ÉTUDE DE LA FLEXION DES COQUES CONIQUES D'ÉPAISSEUR VARIABLE SOUMISES À DES EFFORTS CENTRIFUGES

4 6 LA H O U I L L E BLANCHE N ° 1 — J A N V . - F É V . 1 9 6 1

Étude de la flexión des coques coniques d'épaisseur variable

soumises á des efforts centrifuges

Bending study of conical shells of varying thickness under centrifugal stress

S. OASACOI

I N . G É N I E U R - D O C T E U R C H E F D U D É P A R T E M E N T T U R B I N E S

AtlX É T A B L I S S E M E N T S N E Y R P I C

P A R

E T

G. PICOLLIER

I N G E N I E U R

A U X É T A B L I S S E M E N T S N E Y R P I C

Velude analijlique de la flexión axisymétrique des coques de révolution d'épaisseur constante est possible, par exemple, pour les coques coni­

ques et sphériques. Pour les coques de réuolu­

tion d'épaisseur variable, certains cas particu- liers se résolvent encoré analytiquement, mais en general nécessitent Viniroduction de fonc- tions eomplexes, pour lesquelles it existe peu ou pas de iables numériques.

Vétude de la flexión des coques coniques se traite,, dans le cas d'une épaisseur linéairemenl variable, á Vaide de fonctions hypergéométriques [1 et 2J. Pour une variation quelconque d'épais­

seur, la résolution analytique devient pratique- m.ent impossible.

Cette étude expose une méthode numérique per- mettant de résoudre tes problémes de la flexión axisymétrique des coques de révolution d'épais­

seur variable [ 3 ] . On applique cette méthode au calcul des contraíales et des déformations des coques coniques d'épaisseur variable soumises á des efforts centrifuges. On traite le cas d'une variation Unéaire d'épaisseur et on compare les resultáis avec ceux de A.D. Kovalenko.

An analytical study of axisymmetrical flexión of shell struciures of révolution is possible, for instance, in the case of conical or spherical shells. Though certain special cases of variable- thickness shells can also be solved by analysis, Ihis normally requires the introduction of com- plex functions for which few or no numerical iables are available.

The bending of conical shells is approached by means of hypergeometrical functions if the thickness varíes linearly [1 & 2 ] , An analytical solution is practically impossible, however, if the variation is non-linear.

The numerical method in this paper enables problems of axisymmetrical bending of varying- thickness shell struciures of rotation to be solved [ 3 ] . ít is applied in calculating stresses and strains of variable-thickness conical shells subjected to centrifugal loads. The case of a linear thickness variation is considered, and the results are compared with those obtained by A. D. Kovalenko.

1. — I N T R O D U C T I O N

D a n s la p r e m i é r e p a r t i e de celte étude, nous établissons les équations genérales de la flexión des coques coniques d'épaisseur v a r i a b l e sou­

mises á des c h a m p s de for ees a x i s y m é t r i q u e s . Ces équations genérales peuvent, c o m m e on le

sait, se r a m e n e r á un systéme de deux é q u a t i o n s différentielles du second o r d r e . L a r é s o l u t i o n ana­

l y t i q u e de ces équations est c o m p l e x e , m a i s p o s ­ sible dans le cas des coques coniques d'épaisseur l i n é a i r e m e n t v a r i a b l e ; elle est en general i m p o s -

Article published by SHF and available athttp://www.shf-lhb.orgorhttp://dx.doi.org/10.1051/lhb/1961022

J A N V . - F É V . 1 9 6 1 — N ° 1 S. CASAGCI ET G. P 1 C C 0 L L I E R 47

sible p o u r une c o q u e d'épaisseur q u e l c o n q u e . D a n s la d e u x i é m e p a r t i e , nous t r a n s f o r m o n s le s y s t é m e de deux é q u a t i o n s différentielles en un s y s t é m e de d e u x é q u a t i o n s i n t é g r a l e s de F r e d h o l m . L a r é s o l u t i o n n u m é r i q u e est alors p o s -

sible p o u r les coques c o n i q u e s d'épaisseur q u e l ­ c o n q u e .

D a n s la t r o i s i é m e p a r t i e , nous a p p l i q u o n s cette

m é t h o d e au calcul des contraintes et des d é f o r - m a t i o n s des coques coniques d'épaisseur l i n é a i r e -

m e n t v a r i a b l e soumises au c h a m p des torces centrifuges p r o v o q u é p a r la r o t a t i o n de la c o q u e autour de son axe. N o u s c o m p a r o n s nos resultáis a v e c ceux de A . D . K o v a l e n k o p o u r trois series de c o q u e s c o n i q u e s .

E f f o r t s a g i s s a n r sur l'élémenr d S

M o m e n t s a g i s s a n t sur l'éíément d S

Fio. 1

2. — N O T A T I O N S E T C O N V E N T I O N S D E S I G N E S (Voir fig. 1)

r : R a y ó n d'un p a r a l l é l e ;

5 : L o n g u e u r dé m é r i d i e n ayant p o u r o r i g i n e le s o m m e t du c ó n e ;

6 : A n g l e q u e f a i t le p l a n m é r i d i e n c o n s i d e r é a v e c le p l a n m é r i d i e n o r i g i n e ; p : D e m i - a n g l e au s o m m e t du c ó n e ;

e : Epaisseur du c ó n e f o n c t i o n de s;

h = e/e0 : Epaisseur r e l a t i v e ; v : Coefficient de P o i s s o n ; E : M o d u l e d ' é l a s t i c i t é ;

18 L A H O U I L L E B L A N C H E N ° l - J A N V . - F É V . 1 9 6 1

D = [ E c3/ 1 2 ( l — v2) ] r i g i d i t é de flexión;

D⁰ = [ E e^{0 3}/ 1 2 (1 — v²) ] r i g i d i t é de flexión de r é f é r e n c e ;

N : Effort n o r m a l agissant sur un é l é m e n t unité de p a r a l l é l e : n : Effort n o r m a l agissant sur un é l é m e n t unité de m é r i d i e n ; M : M o m e n t de flexión agissant sur un é l é m e n t unité de p a r a l l é l e ; m : M o m e n t de flexión agissant sur un é l é m e n t unité de m é r i d i e n ;

Q : Effort de c i s a i l l e m e n t agissant sur un é l é m e n t unité de p a r a l l é l e ;

Qs : Contrainte n ó r m a l e agissant sur un é l é m e n t de p a r a l l é l e défini p a r s;

(je : Contrainte n ó r m a l e agissant sur un é l é m e n t de m é r i d i e n défini p a r 8;

F^t : E í f o r t u n i t a i r e tangentiel, positif dans le sens des s c r o i s s a n t s ;

Fn : E f f o r t u n i t a i r e n o r m a l , positif s'il a m é m e sens q u e la n ó r m a l e e x t é r i e u r e au p o i n t c o n s i d e r é ;

ss : A l l o n g e m e n t relatif en un point du m é r i d i e n de la surface m o y e n n e ; se : A l l o n g e m e n t relatif d'un p a r a l l é l e de la surface m o y e n n e ;

o^s : V a r i a t i o n de courbure du m é r i d i e n de la surface m o y e n n e ; p# : V a r i a t i o n de courbure du p a r a l l é l e de la surface m o y e n n e ; v : D é p l a c e m e n t tangentiel, positif dans le sens des s c r o i s s a n t s ;

w : D é p l a c e m e n t n o r m a l , positif s'il a m é m e sens q u e la n ó r m a l e e x t é r i e u r e ; y : D é f o r m a t i o n angulaire, angle des tangentes au m é r i d i e n a v a n t et aprés

d é f o r m a t i o n ;

% = sN;

y : P o i d s spécifique du m a t é r i a u ; g : A c c é l é r a t i o n de la p e s a n t e u r ;

: Vitesse de r o t a t i o n du disque en r a d i a n s / s e c o n d e .

3. _ E Q U A T I O N S D E B A S E

3-1 E q u a t i o n s d ' é q u i l i b r e . et r é c i p r o q u e r a e n t : Ee

d (s N) _ n + s F ( = 0 (3.1} N = j — - ( . . + v.f l) (3-6)

as

/ Ec

4~ (sQ) — n cotg 0 + s Fn = 0 (3-2) « = -z ¡r (** + ve5) ( 3 - 7 )

(⁵] V f ) — / / i — 5 0 = 0 (3-3) L e s v a r i a t i o n s de c o u r b u r e s ' e x p r i m e n t p a r : ds

99 = ~ lu = ^ ( M : ~ v m ) (3"8)

3-2 R e l a t i o n s entre les contraintes et les

déf ormations. 7 / 1 9

9ff = ^ = - ^ - 0 7 1 — v M ) ( 3 - 9 )

s — ü^- = ~ — ( N — v/i) ( 3 - 4 )

* Ee avec :

= -1 ( « ; cotg p + i>) Oí _ v N ) ( 3 - 5 ) // = (3-10)

J A N V . - F É V . 1 9 0 1 - N ° 1 S. CASACCI ií'v G. P I C C O L L 1 E R 4 9

i n v e r s e m e n t :

ou e n c o r é :

M = D (p, + vp,) m = D (^{? ( ?} + vp^s)

ds s

M = = _ _ D F J L + V d¡L s s

(3-11) (3-12)

(3-13;

(3-14)

3-3 E q u a t i o n s d e b a s e .

A p r é s t r a n s f o r m a t i o n des equations d ' é q u i l i - bre, c o m p t e t e m í des r e l a t i o n s entre les c o n t r a i n - les et les d é f o r m a t i o n s , les equations de base se réduisent á :

Z A

= = - cotí* 3 — — D D sin* p

— f * ( F , c o t g P — F J c f o (3-15)

^ + ( 1 — f ) ^ + ( v f - l ) .

= Eey c o t g p — ( ^ Ff) + s (^s ~~ — v ^ Ft

(3-16) L e s efforts N et Q sont lies p a r la r e l a t i o n :

A + S

N1— Q tg P = - s sin p eos p (3-17) L a constante A d é p e n d des c o n d i t i o n s aux l i m i t e s .

S se définit p a r :

S = s i n p c o s p J s ( F f — FB t g p) ds (3-18) L e s torces extérieures qui s'appliquent aux disques c o n i q u e s en r o t a t i o n s ' e x p r i m e n t p a r :

F « = o )2 re eos 8

(3-19) F¿ = ü )² re sin p

<7

ce q u i entraine, c o m p t e tenu de (3-17) et (3-18) : A = S = Ü

4. _ T R A N S F O R M A T I O N S D E S E Q U A T I O N S D E B A S E

4-1 P r e m i é r e t r a n s f o r m a t i o n . ^{L / s (Z ) +} j ^{(v) z = E} ^ ^{cotg p} _ Y

ou :

P o s o n s : ^c¡ / u> \

(4-1) (4.4)

z = Z.g ^{o ü} .

. r , * * » « • I W — l f - ( T ) ' + i - © ' + « - s " T l

/ = « , . - ^T y _ _ j - ü - r f ^ A v - - ^{( 4 6 )}

, ^

, _

r _ ^ ^ , ,

"

— H ' ( * ) ' - H * ) '

«

" í l

2 . / , „ /i ( 4.{ ; )

L e s e q u a t i o n s (3-15) et (3-16) deviennent : L/»(-} reP1>ésente l'opérateur.

L / . ( Y ) 4 - 1 ( , ) Y = - ^ t f i i V . (.) = f f . ^f] - i j > ( 4 - 7 )

A / 1 - 3 / 2 / | - 3 / 2 /- L e s s y m b o l e s ( ) ' i n d i q u e n t les d é r i v a t i o n s par

— D⁰ s i n² p D ¡ — y ^,9(FíCotS ^ F « ) "⁵ r a p p o r t á la v a r i a b l e s. L e s e q u a t i o n s ( 4 - 3 ) et ' ( 4 - 3 ) ( 4 - 4 ) s'appliquent aux disques c o n i q u e s ou t r o n -

5 0 L A H O U I L L E B L A N C H E N ° l - J A N V . - F É V . 1 9 6 1

c o n i q u e s chargés a x i s y m é t r i q u e m e n t et dont

Tépaisseur v a r í e d'une f a c ó n q u e l c o n q u e . j f c = 1 2 ( 1 — v²) f - ^ c o t g p F = O Í2 e^Q s^Q 7V

4-2 D e u x i é m e t r a n s í o r m a t i o n .

D a n s le cas d'un disque en rotation, libre sur ses deux bases, nous p o s e r o n s de plus :

.5

" _ S o

Z

v = E e⁰ s^a cotg ft ^y F

( 4 - 8 )

9

oü s⁰ et F sont r e s p e c t i v e m e n t une l o n g u e u r et un eífort de r é f é r e n c e . A v e c x, u et v, v a r i a b l e s sans d i m e n s i ó n , les équations ( 4 - 3 ) et ( 4 - 4 ) d e v i e n n e n t :

L / ,

L / , ( u ) + J Ce) u = - ~ — ( 3 + v) x2 / 7 * /2 ( 4 - 1 0 )

L e s f o n c t i o n s I , J et T o p é r a t e u r L ( . ) se r a p - p o r t e n t tous á la v a r i a b l e x.

5. C O N D I T I O N S A U X L I M I T E S

P o u r le cas de c h a r g e étudié, elles se rédui- sent á :

n = 0 , M = 0 p o u r x — x^x et x~x² ( 5 - 1 ) L a c o n d i t i o n de m o m e n t nul s'exprime, c o m p t e

tenu des t r a n s f o r m a t i o n s ( 4 - 1 ) et ( 4 - 8 ) , p a r :

Jfctgp \_dx ^ { x 2 h ) J

(5-2) pour x = x^x et x = x².

6. — R É S O L U T I O N D E S É Q U A T I O N S 4.9 et 4.10

6-1 T r a n s í o r m a t i o n en é q u a t i o n s intégrales.

Les équations (4-9) el (4-10) s'écrivent sous forme d'équations intégrales de F r e d h o l m :

o (X) = H {x, t) [ * - J ^ - + I ( 0 » ( 0 J * (6-1)

' ° r ~ w

] ^

+ (3 + v) <E> ( * ) (6-2) Í Í (x) =

avec :

$ (^X) == K ^(X, F ) Í » ^{/ l V 2} ( Í ) dt (6-3) H (a;, í) et K (x, t) sont les noyaux relatifs á v et á « . lis se déterminent facilement á l'aide des

solutions particuliéres de l'équation L (9) = 0 et des conditions aux limites.

On obtient ainsi :

( \x + (^M/x)} \t + WQ1 H (x, Í ) =

2 (fe — {¿l) 2 ((í.² — f-3.)

x^x ^ a; ^ í (6-4) [x +

W » ) 1 ff + w o i , <

< ^

¿ ( p 2 Pl)

K (x, t) = <; (6-5) 2 ^{( o2 —} p³)

L e s solutions p a r t i c u l i é r e s de L (<p) = 0 étant de la f o r m e 9 = ax + ( 6 / x ) , les constantes p^{l 5} o^{2 í}

J A N V . - F É V . 1 9 6 1 — N ° 1 S. GASACCI ET G. P I C C O L L I E R 51

¡/.^X, ¡J.² s'expriment, pour le cas de c h a r g e e n v i - sagé, p a r :

9i = — ^Xi2 92 = — x²²

(6-6)

2 1 -fy — ( 3 / 2 ) g , \hf(x¹)/h(x^J)]

1 1 — v + ( 3 / 2 ) x^x \h' (x^x)/h ( x^x) ]

_ r » 1 + v - - x* W &¿ A '

^ ^xa ! _ _ ^v _j_ ^(3/2) ^{X A} [^A/ ( ^ / A (^{X 2}) •]

6-2 Résolution n u m é r i q u e .

P o u r s i m p l i f i e r la r é s o l u t i o n n u m é r i q u e du s y s t é m e d ' é q u a t i o n s ( 6 - 1 ) - ( 6 - 2 ) , nous p o s e r o n s . :

U = Jii -

V = Iv + k h u

(6-7)

ou i n v c r s e m e n t

u —

— (k/h) U + J V

" ~~* (k/h²) + IJ _ I U + (V/k)

(6-8) (k/W) + IJ

ce qui entraine :

" + ^{J V} = T H (x, « V ( 0 dt ( 6 - 9 ) (k/n^¿) + 1J y ^

r w / t ^ V Í T

(6-10)

N o u s choisirons n points équidistants sur la m é r i d i e n n e m o y e n n e du cóne, de l o n g u e u r xⁿ — x^{l 5} et r e m p l a c e r o n s les i n t é g r a l e s p a r des

s o m m e s . E n utilisant la m é t h o d e de S i m p s o n , nous a r r i v o n s á un s y s t é m e de 2 n équations linéaires :

— k (Vi/h¡) + J¿ V,- ^ „ ^v , ,^{f i i n}

( k / ¿ ^ ¿ ^

-

-

O U

i •

p o u r

U ( x , ) H (xⁱ⁹ xj)

1, 2 . . . 71

3 n — 1 : 1, 4, 2 . . . 4,1

1, 2, 3 . . . n —

I^£ = I (x¿) etc.

I , *

L a r é s o l u t i o n du s y s t é m e d'équations (6-11) et (6-12) d o n n e n v a l e u r s de U et de V . L e s n v a - leurs c o r r e s p o n d a n t e s de u et de v se calculent á T a i d e des f o r m u l e s ( 6 - 8 ) .

7. — E X P R E S S I O N S D E S E F F O R T S , M O M E N T S E T D É F O R M A T I O N S

7-1 Effort n o r m a l N .

D ' a p r é s ( 4 - 1 ) et ( 4 - 8 ) , il v i e n t :

(7-1)

et :

<r^N = ^ = o>2 r^{0 2} ) — A -V 2 ( 7 / 2 )

9 x

soit e n c o r é en posant :

X

7-2 C i s a i l l e m e n t Q . II se définit p a r :

Q = N cotg p

( 7 - 3 ) (7-4)

(7-5)

7-3 Effort n o r m a l n.

L a condition d'équilibre (3-1) donne

n = ~ (sN) + * F⁽ ds

52 L A H O U I L L E B L A N C H E N ° 1 — J A N V . - F É V . 1 9 6 1

(7-6)

(7-7)

(7-8)

(7-9)

(7-10)

(7-11).

(7-12)

(7-13)

(7-14)

(7-15)

(7-16)

(7-17)

8. — C A L C U L D E S D É R I V É E S (do/dx) et (du/dx)

Dans les expressions des elTorts et des moments interviennent les dérivées v' et u' qui se calcu- lent aussi numériquement :

d'oü :

„ = (JL ^w*^ro2 ) e⁰ h ( ft-i/»

^ +-Y

'

+

)

avec :

K„*> = / 7 - V 2 i*ÍL + J L 7 7 - 3 / 2 /,/ ^{u + x}<2 dx 2

7-4 M o m e n t d e flexión M .

M = _ (JL ^tt. ,⁰2 ^ - J ^ L ^{7 l}v * ~ * L + f J L _ 8 h l \ "I l g ⁰ A " t g í * _<¿r ^ \ x 2 li ) J

_ 6 M _ / ^{x 2} j \ JT

avec :

K

« — >-"=[! + ( i - - H 0 » ]

7-5 M o m e n t d e flexión m.

6 171 / Y 9 9 \ T-T M

avec :

7-6 D é p l a c e m e n t n o r m a l to.

avec :

Kw« = C O t g p ^ ) "X ^ 7 7 / 7 - V 2 JX

7-7 D é p l a c e m e n t tangentiel v.

TI se d e t e r m i n e a l'aide de :

w cotg p + v = (/i — v N ) Ec

l o r s q u e I Í; , N sont connus.

J A N V . - F É V , 1 9 6 Í — N^Ü 1 S. CÁSAGGI ET G. P I C C O L L I E R 53

8-1 C a l c u l d e v\

L ' c q u a t i o n ( 6 - 9 ) s'ccrit aussi o (x) =

- i r a K*+^)/: ( • + • ? • ) v « > < « + ( * + o + 1 ) ^v (O *

M u l t i p l i a n t les deux m e m b r e s p a r x et d e r i v a n t , i l v i e n t :

(8-1)

v

+

X ( ^{, +} T ) ^{V (} ' ^{, < Í Í} + / " ( ' + ^J R) ^{V W <} ";

ou encoré :

V ( í ) remarquant [voir ( 8 - 1 ) ] que :

dt

r-(

+ Jtf\v

) dt = —m

v'

*i + (y-i/xi)

x y ,; i í xx + <.¡ii/.t,) (8-2) La connaissance des V{ permet de calculer p a r la niéthode de Simpson l'intégrale

á borne supérieure variable x¿.

8-2 C a l c u l d e u'.

Jx. t di

(G-10) se met sous la forme :

"<*> = v¿=&K* + IRU* (' + F ) ^Ü <» "< + (* + f) f," (' + F ) ^V ««>[

+ (3 + v) <I» ( x ) (8-3) Comme précédemment, aprés multiplication p a r x et dérivation, on obtient :

u + xu' =

[fj

U ' = - Ü

+ - L - r-(

if)v(t)dt-

Les i n t é g r a l e s figurant dans (8-4) se calculent n u m é r i q u e m e n t , connaissant les v a l e u r s U,^t.

9. — A P P L I C A T I O N : C O N E D ' É P A I S S E U R L I N É A I R E M E N T V A R I A B L E

P o u r les disques d'épaisseur linéairement variable en rotation, les diverses fonctions définies aux chapitres précédents s'écrivent :

A = 1 — x A' = — 1

= d H - ^ a [ x ( 4 v - 3 ) + 2 - 4 v l

5 4 L A H O U I L L E BLANCHE N ° 1 — J A N V . - F É V . 1 9 C 1

J ( x ) - — j y t = ^ L , r 0 4 v> + ² + ^{4 V}J

<í> (x) = _ i _

í

avec :

G ( x ) = (1 — xW^z O *² + 10 x + 4 )

S¡ A\>

Xl — --- , Xⁿ — —

L e s coefficients d'inftuence définis au p a r a g r a p h e 7 s ' e x p r i m e n t p a r : u

K V^W =

a' w , , ,²

x ( l — x )¹/²

( 1 — a r )¹'⁸ 2 x ( l — x )¹ ou :

u' = —

a: Pa •— Pi y*,. V r / '

_ 8 ( 3 + v) G ( x „ ) — G ( x^t) ⁺ 2 ( 3 + v) ⁽¹ „ x ) 3 / 2 (3 x + 2)

3 1 5 09 — o, 1 5

et

x x

+ w x o y

f

L e p a r a m é t r e O⁰/ e⁰) c o t g f 3 et les v a l e u r s x^x et xⁿ déíinissent la c o q u e . N o u s donnons quel- ques resultáis c o r r e s p o n d a n t á un c h o i x de 11 points équidistants et se r a p p o r t a n t aux c a r a c . téristiques suivantes :

v = 0,3 x^x = 0,2 xⁿ = 0,9

s^{u o} . ^Q 5 10 , 20

- ¿ - c o t g ^ - , ^ e t — P o u r :

(s^Q/e⁰) c o t g p = ( 2 0 / 9 ) ,

la courbe K^{f t}* — K^w*> s'écartant l é g é r e m e n t de

celle d o n n é e p a r A . D . K o v a l e n k o , nous a v o n s r e - fait le calcul a v e c 17 p o i n t s . L a n o u v e l l e c o u r b e obtenue est c o n f o n d u e avec la p r e n d e r e . D ' a u t r e part, le coefficient K ^ p o u r la m é r a e v a l e u r :

(s⁰/e⁰) cotg 0 = ( 2 0 / 9 )

est c o n f o n d u avec celui d o n n é p a r K o v a l e n k o . L e tableau I et les courbes 1 se r a p p o r t e n t au cas 5 / 9 .

L e tableau I I et les courbes 2 se r a p p o r t e n t au cas 1 0 / 9 .

L e tableau I I I et les courbes 3 se r a p p o r t e n t au cas 2 0 / 9 .

J A N V . - F É V . 1 9 6 1 — N ° 1 S. C A S A C C I ET G . P I C C O L L I E R

T A B L E A U I

-iíL c o t g p - 5 / 9

X K^M,td Kwc o

0 , 2 0 0 0 , 3 1 5 9 1 9 8 0 — 0 , 4 1 7 3 2 6 0 0

0 , 2 7 0 , 0 6 2 0 6 3 5 0 , 2 7 1 1 1 9 1 — 0 , 0 8 9 2 3 7 2 — 0 , 2 9 7 3 3 7 2 0 , 0 1 4 1 0 , 3 4 . . . 0 , 0 9 1 6 3 6 6 0 , 2 4 9 5 1 5 1 — 0 , 1 2 0 7 6 8 5 — 0 , 2 3 5 3 9 0 8 0 , 0 2 8 5

0,41 0 , 1 0 2 7 0 9 2 0 , 2 4 1 3 0 4 0 — 0 , 1 2 9 4 8 0 9 — 0 , 1 9 7 5 8 8 4 0 , 0 4 4 0

0,48 0 , 1 0 6 5 8 4 3 0 , 2 3 3 6 4 4 0 — 0 , 1 2 5 6 3 0 4 — 0 , 1 6 6 4 8 3 1 0 , 0 5 9 7

0,55 0 , 1 0 1 9 3 4 7 0 , 2 3 0 8 0 9 5 — 0 , 1 1 5 3 0 3 9 — 0 , 1 4 1 6 0 1 2 0 , 0 7 7 5

0 , 6 2 0 , 0 9 3 9 4 3 5 0 , 2 2 4 2 8 9 1 — 0 , 0 9 7 9 4 6 3 — 0 , 1 1 5 9 2 0 7 0 , 0 9 6 3

0,69 ( 0 , 0 7 9 1 6 2 5 0 , 2 2 1 4 5 5 5 — 0 , 0 7 7 4 1 5 2 — 0 , 0 9 2 4 4 9 6 0 , 1 1 7 1

0 , 7 6 0 , 0 6 1 5 0 2 4 0 , 2 1 1 6 2 7 4 — 0 , 0 5 0 7 7 6 3 — 0 , 0 6 6 6 5 7 3 0 , 1 3 9 2 0 , 8 3 0 , 0 3 5 3 9 0 3 0 , 2 0 6 6 0 2 6 — 0 , 0 1 9 6 0 6 9 — 0 , 0 4 0 6 6 7 5 0 , 1 6 2 6

0,90 0 0 , 1 7 9 3 5 1 8 0 — 0 , 0 1 8 6 8 7 8 0 , 1 8 6 4

C O U H B E S 1

Gontrainte tangentielle <j^s = [(y/g)&²r⁰²}(K^NW — K^{M W}) Contrainte longitudinale a⁰ = [ ( v / ^ ) w²r^{0 2}] ( K „^w— K^{O T}« ) Déplacement normal /t> = [ ( y / ^ ) o )²r^{0 2}] Cs^{0 2}/Ee⁰)K^ww

• Calcul numérique avec 11 points Series hypergéométríques (Kovalenko)

56 L A H O U Í L L E B L A N C H E N( > 1 — J A N Y . - F É V . 1961

T A B L E A U I I

CO T G P = 1 0 / 9

x KK« Km*)

0,20 0 0 , 1 5 8 3 3 7 3 0 — 0 , 5 3 9 7 6 1 4 0 , 0 1 8 3

0^?2 7 0 , 0 2 9 9 0 8 3 0 , 1 9 8 0 1 7 2 — 0 , 1 1 9 4 6 3 4 — 0 , 3 8 5 7 8 3 8 0 , 0 3 6 9

0,31 0 , 0 5 3 6 1 8 1 0 , 2 1 7 8 8 4 8 — 0 , 1 6 6 8 0 8 1 — 0 , 3 0 9 1 7 3 3 0 , 0 5 7 2

0,41 0 , 0 6 3 7 4 3 1 0 , 2 4 1 4 1 3 2 — 0 , 1 8 1 7 4 9 8 — 0 , 2 6 2 7 3 6 1 0 , 0 7 7 8

0,48 0 , 0 7 1 2 1 7 4 0 , 2 5 5 9 7 4 5 — 0 , 1 8 1 2 8 2 3 — 0 , 2 2 5 2 1 4 7 0 , 1 0 1 5

0,55 0 , 0 7 0 2 7 3 0 0 , 2 7 5 4 7 6 0 — 0 , 1 6 7 2 6 3 5 — 0 , 1 9 3 8 0 4 5 0 , 1 0 1 5

0,62 0 , 0 6 7 7 0 6 9 0 , 2 8 7 0 3 1 0 — 0 , 1 4 6 0 8 8 8 — 0 , 1 6 1 3 2 0 3 0 , 1 2 6 9

0,69 0 , 0 5 8 0 5 1 6 0 , 3 0 4 1 4 3 3 — 0 , 1 1 4 0 7 2 3 — 0 , 1 2 9 3 2 5 9 0 , 1 5 5 4

0,76 0 , 0 4 6 6 2 8 9 0 , 3 1 1 1 0 6 7 — 0 , 0 7 7 5 8 9 6 — 0 , 0 9 4 5 4 8 2 0 , 1 8 5 9

0,83 0 , 0 2 6 9 3 7 5 0 , 3 2 4 7 8 7 9 — 0 , 0 2 5 9 0 8 3 — 0 , 0 5 6 3 8 6 5 0 , 2 1 9 2

0,90 0 0 , 3 1 3 4 4 0 5 0 — 0 , 0 2 6 1 1 7 0 0 , 2 5 1 7

C O U R B H S 2

0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

Si"**-*-

Contrainte tangentiellc <y^s = [(y/g)(ú2r02] ( KN W — K^M« ) Contrainte longitudinale ^ = [ ( y / # ) ü >2r0 2] ( Kt t« — KB« ) Déplacement normal ~ [ (r/ ^ ) o > %2] ( s0 2/ E e0) Kt/ J

Calcul numérique avec 11 poihts Series hypergéométríques (Kovalenlto)

J A N V . - F É V . 1 9 0 1 — N^{( T} 1 S. CASACCI ET G. PICCOLLIER 5 7

TAHLISAU I I I c o t g S - 2 0 / 9

X KM" K m "

0,20 0 0 , 0 0 0 0 2 6 6 0 — 0 , 4 1 7 7 1 2 0 0

0³2 7 — 0 , 0 0 2 9 6 1 4 0 , 1 1 8 8 7 0 4 — 0 , 1 0 4 0 0 4 6 — 0 , 3 0 2 0 1 7 9 0 , 0 1 4 1

0,34 0 , 0 1 3 2 2 3 6 0 , 1 7 8 1 4 9 0 — 0 , 1 5 9 0 0 7 5 — 0 , 2 5 2 6 1 8 6 0 , 0 2 8 7

0 , 4 1 0 , 0 2 1 0 8 5 5 0 , 2 3 3 5 6 6 8 — 0 , 1 8 0 1 7 2 9 — 0 , 2 2 3 3 3 9 6 0 , 0 4 1 9

0,48 0 , 0 3 1 1 3 6 9 0 , 2 7 2 3 2 5 3 — 0 , 1 9 2 3 4 3 2 — 0 , 2 0 1 8 0 4 0 0 , 0 6 2 0

0 , 5 5 . 0 , 0 3 3 2 0 2 8 0 , 3 1 8 8 6 3 2 — 0 , 1 7 8 5 2 6 1 — 0 , 1 7 9 2 3 0 2 0 , 0 8 2 4

0,62 0 , 0 3 6 0 4 8 5 0 , 3 5 4 3 9 6 7 — 0 , 1 6 6 3 2 5 2 — 0 , 1 5 6 2 6 8 8 0 , 1 0 5 0

0,69 0 , 0 3 1 7 7 1 6 0 , 1 0 0 0 7 6 2 — 0 , 1 2 4 7 0 6 5 0 , 1 2 6 3 8 9 6 0 , 1 3 1 2

0 , 7 6 0 , 0 2 7 6 8 8 5 0 , 4 3 2 9 3 0 4 — 0 , 0 9 2 5 8 2 1 — 0 , 0 9 6 0 6 1 7 0 , 1 6 0 1

0,83 0 , 0 1 5 8 5 8 5 0 , 4 7 6 2 7 1 6 — 0 , 0 1 7 6 9 8 0 — 0 , 0 5 2 8 7 7 2 0 , 1 9 1 7

0 , 9 0 . 0 0 , 4 9 0 7 4 7 7 0 — 0 , 0 2 5 5 5 4 9 0 , 2 2 4 3

CourtBKs 3

0,2 0,4 0,4 0,5 0,6 0,7 0 , 8 0,9

Contrainle tangentielic ^<5g = [(y/g)<¿²r⁰²} ( KN W — KM^ ) Contrainte longitudinale ^ = [ (^Y/ ( 7 ) ü)2r0 2] ( K(w — K^m« ) Déplacement normal zu = [ ( y / p O ^ o2] ( s0 2/ E e0) Kw«

„ . , , . í . avec 11 points Calcul numérique ^w ..- . .

H ( X avec 17 pomts Series hypergéométríques (Kovalenko)

58 L A H O U Í L L E B L A N G H E N ° 1 — J A N V . - F É V . 1 9 6 1

10. — C O N C L U S I Ó N

L a t r a n s f o r m a t i o n des é q u a l i o n s genérales de la flexión a x i s y m é t r i q u e des coques en un sys- téme d'équations i n t é g r a l e s de F r e d o h l m p e n n e t de r é s o u d r e a n a l y t i q u e m e n t certains p r o b l é m e s . L a r é s o l u t i o n n u m é r i q u e du s y s t é m e d'équations intégrales, beaucoup plus g e n é r a l e , s'applique aux coques d'épaisseur v a r i a b l e dont Pétude ana- l y t i q u e est en g e n e r a l i n e x t r i c a b l e .

N o t r e étude m o n t r e q u ' o n obtient une bonnc precisión á p a r t i r d'un n o m b r e de points r c l a l i -

v e n i e n t faible. L e s resultáis de A . D . K o v a l e n k o sont tres v o i s i n s des n ó t r e s ; les faibles écarts constates p e u v e n t étre dus :

— p o u r la r é s o l u t i o n a n a l y t i q u e , á une i m p r e c i - sión du calcul des series h y p e r g é o m é t r i q u e s ; Tauteur p r e c i s e en effet q u ' i l ne c o n s i d e r e q u e 25 á 30 t e r m e s dans le cas oü la c o n v e r g e n c e est f a i b l e ;

— p o u r la r é s o l u t i o n n u m é r i q u e , au n o m b r e de points l i m i t é .

B I B L I O G R A P H I E

[1] K . E. BISSHOPP. — Lateral bending of symmetrically loacled conical discs. Quaterlg of applied Math.em.a- tics, octobre 1944, vol. II, n° 3, p. 205.

[2] A . D . KOVALENKO. — Plaques et enveloppes dans les rotors de turbomachines, Edition de l'Académie des

Sciences de la R.S.S. de VUkraine, Kiev, 1955, p. 222-257.

[3] S. X. CASACCI. — Etude de la flexión des coques de révolution chargées axisymétriquement. Revue Tra- vaux, novembre-déeembre 1959,

NOTEE FEONTISPICE

(Cf. p a g e 2 )

F O U R I E R ( J e a n - B a p t i s t e , J o s e p h , b a r ó n ) ( 1 7 6 8 - 1 8 3 0 ) B e a u c o u p p a r n i i c e u x q u i e n t e n d e n t p r o n o n c e r l e n o i n d e F o u r i e r s e r e p r é s e n t e n t c e l u i q u i f u t u n d e s p l u s g r a n d s g é o - m é t r e s d u x i xe s i é c l e c o m m e un m a t h é m a t i c i e n h i r s u t e hlanchís- s a n t un t a b l e a n n o i r a v e c les i n t e r m i n a b l e s « s e r i e s » q u i p o r t e n t son ñ o r a et q u i o n t r e n d u t a n t d e s e r v i c e s d a n s l e s r e c h é r c h e s en p h y s i q u e m a t h é m a t i q u e .

l i í e u p e u , sans d o u t e , c o n n a i s s e n t le s i n g u l i e r é c l e c t i s m e d o n t sa c a r r í é r e fut m a r q u é e e t q u i fit d e lui s u c c e s s i v e m e n t un r e l i g i e u x n o v i c e , un p r o f e s s e u r , un é g y p t o l o g u e , u n haut f o n c - t i o u n a i r e d e l ' A d m t n i s t r a t i o n p o l i t i q u e e t enfin u n raembre d e l ' l n s t i t u t d e F r a n c e , s e c r é t a i r e p e r p é t u e l d e l ' A c a d é m i e des S c i e n c e s et m e m b r e d e l ' A c a d é m i e F r a n c a i s e .

J e a n - B a p t i s t e F o u r i e r é t a i t n é á A f x e r r e le 21 m a r s 1768.

f / a c h é v e m e n t d e ses é t u d e s l e v i t e n t r e r c o m m e n o v i c e á l ' a b b a y e de S a i n t - B e n o i t - s u r - L o í r e q u ' i l q u i t t a á la fin d e 1789 p o u r a 11er l i r e d e v a n t r A c a d é m í e d e s S c i e n c e s son p r e m i e r m é m o i r e , t r a i - tañí, d e la r é s o l u t i o n d e s é q u a t i o n s n u m é r i q u e s .

N o m m é p r o f e s s e u r l o r s d e la f o n d a t i o n . d e I ' E c o l e N ó r m a l e , Íl fut c h a r g é d u c o u r s d ' a n a l y s e á I ' E c o l e P o l y t e c h n i q u e a p r é s la c r é a t i o n d e c e t t e é c o l e .

L ' a n n é e 1798 l e v i t s u i v r e M o n g e et B e r t h o l l e t e n E g y p t e , oú, d e v e n u m e m b r e d e l ' l n s t i t u t d ' E g y p t e d e s sa c r é a t i o n , p u i s s e c r é t a i r e p e r p é t u e l , i l p u b l i a un g r a n d n o m b r e d e m é m o í r e s c o n c e r n a n t c e p a y s . S o n r e t o u r en F r a n e e f u t s u í v i d e sa n o m í - n a t i o n c o m m e p r é f e t d e l ' I s é r e , p o s t e ou il d e m e u r a d u r a n t Íes a n n é e s 1802 á 1815, a u c o u r s d e s q u e l l e s il c a n s a c r a ses l o i s i r s d ' a d m m i s t r a t e u r á é c r t r e son g r a n d e t bel o u v r a g e s u r la

Théorie analytique de la chaleur ( 1 8 1 2 ) q u e courotma 1 ' A c a d é m í t

d e s S c i e n c e s , p u i s d i v e r s m é m o i r e s sur la s t a t i s t i q u e , sur la t h é o r í e d u m o u v e m e n t d e la c h a l e u r , s u r la r é s o l u t i o n g e n é r a l e des é q u a t i o n s a l g é b r i q u e s .

I I m o u r u t d ' u n e c h u t e , á P a r í s , le 16 m a i 1830. E n 1831 e u t Heu

la publication posthume d e son Analyse des équations déter- minées.

Barón Jean-Baptiste Joseph FOURIER (1768-1830) To many, the ñame of Fourier, one of the greatest mathematt- cians of the 19th Century, conjures up a picture of a hirsute mathematician standing before a blach-board and covering it zvith the interminable "series" bearing his ñame, zvhich have since be en siich a valuable asset in mathematical physics researclu Ilozuever, only fezv people are probably atoare of the rare cclccticism which marked Fourier's career, as aresult of zvhich he zvas, successively, a religious novice, a professor, an egypto- íogist, a high political administration official and, finally the permanent secretary of the Academy of Science and a Mcmbcr of the Instituí de France and the Acadénvie Francaise.

Jean-Baptiste Fourier ivas born at Auxerre 011 the 21st March 1768, On completing his studies, he entered the Abbcy at Saint- Benoit-sur-Loire as a novice, which he left in 1789 to read his first paper—on the solution of numerical équations—before the Academy of Science.

He zvas appointed a Professor at the foundation of the Ecole Nórmale and, zvhen the Ecole Polytechnique ivas created, zeas made< responsible for its coursc on anatysis.

In 1798, he followed Monge and Berthollet to Egypí, zvhere he became a Member of the Instituí d'Bgypte pn the day of its foundation. He subsequcntly became its permanent secretary, dunng which period he published a large number of arHeles about Bgypt. In 1802, shortly after his return to France, he zvas appointed Prefcct of the Isére Department, a post he zvas to hold until 1815. ^His remarkable work on the T h e o r e t i c a l analysis o f heat—which zvas azvarded a distinction by the Acade- my of Science—zvas zvritten during his leisure hours as an administrator, follcrwed by a number of papers on- statistics, the throry of heat movement, and the general solution of algébrate équations.

Fourier died from a fa.ll in París on the lóth May 1830. His A n a l y s i s o f d e t e r m í n a t e équations zvas published posthumously in 1831.