Probabilités (lois discrètes) (version chantier)
Marc SAGE 18 juin 2014
Table des matières
1 Un exo calcul concret pas trop dur 2
1
Ce terme de probable vient du latin probabilis utilisé par Cicéron pour traduire les termes d’endoxa, de pistis et d’eikota dans lesTopiques d’Aristote, qui signi…ent respectivement l’opinion, la croyance non fondée en raison et la simplevraisemblance. il sert donc à désigner de manière confuse ce à quoi le rationalisme oppose lesavoir, lacroyance fondée en raison, et levrai.
(Alain Séguy-Duclot,La réalité physique, ed hermann p105)
1 Un exo calcul concret pas trop dur
tire pile (probap) ou face (probaq)–>on s’arête à pile auL-ième lancer (probaqL 1p) –>tirer uniformément une suite deLchi¤res dansf0; :::;9g, d’où un décimalX.
=`
` 1 F` 1P f0;1; :::;9g` P F` 1P !c =q` 1p101` (vér… :P
`;!c P= 1)
Tirer un nombre 10k` 1 où106jkrevient à tirer une longueur`+"puis à tirer les` chi¤res deksuivis de"
chi¤res0, d’où
P X = k
10` =X
"2N
q`+" 1p 1 10`+" =p
q q 10
` 1
1 10q = q 10
` 1 p
10 q.
Bien regarder à part le cas de0 (pour lequel il n’y a pas de telk) : revient à tirer0;1où l’on remplace le1 par un0, d’où
P(X = 0) =P(X= 0;1) = p 10 q. On en déduit l’espérance
E= X
` 1 1 k<10`
106jk
k
10`P X= k
10` = X
` 1 1 k<10`
106jk
k 10`
q 10
` 1 p
10 q = p 10 q
X
` 1
q` 1 102` 1
X
1 k<10` 106jk
k.
Or la dernière somme vaut X
1 k<10` 106jk
k = X
1 k<10`
k X
k=10h 1 h<10` 1
(10h) = 10`10` 1
2 10 10` 110` 1 1 2
= 10`
2 10` 1 10` 1 1 = 10`
2 10` 10` 1
= 10`
2 10` 1(10 1) = 9 2102` 1, d’où en réinjectant
E= p 10 q
X
` 1
q` 1 102` 1
9
2102` 1 = 9 2
p 10 q
X
` 1
q` 1= 9 2
p 9 +p
1 1 q = 1
2 1 1 +p9.
À longueur`…xée, la première moitié des décimaux forme 101`[0;499:::9]et la seconde 101`[500:::000;99:::9]: par rapport à 12, la première pèse plus que la seconde. De fait, E2 12
i 1 1+19;1+10
9
h
= 209;12 .
Soita2[0;1[, mettonsa=P
` 1 c`
10`. Notonsa` := b10`ac
10` sa troncature à`décimales (observera0 = 0et ai ai 1=10cii).
Soit`2N . Choisir un décimal aà`décimales revient (d’après la comparaison lexicographique) à choisir un entier c1c2:::c`= 10`a : il y en a 10`a + 1, à diviser par les10` décimaux possibles, d’où
PL=`(X a) = 10`a + 1 10` .
2
On en déduit l’image deapar la fonction de répartition : F(a) =P(X a) =X
` 1
P(L=`)PL=`(X a) =X
` 1
q` 1p 10`a + 1
10` =pX
` 1
a`q` 1+ p 10
X
` 1
q 10
` 1
| {z }
=P(X=0)=10pq
.
Or la première somme se télescope en (1 q)X
` 1
a`q` 1=X
k 0
ak+1qk X
` 1
a`q`= a1
|{z}
=a1 a0
+X
k 1
(ak+1 ak)
| {z }
ck+1 10k+1
qk =X
k 0
ck+1 qk 10k+1 = 1
q X
` 1
c` q 10
`
,
d’où
F 0
@X
` 1
c`
10` 1
A=F(0) +1 q
X
` 1
c`
(10=q)` avecF(0) = 1 1 +p9.
3
