Contrôle : dérivation, échantillonnage, suites

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Contrôle : dérivation, échantillonnage, suites

E 1

Un médicament entraîne, dans 18% des cas, des effets secondaires sans gravité.

À la suite de modifications de la composition, on souhaite évaluer l'impact sur le pourcentage de personnes qui subissent des effets secondaire. Pour cela on fait des tests sur un échantillon de250 personnes (l'échantillon est constitué en effectuant un tirage avec remise dans la population).

1. On fait l'hypothèse que le taux p =0,18 reste inchangé après les modifica- tions du médicament. Quelle loi suit la variable aléatoire X, associée au nombre de personnes qui subissent des effets secondaires dans l'échantillon ?

2. Déterminer l'intervalle de fluctuation à 95% de la fréquence des personnes qui subissent des effets secondaires (les bornes seront arrondies à 10⁻³ près).

3. Énoncer la règle de décision permettant de rejeter ou non l'hypothèse p=0,18 selon la valeur de la fréquence f des individus qui subissent des effets secondaires dans l'échantillon.

4. Sur 250 personnes testées, 12% subissent des effets secondaires. Peut-on considérer, au seuil de5%, que la modification du médicament entraîne des chan- gements sur le nombre de personnes qui subissent des effets secondaires ?

5. Même question si le pourcentage de personnes qui subissent des effets secon- daires est de 12% mais que l'étude ne porte que sur 100 personne ? Justifier.

E 2

Soit f la fonction définie sur R par f (x)=x³−x² et Cf sa représentation gra- phique dans un repère.

1. (a) Déterminer f^′(x), l'expression de la dérivée de la fonction f . (b) Dresser le tableau de variation de f (justifier).

2. Déterminer une équation de la tangente à Cf au point d'abscisse 2. 3. Soit g la fonction définie sur R par g(x)=x³−x²−8x+12.

(a) Déterminer g^′(x), l'expression de la dérivée de la fonction g. (b) Dresser le tableau de variation de g

4. Calculer g(−3) et déterminer la position relative de la courbe Cf et de sa tangente au point d'abscisse 2.

E 3

Soit f la fonction définie sur [0 ; 1] par,

f(x)=1−x².

On note C sa représentation graphique dans un repère orthonormé et M le point de C d'abscisse t∈]0 ; 1].

1

1 x

y

0

M

t

C

b

b b

B

A

∆

1. (a) On note _∆ la tangente en M à C. Déterminer, en fonction de t le coef- ficient directeur de ∆.

(b) Déterminer une équation de ∆ (en fonction de t).

2. Soient A et B les points d'intersection respectifs de _∆ avec (Ox) et ⁽Oy) . Montrer que A

(t 2+ 1

2t; 0 )

et B(

0 ;t²+1) .

3. Pour tout t∈]0 ; 1], on note S(t) l'aire du triangle OAB. (a) Donner l'expression de S(t) et S^′(t).

(b) Factoriser l'expression3t⁴+2t²−1(on pourra, dans un premier temps, poser T=t²) et étudier le signe de S^′(t).

(c) Dresser le tableau de variation de S.

(d) En déduire la valeur de t pour laquelle l'aire du triangle OAB est minimale.

E 4

1. On considère la suite u définie par

u_n= n+1 2n−1

Déterminer en fonction de n les termes u_n−1 et u_2n+1

2. Dans chacun des cas suivants, on demande de déterminer les valeurs de u₁ et de u₂ :

(a) u₀=4 et u_n+1=8u_n−7n.

(b) u0=5 et un+1=un−4 2+n².

E 5

Dans cet exercice (un) est une suite arithmétique de raison r et de premier terme u₁, on désigne par S_n la somme des n premiers termes de la suite.

1. On donne u₁=1

2 et r=1

4 ; déterminer u₁₃. 2. On donne u72=326 et r=2; déterminer u1. 3. On donne u₁= −3

4 et r=1

8 ; déterminer u₂₀ et S₂₀. 4. On donne u₈=28 et u₃₅= −53; déterminer u₁ et r.

.

Correction

E 1

1. On répète 250 fois de manière identique des épreuves de Bernoulli indépen- dantes de paramètre 0,18. X compte le nombre de succès, donc X suit une loi binomiale de paramètres n=250 et p=0,18.

2. À l'aide de la fonctionTABLEde la calculatrice, on détermine a=33 et b=57. On en déduit l'intervalle de fluctuation au seuil de 5% : I=[0,132 ; 0,228]

3. Règle de décision :

□□

□ si f ∈I, on ne rejette pas l'hypothèse que p=0,18 au seuil de 5% (le risque de se tromper est indéterminé) ;

□

□

□ si f ∉I, on rejette l'hypothèse au seuil de 5% (on a un risque de 5% de se tromper).

4. f ∉I, on rejette donc l'hypothèse que la modification de la formule ne change rien avec un risque 5%

5. I^′=[0,11 ; 0,26]. f ∈I^′, dans ce cas on ne rejette pas l'hypothèse au seuil de 5%.

E 2

1. (a) f est dérivable sur R et pour tout x∈R, f^′(x)=3x²−2x.

(b) Pour tout x∈R, f^′(x)=3x²−2x=x(3x−2). Les racines du trinôme du second degré sont donc x₁=0 et x₂=2

3.

x Sgn.

f^′(x) Var.

f

−∞

−∞

0 0 0

2 3

0

−4 27

+∞

+∞

+ − +

2. f(2)=4 et f^′(2)=8, une équation de la tangente à Cf au point d'abscisse 2 est donc

y=8 (x−2)+4 ce qui donne, après simplification,

y=8x−12.

3. (a) La fonction g est dérivable sur R, et pour tout x∈R, g^′(x)=3x²−2x−

8.

(b) Pour déterminer le signe de g^′(x) on détermine les racines du trinôme du second degré 3x²−2x−8.

∆=100, x₁=2 et x₂= −4

3. On obtient le tableau suivant :

x Sgn.

g^′(x) Var.

g

−∞

−∞

−⁴₃ 0 500

27

2 0

0

+∞

+∞

+ − +

4. Pour tout x∈R, g(x)=f (x)−(8x−12), le signe de g(x) permet donc d'ob- tenir la position de la tangente au point d'abscisse 2 par rapport à Cf .

g(−3)=0, d'après le tableau de variation précédent g(x)est positif sur]−3 ;+∞[

et négatif sur ]−∞;−3[. On a donc : x

Signe de g(x)

Position de T par rapport à Cf

−∞ −3 0

2 0

+∞

− + +

en dessous au-dessus au-dessus

E 3

1. (a) f est dérivable sur [0 ; 1] et f^′(x)= −2x. Le coefficient directeur de _∆ vaut : ₋2t.

(b) _∆ passe par M(

t; 1−t²)

. On obtient : y= −2t x+t²+1.

2. □□□ Si x=0 alors y=t²+1 donc B(

0 ;t²+1) .

□□

□ Si x=t 2+ 1

2t alors y= −2t (t

2+ 1 2t

)

+t²+1=0 donc A (t

2+ 1 2t; 0

)

3. (a) □□□ S(t)=1 2

(t²+1)(t 2+ 1

2t )

=t³ 4 +t

2+ 1 4t.

□□

□ S est dérivable sur ]0 ; 1] et S^′(t)=3

4t²+1 2− 1

4t²=3t⁴+2t²−1 4t² . (b) En posant T=t² on obtient

3t⁴+2t²−1=3T²+2T−1

∆=16, T₁= −1, T₂=1 3 donc

3T²+2T−1=3 (T+1) (

T−1 3 )

En remplacant T par t² il vient : 3t⁴+2t²−1=3(

t²+1)(

t²−1 3 )

=3(

t²+1)(

t− 1 p3

)(

t+ 1 p3

) (c)

x Sgn.

S^′ Var.

S

0 p¹

3

0

4 3p 3

1

2

− +

(d) _p¹

3 est la valeur de t pour laquelle l'aire du triangle est minimale.

E 4

1. On aura :

un−1= n−1+1

2(n−1)−1= n 2n−3 u_2n+1= 2n+1+1

2(2n+1)−1=2n+2 4n+1 2. On détermine :

(a) u₀=4; u₁=8u₀−7×0=32 ; u₂=8u₁−7×1=249 (b) u0=5; u1=u₀−4

2+0² =1

2 ; u2=u₁−4 2+1² = −7

6

E 5

1. u13=1

2+(13−1)×1 4=7

2.

2. u₁=u₇₂+(1−72)×2=326−71×2=184. 3. □□□ u₂₀=u₁+(20−1)×1

8= −3

4+19×1 8=13

8 .

□

□

□ S₂₀=u₁+. . .u₂₀= −3 4+

(

−3

4+1×1 8 )

+. . .+ (

−3

4+19×1 8 )

=20× (

−3 4 )

+1 8× 19×20

2 =35 4 . 4. □□□

u₃₅=u₈+(35−8)r ⇐⇒ −53=28+27r

⇐⇒ r= −3

□□

□ On en déduit u1=u8+(1−8)×(−3)=49.