CEG LES COCOTIERS 2EME DEVOIR DU 1ER SEMESTRE MATHS TLE D 2013-2014

(1)

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Contexte

Pourcontribuer

à

la réalisation de l'autosuffisance alimentaire au Bénin, leconseil communal de

Dunva adéSidé.cfi~staller un centre

Songhai

dans

sacommune. Le topographe Agossa est

sollicité pour l'aménagemènt du site réservé

à

l'implantation du centre. Il est chargé de

délimiter une parcelle pour la construction d'un bâtiment administratif et l'aménagement d'un

jardin public. .

La marquette du bâtiment administratifest confié

à

l'architecte Noé.

Après une étude du,site d'implantation du centre, le topographe a confié la réalisation du plan du site

à

son neveu Nobel, élève en classe de Terminale D en lui donnant les indications ci-après:

Dansle repère orthonormé direct (0;

r,])

les affixes des sommets

A'

, B', C'

e

t

D' de la

parcelle devant abriter le bâtiment administratif, sont les solutions des équations d'inconnue complexe z:P(z)

=

0

.où

._p

(z)

est le polynôme complexe défini par

P(z)

=

Z4

+

4iz3 - 6z2 - 4iz

+

'

8 ..

24i .

Lejardin public aura une forme circulaire et sera traversé par deux allées

représentées

par des droites perpendiculairés.

1

.Le conseil communal veut bien comprendre comment le topographe Agossa a pu réaliser les deux plans.

Tâche:

Le travail

à

faire est de déterminer lescaractéristiques mathématiques de deux plans réalisés par letopographe. Ceci passera par larésolution des trois problèmes suivants:

Problèmel

1- a) Calcule (3 -

i)2

.

b) Résouschacune deséquations:

Z2 -

(1 -\-

O

z

-_

2 +

2i

=

0 e

t

Z2 -1-

(1

+

S

O

z -

8

-1- 4i

= 0

2- a)Démontre que

V

z

é"(C

,

P(z)

=

[Z

2 -

-

(1

-1- i)z -

2 +

2iJ [

Z

2 +

(

1 +

Si)z

-

8 +

4i].

b) Résous dans

l

e

l'équation P(z) =

o

.

c) Représente la parcelle

A

' B'

c

D' sachant que Re(zD')

<

Re(zA')

<

Re(z[,)

<

Re(zB')'

Problème 2

Pour réaliser le plan du jardin public, Nobel aconstruit dans le plan complexe muni du repère'

(0; tJ),certains lieux géométriques de la fonction F définie de ((

vers ((

par F(z)

=

z+1+i '

, z+3

On pose

z

=

x

+

iy ,

(x,

y }é

IRl.

2.

3- Exprime la partie réelle et lapartie imaginaire de F(z) en fonction de x et de y.

4- Détermine:"

.a) L'ensemble

(El)

des points M d'affixe z du plan tel que

IF(z}1

= 1.

b) L'ensemble (E2) des points M d'affixe zdu plan tel que F(z) soit réel.

cr, L'ensemble

(E

3)des points M d'affixe z du plan tel que Fez) soit un imaginaire pur.

d) L'ensemble (E4) des points M d'affixez du plan tel que Fez) soit un nombre réel. strictement négatif. 'i .,..:."; .

.\ .:\.

DEUXIEME EVALUATION SOMMATIVE DU PREMIER SEMESTRE EPREUVE:Mathématiques

Classe: Terminale D Durée: 4heures

Année

Scolaire

2013-2014 Lt(:; .,'Les Cocotiers »

P

ort

o-

N

ove

www

.epreuvesetcorriges.

(2)

'.{

\.

a) Démontre que (Dl) et

(QI)

sont perpendiculaires. b) Démontre que (Ol)et (02) sont sécantes.

c) Donne une équation cartésienne du plan (T) contenant les droitesfDj ) et(Oz). 10- Détermine le volume du sable nécessaire pour la construction du bâtiment administratif.

8-a) Détermine les coordonnées-de'! points A, B, H, G, K et L dans le repère( 0;

î

;

1 ;k)

.

b) Détermine une équation cartésienne de

(I')

et une représentation paramétrique de (.6) 9- On considère les droites (Dl) et

(02)

définies par:

{

X

=

t

-

2

(Dl)

y

=

t

+

2

(t

E lFR)(D2):X;l

=

Y:3 = :let le plan

(Q

I

)

d'équation cartésienne x

+

y

+

z

+

z=t-1

1 = 0

5- Construis If'.plan dujardin public, sachant qu'il est constitué desensembles

(E

l

)

j

(C

2)

r

(

E

3)

r

(E

4)·

Problème 3

Lamaquette du bâtiment administratif présenté par l'architecte Noé, a laforme d'un cube ABCDEFGH.Soit 0 un point de l'espace. L'espace

(L)

orienté est muni du repère orthonormé direct

(0

;

t.t.

k)

tel que:

AB

=

î

,

AD

=

T

,

M

=

k

et

OÂ

=

-

3î

+

J

-

2 k

.

Laquantité du sable nécessaire pour la construction du bâtiment correspond au volume du

tétraèdre OABG.!Des configurations de l'espac_gJf1_gt_C.61_Q.nLéLé_c_oJJsjdé[ées-par:tao::,b.Jteet@

--, --T.foe'po-ur étudierla solidité dubâtime~t. . L'unité de longueur étant estimée

à

20

mètres.

. 6-a) Démontre que le quadrilatèrè ABGH est un parallélogramme.

b) Démontre que G est le barycentre des points pondérés

(A

;

-1);

(

B;

1) et

(H,

1)

T

-

On désigne par K, l'isobarycentre des points A, B et H ; par L le barycentre des points pondérés (A,