V. Solutions bornées d’équations différentielles.

Objectif du problème.

L’objectif du problème est d’étudier quelques propriétés d’une classe de fonctions étendant les fonctions périodiques, qui apparaissent naturellement dans les recherches de solutions bornées d’équations différentielles. Nous étudierons ensuite certains types d’équations différentielles.

La partie I introduit quelques préliminaires, la partie II certaines propriétés des fonctions conti- nues périodiques, la partieIIIétudie l’espace des fonctions nomméespresque-périodiquesainsi que quelques propriétés de celles-ci. La partieIVétend la notion de moyenne et l’analyse de Fourier au cadre des fonctions presque-périodiques. Enfin, la partieVs’intéresse à des équations différentielles linéaires.

Il est possible d’aborder une partie sans avoir traité les précédentes, à condition toutefois de prendre connaissance des notations, définitions et résultats établis auparavant.

Notations, définitions et rappels.

B Dans tout l’énoncé,εdésigne un nombre réel.

B SoitAune partie deR. On noteAl’adhérence deA.

B Soit f une fonction définie surRet à valeurs dansCet (f_n)_n>1une suite de fonctions définies surRet à valeurs dansC. On dit que la suite (f_n)_n>1converge uniformément vers f surR, ou que f est la limite uniforme de (fn)_n>1surR, si à partir d’un certain rang les éléments de la suite sup_x∈R|f(x)− f_n(x)|

n>1sont des nombres réels et que la suite sup_x∈R|f(x)− f_n(x)|

n>1

converge vers 0.

On rappelle qu’une limite uniforme d’une suite de fonctions continues (respectivement bor- nées) est continue (respectivement bornée).

B Soit (a,b) ∈ R² aveca 6 bet f : [a,b] → C une fonction continue. On rappelle l’inégalité suivante :

Z _b

a

f(t)dt

6 Z _b

a

|f(t)|dt.

B Soit (E,k.k_E) unC-espace vectoriel normé etL:E→Cune forme linéaire.

On rappelle queLest continue si et seulement si il existe une constanteK>0 telle que :

∀x∈E, |L(x)|6Kkxk_E.

SoitL:E→Cune forme linéaire continue. On appelle norme deLet on note|||L|||le nombre

|||L|||=sup{|L(x)|;x∈E,kxk_E=1}.

Ensembles et espaces en jeu.

B LeC-espace vectoriel des fonctions continues deRdansCest notéC⁰(R,C).

B On noteBC⁰(R,C) leC-espace vectoriel des fonctions continues bornées deRdansC, qu’on munit de la norme suivante :

kfk_∞=sup

x∈R

|f(x)|.

On rappelle que (BC⁰(R,C),k.k_∞) est complet ; la limite d’une suite d’éléments deBC⁰(R,C) uniformément convergente est un élément deBC⁰(R,C).

Dans ce qui suit, nous allons introduire des ensembles de fonctions dont nous verrons plus tard qu’il s’agit de sous-ensembles deBC⁰(R,C).

B Pour tout réelTstrictement positif,C⁰_T(R,C) désigne l’ensemble des fonctions fcontinues de RdansC,T-périodiques (dontTestunepériode), c’est-à-dire satisfaisant :

∀x∈R, f(x+T)= f(x).

Nous verrons dans la question8aqueC⁰_T(R,C) est un sous-espace vectoriel fermé deBC⁰(R,C).

Pour f ∈ C⁰_T(R,C) et k ∈ Z, on note c_k(f) le k−ème coefficient de Fourier complexe de f, d’expression :

c_k(f)= 1 T

Z T 0

e^{−2ikπT t}f(t)dt.

B Per(R,C) désigne l’ensemble des fonctions continues périodiques deRdansC, c’est-à-dire la réunion des ensemblesC⁰_T(R,C) pourTréel strictement positif ;Per(R,C)= [

T>0

C⁰_T(R,C).

On noteVectPer(R,C) le sous-espace vectoriel engendré parPer(R,C) dansC⁰(R,C) . B Pourλ∈C, on notee_λ :R→Cla fonction définie pare_λ(x)=e^iλx.

B Soitnun entier strictement positif, (λ1, . . . , λn)∈Rⁿet (a₁, . . . ,a_n)∈Cⁿ. On appellepolynôme trigonométrique généraliséla fonction f =

n

X

j=1

a_je_λj.

L’ensemble des polynômes trigonométriques généralisés est unC-espace vectoriel que l’on noteraPTG(R,C).

Le produit de deux éléments dePTG(R,C) est un élément dePTG(R,C).

B On note enfinPP(R,C) l’ensemble des fonctions, ditespresque périodiques, qui sont des limites uniformes de suites d’éléments deVectPer(R,C).

Nous verrons à la question 14a que les éléments de PP(R,C) sont également les limites uniformes de suites de polynômes trigonométriques généralisés.

I. Préliminaires.

1. Les fonctionse₁ete_1+isont-elles des éléments deBC⁰(R,C) ?

2. Soit (fn)n>1la suite de fonctions définies surRpour tout entiern>1 par fn(x)= _nx^x_+i.

Démontrer que la suite (f_n)_n>1est une suite d’éléments deBC⁰(R,C) qui converge uniformé- ment. Précisez sa limite uniforme.

3. Soit (f_n)_n>1et (g_n)_n>1deux suites d’éléments deBC⁰(R,C), convergeant uniformément respec- tivement vers f etg. Démontrer que la suite (f_ng_n)_n>1converge uniformément vers f g.

4. Soit (f_n)_n>1une suite de fonctions deBC⁰(R,C), convergeant uniformément vers f.

On suppose que pour tout entier n > 1, fn est uniformément continue sur R. On veut démontrer que f est uniformément continue surR.

Soitε >0. On considère un entiern>1 tel quekf− f_nk_∞6ε/3.

(a) Justifier qu’il existe un réelηε>0 tel que si (x₁,x₂)∈R²vérifie|x₁−x₂|6ηε, alors

|fn(x2)− fn(x₁)|6ε/3.

(b) En déduire que si (x₁,x2)∈R²vérifie|x₁−x2|6η_ε, alors|f(x2)− f(x₁)|6ε.

Conclure.

5. Soitnun entier strictement positif etλ1, . . . , λndes nombres complexes distincts deux à deux.

Démontrer que la famille{e_λ1, . . . ,e_λn}est libre dans leC-espace vectorielC⁰(R,C). ( On pourra utiliser la dérivation).

II. Quelques propriétés concernant les fonctions périodiques.

6. SoitT un réel strictement positif et h une fonction appartenant àC⁰_T(R,C). Démontrer que pour tout réelt,

Z _T+t

t

h(s)ds= Z _T

0 h(s)ds.

7. Soitαun réel strictement positif. On introduit la fonctiong_α:R→Rd’expression g_α(x)=cos(x)+cos(αx).

(a) On suppose queα∈ Q. Démontrer que g_α est périodique, et donner une période deg_α. On pourra écrireα=p/qavecp,q∈N^∗premiers entre eux.

(b) On suppose queα<Q. Résoudreg_α(x)=2. La fonctiong_αest-elle périodique ?

(c) L’ensemblePer(R,C) des fonctions continues périodiques deRdansCest-il un sous-espace vectoriel deC⁰(R,C) ?

8. SoitTest un réel strictement positif. L’objectif de cette question est de démontrer queC⁰_T(R,C) est un sous-espace vectoriel complet de (BC⁰(R,C),||.||_∞).

(a) Démontrer queC⁰_T(R,C) est un sous-espace vectoriel deBC⁰(R,C).

(b) Démontrer queC⁰_T(R,C) est fermé dansBC⁰(R,C). En déduire queC⁰_T(R,C) est complet.

9. SoitTun réel strictement positif, f ∈C⁰_T(R,C) etFune primitive quelconque de f. Démontrer l’équivalence entre les assertions suivantes :

B (A1)Fest périodique etTest une période deF; B (A2)Fest bornée ;

B (A3)

Z T 0

f(t)dt=0.

10. SoitTun réel strictement positif et f ∈C⁰_T(R,C). Démontrer que fest uniformément continue surR.

11. Soit f ∈C⁰_2π(R,C). On introduit pour tout entiern>1 la fonctionK_n:R→Cd’expression

K_n= 1 n

n−1

X

k=0





k

X

j=−k

e_j



,

et pour tout entiern>1 et toutx∈R, on pose : f_n(x)= 1

2π Z _π

−πK_n(x−t)f(t)dt.

(a) Démontrer que pour tout entiern>1 et toutx∈R, on a : f_n(x)= 1

2π Z _π

−πK_n(t)f(x−t)dt.

(b) Soit j ∈ Z. Calculer 1 2π

Z _π

−πe_j(t)dt. En déduire que 1 2π

Z _π

−πK_n(t)dt = 1 pour tout entier n>1.

(c) Démontrer que pour tout entiern>1 et toutx∈R\(2πZ), on a : Kn(x)= sin^{2 nx}₂

nsin^{2 x}₂. (d) Démontrer que pour tout entiern>1 et toutx∈R:

fn(x)− f(x)= 1 2π

Z _π

−π(f(x−t)− f(x))Kn(t)dt.

(e) Soitε >0. Justifier l’existence d’un réelη_ε∈]0, π[ tel que, pour tout (x,x⁰)∈R², si|x−x⁰|6η_ε alors |f(x)− f(x⁰)| 6 ε. Déduire des questions précédentes que pour tout entiern >1 et toutx∈R:

|fn(x)− f(x)|6ε+ 2kfk_∞ nsin²(ηε/2). (f) Trouver l’expression des réelsβn,jtels queKn=

n−1

X

j=−(n−1)

βn,jejpour tout entiern>1.

(g) Démontrer que la suite de fonctions (f_n)_n>1est une suite de polynômes trigonométriques généralisés qui converge uniformément vers f surR.

(h) SoitTun réel strictement positif etg∈C⁰_T(R,C). À l’aide des questions précédentes, trouver une suite de polynômes trigonométriques généralisés (gn)n>1convergeant uniformément vers gsurR. On démontrera que la suite proposée répond à la question, et on donnera pour tout entiern>1 l’expression deg_nen fonction des coefficients de Fourier complexes deg.

12. Le but de cette question est de démontrer que si une somme finie de fonctions périodiques continues à valeurs dansCadmet une limite dansCen+∞(ou en−∞), alors elle est constante.

On procèdera par récurrence sur le nombreN de fonctions périodiques continues dans la somme.

(a) Montrer qu’une fonction périodique continue à valeurs dans Cayant une limite dansC en+∞est constante.

(b) SoitNun entier strictement positif. On considère une fonction f = f₁+. . .+f_N+1où, pour tout j∈ {1, . . . ,N+1}, fj :R→Cest continue, périodique de périodeTj. Montrer que la fonctiong:R→Cdéfinie parg:x7→ f(x+T_N+1)− f(x) peut s’écrire comme somme de Nfonctions périodiques.

(c) En déduire que si une somme finie de fonctions périodiques continues à valeurs dansC admet une limite`∈Cen+∞alors elle est constante.

(d) Démontrer que si une somme finie de fonctions périodiques continues à valeurs dansC admet une limite`∈Cen−∞, alors elle est constante.

13. À chaque µ ∈ Cet P : R → C fonction polynomiale, on associe la fonction deR dansC: ϕ_µ,P:t7→e^µtP(t).

SoitNun entier strictement positif. Soit (P_j)_j∈{1,...,N}une famille deNpolynômes et (µj)_j∈{1,...,N}

Nnombres complexes deux à deux distincts.

On s’intéresse aux deux assertions suivantes :

B (A4): Pour tout j∈ {1, . . . ,N}, soit le polynômeP_j est le polynôme nul, soit Re(µj)=0 et le polynômeP_jest un polynôme constant.

B (A5):

N

X

j=1

ϕ_µj,P_j est bornée surR.

(a) Soitµun imaginaire pur etPun polynôme constant. Démontrer queϕµ,Pest bornée.

(b) Démontrer que l’assertion(A4)implique l’assertion(A5).

(c) Dans la suite de cette question, on suppose que l’assertion (A5)est vraie. On suppose donc quePN

j=1ϕ_µj,Pj est bornée surRet, quitte à enlever le(s) terme(s) nul(s), queP_j est non nul pour toutj∈ {1, . . . ,N}.

On pose enfinαj =Re(µj) pour tout j∈ {1, . . . ,N}, et quitte à réordonner, on suppose que lesα1>α2>...>αN.

i. SoitQun polynôme trigonométrique généralisé non nul. À l’aide de la question12, établir qu’il existeε0 >0 et deux suites (t_n)_n>1et (t⁰_n)_n>1de réels tendant respectivement vers+∞et−∞tels que|Q(tn)|> ε0et|Q(t⁰_n)|> ε0pour tout entiern>1. On distinguera selon queQest constant ou non.

ii. Démontrer qu’il existe un entier N⁰, des polynômes trigonométriques généralisés Q₀, . . . ,Q_N⁰ avecQ_N⁰ non nul, et une fonctionψde limite nulle en+∞tels que :

∀t∈R,

N

X

j=1

ϕµj,Pj(t)=e^α1t

N⁰

X

k=0

t^kQ_k(t)+ψ(t)

! .

On distinguera deux cas, selon que les αj sont tous égaux ou qu’il existe un entier m6N−1 tel queα1 =. . .=αm> α_m+1.

iii. Démontrer queα160 et que, lorsqueα1 =0 on aN⁰ =0.

iv. Démontrer de même queαN >0, puis en déduire que l’assertion(A4)est vraie.

III. Étude de PP(R , C) et de ses éléments.

On rappelle quePTG(R,C) désigne l’espace vectoriel des polynômes trigonométriques géné- ralisés deRversC, et quePTG(R,C) est stable par produit de deux de ses éléments.

On rappelle également quePP(R,C) désigne l’ensemble des fonctions presque-périodiques deRversC.

14. (a) Démontrer quef ∈PP(R,C) si et seulement si fest limite uniforme d’une suite d’éléments dePTG(R,C).

(b) Démontrer quePP(R,C) est un sous-espace vectoriel fermé de (BC⁰(R,C),k.k_∞). En déduire quePP(R,C) muni de la normek.k_∞est un espace de Banach.

15. Démontrer que si f ∈PP(R,C) etg∈PP(R,C) alors le produit f.gappartient àPP(R,C).

16. Le but de cette question est de démontrer que si f : R →Cest une fonction continue et si g∈PP(R,C) est telle queg(R)⊂R, alors f ◦g∈PP(R,C).

(a) Démontrer que si ˜f :R→Cest polynomiale et si ˜g∈PTG(R,C), alors ˜f ◦g˜∈PTG(R,C).

(b) Soit f :R→Rune fonction continue et ˜g∈PTG(R,C) telle que ˜g(R)⊂R. Démontrer que K= g(R) est un compact de˜ R, puis en déduire que f ◦g˜ ∈PP(R,C).Indication : on pourra utiliser le fait que toute fonction continue sur un compact de Ret à valeurs dans C est limite uniforme sur ce compact d’une suite de polynômes.

(c) En conclure que si f : R → C est une fonction continue et si g ∈ PP(R,C) est telle que g(R)⊂R, alors f◦g∈PP(R,C).

IV. Moyennes et coefficients de Fourier-Bohr.

Les notations et définitions introduites au fur et à mesure dans cette partie seront utilisées pour toute la suite du problème.

A) Moyennes.

Pour un réelτstrictement positif, on introduit la forme linéaireM_τdeC⁰(R,C) dansCqui à toute fonction f ∈C⁰(R,C) associe :

M_τ(f)= 1 τ

Z _τ

0

f(t)dt et sous réserve d’existence :

M(f)= lim

τ→+∞

M_τ(f).

L’objectif de cette partie est de démontrer queM(f) existe pour toute fonction f ∈PP(R,C), et queMest une forme linéaire continue dePP(R,C) et que sa norme est égale à 1 .

17. SoitTun réel strictement positif et f ∈C⁰_T(R,C). Démontrer queM(f) existe et égal à : M(f)= 1

T Z _T

0 f(t)dt.

18. Démontrer queM(f) existe pour toute fonction f ∈VectPer(R,C), puis queMest une forme linéaire continue de (VectPer(R,C),k.k_∞) et que sa norme est égale 1.

19. Soitτ et τ⁰ deux réels strictement positifs et f ∈ PP(R,C). On considère (fn)_n>1 une suite d’éléments deVectPer(R,C) convergeant uniformément vers f ∈PP(R,C).

(a) Démontrer que pour tout entiern>1 :

|M_τ(f)− M_τ⁰(f)|62kf− fnk_∞+|M_τ(fn)− M_τ⁰(fn)|.

(b) Démontrer que pour tout réel ε > 0, il existe un réel A_ε > 0 tel que si τetτ⁰ sont deux réels supérieurs àA_ε, alors :

|M_τ(f)− M_τ⁰(f)|6ε.

(c) En déduire queM(f) existe.

20. Démontrer queMest une forme linéaire continue de (PP(R,C),k.k_∞) et que sa norme |||M|||

est égale à 1.

B) Coefficients de Fourier-Bohr.

Pour f ∈PP(R,C) etλ∈R, on introduit, sous réserve d’existence : a_λ(f)=M(e−λf)

et :

Λ(f)={λ∈R,a_λ(f),0}.

21. Soitλ∈Ret f ∈PP(R,C). Justifier l’existence dea_λ(f), puis démontrer quea_λest une forme linéaire continue de (PP(R,C),k.k_∞). Donner un majorant de sa norme|||a_λ|||.

22. SoitN un entier strictement positif et (λ1, . . . , λN) ∈ R^N tels que lesλj soient deux à deux distincts.

Soit f =

N

X

j=1

αje_λj :R→Cun polynôme trigonométrique généralisé.

(a) Déterminer, pour toutλ∈R,a_λ(f).

(b) Démontrer que :

M(|f|²)=

N

X

j=1

|αj|².

23. SoitTun réel strictement positif. On considère une fonction f ∈C⁰_T(R,C).

(a) Démontrer que pour tout entierN>1 :

M_NT(e−λf)= 1

T Z T

0

e^−iλxf(x)dx 1

N

N−1

X

j=0

e^−iλjT.

(b) En déduire que :

Λ(f)⊂ 2π T Z, et reliera_λ(f) à un coefficient de Fourier de f.

24. SoitT₁,T₂deux réels strictement positifs, f₁∈C⁰_T1(R,C) et f₂ ∈C⁰_T2(R,C) deux fonctions non constantes.

(a) Démontrer qu’il existeλ1∈R^∗etλ2 ∈R^∗tels quea_λ1(f₁),0 eta_λ2(f₂),0.

(b) En déduire une condition nécessaire et suffisante portant surT₁etT₂pour que f₁+f₂soit périodique.

25. Soit f ∈ PP(R,C) et (fn)n>1 une suite d’éléments de PTG(R,C) convergeant uniformément vers f.

(a) Démontrer quea_λ(f_n) −→

n→+∞a_λ(f).

(b) En déduire queΛ(f)⊂ [

n>1

Λ(f_n).

(c) Démontrer queΛ(f) est au plus dénombrable.

26. Soit f ∈PP(R,C) une fonction dérivable telle que sa dérivée f⁰ soit un élément dePP(R,C).

Démontrer que pour toutλ∈R, on a :

a_λ(f⁰)=iλa_λ(f).

27. Soit (αn)_n>0une suite de complexes non nuls tels que la sérieP

αnsoit absolument conver- gente, et (βn)n>0 une suite de réels deux à deux distincts. Pourx ∈ R, on pose sous réserve d’existence f(x)=

+∞

X

n=0

αne^iβnx.

(a) Démontrer que f est bien définie surR, puis que f est un élément dePP(R,C).

(b) DéterminerΛ(f). Pourλ∈Λ(f), on précisera la valeur dea_λ(f).

C) Relation de Parseval.

Soit f ∈PP(R,C). Pour tout sous-ensemble finiJdeR, on note : S_J(f)=X

λ∈J

|a_λ(f)|²,

et l’on note S(f) la borne supérieure des SJ(f) lorsque J parcourt l’ensemble P_{f inie}(R) des parties de R ayant un nombre fini d’éléments. On a a priori S(f) ∈ R₊ ∪ {+∞}. On peut remarquer que siJ₁etJ₂sont deux parties finies satisfaisantJ₁ ⊂J₂, on aS_J1(f)6S_J2(f).

Le but de cette partie est d’établir larelation de Parseval pour les fonctions presque-périodiques, c’est-à-dire :

S(f)=M |f|² , et d’en donner une application.

28. Démontrer la relation de Parseval lorsque f : R → C est un polynôme trigonométrique généralisé.

29. Soit f ∈PP(R,C). L’objectif de cette question est d’établir l’inégalitéS(f)6M |f|² .

Soit (f_n)_n>1une suite de polynômes trigonométriques généralisés convergeant uniformément vers f, et soit June partie finie deR.

(a) Démontrer que (SJ(fn))_n>1converge versSJ(f).

(b) Démontrer que (|f_n|²)_n>1converge uniformément vers|f|².

(c) Soitε >0. Démontrer qu’il existe un entierN_εtel que pour tout entiern>N_ε: S_J(f_n)6M |f|²

+ε.

(d) Conclure.

30. Soit f ∈PP(R,C). Le but de cette question est d’établir l’inégalitéS(f)>M |f|² . Soitε >0 etP∈PTG(R,C) non nul tel quekf−Pk_∞6ε.

On poseP^∗= X

λ∈Λ(f)∩Λ(P)

a_λ(f)e_λ. (a) Démontrer que :

M |f−P^∗|²

=M |f|²

− X

λ∈Λ(f)∩Λ(P)

|a_λ(f)|².

(b) Soitn un entier strictement positif et µ = (µ1, . . . , µn) un n−uplet de réels deux à deux distincts. On considère la fonction ψ_µ : (z₁, . . . ,zn) 7→ M

f−P_n

k=1z_ke_µk

2

définie sur Cⁿ. Démontrer que :

ψµ(z₁, . . . ,z_n)=M(|f|²)+

n

X

k=1

|z_k−a_µk(f)|²−

n

X

k=1

|a_µk(f)|²,

puis en déduire la valeur minimale deψ_µet l’élément deCⁿréalisant le minimum.

(c) Déduire des questions précédentes queM |f−P^∗|²

6M |f −P|²

, puis conclure.

31. Démontrer que pour toute fonction f ∈PP(R,C), on aS(f)=M |f|² .

32. Donner un exemple de fonction f ∈PP(R,C) telle queM(f)=0, mais dont les primitives ne sont pas des éléments dePP(R,C).Indication : on pourra utiliser la relation de Parseval, ainsi que les questions26et27.

V. Solutions bornées d’équations différentielles.

Dans toute cette partie, on considère un entierp>1. L’espaceMp,1(C) des matrices carrées à plignes et une colonne et à coefficients complexes est muni de la norme suivante :

∀X=





 X₁

...

X_p





∈M_p,1(C), kXk= v u u t

p

X

j=1

|X_j|².

Lorsquep=1, on identifieM_1,1(C) àC.

L’espaceMp(C) des matrices carrées d’ordrepà coefficients complexes est muni de la norme matricielle suivante :

∀A∈Mp(C), kAk_M

p(C)= sup

kXk=1

kAXk.

On dit que f : R →Mp,1(C) est continue si chacune de ses composantes f_j : R →C, pour j∈ {1, . . . ,p}, est continue. On écrit alors que f ∈C⁰(R,Mp,1(C)).

On dit que f : R → M_p,1(C) est bornée si chacune de ses composantes f_j : R → C , pour j∈ {1, . . . ,p}, est bornée.

Si f :R→Mp,1(C) est continue bornée, on écrit alors que f ∈BC⁰(R,Mp,1(C)).

De la même façon, on dit que f : R → Mp,1(C) est continueT−périodique (resp. un poly- nôme trigonométrique généralisé, resp. une fonction presque périodique) si chacune de ses composantes f_j : R→C, pour j∈ {1, . . . ,p}, est continueT−périodique (resp. un polynôme trigonométrique généralisé, resp. une fonction presque périodique).

On écrit alors que f ∈C⁰_T(R,M_p,1(C)) (resp. f ∈PTG(R,M_p,1(C)), resp. f ∈PP(R,M_p,1(C))).

D) Solutions bornées d’équations différentielles autonomes.

On s’intéresse aux solutionsX:R→M_p,1(C) à valeurs complexes de l’équation différentielle X⁰ =AX, oùA∈Mp(C), et plus particulièrement aux solutions bornées surR.

On noteλ1, . . . , λrles valeurs propres (complexes) distinctes deAetn₁, . . . ,nrleurs ordres de multiplicité ; on an_j >1 pour tout j∈ {1, . . . ,r}, etPr

j=1n_j =p.

On rappelle que les sous-espaces caractéristiques deAsont lesC_j =Ker (A−λjI_p)^nj pour j∈ {1, . . . ,r}, oùIpdésigne la matrice identité d’ordrep. On rappelle queM_p,1(C) est somme directe des sous-espaces caractéristiques deA.

On utilisera les résultats de la question13, et notamment la notationϕµ,Pintroduite dans cette question.

33. Dans cette question, on suppose quep=1 et on s’intéresse donc aux solutionsx:R→Cde l’équation (E) :x⁰ =axaveca∈C.

(a) On suppose que Re(a)=0. Démontrer que toutes les solutions de (E) sont bornées.

(b) On suppose Re(a),0. Démontrer que parmi toutes les solutions de (E), seule la solution nulle est bornée.

34. (a) SoitXune solution deX⁰ =AX. En utilisant une base adaptée à la décomposition

Mp,1(C) = ⊕_kC_k, démontrer que chaque composante deXest une somme deϕλj,Pj pour j∈ {1, . . . ,r}, où chaquePj est un polynôme de degré au plusnj−1.

(b) Trouver une condition nécessaire et suffisante surApour que seule la solution nulle de X⁰ =AXsoit bornée.

(c) Démontrer que toute solution bornée de X⁰ = AX a pour composantes des polynômes trigonométriques généralisés.

E) Équations exponentiellement stables.

Considérons une équation différentielle linéaire X⁰ = A(t)X+B(t), où A est une fonction continue deRdans l’espaceM_p(C) des matrices carrées d’ordrepà coefficients complexes, et Best une fonction continue deRà valeurs dansMp,1(C).

On dit que cette équation satisfait l’hypothèse (ES) s’il existe des constantes réellesM>0 et α >0 telles que, pour toute solutionXdéfinie surRet à valeurs dansM_p,1(C) de l’équation homogène associéeX⁰=A(t)X, et pour tout (s,t)∈R²avect>s, on ait :

kX(t)k6Me^−α(t−s)kX(s)k.

On noteM⁻l’ensemble des matricesA∈Mp(C) dont toutes les valeurs propres sont de partie réelle strictement négative. On admet que :

∀A∈M⁻, ∃(C, α)∈(R⁺∗)², ∀τ∈R⁺, kexp(τA)k_M

p(C)6Ce^−ατ.

35. Dans cette question, on suppose quep =1. On s’intéresse ainsi à l’équationx⁰ =a(t)x+b(t) oùaetbsont des fonctions continues surRet à valeurs dansC.

(a) Rappeler l’expression des solutions de l’équationx⁰=a(t)x.

(b) Démontrer que, si sup_RRe(a)<0, alors l’hypothèse (ES) est satisfaite.

(c) Démontrer que, siaest périodique et siM(Re(a))<0, alors l’hypothèse (ES) est satisfaite.

Indication : on pourra commencer par constater que les primitives de a− M(a)sont bornées.

36. Dans cette question, on suppose queAest un élément deM⁻et l’on s’intéresse à l’équation X⁰=AX+B(t). Démontrer que l’hypothèse (ES) est satisfaite.

Désormais, on suppose que l’hypothèse(ES)est satisfaite.

37. SoitB∈BC⁰(R,M_p,1(C)). On s’intéresse à l’unicité des solutions bornées deX⁰ =A(t)X+B(t).

(a) SoitXune solution non nulle deX⁰ =A(t)X. Démontrer queX(t),0 pour toutt∈R, puis déterminer les limites lorsquet→+∞et lorsquet→ −∞dekX(t)k.

(b) En déduire que l’équationX⁰ =A(t)X+B(t) admet au plus une solution bornée surR.

38. SoitB∈BC⁰(R,M_p,1(C)). On s’intéresse à l’existence des solutions bornées deX⁰ =A(t)X+B(t).

(a) On suppose quep>1 et que la fonctiont7→A(t) est une constante, encore notéeA, et que Aest un élément deM⁻.

Démontrer que l’expression :

XB(t)= Z _t

−∞

exp((t−s)A)B(s)ds a un sens et définit une solution bornéeX_BdeX⁰ =AX+B(t).

(b) On suppose quep =1 et queaest une fonction continue deRdansC, telle que (ES) est satisfaite.

Proposer une expression similaire pour la solution bornée dex⁰ = a(t)x+B(t), dont on démontrera qu’elle convient.

39. SoitTun réel strictement positif. On suppose que les fonctionsAetBsont périodiques, et que Test une période commune à ces deux fonctions. On suppose de plus queX⁰ =A(t)X+B(t) admet une unique solution bornée. Démontrer que la solution bornée est périodique, et que Ten est une période.

40. SoitB ∈PP(R,Mp,1(C)) etA ∈M⁻. On noteX_B l’unique solution bornée deX⁰ =AX+B(t).

Démontrer queXB ∈PP(R,Mp,1(C)).

FIN DU SUJET