Geben Sie eine Basis vonVan

Prof. Dr. Stefan Kebekus WS 2010/11 Dr. Andreas Höring

Übungsaufgaben zur Linearen Algebra I 5. Blatt

Abgabetermin: Do, 25.11.2009, 8 Uhr 15

Alle Antworten sind mit einem Beweis zu begründen.

Aufgabe 5-1(4 Punkte):

Es seiV := {(v₁,v₂,v₃) ∈ _R³ | v₁+v₂+2v₃ = 0}. Zeigen Sie, dassV ein Untervektor- raum vonR³ist. Geben Sie eine Basis vonVan. Ergänzen Sie die von Ihnen gefundene Basis vonVzu einer Basis vonR³.

Aufgabe 5-2(4 Punkte):

Es sei R[X]₅ ⊂ _R[X] der Vektorraum der reellen Polynome vom Grad d ≤ 5. Wir definieren

E:={P∈_R[X]₅|P⁰(1) =0},

wobeiP⁰die (aus der Schule bekannte) Ableitung des PolynomsPist.

a) Zeigen Sie, dassEein Untervektorraum ist. Bestimmen Sie eine Basis vonE.

b) Die MengeB := {X⁵,X⁴,X³,X²,X, 1} ⊂ _R[X]₅ ist eine Basis vonR[X]₅. Bestimmen Sie eine Gleichung vonEin Koordinaten bezüglich dieser Basis, d.h. bestimmen Sie eine Gleichung vonϕ_B(E)wobeiϕ_B :R[X]₅→_R⁶die Koordinatenabbildung ist.

Aufgabe 5-3(4 Punkte):

Es seiC^∞(_R)der reelle Vektorraum der unendlich oft differenzierbaren Abbildungen von RnachRundU⊂ C^∞(_R)der Untervektorraum

U:=f ∈E| f(0) = f⁰(0) =0 . Es sei außerdem

W := {f :R→_R|x7→ ax+b,a∈_R,b∈_R} die Menge der affinen Funktionen.

a) Zeigen Sie, dassWein Untervektorraum vonC^∞(_R)ist und Dimension zwei hat.

b) Zeigen Sie, dassC^∞(_R) = U⊕W. Gegeben eine Funktion f ∈ C^∞(_R), bestimmen Sie eine Formel für die eindeutig bestimmten Funktionenu ∈ U und w ∈ W so dass

f =u+w.

Aufgabe 5-4(4 Punkte):

Es sei V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum von Dimension n und U ⊂ V ein Untervektorraum. MitV/Usei der Quotientenvektorraum vonVnachUbezeichnet. Es seiB_U = {v₁, . . . ,v_m} eine Basis vonU. Ergänzen Sie B_U zu einer Basis von V durch

1

2

Vektorenv_m+1, . . . ,vn. Zeigen Sie, dass die Menge{v_m+1+U, . . . ,vn+U}eine Basis von V/Uist. Folgern Sie, dass dimV/U=dimV−dimU.

Umfrage zu Hochschulrankings

1. Hat das Hochschulranking des CHE bei ihrer Studienwahl (Wahl des Studienortes oder -faches) eine Rolle gespielt ?

^{Ja Nein} Ich kenne das Hochschulranking des CHE nicht.

2. Hat ein anderes Hochschulranking eine Rolle gespielt ?

^{Ja Nein}

Wenn ja, welches ?

Bitte geben Sie den ausgefüllten Zettel mit ihrem Übungsblatt zusammengeheftet ab.

Vielen Dank für ihre Teilnahme!