E644 . Exercice d’élongation
Q1 Plusieurs entiers strictement positifs pas nécessairement distincts de somme S = 20 sont écrits sur une même ligne. L’un quelconque de ces entiers ainsi que toute somme s de deux termes ou plus adjacents sont différents de 3. Démontrer que cette suite contient un nombre maximum N d’entiers que l’on déterminera.
Q2 Tout entier ainsi que toute somme s de deux termes ou plus adjacents sont distincts de 50 et on a N = 2020. Déterminer la ou les valeur(s) correspondantes(s) de S.
Q3 Tout entier ainsi que toute somme s de deux termes ou plus adjacents de deux termes ou plus adjacents sont distincts à la fois de 30 et de 50 et on a S = 2020. Déterminer N.
Solution proposée par Nicolas Petroff
Q1
N sera maximum si les nombres sont les plus petits possibles : des nombres égaux à 1 semblent être de bons candidats. Mais si on s’intéresse à des nombres adjacents qui sont différents de 3 et de façon que leur somme soit aussi différente de 3, il faut alors encadrer chaque groupe de deux nombres égaux à 1 par des nombres minimaux différents de 1, et de 2 : par exemple 4, 5, ... Si on choisit 4, on obtient donc une suite de nombres adjacents situés sur une même ligne composée de 1 et de 4 :1, 1,4,1, 1,4, 1, 1, 4, 1, 1 dont la somme = 20 et est composée de N = 11 éléments au maximum.
Q2
Le nombre maximum de 2020 entiers qui satisfont la condition s<>50 est obtenu avec la suite 1,1...(49 fois)...1,1,51,1,1,....,1,51,...On a donc des paquets identiques de 50 entiers (49 fois 1 et 1 fois 51) de somme 100.
Comme 2020 = 40*50 + 20 ou 2020 = 39*50 + 50, on a S = 40*100 + 20 (20 fois 1) = 4020 ou bien S = 39*100 + 19 (19 fois 1) + 51 (1 fois 51) = 3970
Q3
A partir de 29 fois 1 + 1 fois 51 soit 30 termes de somme 80, on respecte les conditions de l'énoncé avec S = 2020 = 25*80 + 20. D'où 25*30 + 20 = 770 termes
