Sidi Mohamed Maouloud ESP 2015-2016 GI S3 TP °2 : Analyse de données
Séries chronologiques
Exercice 1. A faire avec Excel
Nous disposons des températures journalières au mois de février dans l’ordre:
10 14 8 4 12 6 2 -5 -1 -8 -6 -2 -8 -10 -9 -5 -7 -2 0 5 4 3 6 10 7 5 9 6
On se propose d’essayer plusieurs modèles de lissages pour dégager la tendance de la série.
a) Lissage exponentiel avec différentes valeurs de la constante de lissage (par exemple: 0,3 0,5 et 0,8). Tracer toutes les courbes et comparer les résultats obtenus.
b) Lissage exponentiel double. Même question qu’en a)
Avec une constante forte (proche de 1, par exemple 0,8), la courbe est proche de la série brute. La série brute correspond à un lissage limite avec α=1. On peut vérifier que la constante de lissage définit une sorte de “mémoire” du processus:
- avec a=0,8 la mémoire est faible. La série lissée suit très rapidement les changements de direction.
- avec a=0,3 la mémoire est forte. La série lissée suit avec beaucoup de retard les changements de tendance comme si elle gardait plus longtemps en mémoire les valeurs anciennes.
Utilisation de la fonction HoltWinters de R
La fonction HoltWinters permet, comme son nom l’indique, d’appliquer directement un lissage exponentiel de type Holt-Winters. Par défaut, c’est le modèle additif qui est utilisé.
Pour choisir le modèle multiplicatif, il suffit de rajouter l’option seasonal = "mult". Plus précisément, pour une série temporelle, cette fonction permet donc de réaliser : un lissage exponentiel simple avec l’option beta=FALSE, gamma=FALSE ; un lissage Holt-Winters sans composante saisonnière avec gamma=FALSE ; un lissage Holt-Winters additif avec seasonal="add" ; un lissage Holt-Winters avec seasonal="mult"
Exercice 2.
Soit 𝜖𝑡 1≤𝑡≤120 un BB gaussien 𝑁 0,1 . Simuler les séries suivantes : 𝑥𝑡 = 𝜖𝑡, 𝑦𝑡 = 0.5𝑡 + 2𝜖𝑡 et 𝑧𝑡 = 0.5𝑡 + 3 cos 𝑡𝜋
6 + 𝜖𝑡
1. Tracer chacune des séries et commenter
2. Utiliser un lissage approprié pour chaque série. Donner une estimation des paramètres de chaque modèles et calculer les prévisions pour des horizons 1 ≤ ℎ ≤ 12. On utilise la fonction R HoltWinters.
3. Tracer chaque série avec la série lissée.
4. Pour la série 𝑧𝑡 effectuer les différents lissages et commentez
Utilisation de la fonction decompose de R
La fonction decompose de R permet directement de décomposer, comme son nom l’indique, une série temporelle selon le modèle additif (par défaut) ou le modèle multiplicatif :
x.dec= decompose(x,type="add")
Sidi Mohamed Maouloud ESP 2015-2016 GI S3 L’option type="add" ou "mult" permet de spécifier si on souhaite utiliser un modèle additif ou multiplicatif. Sur la représentation graphique, quatre courbes sont représentées : de haut en bas, figurent la série initiale, la tendance, la composante saisonnière et la partie résiduelle. Ces quatre parties correspondent aux différentes composantes de l’objet ainsi crée. La décomposition repose sur l’application de moyennes mobiles dont on peut préciser le filtre éventuellement. Par défaut, une moyenne mobile symétrique est employée.
Exercice 3.
Simuler une série chronologique 𝑋𝑡 𝑡=1,⋯,100 suivant le modèle 𝑋𝑡 = 0, 02𝑡 + 1 + 2 sin 2𝜋𝑡
5 + 𝜖𝑡, où 𝜖𝑡 est un bruit blanc gaussien de variance 1/100.
1. Déterminer la tendance, la saisonnalité (période) de cette série chronologique. Les tracer.
2. Utiliser la méthode des moyennes mobiles pour éliminer la saisonnalité puis estimer les coefficients du saisonnier.
3. Utiliser une régression linéaire par moindres carres pour estimer les coefficients de la tendance.
4. Comparer les estimateurs avec les vrais coefficients.
5. Proposer une prévision à l’horizon 5.
