Présentation powerpoint : variogrammes

1

Introduction à la géostatistique

Avril 2006

2

Point de vue de la géostat

Gisement

Z(x1)

Z(x2)

Z(x3)

Gisement => infinité de points ou très grand nombre de « quasi-points » x : emplacement géographique

chaque point -> teneur -> Z(x)

chaque teneur -> v. a. (ensemble forme une fonction aléatoire (de x))

3

Historique de la géostatistique

1930-1950 Théorie des fonctions aléatoires (Kolmogorov, Wiener)

1955 Daniel Krige : approche empirique (régression) pour corriger problèmes de biais conditionnel observé dans les mines

Pourquoi moins que prévu ?

Comment prévoir et tenir compte de l’effet support ?

1960-1970 Matheron (mines), Matern (foresterie), Gandin

(météorologie) développent ensemble d’outils => naissance de la géostat linéaire stationnaire. Réponse aux questions de Krige.

Matheron donne le nom de « krigeage » à la méthode d’estimation qu’il développe.

1970 Polytechnique est la 1ère Université en A. du N. à enseigner la

géostat (M. David)

4

Historique (suite)

1973 géostat linéaire non-stationnaire *

1975 géostat non-linéaire

1977 1er livre en anglais de géostat (M. David)

1980 géostat linéaire multivariable *

1985 simulations *

*

Aujourd’hui, la géostat est appliquée dans une foule de domaines (mines, pétrole, foresterie, agriculture, environnement,

hydrogéologie, géotechnique, pêches, biologie, biomédical,…)

Gisement Z(x1)

Z(x2)

Z(x1) Z(x2)

Diagramme de dispersion

Moyenne ? Variance ? Covariance?

+ hypothèse stationnarité

Gisement h h h

h h

« h scattergram »

Z(x) Z(x+h)

6

Faire varier « h»

Gisement h1 h1 h1

h1 h1

« h1 scattergram »

Z(x) Z(x+h)

« h2 scattergram »

Z(x) Z(x+h)

Gisement h2 h2

7

« h » peut varier en direction et en module.

|h| =1

Z(x) Z(x+h)

|h| =2

Z(x) Z(x+h)

|h| =2

Z(x) Z(x+h)

|h| Cov

On cherche si possible avoir au moins 30 points sur chaque diagramme

-Tolérance sur la direction -Tolérance sur le module

8

Exemple

9

Avec tolérance de 0.5 sur |h| et 15

sur direction

10

-1 -0.5 0 0.5 1

-1 -0.5 0 0.5

1h=3 dir=0-180, Cov = 0.17

Z(x+h)

-1 -0.5 0 0.5 1

-1 -0.5 0 0.5

h=8 dir=0-180, Cov = 0.0851

Z(x+h)

-1 -0.5 0 0.5 1

-1 -0.5 0 0.5

h=15 dir=0-180, Cov = -0.0291

Z(x)

Z(x+h)

2 4 6 8 10 12 14 16

-0.05 0 0.05 0.1 0.15

0.2 Fonction de covariance

h ±0.5 θ=0 ou 180 ±15^o

Covariance

En pratique, on ne s’intéresse qu’à la covariance (corrélation)

11

-1 -0.5 0 0.5 1

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8

1 h=3 dir=0-180, Cov = 0.16

Z(x+h)

Le variogramme

Mesure la dispersion sur cette droite

12

[ ] ^E [ ( ^{Z(x) - Z(x + h)} )

]

2 h) 1

+ Z(x - Z(x) 2 Var

= 1

(h) =

γ

Variogramme : définition

Décroît Croît

h

Doit exister = Cov(h=0) Si existe = palier

Var

Constante connue Constante

m

Covariance

Variogramme

13

Lien entre variogramme et covariance

) h ( Cov )

h

( = σ ² − γ

Covariance Variogramme

h

14

Variogramme expérimental

Choisir une direction + tolérance angulaire Discrétiser |h| en classes distinctes

Répartir les paires dans les classes

[ ]

∑

=

γ

) h ( N

i

i

e Z( x i ) - Z( x + h)

N(h) 2

= 1 (h)

1

2

N(h) : nombre de paires dans la direction considéré et dans la classe de distance h

Exemple

1 2

3 4

3 2

1

1.33 3

4

2.5 4

3

1.6 5

2

0.5 6

1

γ(h) N(h)

h

h=1

4 2

1 3

2 3

1

0.83 3

4

1.125 4

3

1.2 5

2

1.25 6

1

γ(h) N(h)

h

0 1 2 3 4 5

0 0 . 5 1 1 . 5 2 2 . 5 3

0 1 2 3 4 5

0 0 . 5 1 1 . 5 2 2 . 5 3

16

Le variogramme décrit la continuité spatiale du phénomène

5 10 15 20 25 30

5 10 15 20 25 30

0 5 10 15 20 25

0 0.5 1 1.5 2

0^o

0 5 10 15 20 25

0 0.5 1 1.5 2

45^o

0 5 10 15 20 25

0 0.5 1 1.5 2

90^o

0 5 10 15 20 25

0 0.5 1 1.5 2

135^o

17 10 20 30 40 50 10

20 30 40 50 60

0 5 10 15 20 25

N

0 1000 2000

3000 0^o

0 5 10 15 20 25

0 1000 2000

3000 135^o

0 5 10 15 20 25

0 1000 2000

3000 90^o

0 5 10 15 20 25

0 1000 2000

3000 45^o

10 20 30 40 50 10

20 30 40 50 60

10 20 30 40 50

10

20

30

40

50

60

+

10 20 30 40 50

10

20

30

40

50

60

=

0 5 10 15 20 25

0 1000 2000 3000

4000 0^o

0 5 10 15 20 25

0 1000 2000 3000

4000 135^o

0 5 10 15 20 25

0 1000 2000 3000

4000 90^o

0 5 10 15 20 25

0 1000 2000 3000

4000 45^o

Effet pépite causé par le bruit ajouté Notez comme la structure sous-jacente demeure très visible

50 100 150 200 -2

0 2

Z

donnees

0 50 100

0 0.5 1 1.5 2

g(h)

Variogramme

50 100 150 200

-2 0 2

Z

donnees

0 50 100

0 0.5 1 1.5 2

g(h)

Variogramme

50 100 150 200

-2 0 2

x

Z

donnees

0 50 100

0 0.5 1 1.5 2

h

g(h)

Variogramme

3 exmples en 1D

20

Le variogramme est une statistique d’ordre 2

Ce n’est pas suffisant pour caractériser tous les aspects d’une image ou d’un processus

e.g. on peut créer plusieurs images ayant même « m », même variogramme et présentant pourtant des textures très différentes

21

γ(h)

|h|

h moyen dans la classe

?

?

?

Dans les calculs géostat, on doit connaître Cov ou γ pour tout « h »

Modèle

Variogramme expérimental

22

γ(h)

|h|

?

Non, le modèle doit être admissible Modèle admissible : modèle assurant que

toute variance calculée à partir de celui-ci est positive

Modèles démontrés admissibles

23

γ(h)

|h|

+ +

+ + + +

+

Effet de pépite : C₀

Portée : a Palier : σσσσ²²²² = C₀ + C

Généralement,

24

0 50 100 150 200

0 0.5 1

Gaussien

0 50 100 150 200

0 1 2

Linéaire

0 50 100 150 200

0 0.5 1

Linéaire avec palier

0 50 100 150 200

0 1 2 3

Fractal avec b=1.5

0 50 100 150 200

0 0.5 1 1.5

Fractal avec b=0.5

0 50 100 150 200

0 2 4 6

DeWijsien

0 50 100 150 200

0 1 2

Effet de trou cosinus

0 50 100 150 200

0 0.5 1 1.5

Effet de trou sinus

Exemples de modèle

0 50 100 150 200

0 0.5 1

Pépite

0 50 100 150 200

0 0.5 1

Exponentiel

0 50 100 150 200

0 0.5 1

Sphérique

0 50 100 150 200

0 0.5 1

Circulaire

0 100 200 300 400 500

0 0.5 1

Gravimétrique

0 100 200 300 400 500

0 0.5 1

Magnétique

0 50 100 150 200

0 0.5 1

Cubique

0 50 100 150 200

0 0.5 1

Penta-sphérique (Christakos, 1984 p.264)

25

0 50 100 150 200

0 0.5 1

Quadratique (Alfaro, 1984)

0 100 200 300 400 500

0 0.5 1

Stable (Lantuéjoul,1994)

0 100 200 300 400 500

0 0.5 1

Hyperbolique (Lantuéjoul, 1994)

0 500 1000 1500

0 0.5 1

BK Matern, p.30, 4e, s=2

0 100 200 300 400 500

0 0.5 1

Christakos,1984, p.261

0 100 200 300 400 500

0 0.5 1

Christakos, 1984, p.262

0 50 100 150 200

0 0.5 1

Christakos, 1984, p.262 (74)

0 100 200 300 400 500

0 0.5 1

Cosinus hyperbolique

0 100 200 300 400 500

0 0.5 1

Stein

0 100 200 300 400 500

0 0.5 1

Whittle

0 100 200 300 400 500

0 0.5 1

Matern p.30, 2e, n=1

0 100 200 300 400 500

0 0.5 1

Matern p.30, 2e, n=3

0 100 200 300 400 500

0 0.5 1 1.5

BJ Matern p.30, 3e, k=0

0 500 1000 1500

0 0.5 1

BJ Matern p.30, 3e, k=1

0 500 1000 1500

0 0.5 1

BJ Matern p.30, 3e, k=2

0 100 200 300 400 500

0 0.5 1

Bessel 2: Mantoglou et Wilson

26

Toute somme (coefficients positifs) de modèles de variogramme est admissible Toute somme (coefficients positifs) de modèles de covariance est admissible Tout produit (coefficients positifs) de modèles de covariance est admissible

Chaque modèle peut être isotrope ou anisotrope, les directions d’anisotropie peuvent varier d’un modèle à l’autre

Un modèle peut être admissible en 1D et non-admissible en en 2D, 3D,….

27

Modèles de base en mine

Effet de pépite

h γ(h)

0 h

si C

0 h

si 0 )

h (

0

>

=

= γ

-Erreurs de mesure

-Erreurs de localisation -Erreurs d’analyse (Gy)

-Microstructure non-identifiable dû au manque de données

Presque toujours présent mais rarement seul

Effet de pépite pur =>

estimation impossible

28

Sphérique

h

γ(h)











≥

<

 <











 



 



− 

=

= γ

a h si

C

a h 0 si a

5 h . a 0 1.5 h C

0 h si

0

) h (

3

Modèle le + fréquent

e.g. teneur, épaisseur, … Combiné avec effet pépite

29

Exponentiel

h γ(h)



 



 



 



−

 −



 



 



 



 −

−

=

γ a

| h

| exp 3

1 C ou '

a

| h exp |

1 C ) h (

a: portée effective γ(h)=0.95*C a’=a/3

Assez commun

Semblable au sphérique

30

Gaussien

h γ(h)

 





 





 





 



 



 



− 

 −







 





 





 



 



 



− 

−

= γ

2 2

a

| h 3 | exp

1 C ou '

a

| h exp |

1 C ) h (

a: portée effective γ(h)=0.95*C a’=a/3^0.5

-Peu fréquent en mine

-Variables très continues :e.g.

topographie, gravimétrie, magnétisme, épaisseur,…

- Problèmes numériques si absence d’effet de pépite

31

h^b

h γ(h)

b=1b=1.4 b=0.6

2 b 0 0,

| h

| a

| h C | ) h (

b

<

≤

 >



 



=  γ

-Modèles sans palier -Moyenne, variance et covariance non définies

32

Anisotropies

1- Géométrique : les portées décrivent une ellipse

ap ag

θ

{ }

a a a

a a

g p

p g

θ

θ θ

=

2 2

+

cos sin

θ = 0 θ = 30

θ = 45 θ = 60

θ = 90

0 5 10 15 20 0

0.5 1 1.5 2

Vario. exp. (dir, dip, vreg) : (0,0,0)

h

γ(h)

0 5 10 15 20

0 0.5 1 1.5 2

Vario. exp. (dir, dip, vreg) : (45,0,0)

h

γ(h)

0 5 10 15 20

0 0.5 1 1.5 2

Vario. exp. (dir, dip, vreg) : (90,0,0)

h

γ(h)

0 5 10 15 20

0 0.5 1 1.5 2

Vario. exp. (dir, dip, vreg) : (135,0,0)

h

γ(h)

M o d . a n i s o . 2 D : t y p e , a x a y , r o t ( t r i g o ) , c 3 7 7 0 0 . 5 3 1 7 1 . 0 4 9 e + 0 0 9 4 5 1 . 5 3 - g a u s s i e n 3 - g a u s s i e n

Gaussien isotrope a=7, C=0.5 +

Gaussien aniso géom.

a₄₅=17 a₁₃₅=∞

2- zonale : toute anisotropie qui n’est pas géométrique

=> somme de composantes isotropes et avec anisotropies géométriques

5 10 15 20 25 30

5 10 15 20 25 30

Ajustement assez bon pour 0-5 pixels dans toutes les directions

34

0 5 10 15 20

0 1000 2000

3000Vario. exp. (dir, dip, vreg) : (0,0,0)

h

γ(h)

0 5 10 15 20

0 1000 2000

3000Vario. exp. (dir, dip, vreg) : (45,0,0)

h

γ(h)

0 5 10 15 20

0 1000 2000

3000Vario. exp. (dir, dip, vreg) : (90,0,0)

h

γ(h)

0 5 10 15 20

0 1000 2000

3000Vario. exp. (dir, dip, vreg) : (135,0,0)

h

γ(h)

0^o 135^o 90^o

45⁰

10 20 30 40 50 10

20 30 40 50 60

N

Modèle sphérique avec anisotropie géométrique a(45)=20.4, a(135)=13.8

Oh non, je ne vais pas encore

me faire variographer!

35

Stratégie de modélisation

Définition minutieuse du domaine

Examen des données, données extrêmes ?

Au besoin sous-échantillonnage des données pour éviter de sur-représenter des zones particulières

Variogramme omnidirectionnel => modèle isotrope candidat

Déterminer directions géologiques principales

Calculer variogrammes directionnels (au moins 4 directions) attention aux paramètres de calculs (classes de distance et tolérance)

Comparer variogrammes directionnels au modèle isotrope candidat

acceptable => terminé

Inacceptable => ajuster un modèle anisotrope (géométrique)

anisotrope (géométrique) acceptable => terminé

Inacceptable => anisotropie zonale ?

Dans tous les cas, il importe surtout d’ajuster les premiers points du variogramme Éviter de « surajuster » les données

36

Remarques concernant le calcul des variogrammes

Objectifs:

au moins 30 paires pour la plupart des points du variogramme 4-6 points avant le palier pour pouvoir ajuster modèle

h < hmax/2

• Doit avoir un minimum de données

>30 pour variogramme omnidirectionnel

>60 pour variogrammes directionnels

• Influence le choix de largeur des classes

0 10 20 30 40 50 0

0.2 0.4 0.6 0.8 1

Vario. exp. (dir, dip, vreg) : (0,0,90)

h

γ(h)

Exemple

0 20 40 60

0 0.5 1

Vario. exp. (dir, dip, vreg) : (0,0,0)

h

γ(h)

0 20 40 60

0 0.5 1

Vario. exp. (dir, dip, vreg) : (45,0,0)

h

γ(h)

0 20 40 60

0 0.5 1

Vario. exp. (dir, dip, vreg) : (90,0,0)

h

γ(h)

0 20 40 60

0 0.5 1

Vario. exp. (dir, dip, vreg) : (135,0,0)

h

γ(h) Variog. directionnels

Variog. omni

50 100 150 200

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

38

0 50 100 150

0 0.5 1 1.5

14 38

52 78

64 76

46 Vario. exp. (dir, dip, vreg) : (0,0,90)

h

γ(h)

-100 -50 0 50 100

-100 -50 0 50 100

0 20 40 60

0 0.5 1 1.5

16 38 59

70 89 105 137

Vario. exp. (dir, dip, vreg) : (0,0,90)

h

γ(h)

-100 -50 0 50 100

-100 -50 0 50 100

0 20 40 60

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

51 164

273

341 459 522 593 615 721 769

Vario. exp. (dir, dip, vreg) : (0,0,90)

h

γ(h)

-100 -50 0 50 100

-100 -50 0 50 100

N=30 N=60 N=200

Effet de pépite apparent

0 20 40 60 0

0.5 1

15 39 66

89 126 159 156 154

161 212 Vario. exp. (dir, dip, vreg) : (0,0,22.5)

h

γ(h)

0 20 40 60

0 0.5 1

14 46

62 79 121 113 149

147 181 174 Vario. exp. (dir, dip, vreg) : (45,0,22.5)

h

γ(h)

0 20 40 60

0 0.5 1

5 39 72 82

96 139 152 171

172 200 Vario. exp. (dir, dip, vreg) : (90,0,22.5)

h

γ(h)

0 20 40 60

0 0.5 1

17 40 73

91 116

111 136 143 207 183 Vario. exp. (dir, dip, vreg) : (135,0,22.5)

h

γ(h)

0 20 40 60

0 0.5 1

Vario. exp. (dir, dip, vreg) : (0,0,0)

h

γ(h)

0 20 40 60

0 0.5 1

Vario. exp. (dir, dip, vreg) : (45,0,0)

h

γ(h)

0 20 40 60

0 0.5 1

Vario. exp. (dir, dip, vreg) : (90,0,0)

h

γ(h)

0 20 40 60

0 0.5 1

Vario. exp. (dir, dip, vreg) : (135,0,0)

h

γ(h)

N=40000 N=200

Ajustement ±bon;

ne peut être amélioré sans altérer les autres ajustements

40

Autres outils utiles

-Validation croisée de modèles candidats (krigeage); eg. Tester un modèle isotrope vs anisotrope; tester un effet de pépite de 10% vs 30%;…

-Modèle permet de prédire les variances des composites de tailles différentes ?

-Modèle permet de prédire les variances des valeurs krigées ?

-Variogramme des log(teneurs) pour identifier les anisotropies possibles, la (les) portée, l’importance approximative de l’effet de pépite

-Variogramme d’une transformation des teneurs (eg. rang), même chose que les log