Bases du Signal

(1)

Premier Cycle – INSA de LYON

Ouverture thématique – 2

^ème

année

Bases du Signal

Signaux Numériques

et Applications

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(3)

Equipe enseignante :

Nom Prénom Dept Laboratoire E-mail

BENOIT-CATTIN Hughes TC Creatis Hugues.Benoit-Cattin@creatis.insa-lyon.fr BRES Stéphane IF LIRIS stephane.bres@insa-lyon.fr

DELACHARTRE Philippe GE Creatis philippe.delachartre@creatis.insa-lyon.fr FRIBOULET Denis PC Creatis denis.friboulet@creatis.insa-lyon.fr LELEVE Arnaud GI ICCT Arnaud.Leleve@insa-lyon.fr VRAY Didier PC Creatis didier.vray@creatis.insa-lyon.fr

Bibliographie :

• Max, Jacques, Lacoume, Jean-Louis. Méthodes et techniques de traitement du signal.

Paris : Dunod, 2000, 355 p. ISBN 2-10-005332-9.

• Lacoume, Jean-Louis, Max, Jacques. Méthodes et techniques de traitement du signal 2^ème cycle, école d’ingénieurs. 5^ème édition. Paris : Dunod, 2004, 355 p. ISBN 2-10-048331-5.

• F. De Coulon, Théorie et traitement des signaux, Dunod, 1984.

• Oppenheim, Alan V., Willsky, Alan S., Signals & systems, 2nd edition. - New Jersey : Prentice-Hall , 1997 . - XXX-957 p – ISBN 0-13-651175-9.

• B. Mulgrew et al., "Digital Signal Processing: Concepts and Applications", Ed: Mac Millan Press, 1999, 355p.

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Département PREMIER CYCLE

8 allée Lumière – 69621 Villeurbanne Cedex - France

Tel : 33(0)4 72 43 83 84 Télécopie : 33(0)4 72 43 64 34

E_mail : Site web : http://pc.insa-lyon.fr

Identification

2^ème ANNEE

Intitulé du Module : Signaux numériques et applications

Code : 2PC_OT439 ECTS : 2

Annuel

⌧Semestriel

⌧1^er semestre 2^è semestre

Module proposé par une équipe dʹenseignants issus des départements GE, GI, IF, PC, TC

Nombre d’élèves max. : 24

- Objectifs et compétences :

A partir dʹexemples concrets tirés des télécommunications, du traitement de la parole, de lʹimagerie médicale, des techniques physiques et dʹinstrumentations, ce module dʹOuverture Thématique fournira aux étudiants les bases du traitement du signal quʹils pourront mettre à profit quelle que soit la spécialité quʹils décideront dʹaborder ensuite pour leur formation dʹingénieur. Le module se déroule successivement dans 4 départements de lʹINSA (GE, GI, IF, TC).

- Programme :

Cours et TD : Signaux, exemples, analyse fréquentielle, Transformée de Fourier, analyse spectrale, filtrage, échantillonnage, filtrage numérique, compression.

Séances Machines : logiciel Matlab, signaux numériques, représentation de signaux en temps et en fréquence, transformée de Fourier Discrète, analyse dʹun signal inconnu, filtrage, fenêtres de pondération (hamming…), représentation temps‐fréquence, modulation dʹamplitude, modulation de fréquence, analyse signal de parole, logiciel SPTOOLS, applications en Telecom, logiciel SIMULINK.

- Contrôle : évaluation des projets pratiques et contrôle de connaissances 2h

- Travail Personnel : 10h pour l’ensemble du module

- Pré‐requis : Aucun pour un étudiant du Premier Cycle de l’INSA

- Bibliographie :

‐ Lacoume, Jean‐Louis, Max, Jacques. Méthodes et techniques de traitement du signal 2^ème cycle,

école d’ingénieurs, Paris, Dunod, 2004, 355 p.

‐ F. De Coulon, Théorie et traitement des signaux, Dunod, 1984.

‐ Oppenheim, Alan V., Willsky, Alan S., Signals & systems, 2nd edition. ‐ New Jersey : Prentice‐

Hall, 1997, 957 p

‐ B. Mulgrew et al., ʺDigital Signal Processing: Concepts and Applicationsʺ, Ed: Mac Millan Press, 1999, 355p.

Obligatoire

⌧Optionnel

Horaires Cours : 12h TD: 4h TP: 14h Projet :

Travail personnel : 10h Evaluations Contrôle continu : Devoir Synthèse : Soutenance :

Supports pédagogiques Polycopiés Cours, TD et TP OUI

Fichier PPT en ligne OUI

Logiciel : Matlab

Enseignant Responsable Vray Didier Friboulet Denis

Département de rattachement

PC Tel 04 72 43 87 84 04 72 43 89 75

Mail didier.vray@insa-lyon.fr, denis.friboulet@insa-lyon.fr

Date d’actualisation de la fiche OT : Juin 2010

Institut National des Sciences Appliquées de Lyon

(6)

(7)

1

Traitement du signal et applications Introduction

Denis Friboulet – Didier Vray

SIGNAL ? 2

¾ Domaines d’application :

• communication, aéronautique, astronautique, acoustique, contrôle de processus chimique, ingénierie biomédicale, traitement de la parole, économie, météorologie...

• information représentée sous forme de signal

¾ Signal :

• fonction de une ou plusieurs variables indépendantes : f(x y z)

• fonction de une ou plusieurs variables indépendantes : f(x,y,z)

• représente / contient information sur un phénomène (physique)

Signaux continus: f(t), t ∈R Signaux discrets: f[n], n ∈Z

¾ Types de signaux

t

¾ Dimension du signal :

• 1D : f(t) f[n]

• 2D :f(u,v) f[i,j]

• 3D : f(u,v,w) f[i,j,k]

n

(8)

SIGNAL ? 3

¾ Mesures

• Capteur, statistiques....

• Développement des capteurs : microphone, céramiques piézoélectriques, antennes, capteurs CCD, de pression

¾ Acquisition numérique : Capteur

t

Capteur Echantillonnage

t

• Stockage

• Traitement numérique par ordinateur

• Perte d’information ?

• Importance des techniques numériques t

EXEMPLES DE SIGNAUX 4

Signal de parole

-0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4

amplitude

‘e’

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35

-0.3 -0.2

Temps (s)

0.2 0.4 0.6

tude

b on j ou r

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

-0.4 -0.2 0

Temps (s)

amplit

b on j ou r

(9)

Évolution de la rente 5% sous le consulat et le 1^erempire

80 90

100% Victoire sur la Russie à Friedland

Traité de Tilsit avec la Russie

Début de la

campagne de Russie Napoléon

débarque à Golfe Juan

0 10 20 30 40 50 60 70 80

Coup d’état du 18 brumaire Paix de Lunéville

L’Autriche attaque la Bavière

Victoire sur la Prusse à Iéna Victoire sur la Russie à Eylau

Début de la retraite de Russie

Défaite de Vitoria.

L'Autriche se joint à la Prusse et à la Russie contre la France.

Défaite de Leipzig.

Défaites en Espagne et au Portugal

Abdication de Napoléon

Waterloo Victoire sur

l’Autriche à Ulm L’Angleterre

recherche la paix et l’obtient à

Amiens

0

1798 1799 1800 1801 1802 1803 1804 1805 1806 1807 1808 1809 1810 1811 1812 1813 1814 1815

Évolution hebdomadaire du Dow Jones du 5 janvier 1929 au 4 janvier 1930

350 400

50 100 150 200 250 300 350

5 jan. 1929 4 jan. 1930

(10)

Signaux ultrasonores

Émission Réception

d

Composante spéculaire Composante diffuse

Signal réel

t τ= 2d/c , c ≈1540 m/s (tissus biologiques)

t

Signal réel

EXEMPLES DE SIGNAUX 8

Images ultrasonores: échographie intravasculaire

(11)

Images ultrasonores: échographie intravasculaire

Plaque artérielle

Images cardiaques échographie ultrasonore et en IRM

(12)

Tomographie X

Tomographie par rayonnement X synchrotron

(13)

Tomographie X

TRAITEMENT DU SIGNAL ? 14

¾ Buts :

• Modélisation : représentation d’un phénomène (caractérisation, prédiction...)

• Analyse : extraction d’information (mesure, compression, détection, reconnaissance...)

• Filtrage, restauration : transformation du signal (minimisation du bruit, suppression de parasite...)

• Etc.

¾ Notion de système de traitement :

Système de Traitement

t t

¾ Notion de domaine de représentation :

• Transformée de Fourier

• Modèles autorégressifs, transformée de Laplace, transformée de Wigner, transformée en ondelettes, transformée cosinus....

(14)

EXEMPLES DE TRAITEMENT 15

Imagerie ultrasonore

N Signaux

Image ? N Signaux

Signaux acquis

Détection d'enveloppe

Compression

Enveloppe

Image Compressée Compression

logarithmique

(15)

Signal de parole : analyse ?

0 2 0.4 0.6

e

b on j ou r

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

-0.4 -0.2 0 0.2

Temps (s)

amplitude

b on j ou r

Domaine de représentation : temps-fréquence

(16)

Détection de rupture

Cas idéal

0 1 2

Cas réel avec bruit gaussien (σ = 0.4)

0 5 10 15 20

-2 -1

0 50 100 150 200 250

-2 -1

Opérateur différentiel : [ 1 -1 ] Opérateur différentiel : [ 1 -1 ]

0 50 100 150 200 250

-2 -1 0 1 2

0 5 10 15 20

-2 -1 0 1 2

Cas réel avec bruit gaussien (σ = 0.4)

0 1 2

Opérateur différentiel : [ 1 -1 ] Opérateur optimisé : Canny[86] – Deriche[87]

0 50 100 150 200 250

-2 -1

0 50 100 150 200 250

-2 -1 0 1 2

0 50 100 150 200 250

-1 0 1 2 3 4

(17)

0 2 4

Cas réel avec bruit gaussien (σ = 1.0) Cas réel avec bruit gaussien (σ = 1.2)

0 2 4

0 50 100 150 200 250

-4 -2 0

0 50 100 150 200 250

-4 -2 0

Opérateur optimisé :

0 50 100 150 200 250

-4 -2 0 2 4 6

0 50 100 150 200 250

-4 -2 0 2 4

Image : Détection de contours

Bords verticaux

Norme du gradient Seuillage

Bords horizontaux

Norme du gradient Seuillage

||2

(18)

Détection de contour par ensemble de niveau basé sur les dérivées (gradient)

Ensemble de niveau:

Principe d’évolution Evolution basée sur le

gradient d’une image IRM

Détection de contour par ensemble de niveau basé sur les statistiques

Sang

Histogramme

Histogramme Muscle

(19)

Détection de contour par ensemble de niveau basé sur les statistiques

EXEMPLES DE TRAITEMENT 26

ÆVisualisation de l’information ?

(20)

¾Visualisation : Rendu de volume par lancer de rayon

Plan de visualisation

1. Intersection avec l’objet : Tracé incrémental d’un rayon dans le volume discret

2. Estimation de la normale à l’objet : opérateur différentiel discret dans les 3 directions

N

3. Calcul de la lumière émise au point d’intersection : modèle de diffusion

ÆId = Ip (N . L)

4. Application des étapes 1, 2 et 3 à l'ensemble des rayons partant du plan de visualisation

α L

N

(21)

BIBLIOGRAPHIE 30

Ouvrages généraux

• Bernard MULGREW, "Digital Signal Processing, concepts and applications", Palgrave MacMillan, 2003

• Alan OPPENHEIM, A. SCHAFER, "Discrete-time Signal Processing", PRENTICE HALL, 1999

O S S S C

• Alan OPPENHEIM, A. WILLSKY, "Signals and Systems", PRENTICE HALL, 1997

• J. Mc CLELLAN, "DSP First, A multimedia approach", PRENTICE HALL, 1999

• François de COULON, "Théorie et traitement des signaux", DUNOD, 1984

• Murat KUNT, "Traitement Numérique des signaux", 1981 Applications ou pour aller plus loinpp p p

• J. MARS, J.-L. LACOUME, "Traitement du signal pour géologues et géophysiciens", TECHNIP 2004, Tome 3 : Techniques avancées et Tome 2 : Techniques de base, Tome 1 : Prospection sismique

• M. BELLANGER, "Traitement numérique du signal : Théorie et pratique", 8ème édition, DUNOD, 2006

(22)

31

Signaux de base

Opération élémentaires sur les signaux

TRANSFORMATIONS DE LA VARIABLE INDEPENDANTE 32

¾ Retournement

¾ Opérations de base sur les signaux:

• Retournement, décalage, changement d’échelle, etc.

Ætransformation de la variable indépendante

f(t) f(-t)

f[n] f[-n]

(23)

¾ Changement d’échelle

f(t) f(2t)

f[n] f[2n]

¾ Décalage temporel

f(t) f(t-t₀)

ÆRetard

f(t+t₀) ÆAvance

t0 -t0

f[n] f[n-n0] f[n+n0]

-n0

n0

(24)

¾ Signaux pairs : invariance par retournement

f(-t) = f(t) f[-n] = f[n]

¾ Signaux impairs : symétrie par retournement

f[-n] = - f[n]

f(-t) = - f(t)

SIGNAUX DE BASE CONTINUS 36

¾ Signal sinusoïdal : f t( )= Acos(2π f t0 +φ)

A AcosΦ

T0= 1 / f0

A : amplitude φ: phase f₀: fréquence T₀: période

¾ Variation de la fréquence f₀:

f₁ f₂ f₃

f₁< f₂< f₃

(25)

¾ Exponentielle complexe e^j²^π^f⁰^t=cos2πf₀t+jsin2πf₀t t

f e^j² ^f^t) cos2 ₀

Re( ^π⁰ = π

t f e^j² ^f ^t) sin2 ₀

Im( ^π⁰ = π

) 2(

2 1

cos πf₀t= e^j²^π^f⁰^t+e⁻^j²^π^f⁰^t ) 2 (

2 1

sin ₀ e^j²^f⁰^t e ^j² ^f⁰^t t j

f ^π ^π

π = − ⁻

¾ Interprétation

Partie réelle Partie imaginaire

sin 2πf0t

t

Re Im

cos 2πf0t

¾ Exponentielles harmoniques f_k(t)=e^j²^π^kf⁰^t,k∈Z

f₀: fréquence fondamentale f₀: vitesse de rotation

¾ Échelon unité

u(t) = 0 si t < 0 1 si t > 0

1

t

¾ Impulsion unité (ou Dirac) : δ(t)

∫

∞

−

= ^t d t

u( ) δ(τ) τ

on veut à savoir

dt t t du( )

) ( = δ

∆ u_∆(t) 1

∆

1/∆ δ_∆(t)

Aire = 1 δ(t) = lim δ_∆(t)

∆ →0

ÆReprésentation 1

δ(t)

C

Cδ(t) δ(t-t0)

(26)

¾ Dirac : interprétation

δ(t)

t ⁰ τ

Intervalle d’intégration

t τ

0

Intervalle d’intégration δ(t)

τ

1 u(t) 0

)

( =

∫∞

− t

dτ τ

δ si t < 0 ∫ ( ) =1

∞

− t

dτ τ

δ si t > 0

u(t)

ÆL’aire du Dirac est "concentrée" en un point

¾ Dirac : Propriété

¾ Dirac : Propriété x(t) δ(t) = x(0) δ(t) ÆDirac de poids x(0)

( )t dt 1 δ

+∞

−∞

∫

=

( ) ( ) ( ) ( ) p ( )

x(t) δ(t)

x(0) δ(t)

¾ Dirac : Propriété x(t) δ(t-t₀) = x(t₀) δ(t-t₀)

x(t)

δ(t-t₀) t0

x(t)

x(t₀)δ(t-t₀)

t₀

(27)

¾ Dirac : Propriété ^+∞x t( ) ( )δ t dt x(0)

−∞

∫

=

0 0

( ) ( ) ( )

x t δ t t dt x t

+∞

−∞

− =

∫

¾ Dirac : Propriété

2

1

2 ( , )1 2 ( )

t s

t

E t t =

∫

s t dt

¾ Énergie d’un signal continu s(t)

• Énergie moyenne calculée sur l’intervalle [t₁, t₂] :

¾ Signaux à énergie finie :

( )2

Es s t dt

+∞

−∞

=

∫

• Énergie totale:

Es < ∞

¾ Exemples : les signaux suivants sont-ils à énergie finie ?

• u(t)

• u(t)e^-t/τ

• Sinusoïde

• Signaux périodiques

(28)

¾ Puissance d’un signal continu s(t)

/ 2 T

2

1 2 1 2

2 1

( , ) 1 ( )

t s

t

P t t s t dt

t t

= − ∫

• Puissance moyenne calculée sur l’intervalle [t₁, t₂] : ÆInterprétation : énergie dissipée par unité de temps

/ 2 2

/ 2

lim 1 ( )

T s T

T

P s t dt

→ ∞T −

=

∫

• Puissance totale,cas général :

• Puissance totale, cas des signaux périodiques

0

0 / 2

2 0 / 2

1 ( )

T s

T

P s t dt

T −

= ∫

¾ Exemples : les signaux suivants sont-ils à puissance finie ?

• u(t), u(t)e^-t/τ

• Cas général des signaux à énergie finie

Ps< ∞

¾ Signaux à puissance finie :

SIGNAUX DE BASE DISCRETS 44

¾ Échelon unité

u[n] = 0 si n < 0 1 si n ≥0

0 1

...

¾ Impulsion unité : δ[n]

∑

−∞

=

= ⁿ m

n n

u[ ] δ[ ]

on veut à savoir δ[ ]n =u n[ ]−u n[ −1]

δ[n] = 1 si n = 0 0 si n ≠0

0 1

¾ Propriétés

x[n] δ[n] = x[0] δ[n]

x[n] δ[n-n₀] = x[n₀] δ[n-n₀] [ ] 1

n

δ n +∞

=−∞

∑ =

0 0

[ ] [ ] [ ]

n

x nδ n n x n +∞

=−∞

− =

∑

[ ] [ ] [0]

n

x nδ n x +∞

=−∞

∑

=

0

(29)

¾ Sinusoïdes discrètes : cos 2πf₀n

0A la différence du cas continu, la rapidité des oscillations n’augmente pas continûment avec f₀

1 fréquence = 0

1 fréquence = 1/16

1 fréquence = 1/8

0 10 20 30

0 0.5

0 10 20 30

-1 0

0 10 20 30

-1 0

0 10 20 30

-1 0 1

fréquence = 1/4

0 10 20 30

-1 0 1

fréquence = 1/2

0 10 20 30

-1 0 1

fréquence = 3/4

fréquence = 7/8 fréquence = 15/16 fréquenc e = 1

0 10 20 30

-1 0

1 fréquence = 7/8

0 10 20 30

-1 0

1 fréquence = 15/16

0 10 20 30

0 0.5

1 fréquenc e = 1

¾ Sinusoïdes discrètes : cos 2πf₀n

0A la différence du cas continu, la rapidité des oscillations n’augmente pas continûment avec f₀

0 en continu : cos 2πf₁t ≠cos 2πf₂t si f2≠f1

en discret : cos 2πf₁n = cos 2πf₂n si f₂= f₁± k, k∈N

Exemple avec

• f₁= 1/8 ⁰

0.5 1

1

• f₂= 1/8-1 = 7/8

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-1 -0.5

cos(2π*t/8) cos(2π*t*7/8) cos(2π*n*/8)

(30)

¾ Sinusoïdes discrètes

cos 2πf₀(n+N) = cos 2πf₀(n) Æ N = k/f₀

0Périodicité

Pour que N soit un entier, il faut donc que f₀= k/N rationnel

Période N= k*31/4 ÆN = 31 (avec k=4)

1 cos(8π*t/31)

1 cos(n/6)

cos n/6 f₀= 1/12π, (non rationnel) Période N = k * 12πÆNon périodique Exemples

31 ) cos(8πn

Æf₀= 4/31 (rationnel)

0 5 10 15 20 25 30 35 40

-1 -0.5 0 0.5

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

-1 -0.5 0 0.5

¾ Exponentielles discrètes

n f j n f

e^j²^π^f⁰ⁿ=cos2π₀ + sin2π₀

0Mêmes propriétés que sinusoïdes (différence de comportement par rapport au cas continu et contraintes sur la périodicité)

(31)

¾ Énergie et puissance d’un signal discret s[n]

Énergie

É i

2 2

[ ] n

∑

s n ¹

∑

ⁿ² ^{s n}^{[ ]}²

Puissance

Condition pour énergie finie Énergie totale Es

Énergie moyenne

Es < ∞ [ ]2 n

s n

+∞

=−∞

∑

1

[ ] n n

s n

∑

=

2 1 1

[ ]

n n

n −n

∑

₌ s n

/ 2 2

/ 2

lim 1 [ ]

N

N n N

N s n

→ ∞ =−

∑

0/ 2 1 2

[ ] N

N

∑

s n

Puissance totale P_s (signaux périodiques) Puissance totale Ps

(cas général) Puissance moyenne

énergie finie

Ps < ∞

0 n N0/ 2 N ₌₋

∑

Condition pour puissance finie (signaux périodiques)

50

Les Systèmes Linéaires Invariants

(32)

Notion de Système 51

¾ Définition :

• Un système est un modèle mathématique d’un processus physique qui relie un signal d’entrée à un signal de sortie

• Un système est un dispositif de traitement du signal

• En entrée : e(t) signal d’entrée

• En sortie : s(t) signal de sortie

¾ Exemples :

• Amplificateur, système audio, téléphone, système vidéo

• Un système complexe peut être vu comme l’interconnexion de plusieurs systèmes dont les fonctions sont plus simples

¾ Questions

• Comment caractériser un système ?

• Quelles sont les propriétés intéressantes des systèmes ?

• Comment modéliser la relation entre entrée et sortie ?

Représentation des Systèmes 52

¾ Représentation sous forme de schéma bloc

e(t) s(t)

Scontinu

e[n] s[n]

s(t) = S{e(t)}

[ ] S{ [ ]}

e[n] s[n]

Sdiscret s[n] = S{e[n]}

¾ Interconnections des systèmes

• Série / Cascade

• Parallèle

Système 1 Système 2

Input Output

Système 1

+ ^Output

Input

• Série / Parallèle

• Feed-back

Système 2

Système 1

Système 3

+ ^Output

Input

Système 2

Système 4

(33)

EXEMPLE DE SYSTEMES 53 AMPLIFICATION

RETARD

MOYENNE GLISSANTE FILTRAGE

MODULATION DETECTION

REDRESSEUR (valeur absolue) QUADRATEUR (élever au carré)

¾ Réalisation de systèmes :

Y[n] = (2x[n] – x[n]²)²

X

+ 2

| |²

x[n] + y[n]

-

Corrélateur

| |² / 2

/ 2

( ) ( ) ( )

T xy

T

C x t y t dt

τ

τ ⁺ τ

−

=

∫

−

PROPRIETES DES SYSTEMES 54

ETUDE DE 2 PROPRIETES FONDAMENTALES (système continu ou discret):

LINEARITE

INVARIANCE EN TEMPS

LINEARITE (Propriété de superposition)

Soit y1[n]=S{x1[n]} et y2(t)=S{x2[n]} ALORS a y1[n]+ b y2[n] = S{a x1[n]+b x2[n]}

Conséquence : une entrée nulle produit une sortie nulle

INVARIANCE EN TEMPS

Soit y[n]=S{x[n]} ALORS y[n-n₀]=S{x[n-n₀]}

La sortie du système ne dépend pas de l'origine des temps

La sortie du système ne dépend pas de l’instant où est appliquée l’entrée

On notera SLIT un système Linéaire et Invariant en Temps

(34)

¾EXEMPLES - linéarité et invariance en temps des systèmes suivants : 55

y[n] = 2x[n], y(t) = x(t-2) -2x(t-19) y[n] = x[-n], y(t) = sin(6t) x(t) y[n] = 2x[n]+3, y(t) = a exp(x(t))

¾UTILISATION DES PROPRIETES :

Soit un système LINEAIRE et INVARIANT EN TEMPS LIT

L IT

x(t)

t

0 1 2

y(t)

t

0 1 2

qui a en sortie y(t) lorsque l’entrée est x(t) :

Quelle est la réponse du système lorsque l’entrée est x (t) Quelle est la réponse du système lorsque l entrée est x₁(t)

x₁(t)

t

0 1

4 3 2

RAPPEL DE QUELQUES PROPRIETES DE L’IMPULSION UNITE 56

( ) ( ) (0) ( ) x t δ t =x δ t [ ] [ ] [0] [ ]

x nδ n =x δ n

0 0 0

( ) ( ) ( ) ( )

x t δ t−t =x t δ t−t

0 0 0

[ ] [ ] [ ] [ ]

x nδ n−n =x n δ n−n

δ( )t dt=

−∞

+∞

∫

¹

[ ] 1n

+∞δ

−∞

∑

=

x t( ) ( )

δ

t dt = x( )

−∞

+∞

∫

⁰

[ ] [ ] [0]

x nδ n x

+∞

−∞

∑

=

x t( ) (

δ

t− t dt) = x t( )

−∞

+∞

∫

⁰ ⁰

x n[ ] [

δ

n−n ]=x n[ ]

−∞

∑

+∞ ⁰ ⁰

δ τ τ ( ) d u t ( )

t

=

−∞

∫

δ [ ] k u n [ ]

k

n

=

∑

=−∞

(35)

REPRESENTATION DES SIGNAUX EN SOMME D’IMPULSIONS 57

¾ Exemple de la représentation d’un signal discret en terme d’impulsions retardées

¾ Généralisation :

[ ] x n

[ 2] [ 2]

x− δn+ -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-4 -1 2 3

-3 -2 0 1 4

¾ Généralisation : n

• Tout signal discret peut être décrit comme une somme d’impulsions de Dirac retardées et pondérées par l’amplitude de ce signal :

x n x k n k

k

[ ] = [ ] [ − ]

=−∞

∑

+∞

^δ

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4^x^{[0] [ ]}^δⁿ

-1

-4 -3 -2 0 1 2 3 4 [ 1] [ 1]

x−δn+ n

n

¾ Décomposition équivalente pour les signaux continus :

x t( )= x( ) (t− )d

−∞

+∞

∫

^{τ δ} ^{τ τ}

2 -4 -3 -2 -1 0 1 3 4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

[1] [ 1]

x δ −n

[2] [ 2]

x δ −n n

n

NOTION DE REPONSE IMPULSIONNELLE 58

¾ La réponse impulsionnelle h[n] d’un système est la réponse du système lorsque le signal d’entrée est l’impulsion de Dirac δ[n] :

δ[n] h[n]

S

¾ Dans le cas des systèmes linéaires et invariant en temps (SLIT), la réponse impulsionnelle h[n] permet de caractériser totalement le système.

La Transformée de Fourier ou la transformée en z de la réponse impulsionnelle S

La Transformée de Fourier ou la transformée en z de la réponse impulsionnelle permettent de déduire :

• La réponse en fréquence ou gain complexe H(f)

• Le gain en fonction de fréquence |H(f)| ou la phase arg(H(f)

• La fonction de transfert H(z)

(36)

EQUATION DE CONVOLUTION 59

¾ Considérons un système S linéaire et invariant en temps (LTI) de réponse impulsionnelle h[n]. Nous pouvons donc écrire :

entrée S sortie

δ[n] h[n]

δ[n-k] h[n-k]

x[k] δ[n-k] x[k] h[n-k]

x[n] S ^y[n]

¾ D’où l’équation de convolution discrète qui lie signal d’entrée, signal de sortie et réponse impulsionnelle d’un système LIT :

[ ] [ ]

k

x k δ n k

+∞

=−∞

∑

− ^{[ ] [} ^]

k

x k h n k

+∞

=−∞

∑

−

réponse impulsionnelle d un système LIT :

[ ] [ ] [ ]

k

y n x k h n k

+∞

=−∞

= ∑ −

EQUATION DE CONVOLUTION 60

¾ Un changement de variable permet de convertir l’équation de convolution sous une autre forme:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

y n x k h n k h k x n k

+∞ +∞

= ∑ − = ∑ −

¾ Notation de la convolution

k

∑

=−∞ k

∑

=−∞

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] y n = x n ∗ h n = h n ∗ x n

¾ L’équation de convolution permet de calculer la sortie du système pour n’importe quelle entrée x[n]

(37)

CALCUL PRATIQUE DE LA CONVOLUTION 61

y[n] ? x[n]

h[n]

S

x[k]

0 4 k

k 0

h[n-k]

n 6 n n<0

x[n]

0 1 2 3 4 5 1

32 64

y[n] = x[n] * h[n]

k 0

h[n-k]

n-6

n-6 n

n 0<n<4

4<n<6 0 1 2 3 4 5 6 7

h[n]

1 24816 32

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

k 0

h[n-k]

n-6

n-6 n

n 6<n<10

n>10

CALCUL PRATIQUE DE LA CONVOLUTION 62

¾ Cas usuel :

• soit x de durée N, h de durée M, avec N≥M (signaux à durée finie)

• x et h ont des amplitudes nulles pour les temps (indices) négatifs (signaux causaux) alors l’équation de convolution se simplifie

1 1

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

N M

k h k h k k

− −

∑ ∑

¾ On note que la durée de y[n] est N+M-1 : la convolution ‘allonge’ les signaux

[0] [0] [0]

[1] [0] [1] [1] [0]

[2] [0] [2] [1] [1] [2] [0]

y x h

y x h x h

y x h x h x h

=

= +

= + +

0 0

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 0

k k

N M

y n x k h n k h k x n k pour n à

= =

=

∑

− =

∑

− = +

[2] [0] [2] [1] [1] [2] [0]

...

[ ] [ 1] [ 1] .... [ ] [ ] ... [ ] [0]

...

y x h x h x h

y i x i M h M x i M j h M j x i h

= + +

= − + − + + − + − + +

(38)

ILLUSTRATION DE LA CONVOLUTION DE SIGNAUX CONTINUS 63

h(τ)

τ x(τ)

y(t) ?

x(t) S

h(t)

( ) ( ) * ( ) ( ) ( )

( ) ( ) y t x t h t

x h t d

h x t d

τ τ τ

+∞

−∞

+∞

=

= −

=

∫

τ

τ h(t0-τ)

t0>0

t0

+∞∫

x( )h(t )

( ) ( ) h

τ

x t

τ τ

d

−∞

=

∫

− ^{y t}^{( )}⁰ ⁼_−∞^∫^x^{( ) (}^τ ^{h t}⁰⁻^{τ τ}⁾^d

τ x(τ)h(t0-τ)

t ( )

( ) * ( ) y t x t h t

=

t0

PROPRIETES DE LA CONVOLUTION 64

¾ Commutativité

¾ Mise en cascade

[ ] [ ] [ ] [ ] x n ∗ h n = h n ∗ x n

¾ Distributivité

¾ Élément neutre, définition de la réponse impulsionnelle d’un système LIT

Bases du Signal

Premier Cycle – INSA de LYON

Ouverture thématique – 2

année

Bases du Signal

Signaux Numériques

et Applications

Equipe enseignante :

Bibliographie :

‘e’

∫

∫

∫

( ) ( ) ( )

x t δ t t dt x t

− =

∫

∫

∫

∫

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∫

∫

∑

δ

∫

∑

δ

∫

δ

∑

δ τ τ ( ) d u t ( )

=

∫

δ [ ] k u n [ ]

=

∑

x n x k n k

[ ] = [ ] [ − ]

∑

δ

∫

∑

∑

[ ] [ ] [ ]

y n x k h n k

= ∑ −

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

y n x k h n k h k x n k

= ∑ − = ∑ −

∑

∑

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] y n = x n ∗ h n = h n ∗ x n

∑ ∑

∑

∑

τ τ τ

τ τ τ

∫

∫

τ

τ τ

∫

[ ] [ ] [ ] [ ] x n ∗ h n = h n ∗ x n

[ ] { [ ] [ ]} { [ ] [ ]} [ ] x n ∗ h n ∗ h n = x n ∗ h n ∗ h n

[ ] { [ ] [ ]} { [ ] [ ]} { [ ] [ ]}

x n ∗ h n + h n = x n ∗ h n + x n ∗ h n

[ ] n h n [ ] h n [ ]

δ ∗ =

^δ