PanaMaths
[1 - 2]Janvier 2002
Résoudre dans ^ l’équation :
2cos 1 0
z + ϕ z + = 4 où ϕ ∈\ .
Analyse
Il s’agit d’une équation du second degré que nous résolvons classiquement. On peut juste remarquer d’emblée que les coefficients sont réels et donc que les racines seront réelles ou complexes conjuguées.
Résolution
Le discriminant de l’équation s’écrit : Δ =cos2ϕ− = −1 sin2ϕ≤0.
Pour sinϕ =0, c’est à dire pour ϕ∈
{
kπ,k∈]}
, l’équation admet une seule solution :• Si k est pair, cosϕ =1 et on a :
2
2 1 2 1 1
cos 4 4 2
z + ϕz+ =z + + =z ⎛⎜⎝z+ ⎞⎟⎠ d’où 1 z= −2 ;
• Si k est impair, cosϕ= −1 et on a :
2
2 1 2 1 1
cos 4 4 2
z + ϕz+ =z − + =z ⎛⎜⎝z− ⎞⎟⎠ d’où 1 z= 2.
Pour sinϕ ≠0, c’est à dire pour ϕ∉
{
kπ,k∈]}
, l’équation admet deux racines complexes distinctes conjuguées :1
cos sin 1
2 2
i i
z = − ϕ− ϕ = − eϕ et 2 cos sin 1
2 2
i i
z = − ϕ+ ϕ = − e−ϕ
On a donc : 2 1 1 1
cos 4 2 2
i i
z + ϕz+ =⎛⎜⎝z+ eϕ⎞⎛⎟⎜⎠⎝z+ e−ϕ⎞⎟⎠.
PanaMaths
[2 - 2]Janvier 2002
Résultat final
Les solutions de l’équation 2 1
cos 0
z + ϕz+ =4 sont : Si ϕ =kπ
( )
1 112 S = −⎧⎨ k+ ⎫⎬
⎩ ⎭
Si ϕ ≠kπ 1 1
2 , 2
i i
S = −⎧⎨ eϕ − e−ϕ⎫⎬
⎩ ⎭
