Réaction β Amplificateur A

8.1 Éléments de base

Un générateur de tensions sinusoïdales peut être réalisé selon deux méthodes dié-

rentes.

Lapremièreconsisteàcréerungénérateurdesignauxcarrésettriangulaires,dont

l'onde triangulaire est ensuite convertie en sinusoïde à l'aide d'un conformateur

à diodes ou à transistors. On parle dans ce cas d'oscillateur non-linéaire ou de

générateur de fonctions.

La deuxième consiste à créer directement une sinusoïde à l'aide d'un oscillateur

quasi linéaire, qui fait généralement appel à un quadripôle déphaseur de type

passe-bande ouautre.

Les oscillateurs linéaires et non linéaires sont tous deux basés sur une boucle de

réaction,danslaquelleunepartiedusignaldesortied'unamplicateurestréinjectée

àl'entrée.

8.1.1 Boucle de réaction et oscillation

Lastructure debase d'unebouclederéactionaétévueauchapitreprécédentetelle

est rappelée à la gure 8.1où

A(jω)

^{représente le gain de} l'amplicateur et

β(jω)

letauxde rétroaction.

Σ

Réaction β Amplificateur A

X ₁ X ₂ X ₃

X ₄

X ₁ = 0

Réaction β Amplificateur A

X ₂ X ₃

X ₄

⇒

Fig. 8.1: Boucle de réactionpositive

Anqu'unoscillateurpuissefonctionnerparlui-même,c'est-à-direavecl'entréenulle

(

X ₁ (jω) = 0

^{), la} rétroaction doit être positive. Le signal de sortie

X ₃ (jω)

^{est alors}

relié ausignal d'entrée

X 1 (jω)

^{par lafonction de transferten boucle fermée :}

X 3 (jω) = A bf (jω) X 1 (jω) = A(jω)

1 − A(jω) β(jω) X 1 (jω)

^(8.1)

Enanalysantcetteéquation,onvoitque,siledénominateur delafonctiondetrans-

ferts'annule, on peut avoir un signal de sortie

X 3 (jω) 6 = 0

^{même en l'absence d'un}

signalen entrée.

Dansle cas des oscillateurs quinous occupent ici,onadmettra que legain de l'am-

plicateur est une grandeur réelle nie

A

^{et que seule la réaction dépend de la}

fréquence. On peut donc récrire la fonction de transfert en boucle fermée sous la

forme:

A bf (jω) = A

1 − A β (jω)

^(8.2)

Leproduit

Aβ(jω)

^{représentelegaindeboucle(aussiappelégainenboucleouverte),}

tandisque

A bf (jω)

^{est legain en boucle fermée.}

Selonla valeur de

Aβ (jω)

^{par rapport à 1,il y atrois cas àétudier :}

1. Si

Aβ 1

^, l'amplitude du signal

x ₄ (t)

réintroduit à l'entrée est largement supérieure à celle du signal d'origine

x 2 (t)

^. L'amplitude du signal de sortie

x 3 (t)

^{augmentealors très rapidementjusqu'à entraîner lasaturation de l'am-}

plicateur.Dans ce cas, on aaaireà un circuit fortement non-linéaire.C'est

cette propriété qui est utilisée dans les générateurs de signaux carrés ou les

bascules astables.

2. Si

Aβ < 1

^,l'amplitude du signal

x ₄ (t)

^{est inférieureàcelle du signald'origine}

x 2 (t)

^et l'amplitude du signal de sortie

x 3 (t)

^{aura tendance à diminuer en}

tendant vers zéro. Cela correspond au régime transitoire des amplicateurs

linéaires.

3. Si

Aβ = 1

^{, la valeur de}

x 4 (t)

^{est identique à celle de}

x 2 (t)

^{et il n'y a plus}

besoinde signal d'entrée; lecircuits'auto-entretient.C'estcette propriétéqui

est utiliséepour créer des oscillateurs linéaires.

Condition d'oscillation Tenantcomptedu faitquel'oscillateurlinéairedoit fonc-

tionneren l'absence d'un signal extérieur,lacondition pour obtenirdes oscillations

permanentes s'écrit :

1 − A β(jω) = 0 ⇔ A β(jω) = 1

^(8.3)

Quand cette équation est vraie, l'oscillationest parfaitement sinusoïdale; son am-

plitude et sa pulsation sont constantes. Dorénavant, cette pulsation sera désignée

par

ω ₀

^{et sa fréquence par}

f ₀

^. Considérant la condition d'oscillation dans le plan complexe,ona

A β(jω 0 ) = 1 + j0 = 1 ∠ 2kπ

^(8.4)

On en déduitalors deux relations àpartirdesquelles oncalculeralafréquence d'os-

cillationetla condition d'entretien des oscillations.

Fréquence d'oscillation La fréquence à laquelle oscille le circuit est celle pour

laquelle le déphasage total introduit par la boucle de gain

A β(jω)

^{est égal à 0 ou}

un multiple entier de

2π

^:

∠ A β(jω 0 ) = 2kπ

^(8.5)

Étantadmisquel'amplicateurest parfait(gainréel,positifounégatif,indépendant

delafréquence),cetteconditionserésumeaufaitquelafonctionde transfert

β(jω)

du circuit de réactiondoit être, pour une certaine fréquence, purement réelle :

β(jω 0 ) ∈ R ⇔ ∠ β(jω 0 ) =





 0

± π

(8.6)

Entretien de l'oscillation L'oscillationne peut être entretenue à la fréquence

f 0

quesi lemodulede

A β(jω)

^{est égal à1 pour cette fréquence. On a donc}

| A β(jω 0 ) | = 1

^(8.7)

Admettant que l'amplicateur est parfait, celui doit compenser l'atténuation et le

signe de labranche de réaction; ona donc

A = 1

β(ω 0 )

^(8.8)

Conclusion La fréquence d'oscillation est déterminée par la phase de la branche

de réaction, tandisque l'entretiende l'amplitude est déterminé par legain de l'am-

plicateur.

8.1.2 Circuits de réaction

Comme on vient de le voir, pour que l'oscillateur fonctionne à une fréquence bien

déterminée,il fautque lecircuit de réaction

β(jω)

^{aitune amplitude et une phase}

variantaveclafréquence.Ilestgénéralementréaliséàl'aided'uncircuitdontlaphase

passe par 0 ou

± π

^{qui peut être un ltres passe-bas oupasse-haut d'ordre3 ou un}

ltrepasse-bande. Lechoixde l'uneoul'autreréalisationdépendessentiellementde

lasensibilitéde lafréquence d'oscillation à laphase du ltre (voirci-dessous) et de

lafacilitéde réalisation.

8.1.3 Contrôle de l'amplitude et stabilité de la fréquence

Contrôlede l'amplitude Lacondition théoriquepour obtenirdes oscillationsen-

tretenues d'amplitude constante est de réaliser l'égalité

| Aβ | = 1

^{à la pulsation}

d'oscillation

ω 0

^{. Tout écart du gain par rapportà cette valeur va provoquer soit la}

décroissance puis l'arrêt des oscillations(si

| Aβ | < 1

^{), soitdes} oscillationsd'ampli- tude croissante(si

| Aβ | > 1

^).

Ilest évident, qu'en réalité,lestrict respect de la condition

| Aβ | = 1

^{est impossible}

àobteniren raisonde ladérive des composants en fonction du temps,de latempé-

rature, de la tension d'alimentation, etc. En outre, un circuit dans lequel

| Aβ | = 1

risque de ne jamaiscommencer àosciller.

La solution pratique à ce problème consiste à réaliser un circuit dont le gain de la

boucleest légèrementsupérieur à1pour lessignaux de faibleamplitude etinférieur

à1pour lessignaux de forteamplitude.Ce circuit est doncun élément non-linéaire

quiréduitlegainauxamplitudes élevées. Lesoscillationsvontainsidémarrer dès la

misesoustensionducircuitetellesvontcroîtrepourennsestabiliseràl'amplitude

pour laquelle legain

| Aβ |

^{est proche de l'unité.}

Remarque : L'introduction d'un gain variant avec l'amplitude du signal conduira

inévitablement à une sdistorsion plus ou moins importante de l'oscillation. Cette

distorsionserad'autant plus faiblequeleltre de contre-réactionest sélectif et que

lavariation du gain est douce.

Amplitude Gain variable

Système non linéaire sortie X 4

Aβ=1

A β < 1 Aβ=1

A β > 1 L'amplitude augmente

L'amplitude diminue X ₄

X ₂ A β =

entrée X ₂ Amplitude

A β > 1

Aβ=1 A β < 1

Gain constant

Système linéaire

entrée X ₂ A β < 1

A β > 1 X ₄

X ₂ A β =

Aβ=1

sortie X 4

L'amplitude augmente

L'amplitude diminue

Fig.8.2: Distinctionentre systèmeslinéairesetnonlinéairesetadaptationautoma-

tique de l'amplitude des oscillationsavec un élément non-linéaire

Stabilité de la fréquence Nous venons de voir que la pulsation d'oscillation et

son entretiendépendent de laphase du gain de boucle

A β (jω 0 )

^et, respectivement, de son module. Le choix d'un circuitd'oscillateur plutôt que d'un autre se fera sur

la base d'un compromis entre le coût de réalisation et la stabilité de la fréquence

d'oscillation.

+90°

-90°

Arg(A β)

ω ω ₀

pulsation plus stable

pulsation moins stable

Fig.8.3: La stabilitéde lapulsationd'oscillationdépend du tauxde variationde la

phase autour de

ω 0

Onpeut montrer que lafréquenced'oscillation sera d'autantplus stableque l'argu-

mentde

β(jω)

^{varierapidementavec lafréquence. Cettestabilitésemesureavec un}

indicedont ladénition est lasuivante :

S(ω 0 ) ≡

d( ∠ β(jω) d(ω/ω 0 )

ω=ω 0

(8.9)

Lorsque la rétro-action

β(jω)

^{est réalisée avec un ltre} passe-bande, la stabilité de la fréquence d'oscillation est d'autant meilleure que le ltre est sélectif ou, de

manièreéquivalente, que lefacteur de qualité est élevé. On peut montrer que dans

ce cas là, l'indicede stabilitévaut simplement

S(ω 0 ) ≡ 2 Q 0

^(8.10)

8.2 Oscillateur à déphaseur CR

L'oscillateurà déphasage CR(gure 8.4) est constitué d'un amplicateurinverseur

etd'un circuit de réaction comportant trois cellules CR(passe-haut d'ordre 3). Le

déphasagecréé parces trois cellules,comprisentre 270

o

et0

o

,permetde compenser

ledéphasage causé par l'amplicateurinverseur (

ϕ = − 180 ^o

^).

8.2.1 Circuit déphaseur

Comme le courant consommé par les cellules CR n'est pas nul, on ne peut pas

calculerlafonctionde transfert

β(jω)

^{du triplecircuitCRen eectuantsimplement}

leproduit des fonctions de transfertde chaque cellule. Il fautlecalculer àl'aide du

A < 0

R R

R

C C

C

X ₄ = X ₂

X ₃ X ₃

Fig. 8.4: Schéma de principede l'oscillateur à déphasage

produitdes matricesdetransmission.Lerésultatquel'onobtientalorsestlesuivant

(voir exercices) :

β(jω) = 1

1 − _(ωRC) ^{5 2} − j

6

ωRC − _(ωRC) ^{1 3}

^(8.11)

La réponse fréquentielle de ce ltre passe-haut d'ordre 3 est représentée dans la

gure 8.5. On peut y voirque lemodule varie de 0 à 1 alors que la phase passe de

+270

0

à 0 et qu'en

ω = ω 0

^{, le module et la phase valent} respectivement 1/29 et +180

0

.

0 10 20 30 40 50

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Déphaseur 3xCR

module

0 0.5 1 1.5 2

0 0.05 0.1

1/29 Zoom autour de ω ₀

0 10 20 30 40 50

0 50 100 150 200 250 300

phase

ω/ω ₀ 100 0 0.5 1 1.5 2

150 200 250 300

180 ⁰

ω/ω ₀

Fig. 8.5: Réponse fréquentielle du déphaseur 3xCR

8.2.2 Fréquence d'oscillation

Laconditiond'oscillation

Aβ(jω) = 1 + j0

^{montre quelapartieimaginairede}

β(jω)

doits'annuler. Cetteconditionxelafréquenced'oscillation.L'annulationduterme

imaginairede

β(jω)

^{donne en eet}

6

ω 0 RC − 1

(ω 0 RC) ³ = 0

D'où:

1

(ω 0 RC) ² = 6

ω 0 = 1

√ 6 RC f 0 = 1 2π √

6 RC

(8.12)

On a dit plus haut que la stabilité de cette fréquence dépend de la variation de la

phase avec la pulsation. Dans le cas de ce circuit, on peut montrer que l'indice de

stabilitévaut :

S(ω ₀ ) ≡

d( ∠ β(jω) d(ω/ω 0 )

ω=ω ⁰

= 12 29

√ 6 ' 1.01

^(8.13)

8.2.3 Maintien de l'amplitude

À lapulsationd'oscillation

ω 0

^,

β(jω)

^{est purement réel et vaut}

β(jω ₀ ) = 1

1 − _(ωRC) ^{5 2} = − 1 29

Pour que l'oscillation se maintienne, le gain de boucle doit valoir 1. On doit donc

compensercetteatténuationnégativeenutilisantun amplicateurinverseurdegain

A = − 29

^{. Ce qui donne:}

A = − R 2

R = − 29

^(8.14)

8.2.4 Schéma de l'oscillateur

Dans la réalisation de l'oscillateur (gure 8.6), la résistance du troisième circuit

CR n'est pas connectée à la masse, mais à l'entrée inverseuse de l'amplicateur

opérationnel qui joue le rôle de masse virtuelle. Le déphasage entre les noeuds

X 3

et

X ₄

^{ne change pas et cette approche permet d'utiliser la résistance}

R = R ₁

^pour

xer lagain de l'amplicateurà lavaleur

A(jω) = − R 2

R = − R 2

R 1

= R 2

R 1 ∠ − 180 ⁰

^(8.15)

R R

C C

C

R ₂ R=R ₁

X ₄ X ₃

Fig.8.6: Réalisationd'un oscillateur àdéphasage

8.2.5 Gain non linéaire

Pour forcer le circuit à entrer en oscillation, on choisira un gain

A ₁

^{supérieur à}

A 0 = 29

^{et on ajoutera un élément} non-linéaire réalisé à l'aide de diodes an de réduirelegain pour lesfortes amplitudes (gure8.7). Deux situationsdoiventalors

être analysées.

R R

C C

C

R ₃

U ₂ +V _CC

-V _CC E

F D ₁

D ₂ U ₁

R ₄

R ₄

R ₃ R ₂

R=R ₁

Fig. 8.7: Schéma d'oscillateur à déphasageavec contrôle d'amplitude

L'amplitude du signal de sortie est faible Aucune des deux diodes ne conduit

etle moduledu gain vaut alors :

| A(jω) | = A 1 = R 2

R 1

> A 0 = 29

^(8.16)

L'amplitude du signal de sortie est forte Dans ce cas, les diodes

D 1

^et

D 2

conduisent alternativement. Pour les alternances fortement positives en sortie de

l'amplicateur,seuleladiode

D ₂

^{conduit.Leschémade}l'amplicateuraveclapartie non-linéairepeut alors être redessiné selon la gure8.8.

U ₂

-V _CC F D ₂

u _in R ₄

R ₃ R ₂

0V

V _j i ₁

i ₃ R=R ₁

U ₂

U ₁ A ₀

A ₁ A ₂

B C

U _B

Fig.8.8: Amplicateur avec l'élémentnon-linéairepour lesalternancespositivesen

sortie et sacaractéristique de transfert

À lalimite de conduction, lecourant

i D2

^{est nulet latension aupoint}

F

^s'écrit

U F = V j = U 2

R 3

R 3 + R 4 − V CC

R 4

R 3 + R 4

avec

U 2 | i 3 =0 = U B

On en déduit que la tension de sortie correspondant à l'entrée dans la zone non

linéairevaut :

U B = V j

R ₃ + R ₄ R 3

+ V CC

R ₄ R 3

= V j + (V CC + V j ) R ₄ R 3

(8.17)

Audelàdecepoint,ladiode

D ₂

^{conduitetlecourantdanslarésistance}

R ₂

^diminue;

ce qui entraîne ladiminutiondu gain (gure8.8).

Le théorème de superposition permet de voir que lorsque les diodes conduisent,

la résistance

R 4

^{se place en parallèle sur la résistance}

R 2

^{et que}

R 3

^{est mise à la}

masse. Ainsi, pour les fortes amplitudes, le gain est déterminé par la résistance

R 24 = R 2 //R 4

^{et ilvaut}

| A(jω) | = A 2 = R 24

R 1

< A 0

^(8.18)

Unraisonnement identiquepeut être fait pour lesalternances négatives de lasortie

etla diode

D 1

^.

Remarque Plus les gains

A 1 > A 0

^et

A 2 < A 0

^{sont diérents de}

A 0

^{, plus lesignal}

sinusoïdalseradéformécarun grandchangementdepenteintroduitune importante

distorsion.A l'inverse,sices deux gains sonttrès proches de

A 0

^{,lesignal sinusoïdal}

est moins déformé,mais lecontrôle de l'amplitude est rendu très dicile.

8.3 Oscillateur de Wien

L'oscillateurdeWienestun desoscillateurs lesplus simplesetdes plusutilisésmal-

gré lefaitquesa stabilitésoitmoinsbonneque cellede l'oscillateuravec déphaseur

CR. Il est constitué d'un amplicateur non-inverseur auquel on applique une réac-

tion à l'aide d'un ltre passe-bande réalisé avec une cellule RC série et une cellule

RC parallèle(gure8.9).

C R ₂

R R ₁

C R

X ₃ X ₄

Fig. 8.9: Schéma de l'oscillateur de Wien

8.3.1 Fréquence de l'oscillation

Legain de l'amplicateurvaut :

A(jω) = 1 + R 2

R 1

Considérant

Z 1 (jω) = R + 1/(jωC)

^et

Z 2 (jω) = R/(1 + (jωRC ))

^{, la fonction de}

transfertdu réseaude réactionest décritepar :

β(jω) = Z 2 (jω)

Z 1 (jω) + Z 2 (jω) = 1

3 + j (ωRC − 1/ωRC)

Legain de boucle

Aβ(jω)

^{s'écrit alors :}

A β(jω) = R 1 + R 2

R ₁

1

3 + j (ωRC − 1/ωRC)

Enannulantla partie imaginairede

β(jω)

^{,on obtient la pulsation}d'oscillationqui annule laphase de

Aβ (jω)

^:

ω 0 = 1

RC

^(8.19)

8.3.2 Maintien de l'amplitude

Àlapulsationd'oscillation,letauxde réactionvaut 1/3.Comme

Aβ(jω)

^doitvaloir

1,ona

A(jω) = A 0 = 1

β(jω 0 ) = 3 = 1 + R ₂ R 1

(8.20)

On peut montrer que la phase de cet oscillateur varie moins rapidement que celle

du précédent et queson indice de stabilitévaut :

S(ω 0 ) ≡

d( ∠ β(jω) d(ω/ω 0 )

ω=ω ⁰

= 2

3 ' 0.667

^(8.21)

8.3.3 Gain non linéaire

Lors de la réalisationde l'oscillateur, on choisira un gain

A 1

^{pour lesfaibles ampli-}

tudes supérieur à

A 0 = 3

^{et on limitera} l'amplitude de l'oscillationpar un élément non-linéaireà diodes identiqueà celui utilisépour l'oscillateur àdéphasage.

Lesrésultatsseront néanmoins diérents car icil'amplicateur est non-inverseur et

lesrésistances du limiteurd'amplitude se combinentdiéremment (gure 8.10). Le

théorèmede superpositionpermeten eetdevoirquelorsquelesdiodesconduisent,

lesrésistances

R ₃

^et

R ₄

^{se placent en parallèlesur}

R ₁

^et, respectivement,

R ₂

^.

On adonc :

pour les faiblesamplitudes

A(jω) = A 1 = 1 + R 2

R ₁ > A 0

^(8.22)

pour les fortes amplitudes

A(jω) = A 2 = 1 + R 24

R ₁₃ < A 0

^(8.23)

avec

R 13 = R 1 //R 3

^et

R 24 = R 2 //R 4

^.

De plus, au seuil de conduction, lorsque

U 2 = U B

^{, on peut écrire les équations}

suivantes

U F = − V CC

R 4

R 3 + R 4

+ U 2

R 3

R 3 + R 4

U 2 =U _B

s

U F = V j + U 2

R 1

R ₁ + R ₂ U 2 =U _B

À partir de ces deux équations, on montre aisément quele seuil de non linéarité se

situe en

U B = V j + V CC R 4

R 3 +R ⁴ R 3

R 3 +R 4 − _R 1 ^R +R ¹ 2

(8.24)

U ₂

U ₁ A ₀

A ₁

A ₂ B

C U _B

C R ₂

R R 1

C R

D ₁

D ₂

R ₃ +V _CC

-V CC E

F R ₄

R ₄

R 3 V j + U 2

(R ₁ + R ₂ ) R 1

U ₂

au seuil de conduction :

Fig. 8.10: Schémade l'oscillateurde Wienavec contrôle d'amplitudes

8.4 Oscillateur en quadrature

L'oscillateurenquadratureal'avantagedefournirdeuxtensionssinusoïdalesdépha-

sées de

π/2

^{. Il est constitué d'une boucle contenant deux} intégrateurs en cascade (gure8.11). L'un des intégrateursest de type inverseur et l'autreest de type non-

inverseur. Son nom vient du fait que les signaux de sortie des intégrateurs sont en

quadrature (déphasage de

π/2

^{entre eux).}

R ₂

2R R 1

C u 3

2R C

R

u 1 u 2

Fig. 8.11: Schéma de l'oscillateuren quadrature

8.4.1 Fréquence de l'oscillation et maintien de l'amplitude

Avec l'oscillateur en quadrature, onréalise un système qui est décritpar l'équation

diérentielle de l'oscillateur harmonique :

¨

y(t) + ω ₀ ² y(t) = 0

^(8.25)

On aen eet:

u 2 (t) = − 1 RC

Z t 0

u 1 (t)dt

u 3 (t) = + 1 RC

Z t 0

u 2 (t)dt seulement si A = 1 + R 2

R 1

= 2

Comme

u 1 (t) = u 3 (t)

^{,il vient :}

u 3 (t) = − 1 (RC) ²

Z t 0

Z t 0

u 3 (t) (dt) ²

Endérivantdeuxfoiscetteexpression, onobtientl'équationd'un oscillateurharmo-

nique :

¨

u 3 (t) + 1

(RC ) ² u 3 (t) = 0

^(8.26)

On voit ainsi que lapulsationd'oscillation vaut :

ω ₀ = 1

RC

^(8.27)

etque l'entretiendes oscillationsest dû au faitque

A(jω) = 1 + R 2

R 1

= 2

^(8.28)

Remarque : Il est importantde noter quele résultatconcernant l'amplicateurnon

inverseur n'estvraiquesilegain decelui-civaut exactement2etquelesrésistances

del'intégrateurnoninverseursont2foissupérieuresàcelledel'intégrateurinverseur

(ladémonstrationest laisséecomme exercice).

8.4.2 Gain non linéaire

Pour la réalisation de l'oscillateur, le rapport

R 2 /R 1

^{est choisi supérieur à 1 et}

l'amplitudedesoscillationsestlimitéeparunélémentnon-linéaireàdiodesidentique

àcelui utilisé pour l'oscillateur de Wien.

Comme les schémas de l'amplicateur et du limiteur sont les mêmes que ceux de

l'oscillateurde Wien, ona bien entendu des résultatssimilaires :

A 1 = 1 + R 2

R ₁ > A 0 = 2 > A 2 = 1 + R 24

R ₁₃

^(8.29)

U B = V j + V CC R 4

R 3 +R 4

R 3

R 3 +R ⁴ − R 1 ^R +R ^{1 2}

(8.30)

8.5 Considérations sur le contrôle de l'amplitude

Dans ce qui suit, on cherche à relier l'amplitude des oscillations aux valeurs des

composants du circuit. Comme les relations sont non linéaires, on ne pourra pas

obtenirdes expressionslittérales.Onsecontentera doncde fournirlesrésultatssous

formegraphique.

8.5.1 Analyse du limiteur d'amplitude

Ainsiqu'on l'a vu plus haut, lescourbes de gain peuvent toutes se ramener à celle

représentée dans la gure 8.12. Considérant le gain critique

A 0

^{et un limiteur ca-}

ractérisé par le gain

A ₁ > A ₀

^{aux faibles amplitudes et le gain}

A ₂ < A ₀

^{aux fortes}

amplitudes,Ph. Blanc,professeurde mathématiquesàlaHEIG-VD,amontré(note

manuscrite du 25 mars 1998) que l'amplitude du signal de sortie d'un oscillateur

avec limiteurà diodes est bornée :

C U ₂

U ₁ Y _sup

Y _B

Y _inf A ₂

A ₁ A ₀ B

Fig. 8.12: Gains d'un limiteur

inférieurement par le pointd'intersection

C

^{entre ladroite de gain critique}

A 0

et celle du limiteurde gain

A 2

^:

Y inf ≥ Y C = Y B

A 1 − A 2

A ₁

A 0

A ₀ − A ₂

^(8.31)

supérieurementpar la loisuivante :

Y sup ≤

1 − A ₂ A 0

(1 + A 2 g sup ) Y inf

^(8.32)

avec :

g sup = 2 exp ( − δ · arctan (1/δ))

1 − exp (π δ)

^(8.33)

α = − A 0

2

1 − A 2

A 0

δ = α p | α ² − 1 |

(8.34)

Desgraphescorrespondantàceséquationsnonlinéairespermettentdetrouver,pour

chaque circuit, lesvaleurs de résistances nécessaires à laréalisationd'un oscillateur

d'amplitudeconnue.

8.5.2 Calcul des composants

Sionse donne aupréalable des valeurs raisonnables pour

V CC

^et

V j

^{ainsi que deux}

résistances parmiquatre, on peut tracer lesfonctions

Y sup

^,

Y inf

^{ou simplementleur}

valeur moyenne

Y moy

^{en fonction des deux autres} résistances (gures 8.13, 8.14, 8.15).Le calcul des composants sefait alors de lamanièresuivante (gure8.13) :

1. étantdonné l'amplitudesouhaitée

A

^{,oncalculesa valeur relativepar rapport}

à

V CC

^{, par exemple}

A/V CC = 0.5

^;

2. onchoisitsurlegrapheunedesvaleursde

R ₄

correspondantàcetteamplitude; par exemple,

R 4 = 30 kΩ

^;

3. en abscisse, on litla valeur de la résistance inconnue; ici,

R 2 ' 39 kΩ

^.

Quelquessimulationspermettentde voirquel'amplitudenormalisée desoscillations

obtenues avec lelimiteur est

peu sensibleaux variationsde

V CC

^;

légèrementsupérieure à

Y inf

^pour l'oscillateur à déphaseur; légèrementsupérieure à

Y moy

^{pour lesdeux autres}oscillateurs.

Oscillateur avec déphaseur passe-haut

Pour cet oscillateuravec limiteur(gure 8.7), ona vu que:

A ₀ = 29, A ₁ = R 2

R 1

> A ₀ , A ₂ = 1 R 1

R 2 R 4

R 2 + R 4

< A ₀

Y B = V j + (V CC + V j ) R 4

R 3

Prenant en compte ces équations ainsi que celles décrivant les amplitudes limites,

ilest possible de tracer lescourbes d'amplitudes minimum (gure 8.13).On notera

quedans ce cas, larésistance

R 1 = R

^{est xée par ledéphaseur et quec'est avec la}

résistance de contre-réaction

R 2

^{que l'on modie legain.}

Oscillateur de Wien

Danslecas l'oscillateurde Wienavec limiteur(gure8.10),onaégalementvuque:

A 0 = 3, A 1 = 1 + R 2

R 1

> A 0 , A 2 = 1 + R 2 R 4

R 2 + R 4

R 1 + R 3

R 1 R 3

< A 0

30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 0

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Oscillateur à déphaseur CR: amplitudes minimum = f (R 2 , R

4 )

R 2 [kΩ]

Y inf (R 2 , R 4 ) / V CC

10 kΩ 15 kΩ 20 kΩ 25 kΩ 30 kΩ 35 kΩ

V _CC = 12 [V] V _j = 0.6 [V] R ₁ = 1 [kΩ] R ₃ = 100 [kΩ]

R ₄ saturation

Fig. 8.13: Amplitudesminimumd'un oscillateur à déphaseur

Y B = V j + V CC R 4

R 3 +R ⁴ R 3

R 3 +R 4 − _R 1 ^R +R ¹ 2

Prenantencompteceséquationsainsiquecellesdécrivant

Y inf

^et

Y sup

^{,ilestpossible}

de tracer lamoyenne des amplitudes limites (gure8.14).

Oscillateur en quadrature

Pourl'oscillateurenquadrature(gure8.11),seullegain

A 0 = 2

^{changeparrapport}

à l'oscillateur de Wien. Prenant en compte ces équations ainsi que les amplitudes

limites,il est possible de tracer la moyenne des amplitudes limites(gure 8.15).

8.6 Signaux et analyse spectrale

Les gures suivantes présentent les signaux d'un oscillateur à déphaseur CR. La

gure 8.16 montre le courant circulant dans les diodes du limiteur et la tension

de sortie lors du démarrage de l'oscillateur. On notera en particulier la croissance

exponentielle de l'oscillationavec un temps caractéristique de 5.8ms environ.

La gure 8.17 présente la sinusoïde en régime permanent et sa modication par

une fenêtre en cosinus en préalable à l'analyse spectrale numérique par FFT (Fast

30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 0

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

R ₁ [kΩ]

Y moy (R 1 , R 4 ) / V CC

Oscillateur de Wien: amplitudes moyennes = f (R ₁ , R ₄ )

V _CC = 12 [V] V _j = 0.6 [V] R ₂ = 100 [kΩ] R ₃ = 220 [kΩ]

R ₄

10 kΩ 20 kΩ 30 kΩ 40 kΩ 50 kΩ 60 kΩ 70 kΩ 80 kΩ saturation

Fig. 8.14: Amplitudesmoyennes d'un oscillateur de Wien

50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

R 1 [k Ω ] Y moy (R 1 , R 4 ) / V CC

Oscillateur en quadrature: amplitudes moyennes = f (R ₁ , R ₄ )

V _CC = 12 [V] V _j = 0.6 [V] R ₂ = 100 [kΩ] R ₃ = 220 [kΩ]

R ₄

10 kΩ 15 kΩ 20 kΩ 25 k Ω 30 kΩ 35 kΩ 40 kΩ 45 k Ω 50 kΩ saturation

Fig. 8.15: Amplitudesmoyennes d'un oscillateur en quadrature

FourierTransform).L'utilisationde laFFTpermetd'obtenir lescomposantes spec-

trales(gure8.18)du signal étudié.Onvoitàl'évidencequ'une meilleuredénition

spectraleest obtenue grâce au fenêtrage.

La qualité de la sinusoïde est mesurée avec le taux de distorsionharmonique ainsi

déni:

T DH =

p A ² ₂ + A ² ₃ + · · · A 1

(8.35)

Dansnotrecas, seuleslescomposantes spectralesimpairessont signicativesetl'on

a

T DH =

√ 0.077 ² + 0.027 ² + 0.011 ² + 0.0034 ²

3.41 = 2.4%

Fig.8.16: Évolutionstemporelles :

a) courant circulantdans les diodes du limiteur;

b) tensionde sortie de l'oscillateur

Fig.8.17: Oscillationen régime permanent :

a) signal original(sans fenêtrage);

b) signal prêt pour l'analyse spectrale numérique(avec fenêtrage)

Fig.8.18: Analyse spectralenumérique:

a) sans fenêtrage du signal temporel;

b) avec fenêtrage du signal temporel

8.7 Exercices

Osc 1 : On souhaiteréaliserdes oscillateurs à l'aidedes quatreschémas proposés

dans lagure 8.19. Admettant que lesamplicateurs de tension sont parfaits et de

gain

A

^{constant,on demande :}

1. Surchacundes4schémas,indiquezl'emplacementdes points

X 2

^,

X 3

^,

X 4

^ainsi

quelapositiondes tensionsd'entrée-sortiedel'amplicateuretcellesd'entrée-

sortiedu déphaseur correspondant auschéma de base (gure 8.1).

2. Calculez laréponse fréquentielle

β(jω)

^{de chaque déphaseur.}

3. Quellessontlesconditionsd'oscillationsenphaseetenmodule?l'amplicateur

doit-ilinverser le signald'entrée?

4. Quevalent

| β(jω) |

^et

∠ β(jω)

^lorsque

ω = 0

^,

ω = ω 0

^et

ω → ∞

^?

5. Esquissezces réponses fréquentielles en amplitude et phase.

6. Sivous souhaitezavoirunebonnestabilitéde

ω 0

^{,lequeldesquatre}oscillateurs proposez-vous? justiez votre choix.

Osc2 : Que pensez-vous de qualitéde l'oscillateurde lagure 8.20par rapportà

ceux de l'exerciceOsc 1? L'esquisse de

∠ β(jω)

^{peut vous aider à y répondre.}

Osc3 : Considérantun oscillateurde Wienaveccontrôle d'amplituderéaliséavec

lescomposants suivants:

R = 16 kΩ, C = 10 nF, R 1 = 18 kΩ, R 2 = 39 kΩ, R 3 = 39 kΩ, R 4 = 10 kΩ, V CC = ± 15 V

1. Lecircuit peut-il osciller? Pourquoi?

2. Calculez safréquence d'oscillation.

3. Dessinez lacaractéristique de transfert de l'amplicateur.

4. Admettant

V j ' 0.6 [V ]

^{, calculez les limites}

V inf

^et

V sup

^de l'amplitude des oscillations.

Osc4: Calculezetchoisissezlescomposantsnormalisésnécessairesàlaréalisation

d'unoscillateur de Wientelque

f ₀ = 5 kHz

^et

A = 6 V

^{.Dessinez la} caractéristique de transfert de l'amplicateur.

Osc 5 : Dans cet exercice, on veut montrer qu'un ltre actif passe-bas d'ordre 2

peutsetransformer en un oscillateursison gainprendune valeur particulière.Pour

cela :

1. Partez de l'équation diérentielle d'un oscillateur harmonique

¨

y(t) + ω ² ₀ y(t) = ω ₀ ² x(t)

etmontrez quela fonction de transfert globaled'un oscillateur s'écrit

H osc (jω) = ω ₀ ²

(jω) ² + ω ₀ ²

A

A

A 1 1 1

A

R C

R

R

R

R

R R R

R R

C

C

C C C

C C C

L

Fig.8.19: Exercice Osc 1

A

C C

R

R

Fig.8.20: Exercice Osc 2

2. Considérant laréponse fréquentielle

H P B (jω) = A U0

1 + jωRC (3 − A _U0 ) + (jωRC) ²

avec

A U0 = 1 + R 4

R 3

d'un ltre passe-bas à gain ajustable (cellule de Sallen et Key, gure 8.21),

quelle condition faut-il remplir pour que le ltre passe-bas se transforme en

un oscillateur?

3. Redessinez le schéma de Sallen et Key dans une forme semblable à celle de

l'oscillateurde Wien.

4. Calculez lafonction de transfert

β(jω)

^{; que doit valoir}

A _U0

^{pour satisfaire la}

condition d'oscillation?

R ₄ R ₃

U ₁ (j ω ) U ₂ (j ω )

C

C R R

Fig.8.21: Exercice Osc 5