3 Cinq lancers de dé

UNIVERSITÉ GRENOBLE ALPES Licence 2 – MAT403 Année 2017

PROBABILITÉS – Feuille d’exercices 1

COMBINATOIRE 1 Triangle de Pascal

Soient n∈Netk∈ {0,1, . . . , n}. Le coefficient binomial ⁿ_k

est défini par ⁿ_k

= _k!(n−k)!^n! . Démontrer les propriétés suivantes :

1. ⁿ_k

= _n−kⁿ 2. ⁿ⁻¹_k−1

+ ⁿ⁻¹_k

= ⁿ_k

pour1≤k≤n−1. (Donner un raisonnement basé sur le dénombrement.) 3. k ⁿ_k

=n ⁿ⁻¹_k−1

pour1≤k≤n Letriangle de Pascaldonne les valeurs de ⁿ₀

, ⁿ₁

, . . . , ⁿ_n

, c’est une conséquence du point 2 (pourquoi ?).

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

· · · ·

2 Binôme de Newton

Soient x, y∈Retn∈N. Montrer par récurrence que

(x+y)ⁿ=

n

X

k=0

n k

x^ky^n−k=

n

X

k=0

n k

y^kx^n−k.

3 Cinq lancers de dé

On lance cinq fois un dé dont les six faces sont numérotées de 1 à 6. On obtient ainsi une suite ordonnée de cinq numéros. Dénombrer les résultats :

1. possibles,

2. où les cinq faces sont identiques, 3. où les cinq faces sont différentes, 4. ne contenant aucun 6,

5. contenant au moins un 6, 6. contenant exactement un 6, 7. contenant exactement deux 6, 8. commençant par un 2,

9. contenant tous les numéros sauf le 3.

4 Des chiffres et des lettres

1. Combien de mots de passe de 8 symboles peut-on créer avec 26 caractères ?

2. Si, dans un pays, les voitures ont des plaques avec 2 lettres de l’alphabet latin (26 lettres) et ensuite 3 chiffres, combien de plaques possibles y a-t-il ?

5 Billes

De combien de façons peut-on aligner 5 billes rouges, 2 billes jaunes et 3 billes bleues, les billes d’une même couleur étant indiscernables ?

6 Un problème d’occupation

On dispose de nboîtes numérotées de1à net dek balles indiscernables. On range les balles dans les boîtes et on se demande quel est le nombre de façons possibles de le faire. Notons poura_i le nombre de balles dans la boitei. On cherche donc le cardinal de{(a₁,· · ·, an)∈Nⁿ:a1+· · ·+an=k}.

Montrer que

|{(a₁,· · · , a_n)∈Nⁿ:a₁+· · ·+a_n=k}|=

n+k−1 k

.

7 Permis de conduire

12 personnes doivent effectuer au même moment un trajet, et disposent pour cela de 3 voitures, comportant respectivement 6, 4 et 2 places. De combien de façons peut-on les répartir dans ces voi- tures...

a) ...si toutes ont le permis de conduire ? b) ... si 4 seulement ont le permis de conduire ?

8 Moulinsart

Lors d’une soirée au château de Moulinsart, Nestor doit placer n >5 convives autour d’une table ronde. Quel est le nombre de façons de les placer ? (Deux dispositions sont identiques si elles coincident à une rotation près.)

Combien de façon a-t-il de les placer de façon à ce que les Dupond-Dupont soient côte à côte mais que Haddock et la Castafiore ne le soient pas ?

9 Douze lancers de dé

On jette successivement 12 fois un dé. Combien y a-t-il de façon que chaque face impaire du dé apparaisse exactement une fois ? que chaque face impaire apparaisse au moins une fois ?

10 k-uplets ordonnés

Quel le cardinal de {(x₁,· · ·, xk)∈N^k: 1≤x1<· · ·< xk≤n} oùk≤n?

11 Formule du crible

Soient AetB des ensembles finis. Montrer que

|A∪B|=|A|+|B| − |A∩B|.

Généralisation. Soient A1, . . . , An des ensembles finis. Montrer par récurrence sur nque

n

[

i=1

Ai

=

n

X

i=1

|A_i| − X (i, j) :

1≤i<j≤n

|A_i∩Aj|+ X (i, j, k) :

1≤i<j<k≤n

|A_i∩Aj∩Ak| −. . . + (−1)ⁿ⁻¹|A₁∩. . .∩An|

Cette formule peut aussi s’écrire de façon plus condensée

n

[

i=1

Ai

=

n

X

k=1



(−1)^k+1 X

1≤i1<i2<...<ik≤n

|A_i1 ∩Ai2 ∩. . .∩Aik|



.

12 Problème des chapeaux

On appelle dérangement d’un ensemble A toute permutation des éléments de A telle qu’aucun élément n’est envoyé sur lui-même.

1. En utilisant la formule du crible, montrer que le nombre de dérangements de l’ensemble{1, . . . , n}

(n ≥ 1) est égal à [n!/e], où [x] représente l’entier le plus proche de x. La fonction [n!/e] est appellée sous-factorielle den et notée!n.

Indication : Considérer l’ensembleP de toutes les permutations de{1, . . . , n}, et les ensembles Ai, i= 1, . . . , n, de toutes les permutations laissant i fixe. Montrer que le nombre de dérange- ments est égal à|P| − |S

iA_i|.

2. Voici l’illustration classique du résultat précédent : le problème des chapeaux. Le responsable du vestiaire de l’opéra reçoit un soir 100chapeaux à garder. À la fin du spectacle, il décide de redistribuer les chapeaux au hasard (càd avec la distribution uniforme) lorsque ces100personnes viennent les lui réclamer. Quelle est la probabilité qu’aucune d’entre elles ne reparte avec son chapeau ?

13 Chemins et nombres de Catalan

On considère N×N et le réseau passant par les points de coordonnées entières. On imagine une personne se déplaçant sur ce réseau seulement dans les directions Nord ou Est, c’est à dire que si la personne est au point de coordonnées(x, y), elle va soit en (x+ 1, y) soit en(x, y+ 1).

Voici à gauche un exemple de chemin de(0,0)à (23,17).

1. Quel est le nombre de chemins allant de (0,0)à(p, q)?

2. Quel est le nombre de chemins allant de (a, b) à(p, q) où 0≤a≤p et0≤b≤q?

3. Quel est le nombre de chemins de(0,0)à(n, n) qui restent en dessous de la diagonale (ils sont autorisés à la toucher) ?

Pour répondre à cette question, suivez les étapes ci-dessous :

(a) Vu la première question, observer qu’il suffit de calculer le nombre de chemins allant de(0,0) à (n, n) en intersectant la droite d’équationy =x+ 1(en pointillé sur l’image de droite).

(b) Montrer que l’ensemble des chemins allant de(0,0)à(n, n) en touchant la droitey=x+ 1 est en bijection avec l’ensemble des chemins allant de (0,0)à(n−1, n+ 1). S’inspirer de la figure de droite.

(c) Conclure en utilisant à nouveau la première question. On doit trouver

1 n+ 1

2n n

Ce nombre est appelé n^ième nombre de Catalan. Cette astuce de comptage fut trouvée par Désiré André en 1887 et est appelée principe de symétrie.

14 Formule de Stirling

On veut démontrer ici la formule de Stirling n!∼nⁿe⁻ⁿ√

2πn. Plus précisément,

n→∞lim

n!

nⁿe⁻ⁿ√

2πn = 1 Pour cela on considère la suite :

a_n= log 2 + log 3 +· · ·+ log(n−1) +1 2logn

1. On note A_k le trapèze reliant les points (k,0),(k,logk),(k+ 1,log(k+ 1)) et(k+ 1,0) etB_k le trapèze de base k−¹₂ < x < k+¹₂, de cotés verticaux et de coté supérieur la tangente à la courbe y = logx au point (k,logk). Montrer que a_n est égale à la somme des aires des A_k et quean−¹₂lognest égale à la somme des aires desB_k. En déduire que :

Z _n

3 2

logx dx≤a_n≤ Z _n

1

logx dx.

2. On pose δ_n = logn!− n+¹₂

logn+n. Montrer que δ_n tend vers une limite logc telle que

3

2 1−log³₂

≤logc≤1.

3. En admettant que c=√

2π, conclure.