Introduction à la géostatistique et variogrammes

(1)

Introduction à la géostatistique et variogrammes

Automne 2006

(2)

GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 2

Plan

Rappels statistiques

1 v.a.

2 v.a.

Point de vue géostat

Gisement vs modèle stat

Historique

Effet support

Effet information

Géostatistique linéaire

Hypothèse de stationnarité

Variogramme expérimental

Modèles

Problèmes et stratégie de modélisation

(3)

Une v.a. (continue) est entièrement caractérisée par sa fonction de densité

-10 -5 0 5 10 15 20

0 0.1 0.2

Loi normale, m=5, σ=3

-10 -5 0 5 10 15 20

0 0.1 0.2

Loi lognormale, m=5, σ=3

Intégrale: probabilité

(4)

Résumer une distribution par certaines statistiques

Tendance centrale (moyenne)

-10 -5 0 5 10 15 20 25 30

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18

0.2 Loi normale, σ=3

m=5 m=10 m=15

(5)

Dispersion autour de la moyenne (écart-type)

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35

0.4 Loi normale, m=5

s=1 s=3 s=6

(6)

Asymétrie

-10 -5 0 5 10 15 20

0 0.1 0.2

Loi normale, m=5, σ=3

-10 -5 0 5 10 15 20

0 0.1 0.2

-10 -5 0 5 10 15 20

0 0.1 0.2 0.3

= 3.84

= 0

= 0.44

(7)

Le type de loi peut avoir une grande influence sur les ressources et la valeur d’un gisement.

Exemple : gisement m=2,

σ

^=2,t.coupure = 1

1.13 1.40

Profit conv

2.70 3.02

Teneur

0.66 0.69

Tonnage/T0

Lognormale Normale

(8)

Deux v.a.

Loi binormale, σ₁=2 σ₂=5 ρ=0.8 Loi binormale, σ₁=2 σ₂=5 ρ=0.2

Un couple de v.a. X et Y (continues) est entièrement

caractérisé par la loi de densité conjointe f(x,y)

(9)

On peut résumer une distribution bivariable par différentes statistiques dont : - moyennes des 2 variables

- écart-types (ou variances) des 2 variables

- corrélation (ou covariance) entre les 2 variables

La covariance mesure le degré d’association entre 2 v.a.

La corrélation est la covariance entre 2 v.a. normalisées pour présenter un écart-type de 1

Y X XY

) Y , X ( Cov

σ

= σ

ρ

(10)

-4 -2 0 2 4

r=0.3

-4 -2 0 2 4

r=0.7

-4 -2 0 2 4

r=0.96

-4 -2 0 2 4

0 2 4 6 8

r=0

(11)

0 5 10 15 20 0

5 10 15 20

r=0.4

0 5 10 15 20

0 10 20 30 40

r=0.68

0 5 10 15 20

0 10 20 30

r=0.92

(12)

Espérance mathématique

Notion fondamentale

Si g(X)=(X-m)

²

=> E[g(X)] = Var(X)

Si g(X,Y)= (X-m

_x

) (Y-m

_y

) => E[g(X,Y)]= Cov(X,Y)

∫∫

∫

=

dxdy )

y , x ( f

) y , x ( g )]

Y , X ( g [ E

dx ) x ( f ) x ( g )]

X ( g [ E

dx ) x ( xf ]

X [ E

Y , X X

X

(13)

Propriétés de l’espérance mathématique

E est un opérateur linéaire =>

E[c g(X)]= c E[g(X)]

E[g(X) + h(X)] = E[g(X)] + E[h(X)]

E[g(X,Y) + h(X,Y)] = E[g(X,Y)] + E[h(X,Y)]

En particulier

) X , X ( Cov

* 2 ) X ( Var )

X ( Var )

X X

(

Var

₁

+

₂

=

₁

+

₂

+

₁ ₂

) X , X ( Cov

* ab 2 )

X ( Var b

) X ( Var a

) bX aX

(

Var

₁

+

₂

=

² ₁

+

² ₂

+

₁ ₂

∑∑

∑

= = =

=

ⁿ

1 i

n 1 j

j i j

i n

1 i

i

X ) a a Cov ( X , X )

a (

Var

Une des expressions

qui revient le plus souvent en géostat

(14)

( ^c _∫ ^Z(x)dx ) ⁼ ^c _∫∫ ^Cov(Z(x), ^Z(y))dxdy

Var

² Une autre expression

qui revient souvent en géostat

( ^a _∫ ^Z ⁽ ^x ⁾ ^dx ^, ^b _∫ ^Z ⁽ ^y ⁾ ^dy ) ⁼ ^ab _∫∫ ^Cov ⁽ ^Z ⁽ ^x ^), ^Z ⁽ ^y ⁾⁾ ^dxdy

Cov

(15)

Point de vue de la géostat

Z(x2)

Z(x3)

Z(x1)

Gisement

Gisement => infinité de points ou très grand nombre de « quasi-points » x : emplacement géographique

chaque point -> teneur -> Z(x)

chaque teneur -> v. a. (ensemble forme une fonction aléatoire (de x))

(16)

Impossible d’estimer à partir des données la loi de densité conjointe Impossible d’estimer à partir des données la loi de densité bivariable

Impossible d’estimer à partir des données la loi de densité d’une variable

Cul de sac ? Oui -> zut, cours terminé !

Non -> youppi cours pas terminé !

(17)

sortie

-Hypothèses

-Questions auxquelles le modèle permet de répondre

Gamme de questions

Hypothèse Généralité

-Simulations

-Méthodes non-linéaires -Méthodes linéaires

Hypothèse

(18)

Historique de la géostatistique

1930-1950 Théorie des fonctions aléatoires (Kolmogorov, Wiener)

1955 Daniel Krige : approche empirique (régression) pour corriger

pour corriger problèmes de biais conditionnel observé dans les mines

Pourquoi moins que prévu ?

Comment prévoir et tenir compte de l’effet support ?

1960-1970 Matheron (mines), Matern (foresterie),

Gandin (météorologie) développent ensemble d’outils =>

naissance de la géostat linéaire stationnaire. Réponse aux questions de Krige.

Matheron donne le nom de « krigeage » à la méthode

d’estimation qu’il développe.

(19)

Historique (suite)

1973 géostat linéaire non-stationnaire *

1975 géostat non-linéaire

1977 1er livre en anglais de géostat (M. David)

1980 géostat linéaire multivariable *

1985 simulations *

*

Domaines encore actifs de recherche

Aujourd’hui, la géostat est appliquée dans une foule de domaines (mines, pétrole, foresterie, agriculture, environnement,

hydrogéologie, géotechnique, pêches, biologie, biomédical,…)

(20)

Effet support

Gisement A Gisement B

Comment prévoir ces comportements différents ? Quel est l’impact $$ ?

0 5 10

(21)

Effet information

Vrai

Minerai rejeté

Stérile traité

Estimé

Prévoir l’étendue des plages d’erreur et pertes en $ ? Évaluer $ en information pour réduire les pertes ?

On mine à partir d’estimés mais on récolte des valeurs vraies !

(22)

À tonnage extrait égal

⇒on récupère toujours moins de métal avec des gros blocs qu’avec des petits blocs (effet support)

=> on récupère toujours moins de métal avec des estimés qu’avec les vraies valeurs (effet information)

La géostatistique permet théoriquement - Prévoir l’ampleur de ces effets - Minimiser ces effets

- Prendre des décisions éclairées au vu de ces effets

(23)

Géostatistique linéaire

Questions

Estimation de teneurs ponctuelles ou blocs

Précision associée à ces estimations

Hypothèse

Stationnarité du second ordre

Les caractéristiques sont moyenne, variance et covariance

Deux paires de points espacés d’un même vecteur

« h » ont des caractéristiques semblables

(24)

Gisement

Z(x1)

Z(x2)

Z(x1) Z(x2)

Diagramme binaire

Moyenne ? Variance ? Covariance?

+ hypothèse stationnarité

« h scattergram »

Z(x) Z(x+h)

Gisement

h h h

h h

(25)

« h1 scattergram »

Z(x) Z(x+h)

Faire varier « h »

Gisement

h1 h1 h1

h1 h1

« h2 scattergram »

Z(x) Z(x+h)

Gisement

h2 h2

(26)

« h » peut varier en direction et en module.

|h| =1

Z(x) Z(x+h)

|h| =2

Z(x) Z(x+h)

|h| =3

Z(x) Z(x+h)

|h| Cov

On cherche si possible avoir au moins 30 points sur chaque diagramme

-Tolérance sur la direction -Tolérance sur le module

(27)

Exemple

(28)

Avec tolérance de 0.5 sur |h| et 15

^o

sur direction

(29)

En pratique, on ne s’intéresse qu’à la covariance (corrélation)

-1 -0.5 0 0.5 1

-1 -0.5 0 0.5

1h=3 dir=0-180, Cov = 0.17

Z(x+h)

-1 -0.5 0 0.5 1

h=8 dir=0-180, Cov = 0.085

Z(x+h)

0 0.5 1

h=15 dir=0-180, Cov = -0.029

Z(x+h)

2 4 6 8 10 12 14 16

-0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2

Fonction de covariance

h ±0.5 θ=0 ou 180 ±15^o

Covariance

(30)

Le variogramme

-1 -0.5 0 0.5 1

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

h=3 dir=0-180, Cov = 0.16

Z(x+h)

Mesure la dispersion sur cette droite

(31)

[ ^Z(x) ^- ^Z(x ⁺ ^h) ] ₂ ¹ ^E [ ( ^Z(x) ^- ^Z(x ⁺ ^h) )

²

]

2 Var

= 1

(h) =

γ

Si E[Z(x)]=m

Variogramme : définition

Décroît Croît

h

Doit exister = Cov(h=0) Si existe = palier

Var

Constante connue Constante

m

Covariance

Variogramme

(32)

Lien entre variogramme et covariance

) h ( Cov )

h

( = σ ² − γ

Covariance Variogramme

h

(33)

Variogramme expérimental

Choisir une direction + tolérance angulaire Discrétiser |h| en classes distinctes

Répartir les paires dans les classes

[ ]

∑

=

γ

^N⁽ ^h ⁾

i i i

e

Z( x ) - Z( x + h)

N(h) 2

= 1 (h)

1

2

N(h) : nombre de paires dans la direction considérée et dans la classe de distance h

(34)

Exemple

1 2

3 4

3 2

1

h=1

4 2

1 3

2 3

1

1.33 3

4

2.5 4

3

1.6 5

2

0.5 6

1

γ(h) N(h)

h

0.83 3

4

1.125 4

3

1.2 5

2

1.25 6

1

γ(h) N(h)

h

0 1 2 3 4 5

0 0 . 5 1 1 . 5 2 2 . 5 3

0 1 2 3 4 5

0 0 . 5 1 1 . 5 2 2 . 5 3

(35)

Le variogramme décrit la continuité spatiale du phénomène

5 10 15 20 25 30

0 5 10 15 20 25

0 0.5 1 1.5 2

0^o

0 5 10 15 20 25

0 0.5 1 1.5 2

45^o

0 5 10 15 20 25

0 0.5 1 1.5 2

90^o

0 5 10 15 20 25

0 0.5 1 1.5 2

135^o

(36)

10 20 30 40 50 10

20 30 40 50 60

N

0 5 10 15 20 25

0 1000 2000 3000

0^o

0 5 10 15 20 25

0 1000 2000 3000

45^o

0 5 10 15 20 25

0 1000 2000 3000

90^o

0 5 10 15 20 25

0 1000 2000 3000

135^o

(37)

0 5 10 15 20 25 0

1000 2000 3000 4000

0^o

0 5 10 15 20 25

0 1000 2000 3000 4000

45^o

0 5 10 15 20 25

0 1000 2000 3000 4000

90^o

0 5 10 15 20 25

0 1000 2000 3000 4000

135^o

10 20 30 40 50

10 20 30 40 50 60

10 20 30 40 50

10

20

30

40

50

60

+

10

20

30

40

=

Effet pépite causé par le bruit ajouté

(38)

50 100 150 200

-2 0 2

Z

donnees

0 50 100

0 0.5 1 1.5 2

g(h)

Variogramme

50 100 150 200

-2 0 2

Z

donnees

0 50 100

0 0.5 1 1.5 2

g(h)

Variogramme

50 100 150 200

-2 0 2

x

Z

donnees

0 50 100

0 0.5 1 1.5 2

h

g(h)

Variogramme

3 exemples en 1D

(39)

Le variogramme est une statistique d’ordre 2

Ce n’est pas suffisant pour caractériser tous les aspects d’une image ou d’un processus

e.g. on peut créer plusieurs images ayant même « m », même variogramme et présentant pourtant des textures très différentes

(40)

γ(h)

|h|

h moyen dans la classe

?

Dans les calculs géostat, on doit connaître Cov ou γ pour tout « h »

Modèle

(41)

γ(h)

|h|

?

Non, le modèle doit être admissible Modèle admissible : modèle assurant que

toute variance calculée à partir de celui-ci est positive

Modèles démontrés admissibles

(42)

Généralement,

γ (h)

+ +

+ + + +

+

Palier : σ² = C₀+ C

Effet de pépite : C₀

Portée : a

|h|

(43)

0 50 100 150 200 0

0.5 1

Gaussien

0 50 100 150 200

0 1 2

Linéaire

0 50 100 150 200

0 0.5 1

Linéaire avec palier

0 50 100 150 200

0 1 2 3

Fractal avec b=1.5

0 50 100 150 200

0 0.5 1 1.5

Fractal avec b=0.5

0 50 100 150 200

0 2 4 6

DeWijsien

0 1 2

Effet de trou cosinus

0 0.5 1 1.5

Effet de trou sinus

0 50 100 150 200

0 0.5 1

Pépite

0 50 100 150 200

0 0.5 1

Exponentiel

0 50 100 150 200

0 0.5 1

Sphérique

0 50 100 150 200

0 0.5 1

Circulaire

0 100 200 300 400 500

0 0.5 1

Gravimétrique

0 100 200 300 400 500

0 0.5 1

Magnétique

0 0.5 1

Cubique

0 0.5 1

Penta-sphérique (Christakos, 1984 p.264)

Exemples de modèle

(44)

0 50 100 150 200

0 0.5 1

Quadratique (Alfaro, 1984)

0 100 200 300 400 500

0 0.5 1

Stable (Lantuéjoul,1994)

0 100 200 300 400 500

0 0.5 1

Hyperbolique (Lantuéjoul, 1994)

0 500 1000 1500

0 0.5 1

BK Matern, p.30, 4e, s=2

0 100 200 300 400 500

0 0.5 1

Christakos,1984, p.261

0 100 200 300 400 500

0 0.5 1

Christakos, 1984, p.262

0 50 100 150 200

0 0.5 1

Christakos, 1984, p.262 (74)

0 100 200 300 400 500

0 0.5 1

Cosinus hyperbolique

0 100 200 300 400 500

0 0.5 1

Stein

0 100 200 300 400 500

0 0.5 1

Whittle

0 100 200 300 400 500

0 0.5 1

Matern p.30, 2e, n=1

0 100 200 300 400 500

0 0.5 1

Matern p.30, 2e, n=3

0 100 200 300 400 500

0 0.5 1 1.5

BJ Matern p.30, 3e, k=0

0 500 1000 1500

0 0.5 1

0 500 1000 1500

0 0.5 1

0 100 200 300 400 500

0 0.5 1

Bessel 2: Mantoglou et Wilson

(45)

Toute somme (coefficients positifs) de modèles de variogramme est admissible Toute somme (coefficients positifs) de modèles de covariance est admissible Tout produit (coefficients positifs) de modèles de covariance est admissible

Chaque modèle peut être isotrope ou anisotrope, les directions d’anisotropie peuvent varier d’un modèle à l’autre

Un modèle peut être admissible en 1D et non-admissible en 2D, 3D,….Par contre, s’il est admissible en 3D il l’est aussi en 2D et 1D.

(46)

Modèles de base en mine

Effet de pépite

h γ(h)

0 h

si C

0 h

si 0 )

h (

0

>

=

= γ

-Erreurs de mesure

-Erreurs de localisation -Erreurs d’analyse (Gy)

-Microstructure non-identifiable dû au manque de données

Presque toujours présent mais rarement seul

Effet de pépite pur =>

estimation impossible

(47)

Sphérique

h γ(h)







≥

<

 <











 



 



− 

=

= γ

a h si

C

a h 0 si a

5 h . a 0 1.5 h C

0 h si

0

) h (

3

Modèle le + fréquent

e.g. teneur, épaisseur, … Combiné avec effet pépite

(48)

Exponentiel

h

γ(h) Assez commun

Semblable au sphérique

a: portée effective γ(h)=0.95*C a’=a/3



 



 



 



 −

 −



 



 



 



−

−

=

γ a

| h

| exp 3

1 C ou '

a

| h exp |

1 C ) h (

(49)

Gaussien

h γ(h)

-Peu fréquent en mine

-Variables très continues :e.g.

topographie, gravimétrie, magnétisme, épaisseur,…

- Problèmes numériques si absence d’effet de pépite

a: portée effective γ(h)=0.95*C a’=a/3^0.5























 



 



− 

 −























 



 



− 

−

= γ

2 2

a

| h 3 | exp

1 C ou '

a

| h exp |

1 C ) h (

(50)

-Modèles sans palier -Moyenne, variance et covariance non définies

2 b 0 0,

| h

| a

| h C | ) h (

b

<

≤

>



 



=  γ

(51)

Problèmes ^Problèmes ^{Problèmes…}

Données extrêmes influencent beaucoup le variogramme

10 0 0 0 0 0

0 1 2 3 4 5 6

0 10 20 30 40 50 60 70

Distance

gamma(h)

0 0 10 0 0 0

0 1 2 3 4 5 6

0 5 10 15 20 25 30 35

Distance

gamma(h)

(52)

Zone A: (pas de 2m)

4 4 5 6 6 7 6 5 4

Zone B: (pas de 1m), zone +variable

8 6 8 10 12 8 10 12 14 10 8 6 12 8 10 10 8 10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

8

7

6 5

V ariogram m e ex périm ental

Dis tanc e

gamma(h)

Z one A

17

16

15

14

13

12

11

10

9

Z one B

17 24

15

21

13

18

11

15 9

Z one A + B

-Étudier les zones séparément ? -Sous-échantillonner la zone B

(53)

Pratique de « confirmer » préférentiellement les teneurs riches

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

Variogrammes

h γ(h

)

Grille regulière Grille+10 doublons Grille+doublons

A pour effet de fournir beaucoup de paires à petite distance et montrant de très fortes variations

Si on rééchantillonne chaque point, pas de problème

(54)

Erreurs de localisation

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8

Variogrammes

h γ(h

)

Localisations vraies Localisations erronnées

(55)

La géologie ne collabore pas toujours

-5 0 5 10 15 20

Positions observées

x y

-5 0 5 10 15 20

Positions "dépliées"

x y

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

Variogrammes initiaux

γ(h

) Dir. x

Dir. y

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

Variogrammes après "dépliage"

γ(h

) // strates

Perpendiculaire

Certains logiciels

permettent de passer à un système de

coordonnées géologiques

(56)

Anisotropies

1- Géométrique : les portées décrivent une ellipse

ap ag

θ

{ }

a a a

a a

g p

p g

θ

⁼

²

cos

²

θ +

²

sin

²

θ

^{1 2}^/

θ = 0 θ = 30

θ = 45 θ = 60

θ = 90

(57)

2- zonale : toute anisotropie qui n’est pas géométrique

=> somme de composantes isotropes et avec anisotropies géométriques

0 5 10 15 20

0 0.5 1 1.5 2

Vario. exp. (dir, dip, vreg) : (0,0,0)

h

γ(h)

0 5 10 15 20

0 0.5 1 1.5 2

h

γ(h)

0 5 10 15 20

0 0.5 1 1.5 2

h

γ(h)

0 5 10 15 20

0 0.5 1 1.5 2

h

γ(h)

M o d . a n i s o . 2 D : t y p e , a x a y , r o t ( t r i g o ) , c 3 7 7 0 0 . 5 3 1 7 1 . 0 4 9 e + 0 0 9 4 5 1 . 5 3 - g a u s s i e n 3 - g a u s s i e n

Gaussien isotrope a=7, C=0.5 +

Gaussien aniso géom.

a₄₅=17

a₁₃₅=∞ ⁵ ¹⁰ ¹⁵ ²⁰ ²⁵ ³⁰

5 10 15 20 25 30

Ajustement assez bon pour 0-5 pixels dans toutes les directions

(58)

0 5 10 15 20

0 1000 2000 3000

h

γ(h)

0 5 10 15 20

0 1000 2000 3000

h

γ(h)

0 5 10 15 20

0 1000 2000 3000

h

γ(h)

0 5 10 15 20

0 1000 2000 3000

h

γ(h)

10 20 30 40 50 10

20 30 40 50 60

N

Modèle sphérique avec anisotropie géométrique a(45)=20.4, a(135)=13.8

90ô 135ô 0ô

45⁰

Oh non, je ne vais pas encore

me faire variographer!

(59)

Stratégie de modélisation

Définition minutieuse du domaine

Examen des données, données extrêmes ?

Au besoin sous-échantillonnage des données pour éviter de sur-représenter des zones particulières

Variogramme omnidirectionnel => modèle isotrope candidat

Déterminer directions géologiques principales

Calculer variogrammes directionnels (au moins 4 directions) attention aux paramètres de calculs (classes de distance et tolérance)

Comparer variogrammes directionnels au modèle isotrope candidat

acceptable => terminé

Inacceptable => ajuster un modèle anisotrope (géométrique)

anisotrope (géométrique) acceptable => terminé

Inacceptable => anisotropie zonale ?

Dans tous les cas, il importe surtout d’ajuster les premiers points du variogramme Éviter de « surajuster » les données

(60)

Remarques concernant le calcul des variogrammes

Objectifs:

au moins 30 paires pour la plupart des points du variogramme

4-6 points avant le palier pour pouvoir ajuster modèle

h < hmax/2

• Doit avoir un minimum de données

>30 pour variogramme omnidirectionnel

>60 pour variogrammes directionnels

• Influence le choix de largeur des classes

(61)

0 10 20 30 40 50 0

0.2 0.4 0.6 0.8 1

h γ(h)

0 20 40 60

0 0.5 1

h

γ(h)

0 20 40 60

0 0.5 1

h

γ(h)

0 20 40 60

0 0.5 1

h γ(h)

0.5 1

γ(h) Variog. Directionnels

Modèle sphérique a₄₅=20, a₁₃₅=35

Variog. omni

50 100 150 200

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

Exemple

(62)

N=30 N=60 N=200

0 50 100 150

0 0.5 1 1.5

14 38

52 78

64 76

46 Vario. exp. (dir, dip, vreg) : (0,0,90)

h

γ(h)

-100 -50 0 50 100

0 20 40 60

0 0.5 1 1.5

16 38 59

70

89 105 137

h

γ(h)

-100 -50 0 50 100

Effet de pépite apparent

0 20 40 60

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

51 164

273

341 459 522 593 615 721 769

h

γ(h)

-100 -50 0 50 100

M o d . i s o . : 1 1 0 . 4 2 5 . 5 0 . 1 - p é p i t e 4 - s p h é r i q u e

(63)

N=40000 N=200

0 20 40 60

0 0.5 1

15 39 66

89 126 159 156 154

161 212 Vario. exp. (dir, dip, vreg) : (0,0,22.5)

h

γ(h)

0 20 40 60

0 0.5 1

14 46

62 79 121 113 149

147 181 174 Vario. exp. (dir, dip, vreg) : (45,0,22.5)

h

γ(h)

0 20 40 60

0 0.5 1

5 39 72 82

96 139 152

171 172

200 Vario. exp. (dir, dip, vreg) : (90,0,22.5)

h

γ(h)

0 20 40 60

0 0.5 1

17 40 73

91

116 111 136

143 207 183 Vario. exp. (dir, dip, vreg) : (135,0,22.5)

h

γ(h)

0 20 40 60

0 0.5 1

h

γ(h)

0 20 40 60

0 0.5 1

h

γ(h)

0 20 40 60

0 0.5 1

h

γ(h)

0 20 40 60

0 0.5 1

h

γ(h)

Ajustement ± bon;

ne peut être amélioré sans altérer les autres ajustements

(64)

Pour détecter une anisotropie, il faut pouvoir calculer le variogramme dans la direction de meilleure continuité. Celle-ci n’est pas toujours connue.

θ = 0 θ = 30

θ = 45 θ = 60

θ = 90

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

0 10

20

30

θ

Rapport apparent en fonction de la direction (θ: angle avec a_g) et du rapport d'anisotropie

Rapport vrai: a_g / a_p Rapport apparent: a θ / a θ+90

Tout écart => sous-

estimation de l’anisotropie Faible anisotropie peut passer inaperçue

(65)

Tolérance angulaire doit être maintenue faible <22.5, idéalement 0-10.

Tolérance trop grande

=> variogrammes peu directionnels

=> sous-estimation de l’anisotropie

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

10 20

30 40 tolérance 0

Rapport apparent en fonction de la tolérance et du rapport d'anisotropie

Rapport vrai: a_g / a_p

Rapport apparent

(66)

En 3D

Meilleures directions pour le calcul => directions des forages

- Permet de bien estimer le variogramme à petite distance

- Erreurs de localisation et de direction ont moins d’impacts sur le variogramme car les distances inter-carottes demeurent inchangées

Hic: - Nécessite des forages ayant différentes directions pour pouvoir modéliser l’anisotropie

(67)

Autres outils utiles

-Validation croisée de modèles candidats (krigeage); e.g. Tester un modèle isotrope vs anisotrope; tester un effet de pépite de 10% vs 30%;…

-Modèle permet de prédire les variances des composites de tailles différentes ?

-Modèle permet de prédire les variances des valeurs krigées ?

-Variogramme des log(teneurs) pour identifier les anisotropies possibles, la (les) portée, l’importance approximative de l’effet de pépite

-Variogramme d’une transformation des teneurs (e.g. rang), même chose que les log

Introduction à la géostatistique et variogrammes