Electronique Générale

Université Mohamed Seddik Ben Yahia Jijel

2015

Electronique Générale

Dr. Faiza MERICHE

Dr. Faiza MERICHE

MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE

UNIVERSITE MOHAMED SEDDIK BEN YAHIA - JIJEL FACULTE DES SCIENCES EXACTES ET INFORMATIQUE

DEPARTEMENT DE PHYSIQUE

COURS

Destiné aux étudiants de 2^ème année Licence Domaine : Sciences de la Matière « SM »

Filière : Physique

« L2 - S4 »

Electronique générale

Cours & Exercices

Dr. MERICHE Faiza

Dans le cadre de la préparation de l’Habilitation Universitaire

Année 2015

ii

Module : Electronique Générale

Domaine SM, Licence Physique, Deuxième année, Semestre 4, UEM 4.

Volume horaire Semestriel Hebdomadaire

Cours heures 1h 30mn

Travaux dirigés heures 1h 30mn

Total 45 heures 3h

Contenu de la matière :

I – RÉSEAUX ÉLECTRIQUES (5 semaines)

1. Courant continu : Définition, générateurs de tension et de courant (idéal, réel), relations tensions –courant (R, L, C), lois de Kirchhoff. Méthodes d’analyse des réseaux linéaires : méthode des mailles et des nœuds, application à la notation matricielle. Théorèmes fondamentaux (superposition, théorèmes de Thevenin et Norton, réciprocité), équivalence entre Thevenin et Norton.

2. Régime variable : Circuits et signaux en régime variable, application du calcul variationnel (transformée de Laplace, exemple : impédance symbolique et circuits à un signal échelon ou à signal impulsion).

3. Régime sinusoïdal : représentation des signaux, notations complexes, impédance électriques, adaptation d’un générateur sinusoïdal. Méthodes d’analyse des réseaux en régime sinusoïdal et théorèmes fondamentaux, application aux circuits RC, RL.

4. Étude des circuits résonnants série et parallèle, régime forcé : réponses en fréquence, coefficients de qualité, bande passante, sélectivité, unités logarithmiques.

5. Étude des circuits RLC en régime libre : les différents régimes, conditions initiales. Circuits RC et RL (énergie maximale dans C et L).

II – QUADRIPOLES PASSIFS (6 semaines)

1. Représentation d’un réseau passif par un quadripôle : Les matrices d’un quadripôle, association de quadripôle. Grandeurs caractérisant le comportement d’un quadripôle dans un montage (impédance d’entrée et de sortie, gain en courant et en tension), application à l’adaptation.

2. Quadripôles particuliers passifs : En Г, T, Π, etc. équivalence étoile – triangle. Filtres électriques passifs : Impédances images et caractéristiques, étude du gain (en atténuation) d’un filtre chargé par son impédance itérative. Cas particulier du filtre idéal symétrique (bande passante).

Représentation des fonctions de transfert (courbes de Bode).

iii

(différents coulage et réponses en fréquence, bande passante).

III – DIODES (4 semaines)

Notions élémentaires de la physique des semi-conducteurs : semi-conducteurs intrinsèque et extrinsèque. Conduction, dopage, jonction pn, diagramme d’énergie.

Constitution et fonctionnement d’une diode : Polarisation, caractéristique I(V), droite de charge statique, régime variable.

Circuits à diodes : Redressement simple et double alternance, application à la stabilité de tension par la diode Zener, écrêtage. Autres types de diodes : varicap, DEL, photodiode.

iv

Avant-propos

Ce cours complet d’électrocinétique et d’électronique est destiné aux étudiants de deuxième année Licence Physique. Il correspond au programme officiel du module « Electronique générale » enseigné en deuxième année (L2-S4) du domaine SM - Sciences de la Matière, filière Physique.

Ce manuel rédigé avec un souci permanent de simplicité est structuré en cinq chapitres. Ils traitent des notions fondamentales des circuits électriques, lois de kirchhoff et théorèmes généraux de l’électricité en régime continu, circuits électriques en régime sinusoïdal et transitoire, quadripôles en régimes sinusoïdal, jonction PN et diodes à semiconducteurs.

Chaque chapitre propose de nombreux exercices avec leur solution entièrement détaillée à la fin de ce cours. Une annexe avec les formulaires de mathématiques complète ce manuel.

Faiza MERICHE

Table des Matières

Chapitre 1. Réseaux électriques en régime continu………...………..…1

1. Définitions……….1

1.1. Dipôle……….1

1.2. Régimes électriques………2

1.3. Générateurs de tension et courant en régime continu………...……...………2

1.3.1. Générateur de tension idéal………...………...……2

1.3.2. Générateur de courant idéal ………..………...………2

1.3.3. Générateur de tension réel ………...……3

1.3.4. Générateur de courant réel……….………...………3

1.3.5. Puissance électrique (Adaptation) ………4

2. Réseaux électriques linéaires en régime continu………...………4

2.1. Réseau électrique linéaire………...………4

2.2. Dipôles passifs linéaires………..…………...……5

2.3. Groupement des dipôles passifs………..……...……5

2.4. Lois de Kirchhoff ………...……6

2.4.1. Loi de Kirchhoff des nœuds………...………...…6

2.4.2. Loi de Kirchhoff des mailles……….………6

2.5. Théorèmes fondamentaux………...…………...…6

2.5.1. Pont diviseur de tension……….………...…6

2.5.2. Pont diviseur de courant………7

2.5.3. Théorème de superposition………...………7

2.5.4. Théorème de réciprocité ………...……...…8

2.5.5. Théorèmes de Thévenin et de Norton………...…9

2.5.6. Association des générateurs de tension en série ………..……..…10

2.5.7. Association des générateurs de courant en parallèle………...…10

2.5.8. Théorèmes de Millman………...…11

Exercices……….…………12

Chapitre 2. Réseaux électriques en régime transitoire………..……..……13

1. Echelon de tension………...…13

2. Dipôles de base des circuits…..………...……14 v

3. Etude d’un circuit « Résistance-Capacité » (RC)..……….………...………...………...…14

3.1. Notions de base sur les condensateurs………...………..……14

3.2. Réponse d’un circuit (d’un dipôle) RC à un échelon de tension………..……15

3.2.1. Décharge d’un condensateur dans une résistance………...……17

3.2.2. Energie électrostatique………18

4. Etudes des circuits du deuxième ordre………..………...…18

4.1. Equations différentielles d’un circuit………...…18

4.2. Réponse d’un circuit « Résistance-Bobine-Capacité » (RLC) à un échelon de tension…..19

Exercices………...………..22

Chapitre 3. Réseaux électriques en régime sinusoïdal………..…………..…….23

1. Grandeurs sinusoïdales ………...………23

2. Représentations des grandeurs sinusoïdales…….………...…24

2.1. Représentation vectorielle (Méthode de Fresnel) ……….………...……24

2.2. Représentation complexe………..………...…24

2.2.1. Rappels mathématiques………..………24

2.2.2. Application aux signaux sinusoïdaux………..………...…25

2.2.3. Dérivée et intégration ……….………...…25

3. Modèle complexe d’un circuit en régime sinusoïdal………...……26

3.1. Impédances complexes des dipôles élémentaires……..………...……26

3.1.1. Impédance d’une résistance………26

3.1.2. Impédance d’une bobine idéale………..………26

3.1.3. Impédance d’un condensateur ………26

3.2. Lois en régime sinusoïdal……….………27

3.3. Groupement de dipôles passifs……….………28

3.4. Etude d’un circuit RLC série……….………...……28

3.5. Puissance………..………30

3.5.1. Puissance instantanée………..………30

3.5.2. Puissance moyenne ……….…...…30

Exercices……….……31

Chapitre 4. Quadripôles passifs- Filtres……….………...32

1. Quadripôle………...……….32

1.1. Matrices impédance et admittance d’un quadripôle………...…..32

1.2. Association de quadripôles………...…33

1.2.1. Groupement en série………...……33 vi

1.2.2. Groupement en parallèle……….………34

1.2.3. Quadripôles en T et en

π

……….………..………34

1.3. Quadripôles en charge.……….………35

1.3.1. Impédances d’entrée ………...………...…35

1.3.2. Impédance caractéristique………...………36

1.4. Fonction de transfert……….………36

2. Filtre linéaire……….………...…36

2.1. Définition………..36

2.2. Représentation de Bode………37

2.2.1. Fonction de transfert d’un filtre………...………...…37

2.2.2. Gain en décibel………...………38

2.2.3. Diagramme de Bode d’un filtre………..………38

2.2.4. Filtres passifs d’ordre 1 (circuits R, C série) ……….………39

Exercices……….43

Chapitre 5. Diodes à semiconducteur………..…………..………44

1. Notions élémentaires sur la physique des semi-conducteurs………..………44

1.1 Conduction électrique intrinsèque………44

1.2 Semiconducteurs intrinsèques………..………46

1.3 Semiconducteurs dopés ou extrinsèques………...………...…………47

2. Diode à jonction………...………...…………47

2.1. JonctionPN………...………47

2.2. Polarisation de la diode……….………...………48

2.3. Diodes particulières………..………51

2.3.1. Diodes de redressement………..………51

2.3.2. Diodes Zéner………...………51

2.3.3. Diodes Schottky ……….………51

2.3.4. Diodes électroluminescentes………...………52

2.3.5. Diodes varicap………...……….………52

Exercices……….………54

Solutions des exercices………...…55

Bibliographie………..………76

vii

 

1

Chapitre 1

Réseaux électriques en régime continu

Un circuit linéaire est un circuit constitué de dipôles linéaires (résistance, condensateur, bobine, générateur de tension et/ou de courant). Nous donnons dans ce chapitre des lois simples permettant de déterminer simplement l’intensité et/ou la tension aux bornes d’un dipôle quelconque dans un circuit fonctionnant en régime continu, connaissant les caractéristiques des dipôles le constituant.

1.

Définitions 1.1. Dipôle

Un dipôle est un circuit accessible par deux bornes A et B, il peut être caractérisé par, un courant i qui le traverse et la tension u, entre ses bornes.

i : courant électrique circulant de A à B, s’exprime en Ampère (A).

uAB = uA –uB : tension (différence de potentiel) entre A et B, s’exprime en volt (V).

 La caractéristique d’un dipôle est la relation entre u et i, elle est écrite sous la forme u (i).

 Le sens de passage du courant peut être : iAB ou iBA, avec iAB = - iBA.

 Un dipôle peut être un récepteur ou un générateur : Dipôle

A B

i

uAB

 

2 1.2. Régimes électriques

Un circuit électrique linéaire est alimenté par des générateurs. Il existe deux types de sources (générateurs) continues et alternatives :

 Régime continu (statique) : les grandeurs électriques (tensions et courant) sont invariantes dans le temps.

 Régime variable (dynamique) : les grandeurs électriques évoluent dans le temps, les sources sont dites alternatives.

1.3. Générateurs de tension et courant en régime continu 1.3.1. Générateur de tension idéal

Un générateur (source) de tension continue est un dipôle capable d’imposer une tension à ses bornes constante quelle que soit l’intensité du courant qui le traverse. Ses deux représentations sont : E : est la force électromotrice du générateur (f.é.m)

1.3.2. Générateur de courant idéal

Un tel générateur délivre un courant, dit courant de court-circuit, indépendant de la tension présente à ses bornes. Ses deux représentations sont :

récepteur les flèches du courant et de la tension sont en sens inverse

générateur les flèches du courant et de la tension sont dans le même sens

représentations dans un circuit la caractéristique

0 i

u E

B A

u R

i

E u

A i E B

A i B

u + -E

A i B

uAB

A i B

uAB

 

3 1.3.3. Générateur de tension réel (ohmique)

Dans la réalité, les générateurs ne sont pas parfaits et on considère qu’un modèle plus proche de la réalité consiste à associer un générateur de tension idéal en série avec une résistance. Cette résistance est appelée « résistance interne » du générateur.

L’équation de la caractéristique : u E ri

E : est la force électromotrice du générateur (f.é.m) r : la résistance interne

1.3.4. Générateur de courant réel (ohmique)

Dans ce cas, on associe un générateur de courant idéal en parallèle avec une résistance.

représentations dans un circuit la caractéristique

représentations dans un circuit la caractéristique

représentation dans un circuit la caractéristique

A ig B

u

A ig B

u B

A

u R

ig

ig

0 i

u

ig

A i B

u + - (E, r)

0 i

u E r

B A

u R

i

E

 B

A

u R

i

ig

0 i

u

ig



A ig B i

 

4

L’équation de la caractéristique du générateur de courant réel est :



i u

i  _g  1.3.5. Puissance électrique (Adaptation)

La puissance électrique fournie par un générateur (E, r), à une charge résistive R, s’exprime par :

 

^{R Ri avec i}



^REr



P  ²   

 

 

²

2 2

r R

R i E

R R

P   

P(R) est maximum, si

 

_0



 R

R

P , d’où :

 

r R E

P et

r

R 4

2 max 



 Un générateur délivre une puissance maximum dans une charge résistive (résistance) R, lorsque celle-ci est égale à sa résistance interne . Dans ce cas, on dit que le générateur est adapté à la charge.

2. Réseaux électriques linéaires en régime continu

2.1. Réseau électrique linéaire

Un réseau électrique linéaire est une association d’éléments passifs (résistances, condensateurs et inductances) et d’éléments actifs (générateurs de tension et de courant), connectés entre eux par des conducteurs supposés sans résistance (parfaits).

 On appelle nœud d’un réseau, un point du circuit où aboutissent au moins trois conducteurs (A, B, C…)

 Une branche du réseau est une portion de circuit, situé entre deux nœuds consécutifs (AC, AD, CB, …)

 Une maille est une boucle fermée délimitée par des branches du réseau électrique (ACDA), (CBDC)

…

R

R

R

R R

E

R R

A B

C

F

D

I I

 

5 2.2. Dipôles passifs linéaires

Trois dipôles passifs sont couramment utilisés dans les circuits électriques.

2.3. Groupement des dipôles passifs

Dipôle Groupement en série Groupement en parallèle

Résistance

Condensateur

Inductance Les inductances vérifient les mêmes règles d’association que les résistances, à condition qu’il n’existe aucun couplage entre elles.

Dipôle passif Loi fondamentale Représentation En régime continu

 Résistance R ()

 Conductance G1 R (S) [siemens : (^-1) ]

 

^{t R i}

 

^t

u  .

 

^{t G u}

 

^t

i  . (Loi d’Ohm)

u et i sont constants :

 URI

 ^P

 

^{t U.IR.I2U2 R}

en watt (W)

 Condensateur

C : Capacité (F / Farad)

   

t d

t u C d t i  .

u est constante et i est nul :

 le condensateur est un interrupteur ouvert.

 Inductance

L : inductance de la

bobine (H / Henry)

   

t d

t i L d t u  .

i est constant et u est nulle :

 la bobine parfaite est équivalente à un fil.

i(t)

u(t) L

R1 R2 R3

...

1 ...

1 1 1

3 2 1

3 2 1

















G G G G

R R R R

eq eq

R1

R3

R2

C1 C2 C3

3 ...

2

1  

C C C C_eq

C1

C3

C2

i(t)

u(t) R

i(t) u(t)

C

 

6 2.4. Lois de Kirchhoff

2.4.1. Loi de Kirchhoff des nœuds

La première loi de Kirchhoff est la loi des nœuds : La somme des intensités des courants entrants dans un nœud est égale à la somme des intensités des courants qui en sortent (pas d’accumulation de charge).

5 4 3 2

1

I I I I

I    

2.4.2. Loi de Kirchhoff des mailles

La deuxième loi de Kirchhoff stipule : La somme algébrique des différences de potentiel (ou tension) le long d’une maille quelconque est nulle :

4

0

3 2

1

 U  U  U  U

Toutes les tensions Ui sont orientées en fonction du sens de parcours sur la maille

2.5. Théorèmes fondamentaux 2.5.1. Pont diviseur de tension

 Le schéma d’un pont diviseur de tension est donné à la figure suivante :

 Il s’agit d’une application directe de la mise en série de deux résistances : EU₁U₂ R₁I R₂ I d’où

2

1 R

R I E

 

La tension aux bornes de la résistance R2 vaut : E R R U R

2 1

2  2

 D’une façon générale, la tension aux bornes d’une résistance placée dans un circuit comportant n résistances en série, alimenté par une source de tension E est :

R E R

R U R

n i

i    

2 ...

1

U1

U4

U3

U2

I1

I2

I3

I4

I5

N

B A

R2

E

R1

I

U2

U1

Sens de parcours

 

7 2.5.2. Pont diviseur de courant

 Le schéma d’un pont diviseur de courant est donné à la figure suivante (résistances en parallèle) :

 Appelons U la différence de potentiel qui se trouve aux bornes des différents éléments en parallèle, nous obtenons :

R I R

R I R

R U

2 1

2 1 2

2  

 d’où I

R R I R

2 1

1

2  

 Si maintenant, nous divisons le numérateur et le dénominateur par le produit (R1.R2), nous obtenons la relation suivante : I

G G I G

2 1

2  2

 D’une façon générale, le courant traversant une résistance Ri placée dans un circuit comportant n résistances en parallèle, alimenté par une source idéale de courant I, est :

G I G

G G I G

n i

i     

3 ...

2 1

2.5.3. Théorème de superposition

Prenons par exemple le montage de la figure suivante (circuit alimenté par deux sources indépendantes) :

 montage 1 : la source de courant Ig étant neutralisée, le générateur (E, r) débite un courant I1

dans la branche AB du circuit :



^REr



I₁ 

R2

I

I

I2

I1

R1 U

B A

I R E

r

Ig

=

B A

R I1

E

r

1

+

B A

R I2

r

Ig

2

 

8

 montage 2 : le générateur (E, r) étant neutralisé (remplacé par sa résistance interne), la source de courant activait seule. Le courant dans la résistance R serait I2 : ^I2



^Rrr



^Ig

Le courant I dans la branche AB dû à la contribution des deux sources sera : I = I1 + I2



R r



r I I E

I

I ^g



 



 _{1 2}

2.5.4. Théorème de réciprocité

Soit deux branches i et j d’un réseau. Si on considère une source de tension E, située dans la branche i du réseau. Cette source produit dans la branche j un courant Ij. La même source E, placée dans la branche j, produirait dans la branche i, un courant Ii égal à :

j i I I  Exemple :

montage 1 : Calcul du courant I1 montage 2 : Calcul du courant I2

maille 1 : RI₀ ErI 0 maille 2 :

r R I E I

R I

R 0 2 3

2 _{1 0 1}

 





 nœud A : II₀I₁

maille 3 : rI₂RI₀^' 0 maille 4 :

r R I E I

R E I

R ₀^' 2 ^' 0 ₂ 2 3

 







 nœud A : I ^'I₀^' I₂

donc : I₁ I₂ B

A

R

I1

E

r R

1 2 R

I0

I

1 B

I2 E

r A

R

R

R

3 4

I’

I’0

2

 

9 2.5.5. Théorèmes de Thévenin et de Norton

2.5.5.1. Théorème de Thévenin

Il est possible de remplacer une portion de réseau électrique linéaire, considérée entre deux bornes A et B, par un générateur de tension, dit « générateur de Thévenin », ayant les caractéristiques suivantes :

 Sa résistance interne RTh est la résistance équivalente entre les bornes A et B lorsque chaque générateur indépendant est passivé (remplacé par sa résistance interne).

 Sa f.é.m ETh est la tension mesurée entre A et B à vide (le dipôle n’est pas connecté à d’autres éléments externes.

Prenons par exemple le montage de la figure suivante :

 La résistance RTh est obtenue en passivant la source de tension E :

 

2 1

2 1 2 1//

R R

R R R

R R_Th

 



 La tension ETh est la tension obtenue entre A et B (tension aux bornes de R2) : R E

R E_Th R

2 1

2

  2.5.5.2. Théorème de Norton

Il est possible de remplacer une portion de réseau électrique, considérée entre deux bornes A et B, par un générateur de courant, dit « générateur de Norton », ayant les caractéristiques suivantes :

 Sa résistance interne RN est la résistance de Northon.

 Son courant IN est égal à l’intensité de court-circuit lorsque l’on relie les points A et B par un fil.

Prenons par exemple le montage de la figure suivante : B

A R2

E

R1

B A ETh

RTh

B A R2

E

R1

B A RN

IN

 

10

 La résistance RN est obtenue an passivant la source de tension E :

2 1

2 1

R R

R R_N R

 

 Le courant IN est le courant obtenu en court-circuitant la résistance R2 :

R1

I_N  E

Remarque : Le passage du modèle d’un générateur de Thévenin à celui d’un générateur de Norton conduit à trouver :

Th Th N N

Th R

I E et R

R  

2.5.6. Association des générateurs de tension en série

Le dipôle équivalent à l’association en série de n générateurs de tension de résistances internes rk et de force électromotrice Ek est un générateur de tension unique, dont :

 la résistance équivalente est





 ⁿ

k k

éq r

r

1

;

 la force électromotrice équivalente est





 ⁿ

k k

éq E

E

1

. Exemple :

2.5.7. Association des générateurs de courant en parallèle

Le dipôle équivalent à l’association en parallèle de n générateurs de courant de résistances internes rk et de courant Ik est un générateur de courant unique, dont :

 la conductance équivalente est :





 ⁿ

k k

éq G

G

1

;

 le courant équivalent est égal à :





 ⁿ

k k

éq I

I

1

. E1 r1

E2 r2

U

I A

B Eeq req

U

B I A

2 1

2 1

r r r

E E E

eq eq









 

11 Exemple :

2.5.8. Théorèmes de Millman

 Le théorème de Millman, dit aussi « théorème des nœuds », permet de déterminer le potentiel d’un nœud où aboutissent des branches composées d’un générateur de tension réel.

 La démonstration de ce théorème consiste à transformer chaque branche en générateur de courant :

i i i

i

i G E

r I  E 

Le courant résultant ( ^



i

Ii

I ) circule dans la résistance équivalente à l’ensemble des résistances en parallèle ( ^



i

Gi

G ). La tension U s’écrit donc :





 



 ⁿ

i i n

i i

iE G

G G U I

1 1

B A r2

I1 r1 I2 U

I

Ieq req

A

B U I

2 1 2 1

1 G G

G r

I I I

eq eq eq











U E1

r1

E2

r2

En

rn

 

12

Exercices du chapitre 1

Exercice 1

Calculer la résistance équivalente vue des points A et B pour le réseau suivant :

Exercice 2

Soit le montage suivant :

Déterminer les intensités I1, I2, I3, I4 et I5 dans chaque branche du réseau.

Application numérique : R1=R2=R3= 1Ω , R4=R5= 2Ω , E1= 1V et E2= 2V Exercice 3

Dans le montage représenté sur la figure ci-contre, déterminer le courant I circulant dans la résistance R₂ en appliquant le principe de superposition.

Exercice 4

Déterminer l’intensité du courant I circulant à travers la résistance R3, en utilisant : 1. les lois de Kirchhoff

2. le théorème de Thévenin Application numérique :

E1 =20 V ; E2 = 10 V;

R0 = R1 = R3 = 10 Ω ; R2 = 20 Ω.

A

B

5Ω

5Ω

5Ω

2Ω 4Ω

2Ω 6Ω 2Ω

A B

R1 R2

R5

R3

E2

R4

E1

M M

I1 I2

I4 I5

I3

R2 = 5

E2 = 20V R1=10

E1=10V

I3 = 0,1 A

I

A

B R3

R1 E2

R2

E1

I

D C

R0

 

13

Chapitre 2

Réseaux électriques en régime transitoire

En pratique, entre l’instant où aucun courant ne circule et celui où, expérimentalement, on constate que le régime est continu, il existe une période où les courants et tensions évoluent avec le temps pour atteindre leur valeur définitive ; ce régime temporaire est appelé : « régime transitoire ».

1. Echelon de tension

Soit une source de tension de force électromotrice (f.é.m.) e

 

t définie par :

 





 

0

0 0

t t pour E

t t t pour

e

avec : E constant

On dit qu’une telle source délivre un échelon de tension ; le graphe de cette f.é.m. est représenté sur la figure suivante :

La méthode la plus simple pour réaliser une telle source consiste à prendre une source de tension E continue et un interrupteur en série, que l’on ferme à t = t0.

Fonction « échelon » ou de Heaviside, désignée par H

 

t , elle est définie par : E

t t0

e(t)

 

14

 









 

0 0

1 0

t t

t t t

H

Elle permet de représenter les fonctions discontinues et constantes par morceaux. Ainsi l’échelon de tension défini au début de ce paragraphe s’écrit :

2. Dipôles de base des circuits

La relation tension-courant d’un dipôle passif ou actif à un instant donné est une relation instantanée.

3. Etude d’un circuit RC

3.1. Notions de base sur les condensateurs

Un condensateur est constitué de deux surfaces conductrices séparées par un isolant (diélectrique) qui peut être de l’air sec, de l’alumine ... Les charges situées sur ces deux surfaces sont égales en valeurs absolue et de signes opposées.

Symbole :

Dipôle Symbole Relation tension-courant

Résistance u

 

t  Ri

 

t

Inductance (Self)

   

udt

t L t i

d i L d t

u ^{ ;  1}



Condensateur ^{i(t)C d}_d^u_t ^{; u}

 

^{t }_C¹



^idt

Générateur u

   

t e t ri

 

t

 

^{t EH}

 

^t

e 

A B

+q -q

u = VA-VB

i

1

t t0

H(t)

i(t) u(t)

C i(t)

u(t) R

u(t) i(t) e(t) r i(t)

u(t) L

 

15

La charge q est reliée à la différence de potentiel uAB par la relation :qu_ABC C : est la capacité du condensateur, elle s’exprime en Farad (F).

En utilisant la convention récepteur (i et u sont de sens opposés), on obtient la relation :

   

t d

t q d t d

u C d t

i  

A noter, si i et u sont de même sens, alors :

 

t d

u C d t

i 

3.2. Réponse d’un circuit (d’un dipôle) RC à un échelon de tension

Un dipôle RC est l’association en série d’un condensateur de capacité C et d’un conducteur ohmique de résistance R. Le montage suivant permet d’étudier la réponse d’un circuit RC à un échelon de tension. Le condensateur est initialement déchargé.

A l’instant t 0, on ferme l’interrupteur K (le condensateur est initialement déchargé). Le condensateur va se charger progressivement jusqu’à ce que s’établisse à ses bornes une tension opposée à la f.é.m E.

   



 



















c c

u i R E t e t

t u t

e t

: 0

0 0

: 0

Pour t > 0, la loi des mailles s’écrit :

C C C

C

R u

t d

u C d R u i R u u

E      

Soit :

C R

E C R

u dt

u

d _{C C}





u i C

E

t0=0 t e(t) C uR

R

e(t)=E K

i

uC

 

16

Pour déterminer ^u_c

 

^t lorsque t 0, il nous faut résoudre cette équation différentielle qui est une équation différentielle linéaire du premier ordre, à coefficients constants, avec second membre. Sa solution générale est égale à la somme de la solution générale de l’équation sans second membre (dite équation homogène) et d’une solution particulière de l’équation avec second membre.

Résolution de l’équation sans second membre : RCdt

u du C

R u dt

u d

c c C

C 1

0  





Si deux expressions sont égales, leurs primitives sont égales à un constant prés :

 

 

 

^RCt

c

const RCt

c

const RC t

u c

e A t u

e e

t u

e e

const RC t

u

c

1 1

1 ln

ln 1







 























avec A : constante à définir ultérieurement.

Solution particulière : obtenue lorsque t   , donc en régime permanent.

Lorsque t   , tous les courants et les tensions sont constants car le générateur est constant :

 

^{t E}

u i

const

u_c   0  _c 

Solution générale :

La solution générale est égale à la somme de la solution de l’équation sans second membre et de la solution particulière :

  t A e E

u

t

c



^{ }



tel que :  RC constante de temps du circuit, ou temps de relaxation.

Détermination de la constante A par les conditions initiales :

La tension aux bornes du condensateur ne peut pas présenter de discontinuités :



^{t 0}

 

^{u t 0}



^0

u_{c c} , donc : AE

enfin :

  _



 

  



^{ t}

C

t E e

u 1

 

17 La courbe ^u_c  ^f

 

^t est représentée comme suit :

La charge du condensateur n’est pas instantanée, c’est un phénomène transitoire.

L’expression de i(t) :

 

 

dt Cdu t

i ^C

 

e ^t

R t E

i  ^

3.2.1. Décharge d’un condensateur dans une résistance

Initialement le condensateur porte la charge Q0. A l’instant t = 0 on ferme l’interrupteur K.

Le condensateur se décharge alors à travers la résistance R jusqu’à annulation de sa charge. Le courant devient alors nul.

àt0: u_Cu_C0EQ₀ C loi des mailles :

0

0   



u u Ri

u_{C R C}

0



 RC

u dt du_{C C}

uR

K

R i

uC

C

 

18

L’homogénéité de cette équation montre que RC a la dimension d’un temps. Posons .

 est appelé constante de temps du circuit RC.

L’équation s’écrit :

  0



^C

C

u

dt du

On obtient une équation différentielle du premier ordre à coefficients constants, sans second membre, dont la solution finale est :

 

^

 t

t

C

e

RC t Q i et C e

t Q

u ( ) 

^{0 }



^{0 }

3.2.2. Energie électrostatique

Un condensateur emmagasine de l’énergie lors de la charge, il restitue cette énergie emmagasinée lors de la décharge. L’énergie emmagasinée par le condensateur pour → ∞ (c’est-à-dire en fin de charge du condensateur) a pour expression :

     

^

 

^

   

^



 







 













   

0 2

0 2 2 0

2 0

2 2 2 exp

exp 2

exp .

. 

 



 ^t

R dt E R t

dt E R t

C dt Q t i t u dt t

C P

C CE Q

C 2 2

1 ₂  ₀²

 

4. Etudes des circuits du deuxième ordre 4.1. Equations différentielles d’un circuit

Les équations différentielles linéaires rencontrées dans l’étude des régimes transitoires possèdent la forme suivante :

 

19

   

t gt dt cf

bdf dt

f

ad²₂   

En règle générale, les paramètres a,b,csont des nombres réels positifs. La solution d’une telle équation est :

 

t f

 

t f

 

t f  ₁  ₂

où f₁

 

t représente la solution de l’équation sans second membre :

 

⁰

2

2  cf t 

dt bdf dt

f ad

On recherche f₁

 

t en calculant les racines de l’équation caractéristique de l’équation différentielle sans second membre :

2 br c0 ar

 f₂

 

t est la solution particulière de l’équation différentielle avec second membre.

 

t

f₁ est la composante de f

 

t qui correspond au régime propre (ou libre) du circuit. f₂

 

t correspond au régime dit forcé.

4.2. Réponse d’un circuit RLC à un échelon de tension

A titre d’exemple étudions la charge d’un condensateur dans un circuit RLC. Considérons le montage suivant, supposé initialement au repos :

A l’instant t = 0, nous basculons l’interrupteur.

L’équation de maille : ^e

 

^{t Ri}

 

^{t Ld}_dtⁱ

 

^{t }_C¹



^idt

 

^*

Puisque nous cherchons u

 

t , exprimons i

 

t en fonction de u

 

t :

 

dt Cdu t i  L’équation différentielle (*) devient alors :

   

₀

2 2

E t e t dt u RCdu dt

u

LCd    

Cette équation est de la forme :

C

u(t) R

e (t)=E0

t =0 i(t)

L

 

20

 

0

0 2 2 2 0

2

1 u t E

dt du dt

u

d   





 Avec

L C et R

LC 2

1

0   



La solution générale de cette équation différentielle peut être calculée comme suit :

 On écrit l’équation caractéristique de l’équation différentielle sans second membre : 0

1

0 ²

2 brc  LCr RCr 

ar

Le discriminant de cette équation est : Δb²4ac

 

RC ²4LC

si Δ0



1



, le régime sera amorti (apériodique). Alors l’équation caractéristique à deux racines réelles et l’expression de u

 

t est :

 

t E Ae^rt Be^rt u  ₀ ¹  ²

Avec :

 

 























1 1

2 0

2

2 0

1











 r r

Les constantes A et B se déterminent à l’aide des conditions initiales : à t=0, on a

 

^{0 0 et i}

^{ }

^{0 0}

u .

D’où l’expression de la tension u

 

t :

 

t E E e ^t E e ^t

u ^

 

    



    



















 



















 

 ¹

2 2 0

1 2

2 0

0

0 2 0 2

1 2

1 1

2

1 ^{     }













si ^{Δ 0}



^1



, le circuit fonctionne en régime oscillatoire amorti (pseudo-périodique) qui correspond à une allure sinusoïdale modulée par un terme exponentiel d’amortissement.

L’expression de la solution générale est :

 

^{t E e}



^{A t B t}



u  ₀  ^0t cos



₀ 1



²  sin



₀ 1



²

Avec :

 

 























2 0

2

2 0

1

1 1













j r

j r

 

21

Les constantes A et B se déterminent à l’aide des conditions initiales : à t=0, on a

 

^0 ⁰ et i

 

⁰ ⁰

u . D’où l’expression de la tension :

 

_







 

 





 E E e^ t t

t

u ^t ₀ ²

2 2

0 0

0 sin 1

1 1 cos

0  



 

 

 si Δ0



 1



, le circuit fonctionne en régime critique qui est le cas limite entres les régimes apériodique et oscillatoire :

 

^{t E}



^{At B}



^{e t}

u  ₀  ^0

Les constantes A et B se déterminent grâce aux conditions initiales ^u

 

^{0 0 et i}

^{ }

^{0 0.}

Donc :

 

t E E



t



e ^t u  ₀ ₀ ₀ 1 ^0

La courbe ci-contre donne l’évolution de la tension u (t) pour les différents régimes :

 

22

Exercices du chapitre 2

Exercice 1

Dans le circuit représenté sur la figure suivante, le commutateur se trouve initialement dans la position B et le condensateur est déchargé.

A l’instant t 0, on bascule le commutateur dans la position A. Au bout de 10s, on le bascule sur la position C.

 Tracer l’évolution de la tension u

 

t .

Exercice 2

A t 0 on ferme l’interrupteur :

 Donner la loi de variation avec le temps de l’intensité du courant qui traverse le générateur.

On donne : R6000, L30mH, E6V .

Exercice 3

Dans le circuit de la figure ci-contre, on ferme l’interrupteur à l’instant t 0. Déterminer les variations de u

 

t . Le condensateur est initialement déchargé.

E0=10V

C

C=100µF B A

K

E K

 

23

Chapitre 3

Réseaux électriques en régime sinusoïdal

Si l’on impose à un réseau une tension (ou un courant) sinusoïdale, on voit apparaitre, en plus du régime transitoire, une réponse sinusoïdale de même fréquence que la tension (ou le courant) appliquée. Quand le régime transitoire a disparu, cette réponse sinusoïdale subsiste : c’est le régime sinusoïdal permanent. Dans cette partie, nous étudions des circuits linéaires dans lesquels les signaux imposés par les générateurs sont sinusoïdaux.

1. Grandeurs sinusoïdales

Un signal est dit sinusoïdal s’il est de la forme :

 

t  x



t



 X



t



x _mcos 2cos

x

m : amplitude du signal.



: pulsation du signale périodique et s’exprime en (rad/s).





2

T : période du signal ;



 2 1 

T

f : fréquence du signal.



t : est la phase du signal et s’exprime en radians (rad),

 : phase initiale du signal (à t = 0).

X : valeur efficace définie par : ; on obtient :

√ . T

 

24

2. Représentations des grandeurs sinusoïdales

2.1. Représentation vectorielle (Méthode de Fresnel)

Cette méthode permet d’additionner des grandeurs instantanées sinusoïdales de même fréquence, mais d’amplitudes et de phases différentes.

 Considérons deux courants sinusoïdaux :

 

₁



₁



1

t  I cos  t  

i

_m et

i

₂

  t  I

_m2

^cos   t  

₂



La somme des deux courant est : i

     

t i₁ t i₂ t .

 Pour trouver ⁱ

 

^t , on peut procéder graphiquement :

 On considère un vecteur noté I₁

, de norme

I

_m1, tournant dans le plan xOy à une vitesse angulaire



, et dont l’angle avec l’axe Ox à un instant t est égale à t₁. On définit de même un vecteur I2

.

 Les projections sur Ox des vecteurs I₁ et I₂

sont égales respectivement aux courant

i

₁ et

i

₂. La somme des deux courant i

 

t est la projection du vecteur somme :

cos ;

2.2. Représentation complexe 2.2.1. Rappels mathématiques

 Un nombre complexe peut se mettre sous la forme : Z a  jb On appelle : a

 

Z la partie réelle

et bm

 

Z la partie imaginaire

 On peut lui associer un vecteur OM

dans le plan complexe : Z rcos  jrsin x

y

o

 

25

2

2 b

a Z

r   : module du nombre complexe

 

a

Z arctanb

arg 

  : argument (angle) du nombre complexe

 On peut aussi l’écrire sous la forme exponentielle : Z re^j

 ou sous la forme polaire : ; ∠

 cas particulier : ²

j

e j

2.2.2. Application aux signaux sinusoïdaux

On associe à un signal sinusoïdal x

 

t une grandeur complexe temporelleX :

 

t  x



 t 



 



X e ^



X  x e ^  X e ^  X

x _m cos ^{j t} ; _m ^j 2 ^j

 

t X

x 

x

m : module de la grandeur complexe ₍ X ₎ ;  : argument de la grandeur complexe (argX) ;

√ : valeur efficace.

Remarque : On notera x(t) la valeur instantanée, X la valeur efficace et X la valeur complexe.

2.2.3. Dérivée et intégration

Soit la fonction x

 

t  x_mcos



t 



, la dérivée s’écrit :

 





 



  







 x sin t  x cos t  2 dt

dx

m m

On lui associe l’amplitude complexe : x_me^{j t} j x_me^{j t } j X e ^jt

 

  

 ^  ^ 

 



  

2

donc : j X dt

dx  

De même on démontre que intégrer revient à diviser par : X dt j

x 

 1



j