Quelques compléments au programme de spécialité de terminale

Quelques compléments au programme de spécialité de terminale Simon Billouet

Introduction Analyse

Méthodes de résolution d’équations Série harmonique Algorithmes d’approximation de logarithmes

Combinatoire Probabilités

Loi de Poisson Espérance Dispersion d’une variable aléatoire

Conclusion

Quelques compléments au programme de spécialité de terminale

Simon Billouet

11 février 2020

Quelques compléments au programme de spécialité de terminale Simon Billouet

Introduction Analyse

Méthodes de résolution d’équations Série harmonique Algorithmes d’approximation de logarithmes

Points abordés

Déroulement

Proposition de plan :

1 Analyse

2 Combinatoire

3 Probabilités

Fonctionnement

Sur chaque point, rapide présentation, algorithmes, exercices, discussion.

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Combinatoire Probabilités

Loi de Poisson Espérance Dispersion d’une variable aléatoire

Conclusion

Points abordés

Déroulement

Proposition de plan :

1 Analyse

2 Combinatoire

3 Probabilités Fonctionnement

Sur chaque point, rapide présentation, algorithmes, exercices, discussion.

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Introduction Analyse

Méthodes de résolution d’équations Série harmonique Algorithmes d’approximation de logarithmes

Méthode de Héron (ou babylonienne)

Le principe

Pour calculer la racine carrée dea>0, on considère la suite (x_n)n∈N définie par un premier terme x₀ >0 (pas trop éloigné de√

a) et par la relation de récurrence :

∀n∈N, xn+1 = x_n+ _x^a

n

2

Idée géométrique... Convergence rapide

Des tests numériques suggèrent une convergence très rapide vers√

a (le nombre de décimales exactes double à chaque itération).

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Méthodes de résolution d’équations Série harmonique Algorithmes d’approximation de logarithmes

Combinatoire Probabilités

Loi de Poisson Espérance Dispersion d’une variable aléatoire

Conclusion

Méthode de Héron (ou babylonienne)

Le principe

Pour calculer la racine carrée dea>0, on considère la suite (x_n)n∈N définie par un premier terme x₀ >0 (pas trop éloigné de√

a) et par la relation de récurrence :

∀n∈N, xn+1 = x_n+ _x^a

n

2 Idée géométrique...

Convergence rapide

Des tests numériques suggèrent une convergence très rapide vers√

a (le nombre de décimales exactes double à chaque itération).

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Introduction Analyse

Méthodes de résolution d’équations Série harmonique Algorithmes d’approximation de logarithmes

Combinatoire

Méthode de Héron (ou babylonienne)

Le principe

Pour calculer la racine carrée dea>0, on considère la suite (x_n)n∈N définie par un premier terme x₀ >0 (pas trop éloigné de√

a) et par la relation de récurrence :

∀n∈N, xn+1 = x_n+ _x^a

n

2 Idée géométrique...

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Méthodes de résolution d’équations Série harmonique Algorithmes d’approximation de logarithmes

Combinatoire Probabilités

Loi de Poisson Espérance Dispersion d’une variable aléatoire

Conclusion

Preuves

Identités

On montre que pourn∈N^∗ :

x_n+1² −a= x_n²−a 2x_n

!2

etxn+1−xn= a−x_n² 2x_n donc la suite (x_n)n∈N^∗ converge vers√

a.

Vitesse de convergence

On a également, pourn∈N^∗ :

|x_n+1−√

a| ≤ |x_n−√ a|² 2√

a d’où on déduit une convergence quadratique.

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Combinatoire Probabilités

Preuves

Identités

On montre que pourn∈N^∗ :

x_n+1² −a= x_n²−a 2x_n

!2

etxn+1−xn= a−x_n² 2x_n donc la suite (x_n)n∈N^∗ converge vers√

a.

Vitesse de convergence

On a également, pourn∈N^∗ :

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Méthodes de résolution d’équations Série harmonique Algorithmes d’approximation de logarithmes

Combinatoire Probabilités

Loi de Poisson Espérance Dispersion d’une variable aléatoire

Conclusion

Méthodes numériques pour résoudre f (x ) = 0

Principe général

On cherche à résoudre l’équationf(x) = 0 sur un intervalle [a,b] sur lequel f est suffisamment régulière (au moins de classeC¹, souvent de classe C^∞), change de signe et est strictement monotone, de sorte que le théorème de la bijection assure l’existence et l’unicité d’un zéroα de f sur [a,b].

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Méthodes de résolution d’équations Série harmonique Algorithmes d’approximation de logarithmes

Méthode de dichotomie

Principe

On coupe l’intervalle en deux parties égales, et on en garde un sur lequelf change de signe. On itère ce procédé jusqu’à avoir un intervalle de longueur inférieure à une précisionε >0 fixée à l’avance ; on est assuré d’avoir alors une valeur approchée deα àεprès.

Intérêts et limites

Nombre d’itérations de l’algorithme : blog₂^b−a_ε c+ 1. Cette méthode donne une preuve théorique du théorème des valeurs intermédiaires (en admettant le théorème des suites adjacentes).

Méthode n’utilisant aucune propriété fine de f : seulement un nombre fini de valeurs !

Méthode relativement lente en pratique (linéaire).

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Combinatoire Probabilités

Loi de Poisson Espérance Dispersion d’une variable aléatoire

Conclusion

Méthode de dichotomie

Principe

On coupe l’intervalle en deux parties égales, et on en garde un sur lequelf change de signe. On itère ce procédé jusqu’à avoir un intervalle de longueur inférieure à une précisionε >0 fixée à l’avance ; on est assuré d’avoir alors une valeur approchée deα àεprès.

Intérêts et limites

Nombre d’itérations de l’algorithme : blog₂^b−a_ε c+ 1.

Cette méthode donne une preuve théorique du théorème des valeurs intermédiaires (en admettant le théorème des suites adjacentes).

Méthode n’utilisant aucune propriété fine de f : seulement un nombre fini de valeurs !

Méthode relativement lente en pratique (linéaire).

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Méthodes de résolution d’équations Série harmonique Algorithmes d’approximation de logarithmes

Méthode de la fausse position (regula falsi )

Principe

Le même que celui de la méthode de la dichotomie, mais on prend pour deux intervalles [a, β] et [β,b] oùβ est le point où la droite joignant les points de coordonnées (a,f(a)) et (b,f(b)) coupe l’axe des abscisses.

Analyse

Un peu plus compliquée... Et non mentionnée dans le programme. Convergence linéaire là encore.

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Combinatoire Probabilités

Loi de Poisson Espérance Dispersion d’une variable aléatoire

Conclusion

Méthode de la fausse position (regula falsi )

Principe

Le même que celui de la méthode de la dichotomie, mais on prend pour deux intervalles [a, β] et [β,b] oùβ est le point où la droite joignant les points de coordonnées (a,f(a)) et (b,f(b)) coupe l’axe des abscisses.

Analyse

Un peu plus compliquée... Et non mentionnée dans le programme. Convergence linéaire là encore.

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Méthodes de résolution d’équations Série harmonique Algorithmes d’approximation de logarithmes

Méthode de la sécante

Principe

Comme dans la méthode de la fausse position, on part de deux pointsx0 =a etx1 =b qui encadrent la racine, et l’on calcule l’abscissex2 du point où la sécante coupe l’axe des abscisses.

Mais au lieu de choisir un segment, on remplace (x₀,x₁) par (x1,x2)... et on itère.

Analyse

Sif est de classeC², strictement convexe, alors la méthode de la sécante est au moins d’ordre ¹⁺

√5 2 .

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Combinatoire Probabilités

Loi de Poisson Espérance Dispersion d’une variable aléatoire

Conclusion

Méthode de la sécante

Principe

Comme dans la méthode de la fausse position, on part de deux pointsx0 =a etx1 =b qui encadrent la racine, et l’on calcule l’abscissex2 du point où la sécante coupe l’axe des abscisses.

Mais au lieu de choisir un segment, on remplace (x₀,x₁) par (x1,x2)... et on itère.

Analyse

Sif est de classeC², strictement convexe, alors la méthode de la sécante est au moins d’ordre ¹⁺

√5 2 .

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Méthodes de résolution d’équations Série harmonique Algorithmes d’approximation de logarithmes

Méthode de Newton

Principe

Le même que celui de la sécante... Mais en remplaçant la sécante par la tangente !

Analyse

Il y a des cas où la méthode ne converge pas (dessin).

Sous des hypothèses sympathiques, la méthode converge et est d’ordre 2.

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Conclusion

Méthode de Newton

Principe

Le même que celui de la sécante... Mais en remplaçant la sécante par la tangente !

Analyse

Il y a des cas où la méthode ne converge pas (dessin).

Sous des hypothèses sympathiques, la méthode converge et est d’ordre 2.

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Introduction Analyse

Méthodes de résolution d’équations Série harmonique Algorithmes d’approximation de logarithmes

Premières propriétés

Définition

Lasérie harmonique est la suite (Hn)n∈N^∗ définie par :

∀n∈N^∗, Hn=

n

X

k=1

1 k

C’est un exemple (contre-intuitif ?) de série divergente (pourquoi ?) dont le terme général tend vers 0.

Applications

L’espérance dans le problème du collectionneur de vignettes est denH_n. Autres applications dans les domaines de la musique, l’architecture, ou les contre-exemples bizarres (la sérieH_n⁰ où l’on supprime les termes qui correspondent à unn qui possèdent un 9 dans leur écriture en base 10 converge...).

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Méthodes de résolution d’équations Série harmonique Algorithmes d’approximation de logarithmes

Combinatoire Probabilités

Loi de Poisson Espérance Dispersion d’une variable aléatoire

Conclusion

Premières propriétés

Définition

Lasérie harmonique est la suite (Hn)n∈N^∗ définie par :

∀n∈N^∗, Hn=

n

X

k=1

1 k

C’est un exemple (contre-intuitif ?) de série divergente (pourquoi ?) dont le terme général tend vers 0.

Applications

L’espérance dans le problème du collectionneur de vignettes est denH_n. Autres applications dans les domaines de la musique, l’architecture, ou les contre-exemples bizarres (la sérieH_n⁰ où l’on supprime les termes qui correspondent à unn qui possèdent un 9 dans leur écriture en base 10 converge...).

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Introduction Analyse

Méthodes de résolution d’équations Série harmonique Algorithmes d’approximation de logarithmes

Encadrement plus précis

Principe

Comparaison série intégrale : sif est décroissante sur [1,+∞[, l’intégrale^R₁^+∞f(t)dt et la série ^P_n≥1f(n) sont de même nature.

Mais on peut faire mieux...

Et prouver que ln(n) +¹_n ≤H_n≤lnn+ 1 pour toutn≥1. Cela donne un équivalent deHn... et on peut continuer :

H_n= lnn+γ+o(1)

oùγ ∈]0,1[, appelée constante d’Euler. On sait très peu de choses sur la constanteγ (notamment, on ne sait pas s’il s’agit d’un nombre rationnel).

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Combinatoire Probabilités

Loi de Poisson Espérance Dispersion d’une variable aléatoire

Conclusion

Encadrement plus précis

Principe

Comparaison série intégrale : sif est décroissante sur [1,+∞[, l’intégrale^R₁^+∞f(t)dt et la série ^P_n≥1f(n) sont de même nature.

Mais on peut faire mieux...

Et prouver que ln(n) +¹_n ≤H_n≤lnn+ 1 pour toutn≥1.

Cela donne un équivalent deHn... et on peut continuer : H_n= lnn+γ+o(1)

oùγ ∈]0,1[, appelée constante d’Euler. On sait très peu de choses sur la constanteγ (notamment, on ne sait pas s’il s’agit d’un nombre rationnel).

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Méthodes de résolution d’équations Série harmonique Algorithmes d’approximation de logarithmes

Algorithme de Brouckner

Principe

La série harmonique alternée^P_n≥1 ⁽⁻¹⁾_nⁿ⁺¹ converge vers ln(2) (pourquoi ?). On peut donc l’utiliser assez facilement pour calculer une valeur approchée du logarithme.

Problème... et solution

La convergence est lente. Toutefois, si l’on regroupe les termes par deux, on a _2n+1¹ −_2n+2¹ = (2n+1)(2n+2)¹ , et la série converge plus rapidement. Attention toutefois, le regroupement de termes dans les séries non absolument convergentes est périlleux (mais là, on a le droit)... Le résultat ne reste pas incroyable !

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Combinatoire Probabilités

Loi de Poisson Espérance Dispersion d’une variable aléatoire

Conclusion

Algorithme de Brouckner

Principe

La série harmonique alternée^P_n≥1 ⁽⁻¹⁾_nⁿ⁺¹ converge vers ln(2) (pourquoi ?). On peut donc l’utiliser assez facilement pour calculer une valeur approchée du logarithme.

Problème... et solution

La convergence est lente. Toutefois, si l’on regroupe les termes par deux, on a _2n+1¹ −_2n+2¹ = (2n+1)(2n+2)¹ , et la série converge plus rapidement. Attention toutefois, le regroupement de termes dans les séries non absolument convergentes est périlleux (mais là, on a le droit)... Le résultat ne reste pas incroyable !

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Méthodes de résolution d’équations Série harmonique Algorithmes d’approximation de logarithmes

Algorithme de Briggs

Principe

On veut calculer le logarithme d’un nombrex >0. On définit la suite récurrente (u_n)n∈N par u₀ =x et, pour n∈N : un+1=√

un. Cette suite converge vers 1. Quand |u_n−1| ≤ε, avecε >0 fixé à l’avance, on approxime ln(un)'un−1. Il ne reste plus qu’à écrire

n+1 n+1

Problèmes

Nombreux ! Numériques, théoriques...

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Combinatoire Probabilités

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Conclusion

Algorithme de Briggs

Principe

On veut calculer le logarithme d’un nombrex >0. On définit la suite récurrente (u_n)n∈N par u₀ =x et, pour n∈N : un+1=√

un. Cette suite converge vers 1. Quand |u_n−1| ≤ε, avecε >0 fixé à l’avance, on approxime ln(un)'un−1. Il ne reste plus qu’à écrire

ln(x) = 2 ln(u₁) = 4 ln(u₂) =· · ·= 2ⁿ⁺¹ln(u_n)'2ⁿ⁺¹(u_n−1) Problèmes

Nombreux ! Numériques, théoriques...

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Méthodes de résolution d’équations Série harmonique Algorithmes d’approximation de logarithmes

Rôle dans le programme

Interactions Probabilités

Vocabulaire ensembliste Informatique

Raisonnement par récurrence...

Démonstrations ?

La plupart des démonstrations sont théoriques et fondatrices de la notion d’ensemble fini. On doit donc les admettre (et c’est heureux !).

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Combinatoire Probabilités

Loi de Poisson Espérance Dispersion d’une variable aléatoire

Conclusion

Rôle dans le programme

Interactions Probabilités

Vocabulaire ensembliste Informatique

Raisonnement par récurrence...

Démonstrations ?

La plupart des démonstrations sont théoriques et fondatrices de la notion d’ensemble fini. On doit donc les admettre (et c’est heureux !).

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Méthodes de résolution d’équations Série harmonique Algorithmes d’approximation de logarithmes

Premiers principes

Principe des bergers

Cardinal d’une union disjointe.

Exemples : nombre de couples (x,y)∈[|1,n|]² tels quex 6=y, nombre de mots àn lettres sur un alphabet dep lettres sans deux lettres consécutives identiques.

Cardinal d’un produit cartésien

Notion dek-uplet ouk-liste. Modélisation : tirages successifs (tirage de 5 cartes successifs dans un jeu de 52, mots de 8 lettres contenant le mot « PLOUF »).

Permutations, factorielle.

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Conclusion

Premiers principes

Principe des bergers

Cardinal d’une union disjointe.

Exemples : nombre de couples (x,y)∈[|1,n|]² tels quex 6=y, nombre de mots àn lettres sur un alphabet dep lettres sans deux lettres consécutives identiques.

Cardinal d’un produit cartésien

Notion dek-uplet ouk-liste. Modélisation : tirages successifs (tirage de 5 cartes successifs dans un jeu de 52, mots de 8 lettres contenant le mot « PLOUF »).

Permutations, factorielle.

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Introduction Analyse

Méthodes de résolution d’équations Série harmonique Algorithmes d’approximation de logarithmes

Nombre de parties, k -combinaisons

Parties

Il y a 2ⁿ parties d’un ensemble àn éléments (mots de longueur n sur un alphabet à 2 éléments).

Combinaisons

Définition combinatoire de ⁿ_k (nombre de combinaisons dek éléments d’un ensemble àn éléments). Formule et explication. Explicitation pourk∈ {0,1,2}, symétrie. Relation et triangle de Pascal.

Démonstrations au programme :^Pn_{k=0 k}ⁿ= 2ⁿ, relation de Pascal.

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Combinatoire Probabilités

Loi de Poisson Espérance Dispersion d’une variable aléatoire

Conclusion

Nombre de parties, k -combinaisons

Parties

Il y a 2ⁿ parties d’un ensemble àn éléments (mots de longueur n sur un alphabet à 2 éléments).

Combinaisons

Définition combinatoire de ⁿ_k (nombre de combinaisons dek éléments d’un ensemble àn éléments). Formule et explication.

Explicitation pourk∈ {0,1,2}, symétrie. Relation et triangle de Pascal.

Démonstrations au programme :^Pn_{k=0 k}ⁿ= 2ⁿ, relation de Pascal.

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Introduction Analyse

Méthodes de résolution d’équations Série harmonique Algorithmes d’approximation de logarithmes

Loi de Poisson vue comme limite de lois binomiales

Convergence en loi

Si (Xn) est une suite de variables aléatoires suivant des lois binomiales de paramètresn,p_n et quenp_n→λ >0, alors on a, pourk ∈N :

P(Xn=k)→ e^−λλ^k k!

En pratique, siX suit une loi binomiale de paramètres n,p avec n≥30,p<0,1 etnp ≤15, la loi de Poisson de paramètre np est une bonne approximation de la loi deX.

Interprétation

Événements rares : accidents, défaut de crédit...

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Méthodes de résolution d’équations Série harmonique Algorithmes d’approximation de logarithmes

Combinatoire Probabilités

Loi de Poisson Espérance Dispersion d’une variable aléatoire

Conclusion

Loi de Poisson vue comme limite de lois binomiales

Convergence en loi

Si (Xn) est une suite de variables aléatoires suivant des lois binomiales de paramètresn,p_n et quenp_n→λ >0, alors on a, pourk ∈N :

P(Xn=k)→ e^−λλ^k k!

En pratique, siX suit une loi binomiale de paramètres n,p avec n≥30,p<0,1 etnp ≤15, la loi de Poisson de paramètre np est une bonne approximation de la loi deX.

Interprétation

Événements rares : accidents, défaut de crédit...

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Loi de Poisson vue comme limite de lois binomiales

Convergence en loi

Si (Xn) est une suite de variables aléatoires suivant des lois binomiales de paramètresn,p_n et quenp_n→λ >0, alors on a, pourk ∈N :

P(Xn=k)→ e^−λλ^k k!

En pratique, siX suit une loi binomiale de paramètres n,p avec

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Combinatoire Probabilités

Loi de Poisson Espérance Dispersion d’une variable aléatoire

Conclusion

Linéarité de l’espérance

Démonstration

Une démonstration nécessite de formaliser les variables aléatoires comme fonctions sur l’univers... Mais le résultat est intuitif (quel résultat obtient-on en moyenne quand on somme le résultat de deux dés non pipés ?).

Exemples

Espérance d’une loi binomiale. Problème du collectionneur !

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Linéarité de l’espérance

Démonstration

Une démonstration nécessite de formaliser les variables aléatoires comme fonctions sur l’univers... Mais le résultat est intuitif (quel résultat obtient-on en moyenne quand on somme le résultat de deux dés non pipés ?).

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Combinatoire Probabilités

Loi de Poisson Espérance Dispersion d’une variable aléatoire

Conclusion

Bienaymé-Tchebychev

Inégalité de Markov

SoitX une variable aléatoire réelle. Pour touta>0 :

P(|X| ≥a)≤ E(|X|) a

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

SoitX une variable aléatoire réelle. Pour touta>0 : P(|X −E(X)| ≥a)≤ V(X)

a²

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Bienaymé-Tchebychev

Inégalité de Markov

SoitX une variable aléatoire réelle. Pour touta>0 :

P(|X| ≥a)≤ E(|X|) a Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

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Combinatoire Probabilités

Loi de Poisson Espérance Dispersion d’une variable aléatoire

Conclusion

Inégalité de concentration, loi des grands nombres

Inégalité de concentration

On considèreX₁,· · ·,X_n indépendantes, de même loi, d’espéranceµ, de varianceV, etMn leur moyenne. Alors

P(|M_n−µ| ≥δ)≤ V nδ²

Loi (faible) des grands nombres Pour toutδ >0, lorsquen→+∞ :

P(|M_n−m| ≥δ)→0

Réconciliation des points de vue fréquentiste et bayésien.

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Inégalité de concentration, loi des grands nombres

Inégalité de concentration

On considèreX₁,· · ·,X_n indépendantes, de même loi, d’espéranceµ, de varianceV, etMn leur moyenne. Alors

P(|M_n−µ| ≥δ)≤ V nδ² Loi (faible) des grands nombres

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Combinatoire Probabilités

Loi de Poisson Espérance Dispersion d’une variable aléatoire

Conclusion

Merci pour votre attention !