ETATS DES LIEUX ET MISE EN EVIDENCE DE L’OUTIL

♣ Résumé ^♣

Notre travail, porte sur une étude sur les affinités du plan en classe de terminale C. De ce fait nous montrons à partir d’un état des lieux les manquements du programme officiel ,les insuffisances des manuels scolaires et les difficultés que tout ceci engendre au système éducatif relatif a cette notion, puis nous proposons quelques pistes de solutions pour enfin aboutir sur un cours sur les affinités du plan.

♣ Abstract ^♣

In this work, it is for us to show that mathematics affinities are not used optimally in high school. In fact, we show how the failure of the official program and shortcomings of textbooks creates difficulties in the education system of this notion ; we then propose solutions to finally achieve a course on flat affinities.

♣ Table des matières ^♣

Dédicaces i

Remerciements ii

Résumé iii

Abstract iv

1 ETATS DES LIEUX ET MISE EN EVIDENCE DE L’OUTIL 3

1.1 Etats des lieux . . . 3

1.1.1 Prescription des programmes officiels relatifs aux affinités . . . 3

1.1.2 Comment est abordée la notion d’affinité dans les manuels . . . 5

1.1.3 Pratique de classe . . . 6

1.1.4 Sujets d’examens . . . 11

1.2 MISE EN EVIDENCE DE L’OUTIL . . . 13

1.2.1 Conflit entre affinité et similitude dans le plan . . . 15

1.2.2 Affinité et résolution des problèmes . . . 16

2 ANALYSE DES RESULTATS ET SUGGESTIONS´ 22 2.1 ANALYSE DES RESULTATS´ . . . 22

2.1.1 Les omissions du programme officiel. . . 22

2.1.2 Analyse de deux manuels scolaires : CIAM et MAJOR . . . 23

2.1.3 Confusion chez les élèves. . . 23

2.1.4 Point de vue personnel relative à l’enseignement et l’évaluation des affinités . . . 24

2.2 SUGGESTIONS . . . 25

Table des matières

2.2.1 Réaménagement du programme officiel . . . 25

2.2.2 Propositions permettant de remédier aux difficultés des enseignants et des élèves . . . 26

3 EXEMPLE D’UN COURS SUR LES AFFINITES DU PLAN´ 27 3.1 Introduction . . . 28

3.2 Pré-requis . . . 28

3.3 Définition et caractérisation des affinités . . . 29

3.3.1 Définitions et propriété caractéristique : . . . 30

3.4 propriétés . . . 37

3.4.1 Composition d’affinités . . . 37

3.4.2 Réciproque d’une affinité . . . 40

3.5 Utilisation des affinités . . . 41

3.5.1 Ellipse et affinité orthogonale . . . 41

3.5.2 Application . . . 45

3.6 Exercices . . . 46

Conclusion et perspective 49 ANNEXE 51 3.7 Extrait du programme officiel. . . 51

♣ Introduction ^♣

La résolution de certains problèmes mathématiques requiert le plus souvent l’uti- lisation d’objets mathématiques précis ou particulier notamment les transformations géométriques.D’où la nécessité de les introduire dans les programmes depuis le lycée. C’est le cas des similitudes du plan qui occupent une place de choix dans le programme des terminales sciences mathématiques. Par contre, d’autres bien que important tels que les affinités du plan sont négligés par les programmes officiels.

Étymologiquement le mot affinité vient du latin "affinitas" qui signifie alliance, ressem- blance, sympathie envers une personne. L’affinité, étudiée dans cet exposé, est une trans- formation affine. Cette transformation prend naissance avec Euler dans son Introductio in Analysin infinitorum de 1748 cf. [7], écrit en latin. Considérant les courbes semblables, c’est à dire images l’une de l’autre par une similitude (composée d’une homothétie et d’une isométrie) pour lesquelles les rapports des abscisses et des ordonnées sont les mêmes, Euler s’intéresse au cas où ces rapports sont distincts. La courbe image présentant une certaine affinité avec la courbe initiale, il parle de courbes affines, du latin affinis qui signifie voisin, lié, associé et affinitas qui signifie alliance, ressemblance.Il en ressort que les affinités du plan peuvent permettre la résolution de nombreux problèmes mathématiques en classe de terminale sciences mathématiques. Mais cet important outil mathématique semble ˆetre négligé par le programme officiel et mˆeme presque absent dans les salles de classes. Nous l’avons remarqué dans le cadre du projet prénum ac (production des ressources numériques en Afrique central) où il était question pour nous de produire un cours numérique sur l’enseignement des affinités en classe de terminale sciences mathématiques. Voila pourquoi, nous avons jugé néccessaire de mener une étude particulière sur l’enseignement de cette notion en classe de terminale C. Pour y parvenir, nous avons réparti notre travail en trois chapitres.

Table des matières

Dans le premier chapitre, nous faisons un état des lieux sur la notion affinité en tant que contenu dans le programme officiel et objet d’enseignement dans les salles de classes, puis nous montrons que les affinités sont un outil potentiel pour la résolution de nombreux problèmes. Dans le second chapitre, nous analysons les résultats issus du chapitre 1, puis nous proposons des suggestions pour remédier aux problèmes y afférents.

Quant au chapitre Trois, nous proposons un exemple de cours sur les affinités du plan.

? ? Chapitre Un ? ?

ETATS DES LIEUX ET MISE EN EVIDENCE DE L’OUTIL

1.1 Etats des lieux

1.1.1 Prescription des programmes officiels relatifs aux affinités

Extrait

Programme officiel CAMEROUN

Classe de terminale section SCIENCES Mathématiques

Contenus Commentaires, Savoir, Savoir-faire

.Translations, homothéties, rotations, symétries orthogonales

.On fera utiliser ces transformations dans de nombreux problèmes de constructions et de lieux géométriques

L’élève devra savoir déterminer les com- posées de ces transformations.

On vérifiera que toutes ces applications conservent les barycentres

1.1 Etats des lieux

-Classification des isométries .On pourra adopter la méthode de clas- sification suivante :

Toute isométrie est la composée d’une translation par une isométrie laissant un point invariant.

.On démontrera que toute isométrie las- sant un point invariant est la composée de deux symétries orthogonales au plus.

...

-Similitudes directes du plan :Définitions et propriétés

. On définira une similitude directe comme une transformation conservant la mesure des angles et multipliant les distances par un réel positif...

- Exemples d’applications du plan défi- nies par une apllication complexe

-Forme complexe d’une isométrie et d’une homothétie

3) Coniques

Définition géométriques....

3)Coniques

L’élève devra savoir :

1.Retrouver l’équation cartésienne ré- duite ....

.Activités On se limitera aux équations paramé- triques de l’éllipse.A cette occasion on pourra définir une affinité orthogo- nale notamment pour présenter le cercle principal d’une ellipse ...

Tableau1

Le tableau ci dessus est un extrait du texte des nouveaux programmes de mathématiques des classes du second cycle de l’enseignement général. Qui est entré en vigueur en 2000, suite a L’ ARRETE N˚53/D/43 MINEDUC/SG/IGP/ESG, portant définition des programmesˆ de mathématiques du second cycle de l’enseignement secondaire général. Du 12 Aout 1998 par le ministre en charge de l’éducation Charles Etoundi pendant cette période.

Celui-ci(ARRETE)fait suite a celui du 20 AVRIL 1994 signé par Docteur MBELLAˆ MBAPPE Concernant le premier cycle. Donc l’un des objectifs margeurs de l’arrêté de

1.1 Etats des lieux

1998 était d’infléchir les contenus des programmes du second cycle afin d’assurer la bonne continuité de ceux du premier cycle. Ce texte de programme est accompagné de certaines recommandations notamment :

– Les parties exigibles sont susceptibles de faire l’objet d’une évaluation lors des examens nationaux

– les parties non exigibles peuventetre enseignées si l’enseignant le juge opportun,maisˆ elles ne peuvent pas faire l’objet d’une question dans les examens natio- naux

– Les parties hors programme n’ont pa a ˆetre enseignées Mais qu’en est -il pour les affinités mathématiques ?

Que dire le programme par rapport aux affinités ?

Remarque 1.1. L’observation duTableau1 nous permet de faire un certain nombre de constats et remarques notamment :

– Les applications affines du plan ne sont pas prescrites de façon générale par les programmes

– Les transformations affines du plan telles que les translations, les rotations, les symétries orthogonales et les similitudes sont prescrites

;

– Quant a l’affinité, elle est mentionné de façon passagère dans le chapitre «CO- NIQUES» plus précisément dans la partie Activité de ce chapitre sous la forme :«A cette occasion on pourra définir une affinité orthogonale notamment pour présenter le cercle principal d’une ellipse »

1.1.2 Comment est abordée la notion d’affinité dans les manuels

Dans cette partie nous nous proposons d’analyser deux manuels au programme no- tamment les manuels CIAM ET MAJOR par rapport aux affinités du plane. Quelle place occupe les affinités du plan dans ces manuels ?

1.1 Etats des lieux

A) Situation des affinités dans ces manuels

Dans le programme officiel des terminales sciences mathématiques cf. (Tableau1),les applications affines ne sont pas évoqués de façon explicite. Mais dans certaines collections notamment la collection CIAM(collection inter africaine de mathématiques)et la collection MAJOR, qui sont ceux les plus utilisés ,les applications affines constituent la deuxième partie du chapitre « ISOMÉTRIES ET APPLICATIONS AFFINES»,en particulier les affinités du plan constituent le dernier paragraphe de la partie «APPLICATIONS AF- FINES». On remarque que les affinités ne font pas l’objet d’une étude particulière. En effet, on se contente ici de définir une affinité, de déterminer son expression analytique et de faire quelques remarques.

B Liens avec les autres chapitres dans ces manuels

En dehors du chapitre évoqué en A, on rencontre les affinités dans le chapitre CO- NIQUES dans ces deux manuels. Plus précisément, les affinités sont utilisées dans les applications de ce chapitre pour transformer une ellipse en son cercle principal et récipro- quement.

1.1.3 Pratique de classe

Nous avons remarqué que le programme officiel ne recommande pas l’enseignement des applications affines en générale et de l’affinité en particulier. Cependant,les affinités sont évoquées dans les manuels au programme. Notamment dans CIAM(collection inter africaine de mathématiques)et la collection major plus précisément dans le chapitre « ISOMÉTRIES ET APPLICATIONS AFFINES» .Nous nous proposons dans cette partie d’analyser « l’affinité » comme objet d’enseignement en classe, c’est a dire le contrat didac- tique qui existe entre les enseignants et les élèves relatif aux affinités planes. Qu’enseignent réellement les enseignants par rapport aux applications affines en générale et les affinités en particulier ? Quel niveau d’appréhension ont les élèves par rapport a cette notion ?

Dans le soucis d’avoir des réponses a ses questions, nous nous sommes rapprochés de la salle de classe.

Chez les élèves

Nous avons interrogé vingt élèves en classe scientifique mathématique de l’école normale supérieure de Yaoundé I et vingt cinq élèves en classe de terminale C au Lycée bilingue d’Etoug Ebé. Voici le contenu des questions qui leurs a été adressées.

ENS de Yaoundé I

Fiche d’investigation sur l’enseignement des affinités en classe de terminal sciences mathématiques

1. Décrivez en quelques lignes la notion d’affinité ;

.. . . . .. . . . .. . . . .. . . .

2. L’avez vous déja étudier ? si oui dans quelle discipline et dans quel chapitre ; .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . 3. Une affinité plane peut ˆetre considérer comme :

Un mot signifiant ressemblance dans un plan ;

Un mot signifiant sympathie envers une personne sur certains points ;

Une transformation géométrique plane qui conserve l’objet dans une direction et l’étire ou le compresse dans une autre direction ;

Une transformation géométrique plane qui est égale à :

l’identité du plan dans une direction et une homothétie dans une autre direction.

4. Quelle transformation géométrique permet de passer de l’objet A en l’objet B et réciproquement (voir figure ci dessous)

1.1 Etats des lieux

A B

.. . . . 5. Existe t-il une autre transformation différente de celle de 4. permettant de tranformer

A en B ?

.. . . . .. . . . 6. dans cette question le plan est muni du repère (O,I,J)

On considère les applications f et g définies respectivement par les expressions analy- tiques suivantes : f







x⁰ =x y⁰ =ky

et g







x⁰ =kx y⁰ =ky

où k est un nombre réel différent de 1 et 0

Les transformations f et g ont donné de l’objet A respectivement une image B et C (voir figure ci déssous)

B

A

C

|K|R R

f

g

R

7. En déduire de cette figure les natures de f et g .

.. . . . .. . . . 8. Quelle différence fondamentale existe t-il entre f et g.

.. . . . .. . . . Réaction des élèves

1.1 Etats des lieux

le tableau ci dessous donne les réactions des élèves

Question Réponses justes Réponses fausses Réponses approximatives

1 0 15 30

2 45 0 0

3 5 15 25

4 10 10 25

5 10 35 RAS

7 5 10 30

Tableau 2 Commentaires des réactions des élèves

– Relatif à la question 1

a Aucun élève n’a donné une définition exacte des affinités.

b 70 pour cent ont donné une réponse approximative dont voici la synthèse :

L’affinité est caractérisée par son axe D sa direction δ son rapport k ∈R,tel que

−−−→HM⁰ =k−−→

HM H étant le projeté orthogonal de M sur D parallèlement à δ c La notion d’affinité est confus chez les élèves.

– Relatif à la question 2

Bien que n’ayant pas une maitrise parfaite de la notion affinité, tous les élèves disent avoir étudié cette notion dans le chapitre 4 de ciam intitulé Isométries et Applications affines.

– Relatif à la question 3.

Il faut dire que cette question a choix multiple a pour réponses les deux derniers choix.

50 pour cent des élèves ont choisi uniquement l’avant dernier omettant la dernière qui explicite le mieux la notion.

– Relatif à la question 4.

Cette question montre l’importance qu’a l’affinité dans le chapitre des coniques. Encore une fois près de 80 pour cent des élèves ignorent cet atout.

– Relatif à la question 5

Près de 80 pour cent des élèves ignorent la particularité des affinités par rapport à la similitude dans le plan.

1.1 Etats des lieux

– Relatif a la question 7.

Cette question met en évidence d’une part, la relation analytique qui existe entre similitude plan et affinité et d’autre part, l’action comparé de ces deux outils sur les figures géométriques. Ici, on remarque que les élèves identifient clairement l’homothétie mais pas l’affinité et mˆeme ceux qui l’identifient le font par commodité et non par conviction.

Point de vue des enseignants

Afin de mieux mener notre travail nous nous sommes rapprochés de quelques ensei- gnants des lycées .

Pour monsieur TSOULEU PASCAL enseignant en classe de terminales sciences mathéma- tiques au Lycée bilingue d’Etoug Ebé depuis plus de dix ans.

– A la question : Enseignez vous les affinités planes dans votre salle de classe ? IL a répondu favorablement :« Oui j’enseigne les affinités dans le chapitre Isométries et Application affines »

– A la question : Accordez vous le mˆeme intérˆet aux affinités qu’a l’homothétie par exemple ?

Il dit :« Non l’affinité n’est pas prescrite pas le programme officiel et ne peut avoir le mˆeme intérˆet que les similitudes qui sont prescrites. D’ailleurs je me contente de définir les affinités et de faire quelques remarques »

– A votre avis les affinités ne peuvent pasˆetre utiliser au même titre que les similitudes pour résoudre les problèmes de constructions , de lieux géométriques et des problèmes de cas pratiques ?

« Oui les affinités peuventetre utiliser pour résoudre de nombreux problèmes un exempleˆ est la transformation des cercles en ellipses. Mais on doit respecter le programme officiel et puis a cause des contraintes de temps nous nous limitons à la définition des affinités » De nombreux autres enseignants ont eu des réactions similaires et estiment que l’affinité est proscrite pas les programmes officiels et ne trouve pas d’intérêt à faire toute une étude sur cette notion. On retient donc :

Les enseignants survolent la notion d’affinité en classe .

1.1 Etats des lieux

Les enseignants accordent moins d’intérêt à l’affinité par rapport aux similitudes pendant leur enseignement.

D’autres enseignants estiment que les affinités sont hors programme et préfèrent consacrer le temps qui leur est déjà imparti à d’autres notions au programme.

1.1.4 Sujets d’examens

Dans le souci de bien mener notre travail nous avons aussi examiné les sujets de baccalauréats des séries E et C des années 2000 à 2009 c’est a dire depuis la date de l’entrée en vigueur du programme en cours jusqu’à 2009.Il y ressort que les affinités ont fait l’objet d’une évaluation en 2001 et en 2002 .Donc voici les énoncés respectifs

Problème :10 points

Le problème comporte deux parties indépendantes A et B Partie A

Le plan est rapporté à un repère orthonormé(O,−→ i , −→

j ).(tous les coordonnées seront données par rapport à ce repère)

On note :

•G L’application du plan dans lui mˆeme qui a tout point M



 x y



,associe le point M’



 x⁰ y⁰





tel que







x⁰ = ⁶₅x+ ²₅y+ 1 y⁰ = ²₅x+⁹₅y+ 2

• M” le symétrique de M’ par rapport à M

• A₀ le point de coordonnée (3 ;1)

• (An)n ∈Nest la suite des points définies parA_n+1 =G(A_n)

•(x_n;y_n) sont les coordonnées de A_n 1. Démontrer que le vecteur −−−→

M M⁰ garde une direction fixe indépendante de M.

2. Déterminer l’ensemble des points de M” lorsque M décrit le plan.

3. Déduire des questions 1 et 2 une construction géométrique du point M’ lorsque M, est connu.

4. a) Démontrer que tous les points An appartiennent tous a la droite à la droite d’équation cartésienne 2x - y = 0.

1.1 Etats des lieux

b) En déduire que pour entier naturel n ,on a :x_n+1 = 2x_n−1.

5. a) Démontrer que pour tout entier n les points x_n ety_n sont des entiers.

b) Démontrer que tout entier naturel n x_n= 2ⁿ⁺¹+ 1.

c En déduire que la suite (x_n) est divergente.

Problème : 10 points

Le probblème comporte deux parties indépendantes A, et B.

Partie A

Le plan est rapporté à un repère orthonormé(O,−→ i ,−→

j ). On considère l’applicationf qui à tout point M(x, y) du plan,associe le point M⁰(x⁰, y⁰) tel que :







x⁰ =x y⁰ = ³₄y

(C)désigne la courbe du plan dont une représentation paramétrique est :







x= 2 cos(θ) y = 2 sin(θ)

θ∈

[0,2π]

On note (Γ)l’image de (C)par f etH le projeté orthogonal de M sur l’axe(O,−→ i ).

1. a) Démontrer que f est bijective et donner l’expression analytique def⁻¹ dans le repère (O,−→

i ,−→ j ).

b) Démontrer que −−→

HM = ³₄−−→

HM.

2. a) Démontrer que (C) est un cercle dont on précisera le centre et le rayon.

b) Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de (Γ).

c) Tracer (C) et (Γ)dans le repère (O,−→ i ,−→

j ).

Commentaires : Sur une période de neuf ans les affinités ont fait l’objet de deux évaluations implicites.En effet :

a) L’application G du problème 2001 est une affinité du plan qui est utilisé de façon implicite pour résoudre un problème de lieux géométrique et de démonstration de propriété.

b) L’application f du problème 2002 est une affinité plane qui est utilisé de façon implicite pour résoudre un problème de constructions géométriques.

1. Les affinités sont hors programme et ne peut constituer l’objet d’une évaluation explicite dans les examens officiels.

1.2 MISE EN EVIDENCE DE L’OUTIL

2. Bien que hors programme les affinités sont utilisées de façon implicite pour résoudre des problèmes preuve que ce outil peut faciliter la résolution de certains problèmes.

Dans cette première partie, il ressort que l’ affinité n’occupe pas une place de choix dans le programme officiel, ce qui entraine sa légèreté dans les manuels scolaires et par conséquent son quasi absence dans les salles de classes. Pourtant, l’affinité fait l’objet des évaluations dans les salles de classes. ce qui nous fait penser que les affinités sont quelques part important et peuvent permettre la résolution de nombreux problèmes.

1.2 MISE EN EVIDENCE DE L’OUTIL

Dans cette partie nous voulons mettre en évidence le potentiel des affinités comme outil de résolution des problèmes en classe et dans la pratique.

Tous les résultats énoncés dans cette partie sont démontrés dans le cha- pitre Trois

Rappels 1.

Définition 1.1. Soit D une droite du plan, ∆ une direction de droite différente de celle de D et λ un nombre réel.

On appelle Affinité de base D, de direction ∆ et de rapport λ l’application f du plan dans le plan qui à tout point M associe le point M’ tel que −−−→

HM⁰ = λ−−→

HM où H est le projeté de M sur D parallèlement à ∆

Remarque 1.2. Soit f l’affinité de base D, de direction ∆et de rapport λ alors : – La droite D est aussi appelée axe de de f ;

– f est dite affinité orthogonale lorsque la direction de D est orthogonale à∆;

1.2 MISE EN EVIDENCE DE L’OUTIL

– si λ= 0 alors f est la projection sur D suivant la direction ∆; – si λ= 1 alors f est l’application identique du plan ;

– si λ=−1et la direction de D est orthogonale à ∆alors f est la réflexion d’axe D ; – l’ensemble des points invariants d’une affinité est son axe.

Proposition 1.1. Une affinité est une application affine du plan dans le plan.

Preuve. cf [Chapitre Trois]

Propriété 1.1. une application affine f de partie linéaire ψ est une affinité si et seulement si :

a) il existe un point O du plan telle quef(O) =O (f possède au moins un point invariant) b) ils existent deux vecteurs non colinéaires −→u et −→v de l’ensemble des vecteurs du plan et k un nombre réel tels que :







ψ(−→u) =−→u ψ(−→v ) =k−→v

Preuve. cf [Chapitre Trois]

Propriété 1.2. Une affinité est une transformation affine si et seulement si son rapport est non nul.

Définition 1.2. Soit ∆une droite affine du plan

On appelle transvection d’axe D une application affine T du plan dans le plan et différente de l’application identique tel que :

– T fixe∆.

– T est globalement invariante par une une droite ∆⁰ parallèle à ∆ et distincte de ∆.

Proposition 1.2. soient f et g deux affinités d’axes respectifs D et D’ et de rapports respectifs α et β

1. Si D=D⁰ alors :

– Si αβ = 1 alors f◦g est une transvection d’axe D ou l’identité du plan.

– Si αβ 6= 1 alors f◦g est une affinité d’axe D et rapport αβ.

2. Si f et g ont la mˆeme direction et ont des axes parallèles et distincts alors f ◦g est une translation.

1.2 MISE EN EVIDENCE DE L’OUTIL

Proposition 1.3. Soient :

• D et D’ deux droites sécantes en point O du plan, α un nombre réel .

• f l’affinité de base D et de direction D’ et de rapport α.

• g l’affinité de base D’ et de direction D et de rapport α.

Alors l’application h=f◦g =g◦f est l’homothétie de centre O et de rapport α.

Preuve. cf [Chapitre Trois]

On se place dans un repère orthonormé (O, −→ i , −→

j ). On adopte les notations suivantes : Γ est l’ellipse d’équation réduite x²

a² + y²

b² = 1 avec a > b >0 C(0, a) désigne son cercle principal et C(0, b) son cercle secondaire

Ellipse et affinité orthogonale

Définition 1.3. Soit D une droite affine et k un nombre réel non nul.

On appelle affinité orthogonale de base D et de rapport k l’application :

f :P →P M 7→M⁰

tel que −−−−−→

p(M)M⁰ =k−−−−−→

p(M)M

Où p est la projection orthogonale sur la droite (D)

Propriété 1.3. i) L’ellipse Γ est l’image de son cercle principal C(O, a) par l’affinité orthogonale de base (Ox) et de rapport ^b_a.

ii) L’ellipse Γ est l’image de son cercle secondaire C(O, b) par l’affinité orthogonale de base (Oy) et de rapport ^a_b.

iii) Réciproquement l’image d’un cercle par une affinité orthogonale est une ellipse.

Preuve. cf[Chapitre Trois]

Proposition 1.4. Une affinité orthogonale de rapport k multiplie les aires par |k|.

1.2.1 Conflit entre affinité et similitude dans le plan Point de vue d’un célèbre auteur mathématicien :EULER

Euler dans son Introductio in Analysin infinitorum de 1748 cf .[7], écrit en latin.

Considérant les courbes semblables, c’est à dire images l’une de l’autre par une similitude

1.2 MISE EN EVIDENCE DE L’OUTIL

(composée d’une homothétie et d’une isométrie) pour lesquelles les rapports des abscisses et des ordonnées est le même, Euler s’intéresse au cas où ces rapports sont distincts. La courbe image présentant une certaine affinité avec la courbe initiale, il parle de courbes affines. On comprend avec Euler que les affinités naissent dans le souci de résoudre un problème que ne peut résoudre les similitudes planes :les affinités transforment les courbes en des images semblables mais par forcement de mˆeme nature (cercle et ellipse).

Les affinités : une application affine riche par définition

Notations 1.2.1. – soit f(D,D’,k) l’affinité de base D, de direction celle de D’ et de rapport k.

– soit p(D,D’) la projection sur D suivant la direction de D’.

– Soit A =D∩D’ et h(A,k) l’homothétie de centre A et de rapport k.

Nous avons remarqués (cf Remarques 1.2.1.) que selon son rapport et sa direction une affinité pouvait etre assimilée à de nombreux autres applications du plan .ˆ

En effet :

1. si le rapport k est nul l’affinité f(D,D’,k) devient la projection p(D,D’).

2. si le rapport k vaut -1 et les droites D et D’ sont orthogonaux l’affinité f(D,D’,k) devient la symétrie orthogonale d’axe D qui est une similitude.

3. si la droite D’ est réduit au point A ,l’affinité f(D,D’,k) peut ˆetre considérer comme l’homothétie h(A,k) qui est une similitude également.

On remarque que selon les paramètres, une affinité regroupe de nombreuses autres appli- cations du plan . Car elle devient une projection et une similitude selon les cas et par conséquent mérite une attention un peu plus particulière au lycée.

1.2.2 Affinité et résolution des problèmes

Un excellent outil de compression et d’étirement : L’affinité

Proposition 1.5. Une affinité du plan est l’unique application affine f du plan vérifiant :

– f possède un point fixe.

1.2 MISE EN EVIDENCE DE L’OUTIL

– f est égale à l’identité du plan dans une direction et à une homothétie dans une autre direction distincte de la première.

Preuve. C’est une caractérisation de la Propriété 1.1

Conséquence : L’affinité du plan conserve les objets dans une direction et l’étire ou le compresse dans une autre direction.Cet atout qu’a les affinités facilite la résolution de nombreux problèmes de Démonstration de propriété ,de constructions,et de recherche de lieux géométriques.

Remarque 1.3. une affinité étant une application affine elle conserve les tangentes et les contacts.

Application

Propriété 1.4. (exercice) Ellipse de Steinner

Soient A, B et C trois points non alignés du plan .Alors il existe une unique ellipse inscrite dans le triangle ABC et tangente en les milieux de ses cotés

Preuve.

B C

A

A⁰ K⁰

C⁰ I⁰

G Γ⁰

I K J

J⁰

H

B⁰

90˚

Γ

90˚

1.2 MISE EN EVIDENCE DE L’OUTIL

Supposons sans nuire à la généralité que le triangle ABC n’est pas rectangle en B.

– soit f l’affinité orthogonale de base (BC) qui transforme le point A en un point A’

tel que CB= CA’

– soit g l’affinité de base (BA’) qui transforme C en un point C’ tel que A’B =A’C’

Soit H le projeté orthogonale de A sur (BC). Puisque CB= CA’,alors H est différent de A’

et par conséquent le rapport de l’affinité f est non nul , donc f est une bijection d’après Propriété 1.2.

De mˆeme puisque A’B =A’C’ l’application g est aussi une bijection.

Posons h = g ◦ f alors h est une transformation affine du plan comme composée de transformation affine. On a :

1. h(A) = A⁰; 2. h(B) = B; 3. h(C) = C⁰.

Donc l’mage du triangle ABC par h est le triangle A’BC ’ car h application affine . Comme CB= CA’,le point C appartient à la médiatrice de [A’B].Ainsi C’A’=C’B. Finale- ment A’B =A’C’=C’B, donc A’BC’ est un triangle équilatérale, par conséquent le cercle inscrit Γ⁰ dans le triangle A’BC’ est tangent en les milieux de ces cotés.

Soit Γ =h⁻¹(Γ⁰) alors :

– Γ existe et est unique car h bijection affine.

– Γ est tangent en les milieux de ses cotés car h conserve les contacts.

– f⁻¹(g⁻¹(Γ⁰)) =h⁻¹(Γ⁰) = Γ est l’ellipse cherché D’ou l’existence et l’unicité de l’ellipse Γ

Exercice 1.2.1. Affinité et recherche de lieux géométriques

Soit C un cercle de diamètre [AB],D la tangente en A à C. Soit P un point variant sur C et T la tangente en P à C. La droite T coupe D en un point S et la perpendiculaire à (AB) A passant par P coupe la droite (BS) en un point M. Déterminer l’ensemble des points M lorsque P décrit C.

Soit O le milieu de [AB],et −→ i =

−→OA

OA.Considérons un repère orthonormé (O,−→ i ,−→

j )

1.2 MISE EN EVIDENCE DE L’OUTIL

.Dans ce repère A(0,R) où R est le rayon du cercle C ,l’équation paramétrique de C est alors :







x=Rcos(t) y=Rsin(t)

t ∈ R Soit alors P(Rcos(t), Rsin(t))P 6=A, P 6=B un point de C , la tangente T en P à C a pour équation cartésienne ysin(t) +xcos(t) =R et la droite D a pour équation x=R.Puisque S =T ∩D, alors S a pour coordonnées (R, R^1−cos(t)_sin(t) ) c’est- a- dire S(R, Rtan(^t₂)) avec t /∈πZ.On en déduire que la droite (BS) a pour équation (x+R)tan(₂^t) + 2y= 0.soit M(x,y) le point d’intersection de (BS) et T, et f l’application du plan qui à tout point P(Rcos(t), Rsin(t)) Associe le point M. Alors M(Rcos(t), y), puisque M est un point de (BS),on a y= ¹₂R(cos(t) + 1) tan(₂^t) =Rcos(₂^t)sin(₂^t).Ainsi







x=Rcos(t) y= ¹₂Rsin(t)

t∈R

Donc f est l’affinité orthogonale de base (AB) et de rapport ¹₂ et l’ensemble des points M est l’ellipse de grand axe (AB) image de C par f.

Exercice 1.2.2. Un menuisier ne dispose que des motifs O₁ et O₂ voir figure ci dessous.

Un client désirant un lit mentionne dans le cahier de charge les motifsO₃ et O₄ comme ornement de son lit .Embarrassé le menuiser vous demande en tant que élève de terminale C de lui proposé une application f qui permettra d’obtenir les motifs O₃ et O₄ à partir des motifs O₁ et O₂ .

1.2 MISE EN EVIDENCE DE L’OUTIL

k∈R et k 6= 1

– Justifier que l’application f à utiliser doit ˆetre affine ; – Montrer que f n’est pas une similitude.

Quel est la valeur de k pour laquelle f pourrait etre une similitude ?ˆ – Comment agit f sur les objets ;

– On muni la planche de travail d’un repère orthonormé (O,−→ i ,−→

j ) avec −→ i =

−→OA OA . Justifier que f a pour expression analytique

1.2 MISE EN EVIDENCE DE L’OUTIL







x⁰ =x y⁰ =ky

;

– Soit g l’application du plan dans le plan définie par :







x⁰ =kx y⁰ =ky

;

Donner la nature de g et faire une comparaison entre f et g . – Déduire que :

1. f = Id_P suivant la direction (O−→ i ); 2. f = g suivant la direction (O−→

j ); 3. f(O)=g(O)=O.

– On poser =kR ainsi k = _R^r .L’application f est appelé affinité orthogonale de base (AB) et de rapport k;

– Proposer une solution au menuisier.

Solution 1.1. – f est une application affine car elle conserve le barycentre ;

– f n’est pas une similitude.En effet si f l’était elle devait multiplier les distances par un rapport constant.Mais OA = OA⁰ =R,AD = R√

2 et A⁰D⁰ = R√

1 +k² .Comme k 6= 1, on ne peut avoir ce résultat.

En particulier pour k = 1 on peut obtenir une similitude.

– f compresse ou étire les objets dans une direction et les conserve dans l’autre ; – C’est une conséquence de la réponse précédente ;

– g est une homothétie de centre O et de rapport k g multiplie les distances par k suivant les deux directions ,alors que f multiplie les distances par k suivant une direction et la conserve sur une autre direction.

– Elle découle des résultats précédents

– L’affinité f résout le problème posé par le menuisier.

Proposition 1.6. L’aire intérieure à une ellipse de demi-axes a et b est égale à πab Preuve. D’après la Propriété 1.3.i) L’ellipse Γ est l’image de son cercle principal C(O, a) par l’affinité orthogonale de base (Ox) et de rapport _a^b.On conclure avec la Propo- sition 1.4 que L’aire intérieure à Γ est : ^b_aπa² =πab

? ? Chapitre Deux ? ?

ANALYSE DES R E ´ SULTATS ET SUGGESTIONS

Dans ce chapitre, nous analysons les résultats issus du Chapitre un et nous proposons quelques pistes de solutions.

2.1 ANALYSE DES R ESULTATS ´

2.1.1 Les omissions du programme officiel.

L’analyse du programme officiel nous permet de constater que :

– Les applications affines planes ne sont pas prescrites de façon général par les pro- grammes.

– Les transformations affines planes telles que les translations, les rotations, les symé- tries orthogonales et les similitudes y sont prescrites .

– Quant à l’affinité, elle est mentionnée de façon passagère dans le chapitre «CO- NIQUES» Plus précisément dans la partie Activité de ce chapitre sous la forme :«A cette occasion on pourra définir une affinité orthogonale notamment pour présenter le cercle principal d’une ellipse».

Il en ressort que les affinités sont presque absentes dans la programmation des enseigne- ments. D’ailleurs son enseignement n’est pas obligation puisque il est dit à son sujet qu’on pourra définir une affinité orthogonale c’est- à dire si on le veut. Tout ceci induit sa légèreté dans les manuels scolaires et par conséquent dans les salles de classes.

2.1 ANALYSE DES RE^´SULTATS

2.1.2 Analyse de deux manuels scolaires : CIAM et MAJOR

En effet, ces deux manuels, Contrairement au programme officiel, consacrent un chapitre sur les Applications affines dans sa généralité. Il s’agit du chapitre «Isométries et application affine». Quant a l’affinité, elle constitue un sous paragraphe de la partie Application affine.

A ce niveau on se contente de définir la notion d’affinité et de faire quelques remarques.

Cette façon d’aborder les affinités est la cause de nombreuses difficultés chez les élèves.

En effet, Ces deux manuels aussi bien que beaucoup d’autres définissent l’affinité à partir d’une projection :

Soit D une droite, δ une direction de droite distincte de celle de D et k un nombre réel.

On appelle affinité d’axe D, de direction δ et de rapport k l’application du plan dans le plan qui à tout point M associe un point M’ tel que :

−−−→HM⁰ =k−−→

HM,où H est projeté de M sur D suivant la direction δ.Cette définition semble complexe car elle n’est pas explicite un premier obstacle est :

La projection car aucun cours n’est faire au préalable sur les projections planes dans ces manuels .D’ailleurs le programme officiel ne dit rien concernant les projections dans le plan

De plus, ces manuels s’arrêtent au niveau de la définition des affinités et ne donne aucune propriété caractéristique qui facilitera l’utilisation de cette notion. Tout ceci engendre de nombreuses difficultés et confusion chez les élèves.

2.1.3 Confusion chez les élèves.

L’analyse des résultats du test proposé aux élèves relatifs a l’enseignement des affinités ne nous dit pas le contraire. En effet :

– Chez les élèves, on constate que ceux-ci ont des difficultés qui proviennent pour la plupart de la mauvaise appréhension de la notion d’affinité, de la mauvaise interpréta- tion des définitions données au cour. Le caractère complexe et théorique de la notion d’affinité dans les manuels et voir du manque de matérialisation de la notion est la source de nombreux problèmes. La plupart des élèves confondent projection et projection orthogonale. Ainsi, pour certains, le projeté évoqué dans la définition d’une affinité est le projeté orthogonale. De nombreux autres élèves ignorent le caractère particulier qu’a les affinités de compresser les objets ou de les étirer, contrairement aux similitudes qui conservent la nature des objets. Il en résulte donc que la façon d’aborder les affinités

2.1 ANALYSE DES RE^´SULTATS

dans les salles de classes ne facilite pas la compréhension et l’intérêt de cette notion.

La méthodologie pour l’enseignement de cette notion n’est pas efficace, et aussi la non participation des élèves à la réalisation du cours. Pour rendre cette notion concrète il faut mettre l’élève au centre de la construction de ce savoir.

– Une analyse minutieuse de la production d’un élève par rapport au test proposé nous permet de dégager un certains nombreux de remarques :

L’élève sait que l’affinité est caractérisé par trois paramètres notamment son axe , sa direction, et son rapport mais seulement confond projection et projection orthogonale preuve que la définition donné par les manuels reste confuse chez les élèves ceci serait dˆu `a la projection qui n’est pas bien cern´e pas les élèves.

2.1.4 Point de vue personnel relative à l’enseignement et l’éva- luation des affinités

Chez les enseignants, au vu des résultats obtenus du Chapitre Un , on constate que ceux-ci sont victimes du manque de documents adéquats pour l’enseignement de la notion d’affinité.

De plus, la façon d’aborder cette notion par les manuels scolaires n’est pas assez fluide. On note aussi que la légèreté du programme officiel par rapport a l’affinité ne les encourage pas à faire d’efforts pour l’enseignement de cette notion. Les enseignants n’abordent pas cette notion de façon attrayante, pourtant la mise en pratique de la notion d’affinité pourra faciliter sa compréhension. D’autres parts, dans les écoles de formations on insiste sur tous les autres applications affines sauf les affinités, ce constat je l’ai fait personnellement.

La numérisation des cours à partir de logiciels adéquats pourra faciliter l’enseignement de cette notion en utilisant les images expressives, malheureusement plusieurs enseignants ont des difficultés à utiliser ces logiciels.

Suite aux résultats du Chapitre Un concernant l’évaluation des affinités, il en ressort que sur une période de neuf ans de 2000 à 2009, les affinités ont fait l’objet de deux évaluations implicites dans la partie A des problèmes 2001 et en 2002. L’expression implicite renvoi au fait que l’utilisation de l’affinité dans ces deux problèmes n’est pas directe ceci nous conduis à deux interprétations :

Les affinités sont hors programme et ne peuvent constituer l’objet d’une évaluation explicite

2.2 SUGGESTIONS

Les affinités sont importantes et peuvent permettre la résolution de nombreux problèmes.

Il en ressort donc de cette première analyse que les affinités n’occupent pas une place de choix dans les enseignements au lycée, et pourtant l’analyse de la deuxième partie du Chapitre Un : Mise en évidence de l’outil nous a montré son importance.

En effet l’analyse de cette deuxième partie nous révèle que :

– Les affinités résolvent les problèmes que ne peut résoudre les similitudes.

– Les affinités par sa définition regroupe de nombreuses autres applications affines notamment certaines similitudes et les projections.

– L’affinité est un excellent outil de dilatation.

– Les affinités permettent la résolution de problèmes de constructions, de recherche de lieux géométriques, de démonstration de propriété et la résolution des problèmes dans la pratique.

De l’analyse de ces résultats, il en résulte que l’enseignement et l’utilisation des affinités au lycée n’est pas optimal tout ceci est duˆ à :

1. La négligence de cette notion au niveau des programmes officiel.

2. La façon d’aborder cette notion dans les manuels scolaires qui n’est pas pratique.

3. Définir les affinités à partir des projections par les enseignants est à l’origine de nombreuses difficultés chez les élèves.

2.2 SUGGESTIONS

2.2.1 Réaménagement du programme officiel

– Revoir le contenu du programme des classes de terminales sciences mathématiques afin de voir comment y intégrer un chapitre sur les affinités planes et ses applications.

– Proposer des définitions plus simples et plus pratiques.

– Faire ressortir une bonne différence entre projection et projection orthogonale.

– Insister sur l’originalité des affinités par rapport aux similitudes.

2.2 SUGGESTIONS

2.2.2 Propositions permettant de remédier aux difficultés des en- seignants et des élèves

Afin de bien aborder un cours sur les affinités planes deux solutions sont envisageables chez les enseignants :

1. Monter une activité visuel c’est -a -dire (avec figure a l’appui), qui présente clairement une projection plane en précisant le cas orthogonale, avant d’introduire les affinités planes.

2. La deuxième solution consiste à introduire les affinités comme suggérer dans son contexte historique par Euler : c’est a- dire à partir de la comparaison entre similitude et affinité. A ce niveau on doit partir d’une activité pratique accompagné des figures qui établie clairement ce rapport et met en évidence l’affinité comme outil particulier. Un exemple d’activité est l’exercice 1.2.2 du Chapitre Un.

– Accompagner les enseignants par des formations, des séminaires afin d’améliorer leurs capacités.

– Mettre les élèves au centre de l’enseignement. Ceci à travers la nouvelle approche pédagogique qui consiste à monter des activités interactive entre les enseignants et les élèves et qui aboutissent à la construction du savoir affinité.

Ceci permettra de rendre cette notion beaucoup moins abstraite, car l’élève sera au centre de la construction des savoirs.

– Nous conseillons aux élèves d’utiliser l’outil internet qui fournit des cours assez visuels notamment la plate forme Wims.

– Nous demandons aux responsables de l’Ecole Normale Supérieure de réajuster les´ programmes de formations afin d’insister de plus en plus sur l’importance des affinités.

– Les enseignants doivent se former à l’utilisation des logiciels de mathématiques afin de produire des cours numériques dont l’usage est visuel et facilite la compréhension.

– Enfin une solution immédiate est l’utilisation du cours sur les affinités que nous avons produit dans le cadre du Prénum Ac(production des ressources numériques en Afrique centrale ). Ce cours constitue justement le Chapitre Trois de ce travail et essai autant que possible de rendre la notion d’affinité accessible et compréhensible.

? ? Chapitre Trois ? ?

EXEMPLE D’UN COURS SUR LES AFFINIT E ´ S DU PLAN

Objectifs pédagogiques générals du cours Ce cours permet aux élèves de déployer un raisonnement mathématique pour résoudre des problèmes utilisant les affinités mathé- matiques.

Objectifs pédagogiques spécifiques.

. Définir, reconnaître et caractériser une Affinité ; . Déterminer les propriétés des affinités ;

. Utiliser les affinités pour résoudre des problèmes mathématiques . Liens avec les autres parties du programmes.

Dans le programme officiel des terminales sciences mathématiques,les affinités ne sont pas évoqués de façon explicite,mais dans certaines collections notamment la collection CIAM,qui est celle la plus utilisée, les affinités constituent un paragraphe du chapitre « ISOMÉTRIES ET APPLICATIONS AFFINES».

Toute fois, il faut dire qu’une affinité est une application affine particulière ,elle vient généraliser l’étude faite sur les ISOMÉTRIES. Par ailleurs les affinités sont utiles dans le chapitre « Coniques » notamment une affinité orthogonale permettra la transformation d’une ellipse en son cercle principal et réciproquement.

3.1 Introduction

3.1 Introduction

Le terme d’affinité est la traduction littérale de l’allemand Verwandschaft introduit par EULER et repris par August Ferdinand MÖBIUS (1790-1868). Dans son ouvrage fondamental Der barycentrische Calcul (1927) cf.[6], MÖBIUS définit les transforma- tions projectives d’un plan dans un plan, transformations étudiées simultanément par Michel CHASLES qui leur donne le nom d’homographies. Ce sont les transformations qui conservent l’alignement mais pas la distance. MÖBIUS démontre qu’elles conservent le birapport de quatre points alignés. Parmi les transformations projectives, il distingue celles qui conservent le parallélisme et les appellent affinités ou transformations affines.

3.2 Pré-requis

.Avant d’aborder ce cours l’élève doit être familiarisé avec les notions de structures d’espaces vectoriels, de groupes. En outre il doit être capable de :

. Définir une application affine et la caractériser(éléments caractéristiques expression analytique...) ;

. trouver l’image d’une courbe par une application affine ; . Définir et caractériser une conique(ellipse).

3.3 Définition et caractérisation des affinités

Dans ce cours P désigne le plan affine et V l’espace vectoriel associé(ensemble des vecteurs du plan).

3.3 Définition et caractérisation des affinités

Dans cette partie on se propose de définir,reconnaître et caractériser une affinité.

Activité 3.3.1. Soient D et D’ deux droites sécantes du plan P de vecteurs directeurs respectifs ~u et u~⁰ .On définit l’application p qui à tout point M du plan associe le point M’

du plan tel que : . M’ appartient à D’

. −−−→

M M⁰ est colineaire à ~u

1. Justifier que le vecteur −−−→

M M⁰ garde une direction fixe ; 2. Déterminer l’ensemble des points images par p ;

3. Soient A et B deux points distincts, α un nombre réel et C le point tel que :

−→AC =α−→

AB . On désigne par A’,B’ et C’ les images respectives de A,B et C par p.

(a) faire une figure puis Montrer que −−→

A⁰C⁰ = α−−→

A⁰B⁰; .(On pourra utiliser la propriété de Thalès dans le cas général et 2) )

(b) Déduire de 4) que p est une application affine ;

3.3 Définition et caractérisation des affinités

(c) Quel est l’ensemble des points invariants par p ; (d) Montrer que p◦p=p

Définition 3.1. l’application p définie ci dessus est appelé projection affine sur D’ de direction −→

D

Remarque 3.1. Si la direction de D est orthogonale à celle de D’,p est appelée projection orthonale sur D’

3.3.1 Définitions et propriété caractéristique :

Soient D et D’ deux droites affines du plan de directions distinctes, k un nombre réel et p la projection sur D’ de direction celle de D .

Définition 3.2. .

On appelle Affinité par rapport à D’, de direction −→

D et de rapport k l’application de P dans P qui à tout point M associe le point M’ défini par : −−−−−→

M⁰p(M) =k−−−−−→

M p(M)

où p est la projection sur D’ et de direction −→ D

Propriété 3.1. Soient D et D’ deux droites affines du plan de directions distinctes, k un nombre réel et p la projection sur D’ de direction celle de D et f l’affinité par rapport à D’

de direction celle de D et de rapport k, soient M et N deux points du plan Alors on a :

−−−−−−−→

f(M)f(N) = (1−k)−−−−−−−→

p(M)p(N) +k−−→

M N.

3.3 Définition et caractérisation des affinités

Preuve.

On a : −−−−−−−→

f(M)f(N) =−−−−−−−→

f(M)p(M) +−−−−−−−→

p(M)p(N) +−−−−−−−→ p(N)f(N)

=k−−−−−→

M p(M) +−−−−−−−−→

P(M)P(N)−k−−−−→

N p(N)

=k(−−→

M N +−−−−→

N p(M)) +−−−−−−−−→

P(M)P(N)−k−−−−→

N p(N)

=k−−→

M N+−−−−−−−−→

P(M)P(N)−k−−−−−−−−→

P(M)P(N)

= (1−k)−−−−−−−→

p(M)p(N) +k−−→

M N .

Propriété 3.2. Soient D et D’ deux droites affines du plan de directions distinctes,k un nombre réel et p la projection sur D’ de direction celle de D et f l’affinité par rapport à D’

de direction celle de D et de rapport k alors : f est une application affine de P dans P .

Preuve.

Soient A et B deux points distincts du plan, α un nombre réel et C le point tel que :

−→AC =α−→

AB .

On désigne par A’,B’ et C’ les images respectives de A,B et C par f.

1. Montrer que −−→

A⁰C⁰ = (1−k)−−−−−−→

p(A)p(C) +k−→

AC ;

2. Justifier que −−−−−−→

p(A)p(C) =α−−−−−−→

p(A)p(B);

En déduire que −−→

A⁰C⁰ =α−−→

A⁰B⁰ ;

3.

4. Conclure . Conséquence

Soient D et D’ deux droites affines du plan de directions distinctes,k un nombre réel et p la projection sur D’ de direction celle de D et f l’affinité par rapport à D’ de direction celle de D et de rapport k. On désigne par :

. ψ l’application linéaire associé à f ; . π l’application linéaire associé à p.

3.3 Définition et caractérisation des affinités

Alors on a : ψ =kIdV+ (1−k)π

preuve

Soient M et N deux points du plan ,d’après Propriété 3.1. on a :

−−−−−−−→

f(M)f(N) = (1−k)−−−−−−−→

p(M)p(N) +k−−→

M N

= (1−k)π(−−→

M N) +k−−→

M N

= ((1−k)π+kId_V)(−−→

M N).

D’où ψ =kIdV+ (1−k)π.

Activité 3.3.2. soit f l’affinité d’axe D de vecteur directeur −→u, de direction celle de −→v et de rapport k. Soit ψ la partie linéaire de f et π celle de la projection sur D parallèlement a la direction de −→v.

Justifier que :







ψ(−→u) = −→u ψ(−→v) = k−→v

(On pourra utiliser la conséquence précédente.)

Réciproquement soit une application affine f de partie linéaire ψ vérifiant : a) il existe un point O du plan telle que f(O)=O (f possède au moins un point

invariant) b)







ψ(−→u) =−→u ψ(−→v ) =k−→v

avec −→u et −→v des vecteurs non nuls de V de directions distinctes et k un nombre réel

Considérer : g l’affinité d’axe D = (O,−→u) , de direction celle de −→v et de rapport k.

Soient I,J deux points du plan tels que :−→

OI =−→u et −→

OJ =−→v Montrer que f(O) = g(O), f(I) =g(I) et f(J) = g(J)

Conclure que f =g.

On en déduit la propriété caractéristique d’une affinité suivante :

3.3 Définition et caractérisation des affinités

Propriété 3.3. (Propriété caractéristique)

une application affine f de partie linéaire ψ est une affinité si et seulement si : a) il existe un point O du plan telle que f(O) = O (f possède au moins un

point invariant)

b) ils existent deux vecteurs non nuls −→u et −→v de V, de directions distinctes et k un nombre réel tels que :







ψ(−→u) = −→u ψ(−→v) = k−→v

Vocabulaire. soit f l’affinité d’axe D, de direction −→

D et de rapport k.

a) D, D’ et k sont appelés éléments caractéristiques de l’affinité f.

b) L’application linéaire associée à f est aussi appelée partie linéaire de f ou application vectorielle associée a f. On le note −→

f Remarques.

. Si k = 0 , alors f est la projection sur D’ suivant la direction de D ; . Si k = 1 , alors f est l’application identique du plan ;

. Si k =−1 ,alors f est la symétrie d’axe D’ et de direction celle de D.

. si la direction de D est orthogonale à celle de D’,alors f est L’affinité orthogonale d’axe D’.

. L ’ensembles des points invariants par f est son axe.

. f est une bijection du plan dans le plan si et seulement si son rapport est non nul

Expression analytique d’une affinité.

On muni le plan d’un repère (O,−→ i ,−→

j ) Soit f l’affinité d’axe (D) d’équation : y=b de direction celle de −→

j et de rapport k.

Soit M



 x y



 un point du plan , M’



 x⁰ y⁰



 son image par f et H son projeté sur D parallèlement à la direction de −→

j . On a : −−→

HM =k−−−→

HM⁰ si et seulement si







x⁰ =x

y⁰−b =k(y−b)

car H



 x 0



 On en déduit la propriété suivante :

3.3 Définition et caractérisation des affinités

Propriété 3.4. Le plan est muni du repère (O,−→ i ,−→

j ).

L’expression analytique de l’affinité d’axe (D) d’équation y = b,de direction celle de −→

j et de rapport k est :







x⁰ =x

y⁰ =ky+ (1−k)b

Remarque 3.2. Le plan étant muni du repère (O,−→ i ,−→

j ).

Soit f l’affinité d’axe (D) d’équation y = mx+q,de direction −→v



 a b



 et de rapport k, avec a6= 0 ou b6= 0 . Pour déterminer l’expression analytique de f, on peut procéder de la manière suivante :

Soit M



 x y



 un point du plan et M’



 x⁰ y⁰



 son image par f.

1. Considérer la projection p sur (D) suivant la direction de−→v 2. Si H = p(M) alors H est un point de (D) et déterminant(−→v ,−−→

M H) = 0 i.e y_H =mx_H +q et a(x−x_H)−b(y−y_H) = 0 où H



 x_H yH





3. Déduire de 2. l’expression analytique de p 4. Utiliser 3. et le fait que −−−→

M⁰H = k−−→

M H pour déterminer l’expression analytique de f.

Exemple 3.1. le plan étant muni du repère (O,I,J) ; soit f une fonction deR dans R, λ un nombre réel non nul l’affinité d’axe (OI), de direction (OJ) et de rapport λ permet d’obtenir la courbe de la fonction λ f a partir de celle de la fonction f.

Exemple 3.2. Dans le plan euclidien usuel de dimension 2 rapporté au repère orthonormé (O,−→

i ,−→

j ), on considère la droite (D) d’équation 2x - 3y + 1 = 0 et une direction (δ) définie par le vecteur −→v (1,1). Donner l’expression analytique de l’affinité f d’axe (D) de rapport 2, parallèlement à (δ).

Solution 3.1. Soit M



 x y



 un point du plan et M’



 x⁰ y⁰



son image par f.

1. Soit p la projection sur la droite (D) parallèlement à (δ) et H =p(M).

Alors2x_H −3y_H + 1 = 0 et

x−x_H 1 y−yH 1

= 0. Donc

3.3 Définition et caractérisation des affinités

:







xH = 3x−3y+ 1 y_H = 2x−2y+ 1

2. Puisque −−−→

M⁰H= 2−−→

M H on obtient finalement :

:







x⁰ =−x+ 3y−1 y⁰ =−2x+ 4y−1

3.3 Définition et caractérisation des affinités

Exercice d’Entrainement 1. Soit (D) et (D’) deux droites sécantes en un point O .soit f l’application du plan dans qui a tout point M du plan associe le point M’ tel que :

-f fixe (D) : ie pour tout point M ∈ (D)f(M) =M.

- Si M∈/ (D) alors le milieu I de [MM’] est un élément de (D) et −−−→

M M⁰ ∈−→ D⁰

1.construire les images par f de deux points distincts A et B dans les cas suivants :

a) les droites (AB) et (D) sont parallèles b) les droites (AB) et (D) sont sécantes.

2.Démontrer que f est une affinité dont on déterminera les éléments caracté- ristiques.

soit −→

i un vecteur directeur de (D) et −→

j un vecteur directeur de (D’)

déterminer l’expression analytique de f dans le repère (O,−→ i ,−→

j ) puis montrer que f ◦f =Id_P

Conclure que f est une bijection et déterminer sa réciproque.

Exercice d’Entrainement 2. Le plan est muni du repère (O,I,J) soit f l’application du plan dans le plan qui a tout point M de coordonnées



 x y





associe le point M’ de coordonnées



 x⁰ y⁰



 tel que :







x⁰ =−x−2y−2 y⁰ =−x+ 1

i) Démontrer que l’ensemble des points invariants de f est une droite dont on déterminera un vecteur directeur.

ii)Montrer que pour tout point M du plan −−−−−→

M f(M) =λ−→v

−

→v étant un vecteur dont on déterminera.

iii) Déterminer la partie linéaire −→

f de f puis montrer que :

– −→

f(−→u) =−→u

3.4 propriétés

– −→

f(−→v ) =k−→v k étant un réel a déterminer.

iv) En déduire la nature de f en précisant ses élements caractéristiques.

3.4 propriétés

Dans cette partie on se propose d’étudier d’autres propriétés des affinités notamment la composée d’affinités,la réciproque d’une affinité lorsque son rapport est non nul.

3.4.1 Composition d’affinités

Dans cette partie on étudie quelques cas de composées d’affinités

Activité 3.4.1. Soient D une Droite affine −→ D⁰ et −→

D⁰⁰ deux droites vectorielles de directions distinctes à celle de D. α et β deux nombres réels.

Soit f l’affinité d’axe D , de direction −→

D⁰ et de rapport α et g l’affinité d’axe D , de direction −→

D⁰⁰ et de rapport β - Soit −→

i ∈ −→ D-−→

0 - Soit −→

j ∈−→ D⁰⁰−−→

0 - Soit O ∈ à D

On se place désormais dans le repère (O,−→ i ,−→

j ).

a) Montrer qu’il existe un nombre réel a tel que −→u



 a 1



 soit un vecteur directeur de D’ dans ce repère .

- Soit M



 x y



un point du plan et H



 X

0



 son projeté sur D parallèlement à

−→ D⁰

c) Justifier que X =x−ay et conclure que f(M)





x−ay+αay αy





3.4 propriétés

d) Soit M’



 x⁰ y⁰



l’image par g◦f de M



 x y



.Déduire alors de c) que







x⁰ =x−ay+αay y⁰ =αβy

-> On pose g◦f =h – p^er cas : αβ 6= 1

- Démontrer que l’ensemble des points invariants par h est D.

- Montrer que −−−→

M M⁰ est colinéaire a un vecteur non nul −→v que l’on déterminera.

- Soit−→

h la partie linéaire de h. Montrer que−→ h(−→

i )=−→ i et−→

h(−→v)=αβ−→v - Déduire alors que h est une affinité en précisant ces éléments carac-

téristiques.

– 2^eme` cas : αβ = 1 - Justifier que −−−→

M M⁰ =ya



 1−α

0



.

- Justifier que si α= 1 ou a= 0 alors h=IdP.

- Si α6= 1 et a6= 0 h est une application affine appelé Transvection . Définition 3.3. soit ( ∆) une droite affine du plan.

On appelle transvection D’axe (∆) une application affine T :P −→ P différente de l’identité du plan telle que :

- T fixe (∆)

- T est globalement invariant par une droite (∆⁰) parallèle à (∆) et distincte de (∆)

Propriété 3.5. soient f et g deux affinités de même axe (D) et de rapport respectifs α et β. :

Si αβ =1 alors g◦f est soit l’identité du plan soit la transvection d’axe (D).

Si αβ 6= 1 alors g◦f est l’affinité d’axe (D) et de rapport αβ.

Propriété 3.6. La composée de deux affinités d’axes parallèles et de même direction est une affinité ou une translation.

3.4 propriétés

Démonstration.

- soit f = f(D,∆, α) l’affinité d’axe D,de direction −→

∆ et de rapport α; g =g(D⁰,∆, β) l’affinité d’axe D, de direction −→

∆ et de rapport β.

- Soit −→ i ∈−→

D−−→ 0. - Soit −→

j ∈ −→

∆ −−→ 0. - Soit O ∈ D . Soit le repère (O,−→

i ,−→ j ).

- Dans ce repère la droite D’ a pour équation (D’) : y=b.

- soit M un point du plan. Montrer que f(M)



 x αy



et g(M)





x βy+ (1−β)b



.

- Déduire que g◦f





x

βαy+ (1−β)b





- Conclure que :

– Si βα= 1 alors g◦f est la translation de vecteur −→u



 0 (1−β)b





– Si α β 6= 1 alors g◦f est l’affinité d’axe Γ d’équation (Γ) : y = (1− β)b/(1-αβ) de direction −→

j et de rapport αβ

Exercice d’Entrainement 3. soit f une transformation affine du plan, f différente de l’application identique du plan A et B deux points distincts du plan tels que f(A) =A et f(B) =B

a Montrer que la droite (AB) est invariante par f.

b Soit C un point du plan tel que C ∈(AB) Justifier que que f(C)/ 6= C

c Soit C’ l’image de C par f i) Montrer que si −−→

CC⁰ est colinéaire à −→

AB f est une transvection.

ii)On suppose que −−→

CC⁰ n’est pas colinéaire à −→

AB . Soit g l’affinité d’axe (AB), de direction −−→

CC⁰ et de rapport HC’/HC avec