germes de) fontionsréelles ontinues qui possède les mêmes propriétés formelles que}

le faiseaudes germes de fontions hamoniquessur

R ⁿ

^{: prinipe du maximum, prinipe de}

Harnak et résolubilité loale du problème de Dirihlet. L'idée initiale de ette thèse était

ainsi d'introduire un faiseau

H X

^{onvenable sur l'espae} topologique

|X|

^{et d'utiliser ette}

approheaxiomatique.

Il est bien onnu qu'une fontion réelle

h

^{sur une surfae de Riemann}

M

^{est harmonique}

siet seulement si elle oïnide loalement ave la partie réelle d'unefontion holomorphe

g

^;

utilisant laformule

Re(g) = log | exp ◦g|

^{, ilest équivalent de demander que}

h

^{soit loalement}

delaforme

Log |f |

^,

f

^{étantunefontionholomorphe}inversible.Cettedénitionsetransporse immédiatement dans un ontexte non arhimédien et il semble raisonnable de onsidérer le

faiseau

F X

^sur

|X|

^{assoiéau préfaiseaufaisant} orrespondreàun ouvert

U ⊂ |X|

^lesous-

espae vetoriel de

C ⁰ (U, R)

^{engendré par les fontions de la forme}

log |f |

^,

f ∈ Γ(U, O ^× _X )

^.

On onstate toutefois rapidement que ette onstrution ne produit pas, en général, assez

de fontions harmoniques le problème de Dirihlet, onernant l'existene d'une fontion

toujoursloalement résoluble; elle esttoutefoisorretelorsque leorpsrésiduel

e k

^de

k

^est

algébriquesurun orpsni(ou si

X

^{estloalement isomorphe àladroite} projetive),omme onle onstaterarétrospetivement au paragraphe 2.3.4.

Une meilleure dénitionreposesur l'utilisation de struturespolyédralesexistant naturel-

lement danslesespaes

k

-analytiques(au sens deBerkovih); dansleasque l'ononsidère, elui d'uneourbe stritement

k

-analytique lisse

X

^{, le théorème derédution} semi-stable de Boshet Lütkebohmert([9℄)permetderamenersystématiquementl'espaetopologiquesous-

jaent

|X|

^{à des polyèdres entiers de dimension 1 (ou, demanière} équivalente, àdesgraphes métrisés), naturellement plongés dans

|X|

^{. Ayant observé que, pour toute setion}

f

^de

O _X ^×

^,

lafontion

log |f |

^{provient de fontions} harmoniques (en un sens évident) sures polyèdres, ladénition dufaiseau

H _X

^{devient laireet ses propriétés} fondamentalesse déduisent sans diulté de la théorie du potentiel sur les polyèdres entiers (de dimension 1). Mentionnons

que l'obstrution à l'égalité

F _X = H _X

^{n'est guère} mystérieuse : sur ertaines omposantes irrédutibles des bres spéiales de

Spf(k ^◦ )

^{-ourbes formelles dont}

X

^{est la bre générique,}

lesdiviseurs dedegré0 doivent être(rationnellement) prinipaux,e quin'est engénéral pas

leas.

Nousillustrons ette approhe axiomatiqueen transrivant la méthode de Perron pour la

résolutionduproblèmedeDirihlet;nousavonstoutefoispréférépoursuivreledéveloppement

delathéoried'un pointde vueunpeudiérent,ditéparlanaturedeshoses.Lespropriétés

formellesdufaiseau

H X

^{onduisent eneetàintroduire unenotiondefontion lisse,onçue}

omme analogue non arhimédien de la notion de fontion indéniment diérentiable, et un

opérateur de Laplae sur les espaes de fontions lisses, à valeur dans des espaes de

mesures sur

|X|

^{et s'annulant surles fontions} harmoniques. Le point essentiel, maintenant, estquel'onpeutétudier etopérateur

dd ^c

^{parlebiaisdelathéoriedes}distributions, etainsi obteniraisément touslesanaloguesdesrésultatsde lathéoriedupotentiel surlessurfaesde

Riemann.

Les travaux de Rumely onernant la théorie non arhimédienne du potentiel, déjà men-

tionnés, sont également à l'origine de l'artile [18℄ de E. Kani, dans lequel lagéométrie des

ourbesformellesestlairement reliéeàune théoriedupotentiel plus oumointsimpliite sur

lesbres génériques.Cetteobservation, quipréise l'intuitionpremière d'Arakelov toutenla

renversant, est àlasoure dutravail eetuéii.

Nousavonshoisideréduireexpliitement lathéoriedupotentiel surlaourbestritement

k

-analytique

X

^{àlathéoriedupotentiel surlespolyèdres entiersdedimension 1.Cepoint de}

vue,s'ilal'avantaged'êtretrèsonret,introduitdesompliationsinutiles.Nousterminerons

etteprésentation enmentionnant qu'il estpossible dedévelopper lathéorieplussimplement

àpartir dupréfaiseau

Y ; Log |O X (Y ) ^× |

^{surlesite de}Grothendiek

X _G

^de

X

^,permettant

d'obtenir diretement le faiseau des (germes de) fontions lisses et l'opérateur

dd ^c

^{. Cette}

approhe,inspiréeparletravaildeS.Bloh,H.GilletetS.Soulé[6℄devrait,deplus,permettre

d'aborder de manière eae lathéorie du pluripotentiel en dimension supérieure (voir [14℄

pour desmotivations).

L'inuenedesidéesde Berkovih etKani surlathéoriequenousprésentonsestévidente;

enfait,ettethèseestlefruitdelaleturedel'artile[18℄àlalumièredestravauxdeBerkovih

(dont nous n'utilisons que les aspets les plus élémentaires) et son ate de naissane gure

très préisément àlapage 23 desnotes [20℄de B.Le Stum...

Plan.

Voii maintenant une brèvedesription duontenu dee travail.

Le premier hapitre est une suite de onsidérations très élémentaires sur les polyèdres de

dimension 1 munis d'une struture entière, laquelle est simplement la donnée, pour haque

arête

a

^{, d'un réseau entier dans l'espae vetoriel des fontions anes réelles sur}

a

^{. Si es}

objetsnesontpasautrehosequedesgraphesmétrisés(déjàintroduits,ave desmotivations

analogues,dans[26℄,[13℄,[32℄et[29℄),epointdevueestplusadaptéàlagéométrieformelle.

Lespolyèdres entiers de dimension 1 fournissent le adred'une théorie du potentiel relevant

de l'algèbre linéaire et surlaquelleil n'y apaslieu de s'appesantir; nousnousontentons de

rassembler les résultatsquiseront utilisésultérieurement.

Le deuxième hapitre s'ouvre par des rappels de géométrie analytique sur un orps non

arhimédien

k

^{;nousenprotons pour xerertainesonventions etintroduire desnotations.}

On y préise, en partiulier, que la notion de ourbe

k

-analytique utilisée dans e travail est elle introduite au hapitre 3 de [3℄; ei garantit que tout point possède un voisinage

stritement

k

^-anoïde.

Lasuite du hapitre estdévolue àlaonstrution du faiseau

H X

^{desgermesde fontions}

harmoniquessuruneourbe stritement

k

-analytique lisse.Onproèdepour efaire endeux étapes.

Àtoute

Spf(k ^◦ )

^{-ourbe (formelle)simplement} semi-stable

X

^{(voirladénition2.2.8)est}

assoié un polyèdre entier

S(X )

^{de dimension au plus 1 (le squelette de}

X

^{), d'espae}

topologique sous-jaent une partiefermée de

X η

^{, ainsiqu'unerétration}

τ : X η → S(X )

^.

Cette onstrution est fontorielle pour les morphismes étales et vérie une ondition

de fontorialité faible pour les morphismes quelonques de

Spf(k ^◦ )

^{-ourbes simplement}

semi-stables. L'appliation

τ

^{permet de transférer sur}

X η

^{les objets et résultats de la}

théorie du potentiel sur le polyèdre entier

S(X )

^{, e qui peut se onevoir omme une}

généralisation de lanotiondepolygonedeNewton(d'unesériede Laurent). Ceiélaire

par ailleurslanaturedesthéoriesdupotentiel loalesintroduites parKanidans[18℄.

Utilisant laversionrigide-analytiqueduthéorèmederédutionsemi-stableétablieparS.

BoshetW.Lütkebohmert([9℄),lesonsidérationspréédentesonduisentàladénition,

pour toutespae stritement

k

^{-anoïde rig-lisse}

Y

^{de dimension 1,del'espae vetoriel}

H(Y )

^{desfontions(réelles) ontinuessur}

Y

^{qui sont} harmoniques surl'intérieur de

Y

^;

'estun sous-espaevetorielde

C ⁰ (Y, R)

^{. Étant alors donnée une ourbestritement}

k

^-

analytiquelisse

X

^{, lefaiseau}

H X

^{desgermesdefontions}harmoniquesestdéniomme suit:une fontion(réelle) ontinue

h

^surunouvert

U

^de

X

^{estharmonique}'est-à-dire une setionde

H X

^sur

U

^{sietseulementsi}

h _|Y ∈ H(Y )

^{pour toutdomaine stritement}

k

^-anoïde

Y ⊂ U

^.

Nous onluons e hapitre par une omparaison entre le faiseau

H X

^{et le faiseau de}

R

^{-vetoriels sur}

X

^{assoié au préfaiseau}

Log |O ^× _X |

^{, mettant en évidene} l'obstrution qui s'oppose, en général,à leuroïnidene.

Le troisième hapitre s'ouvre sur lavériation que le faiseau

H _X

^{possède les propriétés}

fondamentalesattendues:prinipedumaximum,prinipedeHarnaketrésolubilitéloaledu

problèmedeDirihlet. Ceifait,nousintroduisonslefaiseau

SH X

^{des(germes de)fontions}

sous-harmoniques surlaourbe

X

^{enreopiant ladénitionlassique: quel quesoit l'ouvert}

Ω ⊂ X

^{, une fontion} semi-ontinue supérieurement

u : Ω → R ∪ {−∞}

^est sous-harmonique si elle n'est identiquement égale à

−∞

^{sur auune omposante onnexe de}

Ω

^{et, pour tout}

domaine stritement

k

^-anoïde

Y ⊂ Ω

^{et toute fontion}

h ∈ H(Y )

^,

h _|∂Y ≥ u _|∂Y

⇒ h ≥ u _|Y

.

Toute la suite du hapitre est onsarée a développement de la théorie du potentiel sur

X

^,

'est-à-dire l'étude des faiseaux

H X

^et

SH X

^{. Leurs propriétés} fondamentales permettent d'oreset déjàde transriretellequellelarésolution duproblème deDirihletpar laméthode

dePerron.

On s'attend à e que les fontions sous-harmoniques soient intimement liées aux mesures

(de Radon) positives sur l'espae topologique loalement ompat

X

^{; nous éluidons ette}

questionen l'abordant dupoint de vuede lathéoriedesdistributions.

Celaommeneparlaonstrutiondufaiseau

A ⁰ _X

^{des(germesde)fontions}harmoniques par moreaux, appelées fontions lisses, ainsi que le faiseau

A ¹ _X

^{des (germes de) formes}

lisses,lesquelles sont ertaines mesures sur

X

^{. Les} développements duhapitre 2onduisent naturellement à l'introdution d'un opérateur linéaire

dd ^c : A ⁰ _X → A ¹ _X

^{, de noyau}

H X

^{, qui}

prolonge lelaplaien disretsurles polyèdres entiers

S(X )

^.

Les espaes vetoriels

A ⁰ _c (X)

^et

A ¹ _c (X)

^{des fontions et formes lisses à support ompat}

sont naturellement munis d'unetopologie loalement onvexe pourlaquelle toutes lesformes

linéairessontontinues. Lesespaes

D ⁰ (X)

^et

D ¹ (X)

^{desourants de degré0 et1respetive-}

ment sont dénis par dualité:

D ⁰ (X) = A ¹ _c (X) ^′ D ¹ (X) = A ⁰ _c (X) ^′

et munisdelatopologie faible.L'espae

A ⁰ (X)

^(resp.

A ¹ (X)

^{) seplonge}anoniquement dans

D ⁰ (X)

^(resp.

D ¹ (X)

^{)etl'onvérieque}l'appliationlinéaire(ontinue)de

D ⁰ (X)

^dans

D ¹ (X)

^,

obtenuepartranspositionàpartirde

dd ^c

^,estunprolongement deetopérateur.Ayantobservé que

D ⁰ (X)

^s'identie anoniquement à l'espae vetoriel des fontions réelles sur une partie

I(X)

^de

X

^{, muni de la topologie de la onvergene simple, nous sommes don en mesure}

d'appliquer

dd ^c

^{à n'importequelle fontionréelle sur}

X

^{(au sens des}distributions). Onpeut dèsmaintenantpréiserque

I(X)

^s'identieanoniquementàlalimiteindutivedessquelettes

S(X )

préédemment dénis.

L'opérateur

dd ^c : D ⁰ (X) → D ¹ (X)

^{possède les mêmes propriétés que dansle adre arhi-}

médien :

il estrégulier, danslesens où

A ⁰ (X)

^{s'identie àl'espae desourants}

T

^{de degré0 sur}

X

^{tels que}

dd ^c T

appartienneau sous-espae

A ¹ (X)

^de

D ¹ (X)

^;

si

X

^{estonnexeetpropre,sonimageestonstituéedesourants}

ρ

^dedegré1orthogonaux auxfontions onstantes (telsque

hρ, 1i = 0

^).

Lelienavel'étudedesfontionssous-harmoniquessur

X

^s'opèreenétablissant queelles- i s'identient aux ourants

T

^{de degré 0 tels que le ourant}

dd ^c T

^{soit positif,} 'est-à-dire vérie

hdd ^c T, ϕi = hT, dd ^c ϕi ≥ 0

pour toute fontion positive

ϕ ∈ A ⁰ _c (X)

^{. Comme dans le ontexte}arhimédien, les ourants (de degré 1) positifs oïnident ave les mesures de Radon positives sur

X

^{; nous en dé-}

duisons la orrespondane familière entre mesures positives et fontions sous-harmoniques

(potentiels). Tout ei déoule aisément du théorème d'approximation suivant : une fontion

sous-harmonique

u

^sur

X

^{est, sur tout ouvert} relativement ompat

Ω

^de

X

^, l'enveloppe inférieure d'unefamille déroissante de fontionssous-harmoniques et lisses.

Sur le modèle de la théorielassique, nouspoursuivons en introduisant des méthodeshil-

bertiennes; elles-i trouvent leuroriginedans laformebilinéaire symétriquepositive

A ⁰ _c (X) × A ⁰ _c (X) → R, (ϕ, ψ) 7→ − Z

X

ϕ dd ^c ψ

(forme deDirihlet),version nonarhimédienne de laforme bilinéaire

C ^∞ (M, R) × C ^∞ (M, R) → R, (ϕ, ψ) 7→ − Z

M

ϕ dd ^c ψ = i π

Z

M

∂ϕ ∧ ∂ψ,

où

M

^{est une surfae de Riemann ompate et qui} généralise, dans le as d'une valuation disrète, la forme d'intersetion sur le groupe des diviseurs vertiaux sur les modèles

entiersde

X

^{. Laomplétion de}

A ⁰ _c

relativementàe produitsalaire estunespaedeHilbert réel, noté

W ¹ (X)

^{, qui s'identie} anoniquement à un sous-espae vetoriel de

D ⁰ (X)

^{. Une}

mesurepositive

µ

^sur

X

^{estd'énergienie sielleadmetunpotentiel}

g

^dans

W ¹ (X)

^,l'énergie

E(µ)

^de

µ

^{étant alors dénieomme learréde lanorme de}

g

^.

Nousutilisons e point de vue pour l'étudedes apaités.Supposons que

X

^{soit propreet}

soit

Y ⊂ X

^{un domaine}

k

^-anoïde, d'intérieur

Ω

^{; laapaité relative d'un ompat}

K

^de

Ω

estlenombre réelpositif

C(K, Ω)

^{dénipar laformule}

C(K, Ω) =

inf{E Ω (µ) ; µ ∈ Prob(K)}

−1

,

où

Prob(K)

^{estl'ensembledesmesuresde}probabilitésur

K

^et

E _Ω (µ)

^{estl'énergiedelamesure}

µ

(relativement à l'ouvert

Ω

^).Onpose

C(E, Ω) = sup{C(K, Ω) ; K ⊂ E

^ompat

}

pour toutsous-ensemble

E

^de

Ω

^{et laapaité extérieure (relativeà}

Ω

^{) estlafontion}

C ^∗ (., Ω) : P (Ω) → R _≥0 ∪ {+∞}

E 7→ inf{C(U, Ω) ; U ⊂ Ω

^ouvert

, E ⊂ U }.

C'est une apaité au sens de G. Choquet, dont on montre qu'elle s'annule exatement sur

les parties polaires de

Ω

^, 'est-à-dire elles ontenues dans l'ensemble

{u = −∞}

^{des ples}

d'une fontion sous-harmonique

u

^sur

Ω

^{. Nous avons ii suivi d'assez près la} présentation donnée par M. Klimek dans [19℄, en la simpliant autant que possible (auune propriété de

quasi-ontinuité desfontionssous-harmoniques n'est utilisée).

Lesrésultatspréédentspermettentdeprouverl'existenedespotentielsd'équilibre assoiés

à un ompat strit et non polaire

K ⊂ X

^{: étant donné un point}

x ∈ X − K

^{, il existe une}

unique fontion sous-harmonique

g : X − {x} → R

^{, harmonique sur}

X − (K ∪ {x})

^{et nulle}

sur

K

^{en dehors d'une partie polaire, telle que}

dd ^c g = ν − δ _x

^{, où}

ν ∈ Prob(K)

^{. Comme}

dans le ontexte arhimédien, le potentiel d'équilibre d'un point

x

^de

X − K

^{onduit à la}

dénition d'unenorme

||.|| _K (x)

^surla

H(x)

^{-droite vetorielle}

x ^∗ Ω ¹ _X ∨

; pour tout

t

^{non nul}

dans

x ^∗ Ω ¹ _X ∨

, la fontion

{

^ompatsde

X − {x}} → R _≥0 K 7→

||t|| K (x)

^si

K

^{n'est paspolaire}

0

^si

K

^{est polaire}

seprolonge naturellement en une apaité

Cap _x,t

^sur

P(X − {x})

^{(au sens deChoquet).}

Après quelques exemples de aluls de apaités (relatives) dans lesquels on suppose le

orps

k

disrètement valuéet oùl'on s'intéresseà dessous-ensembles de

X(k)

^{,le troisième}

hapitre s'ahèvesurladémonstrationdurésultatsuivant: toutefontionsous-harmonique

u

suruneourbestritement

k

-analytiquelisse

X

^estentièrement déterminéepar sarestrition au sous-ensemble

X ₀

^{des points}

x ∈ X

^{dont le orps résiduel est une extension nie de}

k

^;

Nousutilisonsleformalismedéveloppéauxdeuxièmeettroisièmehapitrespourdonnerune

présentation de lagéométrie d'Arakelov d'une

Q

^{-ourbe algébrique propre}

X

^{ne faisant pas}

intervenirdemodèleentier etintégrant,surlemodèledel'artile[11℄,desfontionsdeGreen

(arhimédiennes et non arhimédiennes) ne présentant qu'une régularité de type

W ¹

^{. Quela}

omposante non arhimédienne de la géométrie d'Arakelov usuelle, 'est-à-dire la théorie de

l'intersetion sur une

Z

^{-ourbe, doivent relever d'une théorie du potentiel adéquate est une}

observationde E. Kani.

Cettegénéralisationde lathéoried'Arakelovestillustréeparlaversionpréiséed'un théo-

rème d'équidistributiondessuites depointsde petite hauteursurles ourbes.

Suite auxtravaux de R. Rumely, T. Chinburg a proposé une autre approhe de la notion

deapaitéarithmétique,fondéesurlanotionde apaité setionnelle et reposantsurl'étude

duovolume deréseauxnaturelsdansdesespaesdesetionsdefaiseauxinversibles.Dansle

asdesourbes, laomparaison entreesdeuxpointsdevueestexpliitée dansl'artile [27℄.

Nousonluons le quatrième hapitre en montrant omment déduire le résultat prinipal de

[27℄ du théorème de Hilbert-Samuel arithmétique usuel (sous la forme que lui donne S.-W.

Zhang dans[33℄).Notreargument reposesur l'observation quela métriquesous-harmonique

assoiéeà unompat (non polaire)

K

^{est àlafois}

l'enveloppeinférieured'unefamilledéroissantedemétriquessous-harmoniquesontinues

(obtenuesen élargissant onvenablement

K

^),

l'enveloppe supérieured'unefamille roissante de métriquessous-harmoniques ontinues

(propriété partagée par toutes les métriquessous-harmoniques),

leasd'unemétriquesous-harmoniqueontinuerelevantduthéorèmedeHilbert-Samuelarith-

métique.

Le inquième et dernier hapitre expliite les relations qu'entretient la théorie développée

dans ette thèse ave les travaux de R.Rumely, R. Rumely et M. Baker, E. Kani,C. Favre

et M. Jonsson.

Remarque onlusive.

Nousavonsexpliquéaudébut del'introdution quelaprinipalemotivationdeette thèse

futd'élaborerunethéoriedupotentielsurlesourbesanalytiquesnonarhimédiennesformel-

lementsimilaireàlathéorieusuellesurlesourbesanalytiquesomplexesdonendimension

réelle2.Terminons enrelevantexpliitement qu'uneanalogienaturelleapparaît,toutaulong

de e travail, ave lathéorie du potentiel lassique en dimension réelle 1; ette observation,

prégnante maisimpliite dansletexte quisuit,peut en failiterlaleture.

1. Polyèdres entiers

1.1. Généralités

1.1.1. Polytopes

Soient

V

^{un espae vetoriel réel de dimension nieet}

Λ

^{un réseau dansl'espae vetoriel}

dual

V ^∨

^{. L'espae vetoriel réel}

Aff(V ) = R ⊕ V ^∨

^{des fontions anes sur}

V

^{est engendré}

par lesous-groupe abélien

Λ(V ) = R ⊕ Λ

^.

Un polytope entier (dans

V

^{) est une partie ompate et non vide}

P

^de

V

^{dénie par des}

inéquations

0 ≤ ϕ 1 , . . . , 0 ≤ ϕ n

^{, où}

ϕ 1 , . . . , ϕ n ∈ R ⊕ Λ

^{. Les} restritions à

P

^{des éléments}

de

R ⊕ Λ

^{forment un} sous-groupe abélien, noté

Λ(P)

^{, de l'espae vetoriel réel}

Hom(P, R)

des appliations de

P

^dans

R

^{; 'estla somme de}

R

^{identié au} sous-groupe des fontions onstantes et d'un groupe abélien libre de type ni.Le sous-espaevetoriel de

Hom(P, R)

engendrépar

Λ(P )

^estnoté

Λ _R (P )

^.

Remarque 1.1.1

1. Unpolytope entierest onvexe,don onnexe.

2. Étant donné un polytope entier

P

^dans

V

^{, déni par des} inéquations

0 ≤ ϕ 1

^,

. . .

^,

0 ≤ ϕ _n

^,

ϕ _i ∈ Λ(V )

^, l'appliation tautologique

ι : P → Λ R (P ) ^∨

réalise unebijetion de

P

^surlesous-ensemble

{u ∈ Λ R (P ) ^∨ ; hu, 1i = 1

^et

hu, ϕ _i|P i ≥ 0, 0 ≤ i ≤ n}, h., .i

^{désignant lerohet de dualité.}

3. La remarque préédente permet d'introduire une notion abstraite de polytope entier :

'est la donné d'un ouple

(P, Λ(P))

^{, formé d'un ensemble non vide}

P

^{et d'un sous-}

groupe

Λ(P )

^{du groupeabélien}

Hom(P, R)

^{, appelégroupe strutural de}

P

^{,qui satisfait}

auxonditions suivantes :

-

Λ(P )

^{ontient le}sous-groupe

R

^{desfontionsonstantes;}

- lequotient

Λ(P )/R

^{est ungroupe abélien libre de type ni;}

- notant

Λ R (P )

^{lesous-espae vetoriel de}

Hom(P, R)

^{engendré par}

Λ(P )

^, l'appliation tautologique

ι : P → Λ R (P ) ^∨

réalise une bijetionde

P

^{sur une partie ompatede} l'hyperplan d'équation

hu, 1i = 1

déniepar unnombre ni d'inégalités

hu, ϕi ≥ 0

^,

ϕ ∈ Λ(P )

^{. L'ensemble}

P

^{estmuni de}

latopologie faisant de

ι

^un homéomorphisme et l'on noteraabusivement

P

^lepolytope

entier

(P, Λ(P))

^{siela neprête pasà onfusion.}

Un morphisme d'un polytope entier

P

^{dans un polytope entier}

P ^′

^{est une appliation}

f : P → P ^′

^{telle que} l'homomorphisme

f ^∗ : Hom(P ^′ , R) → Hom(P, R)

^envoie

Λ(P ^′ )

^dans

Λ(P )

^{. Un} sous-polytope entier d'un polytope entier

P

^{est une partie non vide de}

P

^dénie

par unnombre ni d'inéquations delaforme

0 ≤ ϕ

^,

ϕ ∈ Λ(P )

^.

Lesfaes d'un polytope entier

P

^{sont lesparties nonvidesde}

P

^{dénies par une équation}

ϕ = 0

^,

ϕ ∈ Λ(P )

^{étantune fontion positive sur}

P

^{; e sont des}sous-polytopesentiersde

P

^.

La dimension d'un polytope entier

P

^{, notée}

dim(P)

^{, est par dénition le rang du groupe}

abélien libre

Λ(P )/R

^{et lebord}

∂P

^de

P

^{est laréunion desfaesde dimension}

< dim(P )

^{; le}

omplémentaire

P − ∂P

^est l'intérieur de

P

^{. La dimension de}

P

^{oïnide ave ladimension}

topologiquede sonintérieur.

Une déomposition élémentaire d'un polytope entier

P

^{est ladonnée d'unefamille nie}

D

desous-polytopesentiers de

P

^{vériant les onditions suivantes :}

(i)pour tout

Q ∈ D

^{, haune desfaesde}

Q

^{appartient à}

D

^;

(ii)pour tous

Q, Q ^′ ∈ D

^,

Q ∩ Q ^′ = ∅

^{ouest unefaede}

Q

^et

Q ^′

^;

(iii)

P

^{estlaréunion des}

Q ∈ D

^.

Remarque 1.1.2. Si

D

^estunedéompositionélémentairede

P

^{,laondition(ii)implique}

que deux sous-polytopesdistints

Q, Q ^′ ∈ D

^{ont des intérieurs disjointset les onditions (i)}

et (iii)montrent que

P

^{est laréunion disjointe desintérieurs des}

Q ∈ D

^.

Étant donné un polytope entier

P

^{, une appliation ontinue}

f : P → R

^{estdite ane par}

moreaux s'il existe une déomposition élémentaire

D

^de

P

^{telle que, pour tout}

Q ∈ D

^{, la}

restritionde

f

^à

Q

appartienneà

Λ R (Q)

^{. L'ensembledesfontionsanes par moreauxsur}

P

^estun

R

^{-espaevetoriel noté}

A ⁰ (P )

^et

A ⁰ _Z (P )

^{désigne le}sous-groupeabélien desfontions ontinuesetanes parmoreaux

f

^{pourlesquellesilexisteune}déompositionélémentaire

D

de

P

^telleque

f _|Q ∈ Λ(Q)

^{pour tout}

Q ∈ D

^.

Remarque 1.1.3. Soit

P

^{un polytopeentier; la atégorie}

C (P)

^{, dont les objets sont les}

sous-polytopes entiers de

P

^{et les morphismes les inlusions, est munie d'une topologie de}

Grothendiek naturelle pour laquelle les familles ouvrantes sont les reouvrements nis. Le

faiseau assoié au préfaiseau

Q 7→ Λ(Q)

^(resp.

Q 7→ Λ R (Q))

^sur

C (P)

^{n'est autre que le}

fonteur

Q 7→ A ⁰ _Z (Q)

^(resp.

Q 7→ A ⁰ (Q))

^.

1.1.2. Polyèdres

Soit

S

^{un espae} topologique séparé dont les omposantes onnexes sont dénombrables à l'inni;unatlas

Z

^{-polyédralsur}

S

^{estladonnéed'unefamille}

τ

^detriplets

(V, P, ϕ)

^,onstitués

d'unepartie ompate

V

^de

S

^{, d'un polytopeentier}

P

^{et d'un} homéomorphisme

ϕ

^de

V

^sur

P

^{, quisatisfaitaux onditionssuivantes:}

1. pour tous

(V, P, ϕ), (V ^′ , P ^′ , ϕ ^′ ) ∈ τ

^,

V ∩ V ^′ = ∅

^ou

ϕ(V ∩ V ^′ )

^(resp.

ϕ ^′ (V ∩ V ^′ )

^{) est}

un sous-polytope entier de

P

^(resp.

P ^′

^{) et}

ϕ ^′ ◦ ϕ ⁻¹

^{induit un} isomorphisme entre les polytopesentiers

ϕ(V ∩ V ^′ )

^et

ϕ ^′ (V ∩ V ^′ )

^;

2. pourtoutpoint

x ∈ S

^,ilexiste

(V ₁ , P ₁ , ϕ ₁ ), . . . , (V _n , P _n , ϕ _n ) ∈ τ

^telsque

x ∈ V ₁ ∩. . . ∩V n

et que

V ₁ ∪ . . . ∪ V _n

^{soitun voisinage de}

x

^dans

S

^.

3. pour tout ompat

K

^de

S

^{, il n'existe qu'un nombre ni de artes}

(V, P, ϕ) ∈ τ

^telles

que

ϕ(V ) ∩ K 6= ∅

^.

Deuxatlas

Z

-polyédraux

τ

^et

τ ^′

^sur

S

^sontditséquivalents silaréunion

τ ∪ τ ^′

^estunatlas

Z

^{-polyédral sur}

S

^.

Définition 1.1.4. Un polyèdre entierest la donnée d'un espae topologique séparé

S

^et

d'unelasse d'équivalene d'atlas

Z

-polyédraux sur

S

^.

Définition 1.1.5. Unsous-polytope d'unpolyèdre entier

S

^{est unepartieompatenon}

vide

V

^de

S

^{gurant dans un atlas}

Z

^-polyédral.

Remarque 1.1.6. L'espae topologique sous-jaent à un polyèdre entier est loalement

Ladimension d'unpolyèdreentier

S

^enunpoint

x

^estlemaximum

dim _x (S)

^{desdimensions}

des polytopes gurant dans un atlas

Z

^{-polyédral et ontenant}

x

^{; 'est une fontion semi-}

ontinuesupérieurement de

x

^{et ladimension de}

S

^{estdénieomme labornesupérieuredes}

dim x (S)

^,

x ∈ S

^.

Une appliation

f : S → R

^{sur un polyèdre entier}

S

^{est dite ane par moreaux s'il}

existe un atlas

Z

^-polyédral

τ

^{dénissant la struture de}

S

^{tel que, pour tout}

(V, P, ϕ) ∈ τ

^,

f ◦ ϕ ⁻¹ ∈ Λ R (P )

^{(ette ondition ne dépend pas du hoix de}

τ

^{); l'espae vetoriel réel des}

fontions anes par moreaux sur

S

^{est noté}

A ⁰ (S)

^et

A ⁰ _Z (S)

^{désigne le} sous-groupe des

f

telles que

f ◦ ϕ ⁻¹ ∈ Λ(P )

^{pour tout}

(V, P, ϕ) ∈ τ

^{. Une fontion ane par moreaux est}

ontinue.

Un morphisme entre deux polyèdres entiers

S, S ^′

^{est une appliation ontinue}

f : S → S ^′

vériant laonditionsuivante :pourdesatlas

τ, τ ^′

^{onvenables sur}

S, S ^′

^{, ilexiste,pour toute}

arte

(V, P, ϕ) ∈ τ

^{, une arte}

(V ^′ , P ^′ , ϕ ^′ ) ∈ τ ^′

^{telle que}

f (V ) ⊂ V ^′

^et

ϕ ^′ ◦ f ◦ ϕ ⁻¹

^{soit un}

morphismede polytopes entiers.

Définition 1.1.7. Soit

S

^{un polyèdre entier. Un domaine polyédral dans}

S

^{est une}

partie

S ^′ ⊂ S

^{qui est la réunion d'unefamilleloalement niede} sous-polytopes entiers.

La atégorie

C (S)

^{, dont les objets sont les domaines polyédraux de}

S

^{et les morphismes}

les inlusions, est munie d'une topologie de Grothendiek naturelle engendrée par les reou-

vrementsloalement nispar dessous-polytopes. Le préfaiseau

C (S) ^op → Vect _R , S ^′ 7→ A ⁰ (S ^′ )

estun faiseau.

Ondira qu'un morphisme de polyèdres entiers

f : S ^′ → S

^{est un} isomorphisme G-loal si 'estun isomorphisme loalement pour les topologies de Grothendieksur

S

^et

S ^′

^{. En lair,}

elasigniequ'il existedesreouvrements admissibles

U

^et

U ^′

^de

S

^et

S ^′

respetivement tels que, pour tout

P ^′ ∈ U ^′

^,

f (P ^′ ) ∈ U

^et

f _|P ′

^{réalise un} isomorphisme de

P ^′

^sur

P

^{. En guise}

d'exemple, on peut noter que, pour tout reouvrement admissible

U

^{d'un polyèdre entier}

S

^,

la somme disjointe

S ^′

^{des éléments de}

U

^{est un polyèdre entier et le morphisme anonique}

S ^′ → S

^estun isomorphisme

G

^-loal.

Soient

P

^{un polytope entier de dimension}

1

^et

x

^{un point de}

∂P

^{. Il existe, par dénition}

de

∂P

^{, une fontion non onstante}

ϕ ∈ Λ(P )

^telleque

0 ≤ ϕ

^et

ϕ(x) = 0

^{; on peut en outre}

hoisir

ϕ

^{telle que son image dans}

Λ(P )/R

^{soit un générateur de e groupe abélien libre de}

rang 1.L'unique fontiondans

Λ(P )

satisfaisant à esonditions estnotée

t _x

^.

L'appliation

t _x : P → R

^{est un} homéomorphisme de

P

^{sur un segment}

[0, a]

^,

0 < a

^{; le}

bord

∂P

^de

P

^{est don onstitué de}

x

^{et du point}

x ^′

^de

P

^{tel que}

t _x (x ^′ ) = a

^{; notant}

t

^la

fontion oordonnée anonique sur

R

^,

t x

^{réalise un} isomorphismeentre les polytopesentiers

P

^{et (}

[0, t _x (x ^′ )], R ⊕ Zt

^).

Unpolyèdreentierpurementdedimensionunn'estpasautrehosequ'ungrapheloalement

métrisé, 'est-à-dire un espae topologique séparé et loalement métrisé

S

^{dans lequel tout}

point

x

^{admetun système}fondamental devoisinagesde laforme

V ₁ ∪ . . . ∪ V _n

^{, où}

V ₁ , . . . , V _n

sontdesompatsde

S

^ontenant

x

^etisométriquesàdessegmentsde

R

^.Legroupe

A ⁰ _Z (S)

^est

formé desappliations

f : S → R

^{pour lesquellesil existe,en tout point}

x ∈ S

^{, un voisinage}

V 1 ∪ . . . ∪ V n

^{de la forme préédente tel que, pour tout}

i ∈ {1, . . . , n}

^{et toute injetion}

isométrique

j : V _i ֒ → R

^,

f _{|V i} = j ^∗ f _i

^,

f _i

^{étant unefontion ane dont ladérivée est unentier.}

1.2. Théoriedu potentiel surles polyèdres de dimension1

1.2.1. Fontions harmoniques

Soit

S

^{un polyèdre entier de dimension au plus 1; étant donné un point}

x ∈ S

^{tel que}

dim _x S = 1

^{, ilexiste des}sous-polytopes entiers

V ₁ , . . . , V _n

^de

S

^{tels que}

(i)

dim(V i ) = 1

^,

(ii)

x

^{soit unefaede}

V ₁ , . . . , V _n

^et

V _i ∩ V _j = {x}

^si

i 6= j

^,

(iii)

V ₁ ∪ . . . ∪ V _n

^{soit unvoisinage de}

x

^dans

S

^.

L'espaetopologique

V = V ₁ ∪ . . . ∪ V _n

^est homéomorphe àla sommede

n

^{opies de}

[0, 1]

amalgaméesen

0

^etl'ensemble

π ₀ (V −{x})

^{nedépenddonpasduhoixduvoisinageonnexe}

V

^{assez petitde}

x

^.Ilenvaplusgénéralementdemêmepourtoutpoint

x

^{d'unpolyèdreentier}

dedimension auplus1,etensembleétantvide si

dim _x (S) = 10

^{.Il estnoté}

T _x S

^etappeléle

ne tangent à

S

^en

x

^.

Ilexisteunenotionnaturellebienqued'intérêtlimitédupointdevueadoptédanslasuite

debord d'un polyèdreentier dedimension (auplus)1,ompatible aveellepréédemment

dénielorsque

S

^{est unpolytope.}

Définition 1.2.1. Le bordd'unpolyèdreentier

S

^{dedimensionauplus}

1

^{estl'ensemble}

∂S

^{des points}

x

^de

S

^telque

T _x S

^{soit deardinal exatement un.}

Soit toujours

S

^{un polyèdre entier}

S

^{de dimension au plus}

1

^{. On appellera déomposition}

élémentaire de

S

^unatlas

Z

^-polyédral

D

satisfaisant aux deuxonditions suivantes:

(i)pour toutsous-polytope

P ∈ D

^{et toutefae}

P ^′

^de

P

^,

P ^′ ∈ D

^{(stabilitépar passageaux}

faes);

(ii)pour tous sous-polytopes

P, P ^′ ∈ D

^,

P ∩ P ^′ = ∅

^ou

P ∩ P ^′

^{est unefae de}

P

^et

P ^′

^.

Onnotera

D[ℓ]

^{l'ensembledes}

P ∈ D

^{tels que}

dim(P ) = ℓ

⁽

0 ≤ ℓ ≤ 1

^).

Ilestfailed'établirl'existened'unetelledéomposition:partantd'unatlas

τ

^,onsidérons

l'atlas

τ ^′

^{obtenu enajoutant,pour haquepolytope}

P ∈ τ

^{,touslespolytopes}

P ∩ P ^′

^,

P ^′ ∈ τ

^;

e nouvelatlas est stablepar intersetion; on dénitalors

τ ₀ ^′

^{omme laolletion detous les}

polyotpes

P ∈ τ ^′

satisfaisant àlaondition :

∀P ^′ ∈ τ ^′ , (P ⊂ P ^′ et dim(P) = dim(P ^′ )) ⇒ P = P ^′

et l'on obtient une déomposition élémentaire

D

^de

S

^{en onsidérant toutes les faes des}

polytopes

P ∈ τ ₀ ^′

^.

Quel que soit le polytope entier

S

^{de dimension au plus}

1

^{muni d'une} déomposition élémentaire

D

^{, une fontion}

w : D[1] → R _>0

^{dénit, pour tout}

x ∈ S

^{, une appliation}

w _x : T _x S → R _>0

^{. La dénition suivante est introduite en vue des} appliations aux ourbes

k

-analytiqueslisses(f. hapitre 2).

Définition 1.2.2. Si

S

^{est un polyèdre entier de dimension au plus}

1

^{, un poids}

w

^sur

S

^{est la donnée, pour tout point}

x

^de

S

^{tel que}

dim _x (S) = 1

^{, d'une appliation}

w _x

^de

T _x S

dans

R _>0

^{, la olletion des}

w x

^,

x ∈ S

^{,provenant d'une}déomposition élémentaire de

S

^.

Un polyèdre entier de dimensionau plus

1

^{et munid'un poids est dit pondéré.}

Remarque 1.2.3

1. Nous dirons que le poids

w

^{est onstant sur un} sous-polytope

P

^de

S

^{si : pour tous}

x, x ^′ ∈ P

^et

t, t ^′ ∈ T _x P

^,

w _x (t) = w _x ^′ (t ^′ )

^.

2. Soient

(S, w)

^et

(S ^′ , w ^′ )

^{deux polyèdres entiers pondérés et}

f

^un isomorphisme

G

^-loal

de

S ^′

^sur

S

^;ondiraque

f

^{estompatible auxpoids(ouenoreque'estun}isomorphisme