AVERTISSEMENT
Ce document est le fruit d'un long travail approuvé par le jury de soutenance et mis à disposition de l'ensemble de la communauté universitaire élargie.
Il est soumis à la propriété intellectuelle de l'auteur. Ceci implique une obligation de citation et de référencement lors de l’utilisation de ce document.
D'autre part, toute contrefaçon, plagiat, reproduction illicite encourt une poursuite pénale.
Contact : ddoc-theses-contact@univ-lorraine.fr
LIENS
Code de la Propriété Intellectuelle. articles L 122. 4
Code de la Propriété Intellectuelle. articles L 335.2- L 335.10 http://www.cfcopies.com/V2/leg/leg_droi.php
http://www.culture.gouv.fr/culture/infos-pratiques/droits/protection.htm
8€,/, -73
2ox
THESE
presentée à
L'UNIVERSITE DE METZ
pour obtenir le
TITRE DE DOCTEUR DE
L'UNIVERSITE DE METZ
par
Serge Perrine
Sujet : Approximation diophantienne (Théorie de Markoff) -Tome 3
Soutenue le 16 décembre 1988 , devant la commission d'Examen:
Pr MENDES-FRANCE Michel : Université de Bordeaux (Rapporteur)
Pr MIGNOTTE Maurice : Université de Strasbourg (Rapporteur)
Pr RHIN Georges : Université de Metz (Directeur de thèse)
Pr o^ï;;;ilu,
,*rur^urror^, o, ,',,rir'
'té d'Edimbourg (Rapporteur)
I Tllil lllll llil lllil lffi lil lill ffi lill ilil llil llil
022 420307 0
urmtEqlEWvËKtnne
38sos6yl
E z un. toqg
presentée à
L'UNIVERSITE DE METZ
pour obtenir le
TITRE DE DOCTEUR DE
L'UNIVERSITE
par
DE METZ
Serge Perrine
Sujet : Approximation diophantienne (Théorie de Markoff) -Tome 3
Soutenue le 16 décembre 1988 , devant la commission d'Examen:
Pr MENDES-FRANCE Michel
Pr MIGNOTTE Maurice
Pr RHIN Georges
Pr SMYTH Christopher
: Université de Bordeaux (Rapporteur) : Université de Strasbourg (Rapporteur)
: Université de Metz (Directeur de thèse)
:Université d'Edimbouç (Rapporteur)
ETUDE DES TROUS DU SPECTRE DE MARKOFF
r' :::=ïi::::=::::=:=::::::::::::::=3::=:::::=::=:::::::=::=:::::::
D a n s t o u t e l a s u i t e , o t r s t a p p u i e s u r l e s f o r m a l i s m e s e t l e s p r o p r i é t é s q u i o n t é t é d é v e l o p p é s a v a n t , ê t n o t a m e n t d a n s l a d e u x i è m e p a r t i e c o n s a c r é e a u x : " D é f i n i t i o n s e t p r o p r i é t é s d e s s p e c t r e s d e M A R K O F F e t P E R R O N " .
A / I N T R O D U C T T O N
4 . 1 - F o r m e s d e M A R K O F F q é n é r a 1 i s é e s
I L e s p e c t r e d e M A R K O F F l t e s t u n e n s e m b l e c o m p a c t c o n t e n u d a n s [ 0 , : ] d o n t I a s t r u c t u r e e s t c e l l e d ' u n e n s e m b l e d e C A N T O R o b t e n u p a r
e x t r a c t i o n s u c c e s s i v e d ' u n e i n f i n i t é d é n o m b r a b l e d e t r o u s m a x i - m a u x
r i ( i € J f ) .
L e s t r o u s m a x i m a u x T ; = ] o ( i , p i [ s o n t e u x m ê m e s d e s o u v e r t s c o n n e x e s d i s j o i n t s c o n t e n u s d a n s t O , +?. I et tels que :'
l f
D ' a p r è s l e T h é o r è m e d e H A L L , o t r a f i n c l u s i o n : I
t o , 7 ) ' Ç 1 1 ld+5
A v e c l a T h é o r i e d e M A R K O F F c l a s s i g u e , t o u s l e s t r o u s m a x i m a u x c o n t e n u s
dans ,
I II t
,l-f I sont connus.
L a r e c h e r c h e d e s t r o u s m a x i m a u x , u t i l e p o u r d é t e r m i n e r l a s t r u c t u r e d e -Û'l est donc intéressante à f a i r e d a n s I e s e g m e n t :
I 1
[ : - ]
[2*5 3
I r ; n t t = 0
I a.,.,-ûi
I t pt e.Da
O n a p p e l l e t r o u d u s p e c t r e d e M A R K O F F t o u t i n t e r v a l l e o u v e r t I o ( , P t c o n t e n u d a n s l ' u n d e s e n s e m b l e s T 1 = l { i , I h [ .
U n t e l t r o u e s t d i t m a x i m a l à g a u c h e s i e t s e u l e m e n t s i o t = 1 1 . I I e s t d i t m a x i m a l à d r o i t e s i e t s e u l e m e n t s i
P = F ' .
o n c o n s i d è r e l e s n o m b r e s :
A ( x - | - , v ) ( x . i j , v t
m i n i m u m a r i t h m é t i q u e
I M ( r ] = r n r
{ l r ( p , q ) l ; ( p , q ) e . - { t o , o l } }
{ a t t l d i s c r i m i n a n t d e f
I a,r, = p-"onstante de MARKoFF de f
l l À t r t '
. A I e s l a
L ' é t u d e d e s t r o u s d u s p e c t r e d e M A R K O F F e s t é g u i v a l e n t e à I a r e c h e r c h e d e s i n t e r v a l l e s o u v e r t s l * ,
P I t e l s q u ' i l n r e x i s t e a u c u n e f o r m e f v é r i f i a n t : o ( < c ( f )
C e s t r o u s s o n t m a x i m a u x s i e t s e u l e m e n t s ' i l e x i s t e d e s f o r m e s f "
e t f , t e l l e s q u e C ( f , ) = d e t C ( f 1 ) = F .
C e c i r é s u l t e d e l a p r o p r i é t é d e c o m p a c i t é d u s p e c t r e d e M A R K O F F é t a U l i e p a r C U S I C K .
L e s f o r m e s q u a d r a t i g u e s c o n s i d é r é e s f p e u v e n t e l l e s m ê m e s ê t r e c h o i - s i e s p a r t i c u l i è r e s :
u n f a c t e u r m u l t i p l i c a t i f p r è s , e t e n c h a n g e a n t é v e n t u e l l e m e n t i n d i c e s , o n p e u t s u p p o s e r g u e f e s t r é d u i t e e t s ' é c r i t s o u s f o r m e :
f ( x , y ) = À ( x t - b x y
b. = t"t-Jier
g
IO n n o t e a l o r s J = ( a ; ) ; r 1 f o r m e r é d u i t e f .
E t o n p o s e : t ( . f ) = S u p a ;
ieL
. P a r l e t h é o r è m e d e H A L L , o n a n é c e s s a i r e m e n t p o u r q u e l e t r o u c o n s i d é r é p u i s s e e x i s t e r 3
1
] f i 1 \ ^ - P
5 + I 2 I
f o r m e s f p e u v e n t ê t r e c h o i s i e s r é d u i t e s , t e l l e s g u e l a s u i t e ( a . ; ) ; s 1 a s s o c i é e v é r i f i e z Y i e Z I ( a i
e n c o r e 3 t ( J ) \ < 4 .
"'{-
c y l ) = I
= ? ' , ) I
= t.-;Jio-gî'
. C r e s t l a s u i t e d o u b l e a s s o c i é e à I a
Les J = Ou
C e c i r é s u l t e d e t ' a p p l i c a t i o n d u l e m m e d e D I C K S O N .
. A u l i e u d e c o n s i d é r e r f o n p e u t c o n s i d é r e r l a f o r m e F a s s o c i é e à f d é f i n i e c o m m e s u i t :
F ( x r y ) = f ( - x r y ) = x t + b x y + c y l
= ( x + 3 ,lt - A ,'
2 4 C e t t e f o r m e d é f i n i t d e u x r a c i n e s :
I 0 = - t - | = [ o , a - 2 , â - 3 , â . 4 , . o . ]
I e ' = - È - , = [ - t - , - r , l , a o - l , à a , à , , "' ]
E I l e s ' é c r i t : F ( x , y ) = ( x g V ) ( * - 0 ' Y l D E F I N I T I O N
u n e f o r m e q u a d r a t i q u e F ( x , y ) = x l + b x y + c y l e E t x , y l e s t u n e f o r m e d e M A R K O F F g é n é r a t i s é e s i e t s e u l e m e n t s i l a f o r m e
f ( x , y ) = F ( - x r y ) e s t r é d u i t e a u s e n s d e M A R K O F F . O n d i t a l o r s q u e F e s t l a f o r m e d e M A R K O F F d é f i n i e p a r I a f o r m e r é d u i t e f ( o u l a s u i t e d o u b l e J ) .
O n p o s e :
F ( x , y ) = ( x - I v ) ( x - 0 ' y ) o ù L > 0 > o > - 1 , 0 '
Remarque
L e s f o r m e s F i n t r o d u i t e s i c i g é n é r a l i s e n t l - e s f o r m e s d e M A R K O F F t e € O [ x , y ] i n t r o d u i t e s a v a n t . I I s u f f i t p o u r s r e n c o n v a i n c r e
d e s e r e p o r t e r a u T h é o r è m e d e c a r a c t é r i s a t i o n d e s f o r m e s d e M A R K O F F ( 3 è m e p a r t i e : G é n é r a l i s a t i o n d e l a T h é o r i e d e M A R K O F F c l a s s i q u e
T h é o r è m e I . 9 ) .
C e l u i - c i é t a U l i t I ' é q u i v a l e n c e p o u r f E Q I x , y J d e s p r o p r i é t é s s u i v a n t e s :
( 1 ) f r é d u i t e
( 2 ) . 1 t g f o r m e d e M A R K O F F r é d u i t e e t A Ê O , t e l s q u e :
f ( x , y ) = A F , ( - x , y ) ( 0 ' = 6 ' c o n j u g u é d u n o m b r e 0 ) E n f i n , d e u x f o r m e s d e M A R K O F F d i s t i n c t e s p e u v e n t ê t r e é g u i v a l e n t e s
p o u r l ' . a c t i o n d u g r o u p
" f i r ( V l * .
. P a r I e T h é o r è m e d e H A L L , o t r P e u t s o n m a x i m u m a v e c :
s u p p o s e r q u e I a f o r m e f a t t e i n t
1 l
= -
3-q' t:r ô-rt r I
o ù ï
à-.= [ti-. ];crt et
I= [".;-" ]iÉof* = t"
ri
f n ( x , y ) = A , . ( x -
{ V ) t x - à j t ) f o r m e r é d u i t e é q u i v a l e n t e à f
C e c i p e r m e t d e p o s e r : D E F I N I T I O N
D a n s l e s c o n d i t i o n s p r é c é d e n t e s , o n d i t q u e l a f o r m e d e M A R K O F F d é f i n i e p a r l a f o r m e r é d u i t e f , ( é q u i v a l e n t e à f = f - , ) e s t u n e f o r m e d e M A R K O F F g é n é r a l i s é e s u p e r r é d u i t e .
E l l e s ' é c r i t :
P ( x , y ) = ( x - 9 y ) ( x - O ' y ) = x t + b x y + c y t € J R . [ x , y ]
o ù r > 0
s o i t b > 0 e t c ( 0
- b + e t
0 = - B j , = [o,a.r,a-1 ,a-1,, ...] =
( o ù a - t ( J ) = s u p a i g l + a - r )
Lcz.
E t t e v é r i f i e l a c o n d i t i o n c a r a c t é r i s t i q u e :
c(r) =m=
I0 t = - à - , = [ - x . l , I , ê o - r , à , r , â r , " ' 1 =
d e 1 a
- b -
n e z
5-. (f) =à*.-Èi-^
P a r l e l e m m e On note dans
D I C K S O N , o D s u i t e : a =
a a l o r s : : a - " + 1 7 t ( J ) = |uq ai
L ê L t ( J ) .I
P o u r u n e t e l l e f o r m e ' o n a l ' é g a l i t é : M ( F ) - I = F ( 1 , 0 )
L . i n t é r ê t d e s f o r m e s s u p e r r é d u i t e s d é f i n i e s c i - d e s s u s e s t m u l t i p l e : T o u t d t a b o r d u n e c o n s t a n t e d e M A R K O F F a u n e e x p r e s s i o n s i m p l e d i r e c t e m e n t 1 i é e a u x r a c i n e s q u i l e u r s o n t a s s o c i é e s .
D a n s I e c a s o ù l r o n a F ( x , y l e A [ x r y ] , o n r e t r o u v e b i e n l a d é f i n i t i o n d e s f o r m e s s u p e r r é d u i t e s F g ( x , y ) d o n n é e
a i I l e u r s . A v e c :
K.+ Ka- m(a+l) +
2m
2n
O n t r o u v e I
0 -s'
C o m m e o n
m 1 ( S )
\ J A . t s l
0 E n f i n , d a n s l e c a s o ù p ( x , y ) e s t à c o e f f i c i e n t s r é e l s n o n r a t i o n n e l s , I e t h é o r è m e d e M a r y G B U R m o n t r e q u ' i I e x i s t e a u p l u s q u a t r e a u t r e s f o r m e s s u p e r r é d u i t e s é q u i v a l e n t e s F m a i s d i s t i n c t e s d e F . ( E t t e s s e g r o u p e n t p a r d e u x a v e c
f n - r 1
m a r r i c e i = l- - l e 4 ï , ( z ) * ) .
L I O J T
I = g a t s l = [ 0 , . \ , 4 u , . . . , a o r a . J =
g ' =G; = [-q;l,r,ao- lrar,êr, ... ,ah,a,a.,] =
K.r+ K.- m(a+I) -o ù A r t s ) = [ ( a + l ) m t K . r - x a J l + 4 ( - I ) n " l
e n e f f e tm
= - - r
\ J A a ( s l
p e u t a u s s i é c r i r e c ( F ) =
a v e c m " ( s l e 3 Ù *
c a r F ( x , y ) Ç f l [ x , y 3 , 1 ' é g a l i t é c ( F ) = t t
a . q u i c a r a c t é r i s e
0 -0'
l e s f o r m e s d e M A R K O F F g é n é r a l i s é e s s u p e r r é d u i t e s e s t é q u i v a - l e n t e d a n s c e c a s à l , é g a l i t é m a ( S ) = m 9 u i c a r a c t é r i s e l e s f o r m e s d e M A R K O F F s u p e r r é d u i t e s F ( x , y ) = a g ( x , y ) É Q [ x ' y J
I l y a d o n c b i e n c o î n c i d e n c e e n t r e l e s d i v e r s e s d é f i n i t i o n s q u e I ' o n a d o n n é e s p o u r I a s u p e r r é d u c t i o n .
a 1 a
A.ts)
u n e f o r m e é q u i v a l e n t e D a n s c e c a s o n P e u t é c r i r e :
, u ' " t
P ( x , y ) = x - - b x y + ( b - +
o - ' r r t v v
, b € s - @ o ù f u É Z , v s . 3 f *
{ o n . u ( u , v ) = r
f r t , r , u ) = s e {,+r , -1Ir
A . 2 P o r m e s n o r m a l e s
O n a d e f a ç o n é v i d e n t e p o u r l e s r a c i n e s I e t fl'associées à u n e f o r m e d e M A R K O F F g é n é r a l i s é e F l e s i n é g a 1 i t é s :
f o < 0 < l
I
1 a-;1 ( gt. -.-,
s o i t p o u r u = - 0 - g ' r ' e n c a d r e m e n t : 0 - ( a - 1 1 < b < a - , + I e t p o u r c = 0 0 ' I ' e n c a d r e m e n t : -
" { - I ( c ( o
M a i s p o u r u n t r a i t e m e n t p l u s g t o b a l , c e s d e r n i e r s e n c a d r e m e n t s q u i o b t i g e n t à t e n i r c o m p t e d e I a v a l e u r d e . - , t " s o n t p a s l e s p l u s
a d é q u a t s .
[ * r r ' J
i s a n t u n e m a t r i c e u =
l ' ; ; l ,
l Ï \ r t 7 . t "
L J
a m è n e p o u r u n e v a l e u r c o n v e n a b l e k e Z à I ' o n p e u t é c r i r e :
g ( x , y ) = ( x + e y ) t - A y t 4 I
o ù - - ( e - ( t 2
è d e p o u r c e l a d e l a f a ç o n s u i v a n t e : I b
s i . o ( + - ( - = s ( + e - ( x + I o ù a , ê L z 2 2
E n u t i l o n s e r à r q u e
O n p r o c C a s I :
y ; y ) = F ( x , y ) + o (
[ :
']'*trt*
O n p o s e : g ( x
a V e C U =
C a s 2 z s i o ( ( - = o r + I - e < o ( + : o ù o ( É , 2 . 2 2 2
On pose : g
avec
P o u r c a l c u l e r o ( , or peut utiliser l a c o n d i t i o n v u e c i - d e s s u s : â - , - 1 ( b ( a - , + 1
O n d i s t i n g u e d e u x c a s :
l b 1
* s i ê - 4 = z [ p a i r , o D o b t i e n t è -
;
. ; , è *
; 1 b
c a s 1 ) s i è 2 2
b I
c a s 2 ) s i ô - < - < f + - o n t r o u v e d = à 2 2 i
b
* s i â - r = 2 è* I impair, on obtient è < 1 < c\ + I 2
1 b C a s r ) s i | + -
2 2 b t
C a s 2 l s i è < - - < | + - o n t r o u v e * = ô 2 2
D e s o r t e q u e I ' o n p e u t é c r i r e , o ( = 1 - ' 2
a - r - 2 1 . t - I
O E , o 1 = - s i a - r e s t p a i r , O U e n c o r e o ( 3 - 5 i â l i m p a i r . 2 2
E t d a n s c e s c o n d i t i o n s , o n P o s e :
D E F I N I T I O N - ^ _
O n d i t g u e g ( x , y ) = ( x + e y ) t - 3 y t e s t u n e f o r m e n o r m a l e é q u i v a l e n t e 4
à l a f o r m e d e M A R K O F F g é n é r a l i s é e F .
E l l e v é r i f i e l e s c o n d i t i o n s s u i v a n t e s : I
( N r ) .
; . ( e . ( 1
( N i ) t À t g l = A t r l = A . ( :
Ic ( s )
o n p e u t a l o r s é c r i r e : g ( x , y ) = ( * - B V) ( x -
| ' È = - ê +
r/ô
2 = g * d ( r e s p . à= - g'- x
a v e c :
y )
r )
avec t:
I
c a s zt sio{a jr*.:
s i a _ , . im p a i r
l = - e
à = [ a - , - o ( - l , â o , à r r , . . . ] = - ê *,lÀ
2 T ' = t - o t - 2 , L , a - r : I
, a.J, 1q, " 'a - r - I o 1 = - s l
2
'[-
2
a_l
( = - s i â - , Pair et 2
I l = - " - t l ô
= g l * o ( ( r e s p . I'= -0 - ot -1)
' .
2
C e c i p e r m e t d e d o n n e r l e s e x p r e s s i o n s d e s d é v e l o p p e m e n t s e n f r a c t i o n s
continues de I et 5' .
E n d i s t i n g u a n t L e s c a s , c o m m e a v a n t , o t r p e u t é c r i r e : ' 1 b
C a s 1 ) S i d . . + - r ( - ( o ( + I 2 2
= [ . { r a - r r a . g , . . . ] = - e +
*lr
2
ç - ! - L + o l , l r â o - I r a , l , a r , . . . ] = - I -
'IA'
2
d = b
2
sl- â-.r
o ( + e = 0 ( -
p a i r e t 6 4 =
t ! + f')
a v e c a . i m p a i r-t
3=**r-ê=o(+1+,-d,
D a n s l e s d e u x c a s , I a c o n d i t i o n d é f i n i s s a n t I e c a s c o n s i d é r é s ' é c r i t 3
I à * È '
( N . f ) t
; - . " = - r T ) . < l
R e m a r g u o n s m a i n t e n a n t q u ' a v e c 4 ' = a + - 0 ( - l , o n a - a - r - 1 + o ( ' = - o ( t 2 .
a - ) a - r - 2
D e p l u s , p o u r o ( = - , o[ obtient Q . , - d - I = - 2 2
a - r - I a - r - I
et pour o( , otr trouve â-,- d - I = -
2 2
e M A R K O F F g é n i r J * d é f i n i t t d e F p a r u t u r p r è s ) . n c ê t r e r e g r o
-
. l5 v ) e t :
â ' - 2 a . - I
a v e c 4 = - s i a - r p a i r e t O ( 3 - 5 i a - , i m p a i r .
A l o r s , p a f r é d u c t i o n , l a f o r m e g d é f i n i t I a s u i t e d o u b l e J = ( . i ) i e e à p a r t i r d e l a q u e l l e o n d é t e r m i n e a i s é m e n t u n e f o r m e d e M A R K O F F g é n é r a l i s é e F é q u i v a l e n t e à g s ' é c r i v a n t :
F ( x , y ) = ( x - g y ) ( x $ ' v l
,/Â
2
P a r a i l l e u r s , s i F e s t u n e f o r m e dà l a s u i t e d o u b l e J , I a s u i t e m i r o M A R K O F F g é n é r a l i s é e F * s e d é d u i s a n
f o + r l
i = f | Ê / l 0 r ( Z - ) * ( à u n r a c t e
L - l O J
L e s d e u x c a s p r é c é d e n t s p e u v e n t d o o ù l ' o n n o t e g ( x , y ) = ( x -
| v ) t x
| 5 = [a'n'a'3'a'4' "'] = - ê I
\
f > r ?
| 1 = L - a _ t - I + a . , 1 , â o - L , À n ,
w
s é e a s s o c i é e a u t r e f o r m e d e t i o n d e
e n u n c a s u n i q u e
= 6 1 + In l
1 i e s a
s
e r a
u n i t i
g
u p e
L e s f o r m e s n o r m a l e s s o n t c a r a c t é r i s é e s p a r m i l e s f o r m e s g a y a n t l a s t r u c t u r e p r é c é d e n t e p a r l a c o n d i t i o n :
r r - - ,
( N . ) : l ( e = - l t f + ! ' t _ < l
2 ' 2 t
y ) ( x - f
. t' y )
l a f o r m e d e M A R K O F F ' s e u l e m e n t s i F e s t
I a d é f i n i t i o n d e s p e u t é c r i r e u n e
- - v
ô L 4= d + 0
i . m p a i r .
g é n é r a 1 i s é e F , s u p e r r é d u i t e .
f o r m e s d e f o r m e n o r m a l e  . 3 - F o r m e s s u p e r r é d u i t e s
On pose : D E F I N I T I O N
s i g ( x , y ) = ( x + e y ) t - I , t = ( x - ; 4
e s t u n e f o r m e n o r m a l e é q u i v a l e n t e à
on dit gue g est ggpg31i!15!!9. si et
A u d é c a l a g e p r è s d ' i n d i c e u t i l i s é p o u r M À R K O F F g é n é r a l i s é e s s u p e r r é d u i t e s , o D s u p e r r é d u i t e s o u s l a f o r m e :
s ( x , y ) = ( x - 3 y ) ( x - | ' v t = ( x +
! = [ Â r a - 1 , a - 3 r a - 1 , . . . ] = - ê * a v e c
a - r - 2 ( = -
2 a + 4
- r l
s i â - r p a i r e t o ( = " - ' l t 2
> t(J) = i:T.;
s i a -l
e t
( N ,
I e s d e u x c o n d i t i o n s c a r a c t é r i s t i q u e s I
) : - - ( e - ( I 2
t
à - t'
( N r )
I\JA
e y ) t
r/ô
2
T ' = t - a - r - I + 4 r l r â o - r , a r r a 1 , . . . f = - ê 'lô
2 = n *.9/
C ( g ) =
B / U Î I L I S A T I O N D E S F O R M E S N O R M À L E S 8 . 1 - I n t r o d u c t i o n d e s c o n d i t i o n s N e t P
p o u r u n e f o r m e n o r m a r e g e t ( p , g ) É t- l t o , o t f
t l, o î a :
l s ( p , q ) I > L
g u e l r u n e a u m o i n s d e s d e u x c o n d i t i o n s s u i v a n t e s e s t g ( P , q ) > L
g ( p , q ) - ( - l
L e s d e u x c o n d i t i o n s N ( p , q ) e t P ( p , g ) e t u n e s e u l e d e s d e u x e s t v r a i e p o u r
s ' e x c l u a n t m u t u e l l e m e n t , u n e t o u t c h o i x d e v a l e u r s
n o r m a l e g . D e s o r t e
v r a i e : P ( p , q ) : N ( p , g ) :
( p , q ) € 1 : -
En remarguant s e l i m i t e r à t o u t q € Z - - On peut donc
[ , 0 , 0 ) f e t t o u t e f o r m e
À ( p + e q ) t - I
v \ _ a S _
4 q r
q u e l ' o n a g ( p , q ) = g ( - p r - g ) , o n p e u t p o u r I a s u i t e c o n s i d é r e r I e c a s p ) , 0 . A v e c p = 0 , o [ a N ( p r q ) p o u r t O l . D e m ê m e , a v e c q = 0 , o n a P ( p , q ) p o u r t o u t P é - D f d a n s l a s u i t e s u p p o s e r p € $ r . e t g € Z - tOl .
L a c o n d i t i o n P ( p , q ) d o n n e :
* .
( 1 )
E l l e s e t r a d u i t p a r f i n é g a l i t é :
l q l
1s = C ( g )
( 2 1
E l l e c o r r e s p o n d d o n c à u n e m i n o r a t i o n d e c o n s t a n t e s d e M A R K O F F , à q d o n n é d r a u t a n t m o i n s b o n n e q u e p e s t g r a n d . , e t à p d o n n é i m p o s s i - b l e s i q e s t t r o p g r a n d e n v a l e u r a b s o l u e .
L a c o n d i t i o n t t ( p , q ) d o n n e :
( p + e q ) e + r ( 3 )
q t
> 0
Â
- > .
4
E l l e s e t r a d u i t p a r l ' i n é g a t i t é :
l q l
( 4 )
F = c ( g ) ( -
tJÀ , frn . .qrÇi
E l I e c o r r e s p o n d a u c o n t r a i r e à u n e m a j o r a t i o n d e c o n s t a n t e s d e M A R K O F F , à q d o n n é d r a u t a n t m e i l l e u r e q u e p e s t g r a n d , ê t à p d o n n é d ' a u t a n t m o i n s u t i l e q u e q e s t g r a n d e n v a l e u r a b s o l u e . B o r n e r l e s c o n s t a n t e s d e M A R K O F F p e u t a l o r s s e f a i r e e n u t i l i s a n t c e s i n é g a l i t é s p o u r d e s v a l e u r s b i e n c h o i s i e s d e p e t q e n f o n c t i o n d e s c o n t r a i n t e s c o n n u e s s u r e .
8 . 2 . - E x e m p l e s d e c o n d i t i o n s N e t P
* La condition t ' l ( 1 , 1 ) s e t r a d u i t p o u r u n e f o r m e n o r m a l e g p a r l a I
c o n d i t i o n : C ( 9 ) :( -{''
E n s e l i m i t a n t à c o n s i d é r e r d e s f o r m e s d o n t l a c o n s t a n t e d e M A R K O F F t 1
e s t d a n s I ' e n s e m b l e U , = [ ' - 1
\Iî'' \fr '
O n v o i t q u e l a c o n d i t i o n N ( I , I ) n ' a p a s l i e u e t q u ' a u c o n t r a i r e , o n a t o u j o u r s l a c o n d i t i o n P ( 1 , I ) .
O n a d o n c p o u r l e s f o r m e s n o r m a l e s d o n t l a c o n s t a n t e d e M À R K O F F e s t d a n s U t :
( 5 ) A - . ( r + e)t- r
4
* D e m ê m e , s i l ' o n a v a i t P ( z , - L ) , o n t r o u v e r a i t a v e c ( 1 ) :
À r s
- \ < ( 2 e ) l - ( - 4 4
l l O n a u r a i t a l o r s a v e c ( 3 ) : C ( g ) = . . . 5 ) - 7
\Ja Is
O n t r o u v e r a i t u n e c o n t r a d i c t i o n , q u i e n r e t o u r g a r a n t i t g u e l r o n a t o u j o u r s N ( 2 , - 1 ) , c ' e s t - à - d i r e :
( 6 ) À ,. (z - e)r,+ I
4
E n c o m p a r a n t a l o r s ( 5 ) e t ( 6 ) , o n t r o u v e g u e I ' o n a s u r U r : 5
( 7 ) e ) z -
6
* P a r a i l l e u r s , d a n s l a p r é s e n t a t i o n d e l a T h é o r i e â e M A R K O F F c l a s s i q u e s e l o n C A S S E L S [ 8 ] , o n u t i l i s e d e s c o n d i t i o n s N ( x , y )
e t P ( x , y ) c o m p a r a b l e s , m a i s a v e c d e s f o r m e s q u a d r a t i g u e s s ' é c r i v a n t :
3 m 2 k r  r '
v I - = v
F r ( x , y ) = [ x +
2m
3 m 2 k 2 k
D a n s c e c a s : b = - = 3 - -
m m
D e u x p o s s i b i l i t é s s e p r é s e n t e n t :
0 S i 0 - ( 2 k .( m, or a alors 2 ( b -( 3 A v e c è = 0 e t g ( - x - 2 y , y ) = L ( x , y )
: m + 2 k
l a f o r m e n o r m a l e a s s o c i é e e s t o b t e n u e p o u r e = - = 2 - b 2 m
l
0 S j . m -( 2k .( 2m, on a alors - < b ( I
' t * - 2 k
F r . ( x , y ) = g ( x , y ) e s t l a f o r m e n o r m a l e o b t e n u e p o u r e = ; - = O
L e s d é m o n s t r a t i o n s d e C A S S E L S d o n n e n t d i f f é r e n t e s c o n d i t i o n s N , v a l a b l e s p o u r l e s f o r m e s n o r m a l e s g d o n t l a c o n s t a n t e d e M A R K O F F
I v é r i f i e : C ( g )
3
p a r C A S S E L S p a r r e c o u r s à I a
-21
, lê tillr( /t * .
r J
t e p r é c é d e n t . C e d e r n i e r c a s e s t é v a c u
t r a n s f o r m a t i o n u = |
r-r
L 0
I l n e c o n s i d è r e a i n s i q u
A v e c N ( I , - l ) , o n a :
( B ) L > ( 1 - e ) s + r
4
A i n s i d e s u i t e , p o u r l e s d i v e r s e s c o n o i t i o n s N d o n n é e s p a r C A S S E L S .
A i n s i , p o u r N ( 5 , - 2 ) , o n t r o u v e a v e c ( 1 ) :
A > / ( 5 2 e ) - + I > ro
, A u s s i , s i I ' o n s e l i m i t e à c o n s i d é r e r d e s l a c o n s t a n t e d e M A R K O F F s e t r o u v e c o m p r i s ef o r m e s n o r m a l e s g d o n t d a n s l a p a r t i e d e U t
P ( 5 , - 2 1 , c ' e s t - à - d i r e e n c o r e s i t u é e e n - e t E t c e l l e s - c i v é r i f i e n t
3 l r o
A \ < ( 5 2 e ) L - r
( e )
C / C O N S T R U C T I O N D E T R O U S A P A R T I R D E C O N D T T I O N S P E n u t i l i s a n t d e s r e l a t i o n s
i d e n t i f i e r d i f f é r e n t s t r o u s
P ( p , g ) , o u N ( p , g ) a d a P t é e s , o n P e u t d u s p e c t r e d e M A R K O F F . :
P R O P R I E T E I . I ( J A C K S O N ) 3 L , i n t e r v a l l e o u v e r t I p , ;
I a s .
s p e c t r e d e M A R K O F F . D é m o n s t r a t i o n
S o i t g u n e f o r m e n o r m a l e
e s t u n t r o u m a x i m a l d u
S u p p o s o n s q u e l ' o n a i t p o u r c e t t e . f o r m e 9 À r
A l o r s a v e c ( 7 ) : - ) . ( 2 + 3 e ) t L ) .
N ( 2 , 3 ) . . 8 5
4
c ( s )
f i n é g a l i t é i n v e r s e , o D S o i t
3
16; * c(s) \<
4 3
F,
t e l l e g u e : t 9
I
- =
I A
a u s s i
C o m m e p a r h y p o t h è s e o n a t r o u v e :
c ( s )
a v e c n é c e s s a i r e m e n t e
5 t o n o b t i e n t a i n s i : g ( x , y ) = ( x + - Y )
6
* * ; x y - r 5
H o r s c e c a s , o D a P ( 2 r 3 ) q u i , a v e c P ( 5 , 9 A - ( M i n [ 9 ( 5 2 e ) t - g , 4 ( 2 o F , p o u r e g E \ , L ) , I a f o n c t i o n y , ( e ) e t l a f o n c t i o n y 1 ( e ) = 9 ( 5 - 2 e ) e - 9 e s t m e m b r e d e l ' i n é g a l i t é e s t d o n c m a x i m u m
9 ( 5 2 e ) r _ g = 4 ( 2 I 7
8 5 3 6
- v
5 3- 2 ) é q u i v a l e n t e à ( 9 ) i m p o s e :
+ g e l - 4 l
= 4 ( 2 + 3 e ) t - 4 e s t c r o i s s a n t e d é c r o i s s a n t e . L e s e c o n d
p o u r l e c a s o ù o n a I ' é g a l i t é :
+ g e f - 4
d e d é d u i r e g u e I ' o n
3
= -
I 8 5
= 6
5D a n s c e c a s a t o u j o u r s
C t e s t - à - d i r e e n c o r e :
L a p r o p r i é t é o n a d e m ê m e
e = ê O = 1 ;
. a l a v a l e u r I ' i n é g a l i t é s t r i c t e : A
1 9 I
1 - 7
ï g s e o ' | À
c o m m u n e p e r m e t 3 3 6 0
3 6 1
c ( g )
L 7 3 3 6 0
S a u f l e c a s o ù ê = - g 3 A = - , g u i d o n n e C ( g )
1 9 3 5 1
, 3 4
O n t r o u v e a l o r s l a f o r m e n o r m a l e g ( x r y ) = ; - . r - - 1 y 1 9
2 9 . - y -
I 9
I . l e s t d o n c é t a b l i e .( H I G H T O W E R ) P R O P R I E T E T . 2
L ' i n t e r v a l l e o u v e r t M À R K O F F .
I
1 -
'ho'- '
7F I e s t u n
t r o u m a x i m a l d u s p e c t r e d et a m é t h o d e o r i g i n a l e d e H I G H T O I { E R t f l n ' u t i l i s a i t p a s l e s f o r m e s n o r m a l e s , d e m ê m e q u e c e l l e d e C U S I C K [ 4 ] . M a i s u n e v é r i f i c a t i o n n o u v e l l e l e s u t i l i s a n t e s t p o s s i b l e .
D é m o n s t r a t i o n
S o i t g u n e f o r m e n o r m a l e t e l l e q u e : 1 7
E - - ' 1 r , , S T
[ i o ' -
S u p p o s o n s q u e l , o n a i . t p o u r c e t t e f o r m e N ( 5 , - 2 ) . O n t r o u v e a v e c ( 1 ) :
À ) . ( 5 z e f + r > 1 0
1 1 S o i t ! : - ) : = C ( g )
tJ* tla
c o m m e p a r h y p o t h è s e o n a a u s s i f i n é g a 1 i t é i n v e r s e , o o t r o u v e : C ( g ) =
o n o b t i e n t a i n s i : g ( x , y ) = ( x + y ) - - - y lr 5 2 L - 3 r
= x - + 2 x y - - y 2
H o r s c e c a s , o r a P ( 5 , - 2 ) g u i , a v e c P ( l , 1 ) é q u i v a l e n t e à ( 5 ) i m p o s e :
P o u r e e l t 4 , L f , l a f o n c t i o n y ^ ( e ) = [ ( I + e ) t - f ] e s t c r o i s s a n t e , ( 5 z e ) L - r
e t I a f o n c t i o n y 1 ( e ) = t I e s t d é c r o i s s a n t e .
L e s e c o n d m e m b r e d e f i n é g a l i t é e s t d o n c m a x i m u m p o u r I e c a s o ù o n a l ' é g a l i t é :
( 5 z e l r - r
= ( r +
" ) t - I
4
6 Â, Lzo
D a n s c e c a s , e = ê ^ = - ê t l a v a l e u r c o m m u n e e s t ! - - =- ' l 4 4 9 I
Ï 1 0
O n e n d é d u i t q u e l , o n a t o u j o u r s f i n é g a l i t é s t r i c t e 4 8 0
ô < -
4 9 7 C ' e s t - à - d i r e e n c o r e : :
. [aao
6 S a u f l e c a s e = ê o = ; " ,
o n d o i t c o n s i d é r e r a i n s i ( p + e q ) t - t
1 1 - = C ( g )
t l t
4 8 0
À = Â o = - , g u i d o n n e C ( g ) 4 9
7
= - :
\f aeo
L 2 x y - -
7
d e u x f o n c t i o n s d é f i n i e s P o u r e é 3 : c r o i s s a n t s u r [ e , , e r J p o u r
d é c r o i s s a n t s u r I e n , e r J p o u r
" l :
g ' t - q t * p " q t - p t q ' t 2 q q ' ( p q ' + p . ' q )
, L 2 O n t r o u v e d a n s c e c a s l a f o r m e n o r m a l e g ( x , y ) = x + -
7
L a p r o p r i é t é 1 . 2 e s t a i n s i é t a b l i e .D / S Y S T E M A T I S À T I O N D E S C A L C U L S P R E C E D E N T S
D a n s l e s c a l c u l s p r é c é d e n t s , l e s t r o u s o n t é t é d é t e r m i n é s à p a r t i r d u c r o i s e m e n t d e d e u x c o n d i t i o n s P b i e n c h o i s i e s , v é r i f i é e s p a r l e s f o r m e s n o r m a l e s g t e l l e s q u e : e e [ e 4 , e 1 ] e t "zt< c(g) a ?' .
C h a c u n e d e c e s c o n d i t i o n s c o r r e s p o n d à u n m o r c e a u d e p a r a b o l e , d é f i n i s u r l e s e g m e n t [ e ^ , e r J 9 l \ t , L ) . L ' u n e s t d é c r o i s s a n t , c o r r e s p o n d a n t à u n e c o n d i t i o n P ( P ' , - 9 ' ) o ù q ' ) 0 . L ' a u t r e e s t c r o i s s a n t , c o r r e s p o n d a n t à u n e c o n d i t i o n P ( p , q ) o ù q ) 0 .
Y 4 ( e ) =
Y , ( e ) =
q
( p ' - e q ' ) t - I
_3
q 1 " q p ' g ' q '
L e u r p o i n t d ' i n t e r s e c t i o n e s t d o n n é p a r
I p ' P I I t
3 = ê - = - l : - - l L - ! - - - l =
" 2 q ' q
, ( 3 * o ' ) . o t g ' t q q '
( p + e q ) -I, t l i n I
q -t
( p ' - e q ' ) - 1I ' ; {ô
L a c o n d i t i o n
q ' l
c o r r e s p o n d a n t s i m p l e m e n t p a r
o u
a u c r o i s e m e n t ô - ( Â o
Àn-,
= v, te. )
d e P ( p , q ) e t P ( p ' , - q ' ) s e t r a d u i t
= Y r ( e r )
L a
4
- =I
ïa"
P o u r q u e
t * J , p ' 1 ,
v a l e u r e x p l i c i t e d e  e e s t :
I p q ' + p ' q + g ' + q ] t p g ' + p ' g + g ' - q I t P q ' + p ' g - g ' - q I t p q ' + p ' q - q ' + q l
=
O n i d e n t i f i e a i n s i
[ q q ' ( p q ' + p ' q ) J s
u n e f o r m s 9 o ( x , y ) = ( x * e o y ) 2 - ! : r ' 4 n o n n é c e s s a i r e m e n t n o r m a l e m a i s à c o e f f i c i e n t s
l a q u e l l e o n a f i n é g a l i t é s t r i c t e , o ù g " = p g '
r a t i o n n e l s , h o r s + p ' q :
I 1 . p = C ( g )
T A
de
c e t t e c o n d i t i o n p e r m e t t e d e d é t e c t e r i l s u f f i t g u e I r o n a i t , l a c o n o i t i o n
t r o u l o ( , p [ d a n s
o ( / e s t u n e c o n s t a n t e d e à g a u c h e .
d é t e c t é e s t a u s s i m a x i m a l o n p e u t é c r i r e , a v e c
un
J'=ol.oç=F(p'
1 IL e t r o u d é t e c t é e s t t e l q u e o L = l t . s i M A R K O P F , i I e s t p a r c o n s t r u c t i o n m a x i m a l E t s i g n e s t u n e f o r m e n o r m a l e , l e t r o u à d r o i t e .
N o t o n s e n c o r e q u ' a v e c n = p g c d ( q , q ' ) l g " , b o r n e s u p é r i e u r e b i e n c h o i s i e :
l l
;'P,E
o u
{ :
T T Q Q ' Q "
{ t Q " + e ' + e ) ( e , , + e , - e ) ( e ' , - e , - e ) ( e , , - e , + e i
g
r
g '
1r
P Q g g t q "
( q " + g ' + q ) ( q " + g ' - g ) ( q " - q ' - q ) ( q " - q ' + q )
t + p ' Q
O n a a l o r s :
( Q , , + Q , + Q ) ( 0 , , + Q , - O ) ( Q , , - Q , - Q ) ( Q " - Q . + Q )
= [ e ' l - ( Q + Q , ) l ] [ Q " ! - ( Q - Q ' ) l ] ( q r r f r I T [ Q Q '
D ' o ù : - > [ à >
3 ' e "
] T Q Q '
C ' e s t - à - d i r e : Q " ) 7 > 3 t t Q Q ' 2 3 Q Q '
P'
la">Q
l Q " > Q '
O n a a u s s i :
> 0
> 0
O n t i r e d e c e q u i p r é c è d e u n e m é t h o d e a u t o m a t i q u e d e r e c h e r c h e d e b o n n e s c o n d i t i o n s P ( p , g ) e t P ( P ' , - q ' ) ( a v e c q > 0 e t q r > 0 ) à c r o i s e r p o u r d é t e c t e r - d ' é v e n t u e l s t r o u s l o ( , F I d a n s t o u t s e g m e n t f e r m é
t r ' , p ' l ( o ù o a l e t p ' c o n s t a n t e b d e M A R K 9 F F , p a r e x e m p r e ) . E l l e e s t c o n c r é t i s é e d a n s u n p r o g r a m m e i n f o r m a t i q u e b a p t i s é
" G A P S , , g u i d é t e r m i n e c e s c o n d i t i o n s P ( d é f i n i s s a n t é v e n t u e l l e m e n t p a r c r o i s e m e n t u n e f o r m e n o r m a l e g o t e l l e q u e C ' ( g o ) e I ' r f , p'l ) -
t a m é t h o d e e s t l a s u i v a n t e :
- o n é n u m è r e le s v a l e u r s Q " e $*.
- P o u r c h a c u n e d e c e s v a l e u r s , o n c o n s i d è r e l e s v a l e u r s Q e t 9 ' v é r i f i a n t l e s c o n d i t i o n s s u i v a n t e s :
a ) 0 < Q < Q "
b ) 0 < Q , < Q ' l
c ) P g c d ( Q , Q ' ) = I d ) Q , ,
- Parmi les valeurs trouvées, on considère les valeurs T e j [ * t e l l e s
que ,
n oo, e ) e , , t . . . F
r
C e s v a l e u r s s o n t e n n o m b r e f i n i .
- o n d é t e r m i n e l e s v a l e u r s p e t p ' t e l l e s q u e l r o n a i t :
f ) e , , = p e , + p , e
O n t r o u v e u n e i n f i n i t é d e p o s s i b i l i t é s p o u r p e t p ' s ' é c r i v a n t a v e c l a c o n t r a i n t e : 0 ( p = p o < Q
p = p o + ô O
p ' = p i è Q '
- O n e x a m i n e a l o r s s I i Ic o n d i t i o n s u i v a n t e :
9 1 " ^ s % =
e s t p o s s i b l e e , l - e t + ( p ' o -
d e t r o u v e r I v é r i f i a n t l a
$ o ' f o ' - ( p r + $ o f o ' '
-( êt
C e t t e c o n d i t i o n s i g n i f i e c o u p e n t e n t r e e { e t e L .
2 1 l Q Q ' Q "
q u e l e s d e u x m o r c e a u x d e p a r a b o l e s s e
L e s v a l e u r s e a e t e 1 s o n t d o n n é e s p o u r e , , = N e t ê 2 = I lorsgue I r o n n e d i s p o s e d r a u c u n e i n f o r m a t i o n c o m p l é m e n t a i r e .
O n p e u t a u s s i p r e n d r e p o u r ê 4 e t e , l e s v a l e u r s e x t r ê m e s q u i s e r o n t d o n n é e s d a n s l a s u i t e .
S i l ' o n t r a v a i l l e s u r U ' o n p e u t p o s e r e 4
L a c o n d i t i o n g ) r e v i e n t à c h e r c h e r è e V - - [ e r T f + Q t - Q r t *
g r r ( p o Q ' p c ' Q )
I > ô ) - [ e r Î +
e 2 - e ' 2 ç g " ( p o Q ' - p o ' Q )z Q Q ' Q " 2 Q Q ' Q ' '
O n t r o u v e a i n s i u n e n c a d r e m e n t d e ô q u i m o n t r e q u ' i l e x i s t e a u p l u s u n n o m b r e f i n i d e v a l e u r s c o n v e n a b l e s è e Z _ p o u r Q , Q ' , Q " , T f i x é s .
s i 1 , o n n e t r o u v e a u c u n e v a l e u r è e Z , o o . r e p r e n d I ' a l g o r i t h m e a v e c d t a u t r e s v a l e u r s Q " , Q ' , Q , ï ' .
S i l ' o n ' t r o u v e e f f e c t i v e m e n t ô ( p , q ) = ( p + | O, 1T a) et (p',-9') c o n v i e n t s i l ' o n a :
r ( Q " + Q ' . + Q ) ( Q " + Q '
5 6
v é r i f i a n t :
, l e c o u p l e a i n s i d é t e r m i n é
= ( p ' - C Q ' , - t r Q ' )
Q ) ( Q " - Q ! Q ) ( Q " - Q r + Q )
n'o-"
T t Q t Q l Q " tJ,,
1S i c e s c o n d i t i o n s d e d i s c r i m i n a n t
g r ( x , Y ) =
s o n t v é r i f i é e s , o n c o n s i d è r e I a f o r m e q u a d r a t i q u e
r , ! t
( x + e r y ) - = y - e Q t x , y l
4
o n c a l c u l e s o n m i n i m u m a r i t h m é t i q u e M ( g ) . f o r m e g o e s t n o r m a l e , d e c o n s t a n t e C ( 9 . ) D a n s c e c a s , l ê t r o u c o r r e s p o n d a n t I o , , F
S i c e n o m b r e v a u t I , l a
I r l
= : e 7 J ' , p ' E
va" l
t e s t m a x i m a l à d r o i t e .
A v e c ê o = - - 2 m
. he t 4=
A r t s )
m 1
, o ù m = l I e e , e , , h = e l t - e t * Q " ( p ' Q - p Q ' )
P ( p , q ) non pour
e l l e s
l e p r o g r a m m e 3
I 8 s
e t ô r ( s ) = ( Q " + Q ' + Q ) ( Q " + Q ' - Q ) ( Q ' - Q ' - Q ) ( Q " - Q r + Q ) é l é m e n t s d e
du nombre :
- N * , t o u t r e v i e n t à c a l c u l e r l a c o n s t a n t e d e M À R K O F F
7 = -
\ 2 m
L a f o r m e g , e s t n o r m a l e s i e t s e u l e m e n t s i o n a :
c ( ( ) =
C e t t e v é r i f i c a t i o n p e u t ê t r e e f f e c t u é e p a r r e c o u r s a u p r o g r a m m e
" F R A C T I O N " .
- Que 9o soit normale ou non, otr détermine deux conditions e t P ( p ' , - g ' ) s u s c e p t i b l e s d e c o n v e n i r .
I l s u f f i t a l o r s d e v é r i f i e r s i c e s c o n d i t i o n s o n t l i e u o u l e s f o r m e s g t e l l e s q u e n 1 ' < c t g )
d é t e r m i n e n t b i e n u n t r o u J o l , b[ contenu dans I otl , F').
t- |
E x e m p l e s d ' a p p l i c a t i o n
f ) T r o u d e J A C K S O N E n u t i l i s a n t
&l
?r' = -j-- ' lzzs
h + V A . t s t
m
AJs)
G A P S a v e c l e s c o n d i t i o n s :
e t = r
O n o b t i e n t l e s v a l e u r s s u i v a n t e s :
Q = 3 Q t = 2 Q " = 1 9
l f = t ô = o
O n t r o u v e l e s c o n d i t i o n s P ( 2 , 3 ) e t P ( 5 , - 2 ) q u i s o n t i n t e r v e n u e s d a n s l a d é m o n s t r a t i o n d e l a p r o p r i é t é I . 1 p o u r d é t e r m i n e r I e t r o u d e J A C K S O N .
2 ) Trou de HIGHTOWER
E n u t i t i s a n t l e p r o g r a m m e G A P S a v e c l e s c o n d i t i o n s : 5
e A = ;
J l =
È ' =
e.r =
1f r o
3
l l o c
I - -
: 5 e l = t
O n o b t i e n t l e s v a l e u r s s u i v a n t e s : Q = I Q ' = 2 Q , " = 7
T f = l ô = 1
O n t r o u v e l e s c o n d i t i o n s P ( l , I ) e t P ( 5 , - 2 ) q u i s o n t i n t e r v e n u e s d a n s l a d é m o n s t r a t i o n d e l a p r o p r i é t é T . 2 p o u r d é t e r m i n e r l e t r o u d e H I G H T O W E R .
R e m a r q u o n s i c i q u e l e p r o g r a m m e G A P S n ' e s t p a s I e p l u s f i n p o s s i b l e . I t p r é s e n t e a u s s i I ' i n c o n v é n i e n t d e f o u r n i r p o u r d e s c o n d i t i o n s
d o n n é e s
" r . J , p ' , ê a e t e , d e n o m b r e u x c o u p l e s p o s s i b l e s ( p , q ) e t ( p ' , g ' ) p a r m i l e s q u e l s i l f a u t r e c h e r c h e r c e u x q u i c o n v i e n n e n t . I l p e r m e t c e p e n d a n t d e t r o u v e r d e n o u v e a u x t r o u s d u s p e c t r e d e M A R K O F F , a i n s i < ; u e o e d é t e r m i n e r o e s c o n s t a n t e s s i t u é e s d a n s u n s e g m e n t I o ( / , F'] .
I I - E X E M P L E D . A P P L I C A T I O N : P R E S E N T A T I O N D I U N N O U V E A U T R O U G E N E R A L I S A N T
= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = L E T R O U D E J A C K S O N
À / P R E S E N T A T I O N D ' U N N O U V E A U T R O U D A N S L E S P E C T R E D E M A R K O F F O n é t a b l i t f a c i t e m e n t q u e I ' o n a :
( 1 ) P o u r
T r = E 0 , L r , L , _ L , 3 )
( 2 t P o u r
| r =
l o , 2 r l r 1 r 1 r r , L r z - Jc ( l r , =
I6 1 ; # 0 , 3 3 2 L 8 2
2 L c ( Y l = : # 0 , 3 3 3 1 5 5
f t
{ t s z s
L e s e x p r e s s i o n s d o n n é e s c i - d e s s u s p o u r l e s c o n s t a n t e s d e M A R K O F F s o n t d é f i n i e s à p a r t i r d u n o m b r e d e F I B O N A C C I F . - e t d e 1 ' e x p r e s s i o n i s s u e d e l ' é t u d e d e l a ( 2 , 0 , 1 ) T h é o r i e d e M A R K O # :
Ftrr
ï e t t * 4
C e c i p e r m e t c o n d i t i o n s :
d ' e x a m i n e r c e g u e d o n n e l e p r o g r a m m e G A P S a v e c l e s
.l ' -
F'-
5
" r = â
% = r
L e s p r e m i è r e s c o n d i t i o n s q u e I r o n t r o u v e s o n t : P ( 3 , 5 ) e t P ( 5 r - 2 ) ( v o i r a n n e x e I I ) .
* L a c o n d i t i o n P ( 5 , - 2 ) e s t b i e n v é r i f i é e d ' a p r è s ( 9 ) p o u r l e s f o r m e s n o r m a l e s g t e l l e s q u e o ( ' < C ( g ) < F ' .
* L a c o n d i t i o n N ( 3 , 5 ) s e t r a d u i t p a r : I
F
2 L
I3ffi
o ( ' = : < C ( g ) = ; : (
I s 8 0 Y a
E I l e d o n n e : e <
C e c i o b l i g e
* C a s a : s i
On On
2 4 +
d i s t i n g u e r d e u x
- 24 + fî*Ï
# 0 , 8 9 1 8 5 5 2 8 7 4
e t P ( 5 , - 2 1 .
I
4 0
c a s :
< 1
- ( s
\4 0
a l a c o n j o n c t i o n d e P ( 3 1 5 ) o b t i e n t a l o r s :
I 1 5 5
* 5
@ ! : s i - - ( e ( O n a
P o u r au l a
8
I s 8 0 2 L I 3 e 7 3
4 0
L e s p r e m i è r e s c o n d i t i o n s t r o u v é e s s o n t P ( 2 , 3 ) e t P ( 5 7 , - 2 4 , ( v o i r a n n e x e I L I ) .
* L a c o n d i t i o n N ( 2 , 3 ) s e t r a d u i t p a r :
8 3
: - C r $ r \ - -
{s8n t|6
( 3 + 5 e ) t +
3 5 6 1
W = I æ #
o ' 3 3 2 6 e - t
5 r = c(s)
2 4 + { 3 s 6 l
6 4 0c o n t r a i r e l a c o n j o n c t i o n d e N ( 3 , 5 ) e t P ( 5 , - 2 1 . s u i t e , o D r e c h e r c h e d e u x c o n d i t i o n s P a d a p t é e s .
E n u t i l i s a n t l e p r o g r a m m e G A P S a v e c c e t t e f o i s l e s c o n d i t i o n s : i l ' =
P'=
5 e t = |
b
9 e r - - #
1 0
2 4 +
3 5 6 r
E l l e c o n d u i t à l a c o n t r a d i c t i o n : 5 4 4 0 ( E n r e t o u r , o n e s t a s s u r é q u e I a c o n d i t i o n l e s f o r m e s n o r m a l e s q u e l r o n c o n s i d è r e .
* L a c o n d i t i o n N ( 5 7 , - 2 4 ) se traduit p a r 3
< c ( 9 ) - (
2 42@
s7 - {To-a
E I l e e s t é q u i v a l e n t e à : D e u x c a s d o i v e n t d o n c ê t r e
5
C a s b . I : S i - - ( e (
5 2 2 0 .
P ( 2 , 3 ) a b i e n l i e u p o u r
# 0 , 8 7 0 3 7 7 1 e 2 4
consi.dérés :
s 7 - | r s o a
-2 4
d e s d e u x c o n d i t i o n s P ( 2 , 3 ) e t P ( 5 7 ,- 2 4 1 .
IF
On On
a l a c o n j o n c t i o n o b t i e n t a i n s i :
5 7 - 0 C a s b . 2 : S i
2 4
u t i l i s a n t l e p r o g r a m m e G A p S
I 2 L 9 1- = : # 0 , 3 3 2 8 2 \ < : = C ( g )
I Â " I 4 3 2 e 6 0 t l A
E n
2 4 +
( e (4 0
a v e c l e s c o n d i t i o n s
d ' =
F'=
ê.1 = 8
t t Ê ô ^ I J e v
2 L
| 3 9 7 3 8 7 #
r 0 0
- #9 0 1 0 0
s 7 _ , l t 3 o ;
2 4 2 4 +
e =t
4 0
C e r t a i n e s d e s c o n d i t i o n s t r o u v é e s s o n t a n n e x e T L z l .
* L a c o n d i t i o n N ( 1 2 , - 5 ) s e t r a d u i t p a r
P ( 5 , 8 ) e t P ( 1 2 , - 5 ) . ( v o i r
1 3 0 4
3 5 6 r
3 5 6 I
I
I36d' < c ( g ) <
E l I e e s t c o n t r e <
8 1 4 7 < e c :
# 0 , 8 9 1 8 5 2 E I l e e s t é q u i v a l e n t e à :
9 6 - I 356r
rl-# o , 9 o 4 0
a d i c t o i r e a v e
2 4 + { 3 s 5 r 4 0
D a n s l e s c o n d i t i o n s c o n s i d é r é e s , o R a d o n c t o u j o u r s P ( L 2 , - 5 ) .
! t L a c o n d i t i o n N ( S , B ) s e t r a d u i t p a r : 8
+
O r , d a n s l e c a s p r é s e n t , o t r r e m a r g u e g u e I ' o n a t o u j o u r s a v e c ( 6 ) I a c o n d i t i o n N ( 2 , - 1 ) :
! > (z - e)t+ I
4
M a i s o n a v u c i - d e s s u s g u e l r o n a a u s s i P ( 2 r 3 1 : À ( 2 + 3 e ) l - I
- \ <
4 9
E n c o m p a r a n t c e s d e u x d e r n i è r e s c o n d i t i o n s , o n o b t i e n t : 7
e ) z - I
O n t r o u v e d o n c u n e c o n t r a d i c t i o n q u i , e n a e n r é a l i t é P ( 5 , 8 ) .
r e t o u r , g a r a n t i t q u e l r o n
* L a c o n j o n c t i o n d e s d e u x c o n d i t i o n s P ( 5 , 8 ) e t P ( 1 2 , - 5 ) d o n n e a l o r s :
=g
l s a o z Ï ( s + B e ) t + t
E l l e e s t é q u i v a l e n t e à : e 7 I
o t 2 t o
1 6 0 5 1
: = a - # 0 1 3 3 2 6 0 - ( : = C ( g )
tff {556'Bæi . \W
E n c o m p a r a n t a l o r s t o u t e s l e s m i n o r a t i o n s o b t e n u e s c i - d e s s u s p o u r l a c o n s t a n t e C ( g ) , . o o o b t i e n t :
T H E O R E M E I T . I
L ' i n t e r v a l l e l o t , g t
I
g a u c h e d u s p e c t r e d e I
I 6 0 5
= . ] : i : I e s t u n t r o u m a x i m a l
I s e o I asoeeer
M A R K O F F c o n t e n u d a n s l a s e g m e n t f e r m é
[ot', P'] = t 6;;; 1;;1 2 L .
- l e a = t - 1 0 6 9 A v e c
| ' o
2 m t 2 t 9
l Z m t
1 A . t s t 3 3 0 8 5 6 r
L ôo= lr = --;F
O n e s t c o n d u i t à c o n s i d é r e r l e n o m b r e ( U n e v é r i f i c a t i o n f a c i l e m o n t r e q u e I ' o n
5
1 0 6 9
t 2 t 0 a a l o r s :
c o n c l u r e g u e I e t r o u q u e l r o n D e s o r t e
a t r o u v é
c ( ( o ) =
ce nombre m a x i m a l .
fæiæ
n e p e r m e t p a s d e que
e s t
À / R E M A R Q U E S P R E À L A B L E S
C o m m e d a n s c e q u i p r é c è d e r o D c o n s i d è r e d e s f o r m e s n o r m a l e s
g ( x , y ) = ( x + e y ) t - A rt
4 v é r i f i a n t l e s c o n d i t i o n s :
( a ) à - < e < 1
( b ) o(, < c(g) < F,
A u m o y e n d e s c o n d i t i o n s N e t P , o n c h e r c h e à i d e n t i f i e r u n t r o u I t , D I c o n t e n u d a n s I o ( , , B , ] .
l l
0 O n o b s e r v e q u e d a n s c e r t a i n s c a s , i I e s t p o s s i b l e d t a m é l i o r e r I e s c o n t r a i n t e s q u i p è s e n t s u r e e n f o n c t i o n d e s c o n d i t i o n s N o u P d i s p o n i b l e s . P a r e x e m p l e , d a n s U ' o n a ( 7 ) '
" > 2 6
O n é c r i r a d o n c d a n s l a s u i t e l a c o n t r a i n t e s u r e s o u s I a f o r m e : L . ( e { ( e ( e r \ < l
D a n s I a s u i t e , o n n e c o n s i d é r e q u e d e s c o u p l e s ( p , q ) é J | { " o ù
( p , , - e , ) € -tf * x(Z -.û[).
O n é t u d i e l e s c o n d i t i o n s N e t P c o r r e s p o n d a n t e s .
T o u s l e s n o m b r e s p r g r p t r g ' , p , , 9 4 , e t c . . . q u e l t o n u t i l i s e s o n t d o n c p o s i t i f s .
0 D e f a ç o n g é n é r a l e , a v e c d e u x c o n d i t i o n s N ( p . l , - q i ) e t t 1 p t , 9 r ) , o n t r o u v e a v e c g . t e t q a p o s i t i f s :
(pl+ eq, )t - t ^ (pi, - eqj ls+ r q i 4 n ,
-> ol-.t * z"Yr.ôl .' - z ql es d1t "Pi ql
qlÉl- pl 4* ql* .il _ ^
- êr1zql qJ nj c.+ pc çI.i I
D e m ê m e , a v e c d e u x c o n d i t i o n s N ( p r , g a ) e t P ( p i , - q i ) , o D t r o u v e a v e c q 1 e t q i , p o s i t i f s :
pjt q.t - glt p.s - qlt - q.1_
- 2 e ^ q l 1 p r q ; + p ; e . )
- 2
S i I . o n d i s p o s e d e c o n d i t i o n s N ( p r , q r ) e t P ( P . , 9 r ) , o u N ( e ) , - e ) l e t P ( p j , - q l ) , a v e c q l e t q ; p o s i t i f s , u n c a l c u l c o m p a r a b l e e s t
f a i s a b l e . M a i s i l f a u t a l o r s d i s t i n g u e r l e s c a s p o u r e n d é d u i r e l e s i n é g a l i t é s r é s u l t a n t e s p o u r e .
0 L e s c o n d i t i o n s o b t e n u e s c i - d e s s u s p e u v e n t ê t r e u t i l i s é e s d i v e r s e m e n t . S i l ' o n o b t i e n t p a r e x e m p l e : | - ( e a ( 1 , c e t t e c o n d i t i o n l i m i t e
é v e n t u e l l e m e n t l e s v a l e u r s p o s s i b l e s p o u r e .
s i I . o n o b t i e n t 3 ê { < \ , l a c o n d i t i o n n ' a a u c u n i n t é r ê t p a r t i c u l i e r . S i l r o n o b t i e n t : I ( ê , 1 r o n t o m b e s u r u n e c o n t r a d i c t i o n .
C e d e r n i e r c a s p e r m e t d r é t a b l i r u n e n o u v e l l e c o n d i t i o n N o u P e n f o n c t i o n d e c e l l e d e s d e u x q u i e s t c o n n u e , o u I ' i m p o s s i b i l i t é d e t r o u v e r g .
O n a d e s r é s u l t a t s c o m p a r a b l e s a v e c e ! . O S u p p o s o n s m a i n t e n a n t q u e
L - ( e , r . ( ê
o n a i t p u é t a b l i r q u e l r o n
o n a a r o r s , â g r u i n t
4 E n c o n s i d é r a n t l e s
O n o b s e r v e g u I i.I e x i s t e u n e q ' l - q t +
p o u r u n e f o r m e n o r m a l e g t e l l e q u e : - ( e r - ( l
a P ( p , q ) e t P ( p ' , - q ' ) .
+ e q ) z - I ( p ' - e q ' ) t - r
( pq L q ' l
( e ) =
( e ) =
g ' g
O n a u n d i a g r a m m e p r é s e n t a n t I ' a l l u r e s u i v a n t e :
v(c)
t;
d e u x f o n c t i o n s d é f i n i e s p o u r e e 3 : ( p + e q ) r - t
qr
( p ' - e q ' ) l - I
P ( r , t )
è p o i n t
p ' t q t
d ' i n t e r s e c t i o n d o n n é - p r q ' r
e = e r =
2 q q ' ( p q ' + p ' q )
p a r :
. S i e 4 - ( ê .
c a l c u l a b l e p a r
. S i e . - ( e . t o u % ) . e Z , l r u n e d e s d e u x f o n c t i o n s e s t t o u j o u r s s u p é r i e u r e à I ' a u t r e , d e s o r t e g u e I r u n e d e s d e u x c o n d i t i o n s P i m p l i q u e l r a u t r e .
À n =
e 1 , o o t r o u v e a u p o i n t d r i n t e r s e c t i o n u n e v a l e u r 1 ' e x p r e s s i o n :
t ( p q ' + p ' q ) l - ( q ' + q f : t ( p q ' + p ' q f - ( q - q ' f :
[ g q ' ( p q ' + p ' q ) ] t
o n i d e n t i f i e a i n s i u n e f o r m e g ( x , y ) = ( x + e o y ) t - A ' y ' 4 d o n t t o u s l e s c o e f f i c i e n t s s o n t d e s n o m b r e s r a t i o n n e l s . A v e c À n , s i y . r
" g y e n r o n t p a s I e m ê m e s e n s d e v a r i a t i o n s , o n p e u t é c r i r e g " = p g ' + p ' g e t :
I q q ' q " I
c ( s )
. p ' p
( C t e s t p a r e x e m p l e l e c a s s f e , .( - et - -.(
" r )
q ' q
P o u r q u e c e t t e c o n d i t i o n p e r m e t t e d e d é t e c t e r u n t r o u J I , p [ , iI s u f f i t q u e I e t e r m e d u s e c o n d m e m b r e s o i t s t r i c t e m e n t p l u s g r a n d q u e
d .
D a n s c e c a s , ê t r p r e n a n t p o u r
F , c e t t e v a l e u r , o D a u r a d é t e r m i n é u n e b o r n e s u p é r i e u r e d e t r o u . E t s i I a f o r m e g i d e n t i f i é c i - d e s s u s e s t n o r m a l e , l a v a l e u r d e
F s e r a o p t i m a l e . C ' e s t l e p r i n c i p e q u i a é t é a d o p t é d a n s I a m i s e a u p o i n t d u p r o g r a m m e " G A P S T ' .
0 U n d é v e l o p p e m e n t c o m p a r a b l e a v e c d e s c o n d i t i o n s l t ( p , q ) e t N ( p ' , - g ' ) e s t a d a p t é à I a d é t e r m i n a t i o n d e s b o r n e s i n f é r i e u r e s d e t r o u s , a v e c c e t t e f o i s :
A - 2 r . * t
( p + e q ) t + I ( p ' - e q ' ) t + I4 q t
p ' l q t - * q ' t + q l - g ' !
q ' t
I
la,
t
e o = -
z q q ' ( p g ' + p ' q )
( p q ' + p ' q ) s + ( q + n ' f l t ( p q ' + p ' q ) t + ( q - q ' ) t l
I;(r). )' Ào=
[ q q ' ( p q ' + p ' q ] l r
B / E X I S T E N C E E T P R O P R I E T E S D E Z O N E S D I I N C E R T I T U D E A P P R O C H E E S R e c o n s i d é r o n s d e f a ç o n g é n é r a l e l e p r o b l è m e q u e l r o n é t u d i e : o n c h e r c h e à d é t e c t e r u n t r o u I L È [ s i t u é d a n s u n s e g m e n t d o n n é I o ( ' , D t ] o ù l e s n o m b r e s s l ' e t ô ' s o n t t e l s q u e :
t l
o ( ' <
On suppose connues des valeurs pour e,l et ea .
( A u p i r e o n p r e n d e . = | e t e a = 1 ) .
0 O n d é t e r m i n e d e s r e l a t i o n s P ( p , q ) a v e c ( p , q ) € 3 l - * x - 0 f " : P o u r c e l a , o n s u p p o s e q u e I ' o n a t t ( p r g ) p o u r u n e f o r m e n o r m a l e t e l l e q u e
O l - ' < c ( g ) a P ' P o u r e É [ e r ,
" t ]
A ' > /
4
O n m i n o r e l a f o n c t i o n y ( e ) = e n r e m a r q u a n t q u e c e t t e f o n c t i o n
( p + e a g ) t + I q r
g t ' , t ,I I , ceci se traduit p a r : ( p + e q ) r + I
q t
( p + e q ) t + I
Ceci donne :
E t i l s u f f i t a l o r s q u e l r o n a i t :
s u r [ e , , e a J c r o i s s a n t e :
q t
S o ( ù qr.
e s t
A - > .
4
I
E- = c ( g ) (
4 t ( p * e a q ) t + 1 l s
p o u r q u e l . r o n e n d é d u i s e u n e c o n t r a d i c t i o n g a r a n t i s s a n t a u c o n t r a i r e q u e I r o n a P ( p , g ) .
O n t r o u v e a i n s i u n e c o n d i t i o n a s s u r a n t q u e l ' o n a P ( p r q ) :
( w { ) : - 4 -( 4pt* se,r p q + t e e l - à,n'
1.',
0 o n d é t e r m i n e d e s r e l a t i o n s N ( p , q ) a v e c ( p , q ) € $ * x - e f * : P o u r c e l a , o o s u p p o s e q u e l ' o n a P ( p r q ) p o u r u n e f o r m e n o r m a l e
g t e l l e q u e :o ( ' < c ( g ) . p '
P o u r e € [ e , e r J I t 4 ; 1 ] , c e c i s e t r a d u i t p a r : Â ( p +
" q ) t - I - \ <
4
( p + e q ) t - t
q r
O n m a j o r e l a f o n c t i o n e n r e m a r q u a n t q u r e l l e
ô
q t c r o i s s a n t e : e r q ) t - t
s u r E e r ,
" r ]
y ( e )e s t ( p +
l - (
4 q !
a1;=c(s)
: P 't-<
;G;
c o n t r a d i c t i o n a i n s i u n e c o n d i t i o n a s s u r a n t q u e
4 p t + B e r p g + t a . ! - 1 , . ) c t ç a
I'
0 O n d é t e r m i n e d e s r e l a t i o n s P ( p ' , - q ' ) a v e c ( p ' , q ' ) € t r f * x - [ f * P o u r c e l a , o t r s u p p o s e q u e l r o n a N ( p t r - g ' ) p o u r u n e f o r m e n o r m a l e g t e l l e q u e : d ( t ( C ( g )
P o u r e € [ e a , . t ] 9 , t \ , I l , c e c i s e t r a d u i t p a r : ( p ' e q ' ) t + I
C e c i d o n n e :
1 1 s u f f i t pour que g u e l r o n O n t r o u v e
( t { r ) :
a l o r s q u e 1 ' o n a i t l r o n e n d é d u i s e u n e a N ( p , q ) .
" r 9 ) r - 1 l
g a r a n t i s s a n t a u I ' o n a N ( p , g ) .
q t
c o n t r a i r e
A
4 T r o i s c a s s e p r é s e n t e n t
* S i l r o n a q , ê 4 - p , ( p '
q ' t a l o r s : ) z 0 , o n e . q ' ) t +
m i n o r e
I
q r z e s q ) t
I r i n é g a l i t é p a r :
I e s e c o n d m e m b r e d e
