Solutions aux exercices 2
cours d’introduction à la logique, printemps 2019, UniL, Philipp Blum
1. (2 points) Les tables de vérité correctes sont les suivantes : Solution:
(a) Première table :
p q ¬p q→ ¬p
V V F F
V F F V
F V V V
F F V V
(b) Deuxième table :
p q r ¬p ¬p∧q (¬p∧q)∨r
V V V F F V
V F F F F F
V V F F F F
F V V V V V
V F V F F V
F V F V V V
F F F V F F
F F V V F V
2. (2 points) Faites des tables de vérité pour les phrases données : Solution:
(a) Première phrase : (i) Première méthode :
p q ¬p ¬q ¬p∧ ¬q ¬(¬p∧ ¬q)
V V F F F V
V F F V F V
F V V F F V
F F V V V F
(ii) Deuxième méthode :
¬ (¬ p ∧ ¬ q) V F V F F V V F V F V F V V F F F V F V F V V F
(iii) On voit donc que «¬(¬p∧ ¬q)» a la même table de vérité que «p∨q».
(b) Deuxième phrase : (i) Première méthode :
p q r q∨r p∧ p∧q p∧r (p∧q)∨ (p∧(q∨r))↔
(q∨r) (p∧r) ((p∧q)∨(p∧r))
V V V V V V V V V
V V F V V V F V V
V F V V V F V V V
V F F F F F F F V
F V V V F F F F V
F V F V F F F F V
F F V V F F F F V
F F F F F F F F V
(ii) Deuxième méthode :
(p ∧ (q ∨ r)) ↔ ((p ∧ q) ∨ (p ∧ r))
V V V V V V V V V V V V V
V V V V F V V V V V V F F
V V F V V V V F F V V V V
V F F F F V V F F F V F F
F F V V V V F F V F F F V
F F V V F V F F V F F F F
F F F V V V F F F F F F V
F F F F F V F F F F F F F
(iii) Du fait qu’il n’y a que des « V » dans la colonne du connecteur principal, on voit que «(p∧(q∨r))↔((p∧q)∨(p∧r))» est une tautologie.
3. (2 points) Supposons que «p» abrège « Maria aime Marc », «q» abrège « Guillaume adore Chantal » et « r » y « Laura apprécie Jean-Pascal », Jean dit « ¬(p∧ ¬q) et Janine dit
«p∧ ¬(q∧ ¬r)». Si Jean et Janine ont les deux raison, qui a des sentiments positifs envers qui ?
Solution:
1. (2 points, 1 pour le raisonnement, 1 pour la réponse) :
(a) Première méthode : Si Jean a raison, alors il n’est pas le cas que, à la fois, «p» est vrai et «q» est faux (la deuxième ligne du premier tableau reçoit la valeur « faux »).
Si Janine a raison, alors il n’est pas le cas que «p» et «q» sont vrais et «r» est faux (deuxième ligne du deuxième tableau), ni il est le cas que «p» est faux (lignes 5 à 8 du deuxième tableau). Alors « p» est vrai. Mais alors « q» ne peut pas être faux (autrement Jean aurait tort). Alors «q» doit être vrai. Alors « r» doit aussi être vrai (à cause de ce que dit Janine). Alors Maria aime Marc, Guillaume adore Chantal et Laura apprécie Jean-Paul.
(b) Deuxième méthode : Construisons les tables comme suit : p q ¬q p∧ ¬q ¬(p∧ ¬q)
V V F F V
V F V V F
F V F F V
F F V F V
p q r ¬r q∧ ¬r ¬(q∧ ¬r) p∧ ¬(q∧ ¬r)
V V V F F V V
V V F V V F F
V F V F F V V
V F F V F V V
F V V F F V F
F V F V V F F
F F V F F V F
F F F V F V F
Faisons un tableau qui combine les deux :
p q r p∧ ¬(q∧ ¬r) ¬(p∧ ¬q) (p∧ ¬(q∧ ¬r))∧(¬(p∧ ¬q))
V V V V V V
V V F F V F
V F V V F F
V F F V F F
F V V F V F
F V F F V F
F F V F V F
F F F F V F
On voit que toutes les lignes à part la première reçoivent la valeur « F ». Si Jean et Janine ont les deux raison, alors «p», «q» et «r» sont toutes vrais. Alors Maria aime Marc, Guillaume adore Chantal et Laura apprécie Jean-Paul.
4. (1 point) Si ces deux phrases sont vraies :
(i) Si Jean-Paul est à la maison, il est avec Jean-Pascal.
(ii) Si Jean-Paul est à la maison, il n’est pas avec Jean-Pascal.
Alors où est Jean-Paul ? Solutions:
• D’une manière informelle : Si Jean-Paul était à la maison, il serait avec Jean-Pascal (clause (i)) et il ne serait pas avec Jean-Pascal (clause (ii)). Il n’est pas possible d’être avec Jean-Pascal tout en n’étant pas avec Jean-Pascal. Alors Jean-Paul n’est pas à la maison.
• Par une règle d’inférence : le schéma deréduction à l’absurde nous permet de conclure
«¬p» de «p→q » et de «p→ ¬q». Alors Jean-Paul n’est pas à la maison.
• Par une table de vérité :
p q p→q ¬q p→ ¬q (p→q)∧(p→ ¬q)
V V V F F F
V F F V V F
F V V F V V
F F V V V V
On voit que dans les deux cas où les deux ont raison (troisième et quatrième ligne),
«p» est faux. Alors Jean-Paul n’est pas à la maison.
5. (4 points) Montrez que les phrases données ont les mêmes tables de vérité : Solution:
1.
p ¬p
V F
F V
p ¬p ¬¬p ¬¬¬p
V F V F
F V F V
2.
p q p→q
V V V
V F F
F V V
F F V
p q ¬p ¬p∨q
V V F V
V F F F
F V V V
F F V V
3.
p q p∧q ¬(p∧q)
V V V F
V F F V
F V F V
F F F V
p q ¬p ¬q ¬p∨ ¬q
V V F F F
V F F V V
F V V F V
F F V V V
4.
p q p∨q ¬(p∨q)
V V V F
V F V F
F V V F
F F F V
p q ¬p ¬q ¬p∧ ¬q
V V F F F
V F F V F
F V V F F
F F V V V
6. (2 points) Déterminez si « ((p∧q)∨r)↔((p∨r)∧(q∨r))» est une tautologie.
Solution: On voit que c’est une tautologie comme suit :
((p ∧ q) ∨ r) ↔ ((p ∨ r) ∧ (q ∨ r))
V V V V V V V V V V V V V
V V V V F V V V F V V V F
V F F V V V V V V V F V V
V F F F F V V V F F F F F
F F V V V V F V V V V V V
F F V F F V F F F F V V F
F F F V V V F V V V F V V
F F F F F V F F F F F F F
7. (2 points) Trouvez des phrases équivalentes à «¬(p→ ¬q)»..
Solution: Il y en a beaucoup (en fait, une infinité) de phrases qui sont logiquement équi- valentes à (= ont la même table de vérité que) « ¬(p → ¬q) ». La grande majorité sont des phrases plus complexes, par ex. toutes les phrases qui rajoutent un conjoint tautologique (comme, par ex. : «¬(p→ ¬q)∧(q∨ ¬q)») ou un disjoint contradictoire (comme, par ex. :
«¬(p→ ¬q)∨(q∧ ¬q)»).
En voici quelques-unes plutôt simples :
1. la phrase en question elle-même, « ¬(p → ¬q) », est logiquement équivalente à elle- même ;
2. par la définition de l’implication, nous voyons que «p∧¬¬q» est une phase équivalente, alors (par l’élimination de la négation) «p∧q » l’est également ;
3. par la même définition, nous voyons que «¬(¬p∨ ¬q)» est équivalent, alors (par une application des lois de Morgan) «p∧q » l’est également ;
4. par l’application de la conversion, nous obtenons «¬(¬q→ ¬p)».
8. (1 point) (Smullyan,The Riddle of Scheherazade) Deux des trois Jeans font des affirmations contraires (Jean-Philippe : « Jean-Baptiste est innocent » ; Jean-Baptiste : « Jean-Baptiste n’est pas innocent ») – au moins une doit être vraie, alors ils n’ont pas menti les deux. Si deux des trois Jeans ont mentis, le premier, Jean-Maurice, a certainement menti. Alors il n’a pas dit la vérité. Ce qu’il a dit est qu’il était innocent. Alors il est coupable.
9. (4 points) Discours politique.
1. Pour la formalisation, on a (cf. la première question des exercises 1) :
Si les États-Unis …et le prix …, la Syrie … ⇝ A:= (¬p∧q)→r
Si la Syrie …, le Liban … ⇝ B:=¬r→s
Si les États-Unis ..., le prix …et la Syrie … ⇝ C:=¬p→(q∨r)
Si les Syrie..., alors les États-Unis … ⇝ D:=r→p 2. Les tables de vérités sont les suivantes :
(a) Pour les trois premières prémisses, on a :
p q r s ¬p ¬p∧q A ¬r B ¬p q∨r C
V V V V F F V F V F V V
V V V F F F V F V F V V
V V F V F F V V V F V V
V V F F F F V V F F V V
V F V V F F V F V F V V
V F V F F F V F V F V V
V F F V F F V V V F F V
V F F F F F V V F F F V
F V V V V V V F V V V V
F V V F V V V F V V V V
F V F V V V F V V V V V
F V F F V V F V F V V V
F F V V V F V F V V V V
F F V F V F V F V V V V
F F F V V F V V V V F F
F F F F V F V V F V F F
(b) Pris ensemble, ceci nous donne :
p q r s A B C D A∧B∧C∧D
V V V V V V V V V
V V V F V V V V V
V V F V V V V V V
V V F F V F V V F
V F V V V V V V V
V F V F V V V V V
V F F V V V V V V
V F F F V F V V F
F V V V V V V F F
F V V F V V V F F
F V F V F V V V F
F V F F F F V V F
F F V V V V V F F
F F V F V V V F F
F F F V V V F V F
F F F F V F F V F
3. Pour trouver un discours équivalent, il y a différentes manières de procéder :
• La solution élégante : Nous observons dans la table de vérité ci-dessus que le discours est faux si et seulement si une des lignes 4, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 ou 16 est le cas. Ce sont donc les cas qu’il faut exclure. Pour exclure les lignes 9 à 16, il suffit
de postuler la vérité de «p». Pour exclure les lignes 4 et 8, nous postulons la vérité de «r∨s». Pris ensemble, nous obtenons donc «p∧(r∨s)» : « les États-Unis attaquent l’Iran et soit la Syrie soit le Liban attaque l’Israël ».
• La solution ‹ brute › : Le discours est vrai si seulement si une des lignes 1, 2, 3, 5, 6 ou 7 est le cas. Le discours donc dit qu’une de ces lignes représente la réalité comment elle est. Il faut alors juste en faire la disjonction de toutes ces possibilités : (1) (p∧q∧r∧s)∨(p∧q∧r∧ ¬s)∨(p∧q∧ ¬r∧s)∨(p∧ ¬q∧r∧s)
∨(p∧ ¬q∧r∧ ¬s)∨(p∧ ¬q∧ ¬r∧s)
• On voit ainsi que les deux solutions sont équivalentes : Dans la longue disjonction (1), on voit que certains disjoints ne diffèrent en ce qu’ils contiennent une seule pro- position une fois positivement et une fois négativement : le premier et le deuxième, ainsi que le quatrième et le cinquième, ne diffèrent que en rapport à « s », et le troisième et le sixième ne se distinguent que par rapport à « q». On peut donc les laisser tomber :
(2) (p∧q∧r)∨(p∧ ¬r∧s)∨(p∧ ¬q∧r)
On fait la même chose avec le premier et le troisième disjoint dans (2) : (3) (p∧r)∨(p∧ ¬r∧s)
On applique la loi de distributivité (cf. leçon 3) : (4) (p∨(p∧ ¬r∧s))∧(r∨(p∧ ¬r∧s))
Nous voyons que le premier conjoint est vrai si et seulement si la phrase atomique
«p» est vraie et que le deuxième peut être simplifié : (5) p∧(r∨(p∧s))
Dans le deuxième conjoint, nous n’avons plus besoin de requérir que p, puisque la vérité de «p» est déjà assurée avec le premier conjoint :
(6) p∧(r∨s)
4. Une solution directe : on transforme les quatre propositions initiales à l’aide de l’équi- valence logique⌜ϕ→ψ⌝⇒⌜¬ϕ∨ψ⌝en disjonctions :
(i) (¬p∧q)→r ⇝ ¬(¬p∧q)∨r (ii) ¬r→s ⇝ ¬¬r∨s (iii) ¬p→(q∨r) ⇝ ¬¬p∨(q∨r)
(iv) r→p ⇝ ¬r∨p
On utilisant un des lois de Morgan (cf. leçon 3), (i) peut encore être simplifié davantage, obtenant «p∨¬q∨r». On observe alors que (i), (iii) et (iv) contiennent tous «p» comme disjoint. Donc : si «p» est vrai, alors les autres le sont également. Pour (ii), on a besoin de «r∨s». On essaie alors avec «p∧(r∨s)» et on remarque que cette proposition à la même table de vérité que le discours entier.
5. Pour le discours opposé (contradictoire), beaucoup transforment «p→q » en «¬p→
¬q ». Ces deux propositions, pourtant, ne sont pas contradictoires :
p q p→q ¬p ¬q (p→q)∧(¬p→ ¬q)
V V V V V V
V F F V F F
F V V F V F
F F V F F V
On voit que si « p » et « q » sont soit les deux vrais, soit les deux faux, les deux implications matérielles sont vraies.
La négation (= opposition contradictoire) de « les États-Unis attaquent l’Iran et soit la Syrie soit le Liban attaque l’Israël » («p∧(r∨s)») est «¬(p∧(r∨s))», ce qui se simplifie, par les lois de Morgan en «¬p∨(¬r∧¬s)» (« soit les États-Unis n’attaquent pas l’Iran, soit ni la Syrie ni le Liban attaquent l’Israël ») et, par la définition de l’implication, en
«p→(¬r∧¬s)» : « si les États-Unis attaquent l’Iran, ni la Syrie ni le Liban n’attaque l’Israël ».
