04/02/08

Lycée Rue A.Amara Pr Hichem khazri

Le Kef 3^e M1

04/02/08

DEVOIR DE SYNTHESE N°2

Exercice n°1(7pts)

Soit f la fonction définie sur IR\ {-1,1} par : = ^{+ −}

− 3 ² 4 3

( ) ² 1

x x

f x x

On désigne par Cf sa représentation graphique dans le plan muni d’un repère orthonormé( , , )O i j (unité 2cm)

1) Déterminer les réels a, b et c tels que pour toutx IR∈ \{ 1,1}− , on

ait : = + +

− +

( ) 1 1

b c

f x a

x x

2) Etudier les variations de f et les limites de f et dresser le tableau de variation 3) Soit I le point de Cf d’abscisse 0. Montrer que I est un centre de symétrie

pour Cf

4) Ecrire une équation de la tangente T à Cf au point I. Tracer T 5) Etudier pour ^{x ∈ −1,1}

] [

f 2 ,f(2), f(3)et f(4) Tracer Cf.

7) Soit g la fonction définie sur IR\ {-1,1} par : ( )^{=3 ² 4+} ₋ ⁻³

² 1

x x

g x x

a) Etudier la parité de g

b) En déduire sans nouveaux calculs Cg à partir de Cf.

c) Tracer dans le même repère Cg Exercice n°2(4pts)

Soit la fonction f définie par :f x( )⁼ 4⁺x² 1) Déterminer Df

2) Etudier f (TV et limites)

3) a) Déterminer _x^lim_→+∞

(

)

(

)

b) En déduire les asymptotes obliques D et D’ de Cf 4) Tracer D, D’ et Cf

5) En déduire la représentation graphique de la fonction :g x( )= x² 4− x +8 Exercice n°3(3pts)

1) Montrer que 1091 est un nombre premier

2) a) Déterminer les décompositions en facteurs premiers des nombres 3570 et 5455

b) En déduire leur PGCD et leur PPCM

Voir au verso

Exercice n°4(6pts)

On considère un parallélogramme ABCD de centre O tel que AB ≠AD ;^{(,)≡π π}

[ ]

AB AD 3 et ^{(,)≡π π}

[ ]

DA DB 2 . Soit E le point tel que CED soit un triangle équilatéral direct

1) Montrer qu’il existe une rotation R telle que R(A)=E et R(B)=D Préciser son angle θ et construire son centre I

2) La droite (EC) coupe (AB) en F

a) Montrer que^D∈

[ ]

b) En déduire que I est le centre du cercle circonscrit au triangle AEF 3) Soit R’ la rotation de centre C et d’angle₋π

3. Trouver R’(D) et R’(F) et en déduire que les droites (FD) et (BE) se coupent en un point J et que

[ ]

( , )

JD JB ≡ −π π3

4) Soit Γle cercle circonscrit au triangle ABD. Montrer que Γpasse par I et J

Bon Travail