[ Baccalauréat STL Métropole juin 2001 \ Physique de laboratoire et de procédés industriels
L’usage des calculatrices et des instruments de calcul est autorisé.
EXERCICE1 5 points
À l’instantt=0, un corps dont la température est de 100° est placé dans une salle à 20°. On désigne parθ(t) la température du corps à l’instantt, l’unité de temps étant l’heure et l’unité de température le degré Celsius.
On suppose que la vitesse de refroidissementθ′(t) est proportionnelle à la différence de température entre la température du corps et la température de la salle (loi de Newton) (on négligera l’élévation de température de la salle) et on admettra donc qu’il existe un nombre réelktel que
θ′(t)=k[θ(t)−20].
1. On posey(t)=θ(t)−20.
a. Montrer que la fonctionyest solution de l’équation différentielley′=k y oùkest défini ci-dessus.
b. Résoudre cette équation différentielle.
c. En déduire queθ(t)=Cek t+20 oùCest un nombre réel que l’on calcu- lera.
2. a. Sachant qu’au bout de 20 minutes le corps s’est refroidi de 100° à 60°, montrer que
θ(t)=80e(−3ln2)t+20.
b. Quelle est la température du corps, arrondie au degré, au bout de 30 mi- nutes ?
c. En combien de temps la température tombera-t-elle à de 100° à 30° ?
EXERCICE2 5 points
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct³ O,→−
u,−→ v´
(unité gra- phique 2 cm).
1. a. Vérifier que le nombre complexe¡ 2+p
3¢
−i est solution de l’équation : Z2−2³
2+p 3´
Z+4³ 2+p
3´
=0.
b. Donner l’autre solution de cette équation.
2. On considère les nombres complexes : Z1=
³2+p 3´
+i et Z2=
³2+p 3´
−i.
a. Placer dans le repère³ O,→−
u,−→ v´
le point A d’affixeZ1et le point B d’affixe Z2.
b. Vérifier queZ2
Z1= p3
2 −i 2.
c. Déterminer le module et un argument du complexe Z2
Z1.
d. Déduire du résultat précédent l’angle de la rotation de centre O qui trans- forme A en B.
Terminale STL Physique de laboratoire et de procédés industriels A. P. M. E. P.
3. a. Déterminer l’affixeZ3du point C milieu du segment [AB].
b. Quelle est la nature du triangle OCA ? 4. a. Calculer|Z1|et|Z3|.
b. Déduire des résultats précédents que :
cos π 12=
p2+p 3
2 .
PROBLÈME 10 points
Le but du problème est l’étude de la fonction numérique f définie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ par :
f(x)=1
2x2+1−lnx x , où lnxdésigne le logarithme népérien dex.
On noteC sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthonormal
³O,−→ u,→−
v
´d’unité graphique : 2 cm.
Partie A
Soitgla fonction définie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ par : g(x)=x3−1+lnx.
1. Étudier les variations de la fonctiong. Les limites aux bornes ne sont pas demandées.
2. Calculerg(1) et en déduire le signe deg(x) suivant les valeurs dex.
Partie B
1. Étudier les limites de la fonction f aux bornes de l’intervalle ]0 ; +∞[. En déduire l’existence d’une droite asymptote à la courbeC que l’on précisera.
2. Démontrer quef′(x)=g(x) x2 .
En déduire le tableau de variations de la fonctionf. 3. Soithla fonction définie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ par :
h(x)=x2 2 +1.
Sa courbe représentativeP dans le repère³ O,−→
u,−→ v
´ est donnée ci-après.
a. Déterminer la limite de [f(x)−h(x)] en+∞.
b. Déterminer le signe de [f(x)−h(x)]. Que peut-on en déduire pour la po- sition relative des deux courbesC etP?
4. Tracer la courbeC sur la feuille ci-après (à rendre avec la copie).
Partie C
1. Déterminer une primitive de la fonction :
x7−→1 xlnx.
sur l’intervalle ]0 ;+∞[.
Métropole 2 juin 2001
Terminale STL Physique de laboratoire et de procédés industriels A. P. M. E. P.
2. On appelle S l’aire en cm2, de la partie du plan limitée par les deux courbes C etP et les droites d’équationsx=1 etx=4.
Donner la valeur exacte de S puis la valeur arrondie au mm2.
ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE
1 1
O
Métropole 3 juin 2001
