CONCOURS COMMERCE (IAE)

I – Cardinaux des ensembles

On décompte ici les éléments d’un ensemble, d’une intersection, d’une réunion.

Rappels : Le cardinal d’un ensemble est le nombre de ses éléments.

Soit un ensemble E de cardinal n, et deux sous-ensembles A et B de E.

( ) ( )

( ) ( ) ^{( )}

( ) ( ) ( ) ( )

Card A Card A

Card A B Card A B Card A

Card A B Card A Card B Card A B

+ = n

∩ + ∩ =

∪ = + − ∩

nb : ces formules sont également valable si on remplace les cardinaux par des pourcentages et n par 100%.

* Un magasin accepte les cartes de crédit American Express ou VISA. 27 % de ses clients possèdent une carte American Express ; 65 % une carte VISA et 78 % au moins l'une des deux cartes. Quel est le pourcentage des clients possédant les deux cartes à la fois ?

Notons A « posséder une carte American Express » et V « posséder une carte VISA ».

( ) ( ) ( ) ( )

Card A∪V = Card A +Card V −Card A∩V , donc 78 = 27 + 65 – ^{Card A}

(

)

( )

Card A∩V = 14. 14% des clients possèdent les deux cartes.

II – Dénombrements

Il s’agit de comptabiliser des situations (issues) possibles dans le cadre de tirages.

! 1 2 3 ...

n = × × × ×n

Rappel sur les factorielles : . En particulier : 1! = 1 ; 2! = 2 ; 3! = 6 ; 4! = 24 ; 5! = 120 ; 6! = 720

k

Cn

( )

!

! !

k n

C n

k n k

= −

Rappel sur les coefficients binomiaux :

Leurs valeurs sont à retenir jusqu’à n = 5, grâce au triangle de Pascal : k

0 1 2 3 4 5

n

0 1

1 1 1

2 1 2 1

3 1 3 3 1

4 1 4 6 4 1

5 1 5 10 10 5 1

0 1 ⁿ

n n

C = =C C_n¹= =n C_n^{n−1 2}

(

)

2

n

n n

C n n− C ⁻

= = C_n^k =C_n^{n k−}

En particulier : ; ; ; .

Enfin : la somme des coefficients de la ligne n du triangle est 2ⁿ. Ex ligne 4 : 1+4+6+4+1 = 16 = 2⁴

1) Situation simple

pour former une issue, on envisage de piocher p éléments dans un ensemble comportant n éléments tous différents. Se posent les questions de la répétition et de l’ordre, puis, selon les réponses, on a affaire à des p- listes, des arrangements ou des combinaisons. Dans un QCM sans calculatrice, les nombres évoqués seront forcément faibles.

répétition : oui – ordre : oui -> p-listes, dont le nombre est n^p.

( )

!

!

p n

A n

n p

= − répétition : non – ordre : oui -> arrangements, dont le nombre est .

( )

!

! !

= −

p n

C n

p n p répétition : non – ordre : non -> combinaisons, dont le nombre est .

* A l’issue d’un tournoi de poker, tous les participants se sont serré la main. On a dénombré 45 poignées de main.

Combien y avait-il de participants ?

Une issue est une poignée de mains. Pour former une issue, il faut piocher p = 2 participants dans un ensemble qui en contient n. Lors de la pioche, la répétition est interdite ; une fois deux personnes piochées, changer leur ordre ne crée pas une nouvelle poignée de mains.

Une issue est donc une combinaison ; leur nombre total est ²

(

)

n 2

C =n n− . Testons : 8×7/2 = 28 ; 9×8/2 = 36 ; 10×9/2 = 45. Il y avait donc 10 participants.

* Combien d’anagrammes différentes peut-on former avec les lettres : « AZERTY » ?

Ces lettres sont toutes différentes. Il s’agit de piocher les six lettres parmi six, sans répétition mais en tenant compte de l’ordre du résultat. Il s’agit d’arrangements – et dans le cas particulier n = p, de « permutations ».

Le nombre de permutations de 6 lettres est 6! = 720.

* Une fille possède deux vernis à ongles, l'un est de couleur noire et l'autre est de couleur rouge. Elle souhaite mettre du vernis sur chacun des 10 ongles de ses mains (aucun des ongles ne sera de deux couleurs à la fois).

De combien de façon peut-elle le faire ?

Appelons k le nombre d’ongles qu’elle peut décider de colorer en noir. Les autres seront rouges.

Le nombre de façons dont elle peut choisir ces k ongles est C₁₀^k . D’autre part, elle peut aussi choisir la valeur de k entre 0 et 10.

Finalement, le nombre de façons de mettre du vernis sur ses ongles est ^{0 1 2} ... ^{10 10}

10 10 10 10 2 1024

C +C +C + +C = = (somme des coefficients de la ligne 10 du triangle de Pascal).

2) Certains éléments de l’ensemble de départ sont identiques

* Combien d’anagrammes différentes peut-on former avec les lettres : « AASEEE » ? Il s’agit d’abord de compter le nombre de permutations de 6 lettres : 6! = 720.

Certaines sont identiques, du fait des répétitions de lettres (trois E, deux A).

Le nombre de permutations de trois E est 3! = 6, et celui des deux A est 2! = 2.

Il faut donc diviser 720 par 6 et par 2 : le nombre d’anagrammes est 60.

3) L’ensemble de départ est divisé en catégories

et on souhaite compter les issues qui contiennent certains nombres d’éléments de chaque catégorie

* On a un groupe de 7 hommes et 10 femmes, on veut constituer une équipe formée de 4 hommes et 3 femmes.

Combien existe-t-il de manières différentes de former cette équipe ?

Ici, l’ordre n’a aucune importance, ni pour le choix des femmes, ni pour les hommes, ni pour l’ensemble.

nombre de choix des hommes : !

! !

4 7

7 7 6 5

7 5 35

4 3 3 2 1

C = = × × = × =

× × × ;

nombre de choix des femmes : !

! !

3 10

10 10 9 8

5 3 8 120

7 3 3 2 1

C = = × × = × × =

× × × ;

nombre de choix d’équipe : 35 120× =4200.

* Suite à un déménagement, Robert a rangé dans un carton les 57 livres qu'il possède, parmi lesquels 6 sont dédicacés. Juste après avoir ouvert le carton, Robert y a choisi au hasard 4 livres pour les ranger dans sa bibliothèque. Quelle est la probabilité que parmi ces 4 ouvrages, il y en ait exactement 2 qui soient dédicacés ? Il s’agit d’un tirage sans remise, de 4 éléments parmi 57, dont l’ordre d’arrivée n’importe pas.

L’ensemble de départ est partagé en deux catégories : sur les 57 livres, 6 sont dédicacés et 51 ne le sont pas.

Le nombre de façons d’obtenir deux livres dédicacés en piochant au hasard 6 livres est :

! !

! ! ! ! !

2 2

51 6

51 6 51 50

2 49 2 4 2 15

C ×C = × = × ×

× × .

La probabilité d’obtenir deux livres dédicacés en piochant au hasard 6 livres est :

!

! ! ! ! !

! ! ! ! !

2 2

51 6

6 2 3

57

6 51 50 49 48

6 51 51 6 57 56 55 54 53 52 2 15

57 2 49 2 4 51 50 49 48 15 2 3 5 7 17

19 28 11 18 53 13 11 13 19 53 C C

C

× × ×

 

= ×

 

× = × × ×  × × × × × 

× ×  × × × × × × × × 

= =

 

× × × × × × × ×

 

.

4) Il y a plus d’un ensemble de départ, ou on veut effectuer plus d’un tirage

* On souhaite répartir 60 malades entre 3 médecins, selon 20 malades par médecin. Quel est le nombre total de répartitions possibles ?

Séparons les tirages. Pour le premier médecin, le nombre de choix est !

! !

40 60

60 40 20 C =

× . Puis, pour le second, le nombre de choix est !

! !

20 40

40 20 20 C =

× . Enfin, pour le troisième, il n’y a qu’un choix : le groupe de 20 patients restants. Il reste que l’ordre dans lequel les trois médecins peuvent être choisis est 3! = 6.

Ainsi, le nombre total de répartitions est

( )

! ! !

! ! ! ! !³

60 40 60

6 6

40 20 ×20 20 × = 20 ×

× ×

* Le code d’ouverture d’un coffre est composé de 4 chiffres différents (0 à 9), suivis de trois lettres de l’alphabet.

Quel est le nombre de codes possibles ? nombre de choix des quatre chiffres : !

!

4 10

10 10 9 8 7

A = 6 = × × × ; nombre de choix des trois lettres : 26 ; ³

* Le code d’ouverture d’un coffre est composé de 4 chiffres différents (0 à 9), mélangés à trois lettres de l’alphabet. Quel est le nombre de codes possibles ?

nombre de choix des quatre chiffres : !

!

4 10

10 10 9 8 7

A = 6 = × × × ; nombre de choix des trois lettres : 26 ; ³

nombre de positions de trois lettres parmi les sept éléments du code : !

! !

3 7

7 7 6 5

7 5 35

3 4 3 2 1

C = = × × = × =

× × ×

nombre de codes : !

! 10 3

26 35

6 × ×

III – Probabilités

Pour calculer des probabilités, on aura recours aux dénombrements seulement si le nombre de tirages est supérieur à 1.

1) Probabilités simples

* On lance 2 fois de suite un de non pipé à 6 faces. Quelle est la probabilité d’obtenir 6 au moins une fois ? Les lancers conduisent aux p-listes. Il y a donc 6² = 36 couples possibles de deux lancers.

Parmi eux, 6 commencent par un 6 et 6 se terminent par un 6. Attention, de cette façon on a compté deux fois le double 6. En tout, 11 couples contiennent au moins un 6. La probabilité est donc 11/36.

2) Probabilités conditionnelles

( )

(

)

pA B p B A La probabilité que B se produise, sachant que A s’est produit, est notée .

( ) ( )

( )

A

p A B p B

p A

= ∩

( ) ( )

( )

B

p A B p A

p B

= ∩

( ) ( ) ( )

B

( )

A

p A p B p B

p A

= ×

On a : et , d’où la formule de Bayes : .

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

p A = p A∩B + p A∩B = p A ×p B +p A ×p B Enfin :

* Une urne contient 10 petites lampes bleues et 16 petites lampes rouges. La probabilité qu’une lampe bleue fonctionne est de 1/2 et la probabilité qu’une lampe rouge fonctionne est de 1/4. On tire au hasard une lampe dans l’urne. Quelle est la probabilité que la lampe tirée soit rouge et fonctionne ?

Notons R « tirer une lampe rouge » et F « une lampe fonctionne ». On cherche ^{p R}

(

)

( ) ( )

( )

p R∩F =p R ×p F = × =

* Une compagnie d’assurance répartit ses risques sur des crédits immobiliers (stocks prime) en deux classes R1 et R2 : les mauvais risques et les très mauvais risques. Les effectifs de ces deux classes représentent 40% de la population totale pour la classe R1 et 60% pour R2 . Les statistiques indiquent que les probabilités de ne pas pouvoir rembourser son prêt pour une personne de l’une de ces deux classes sont respectivement 0,7 et 0,85.

Quelle est la probabilité qu’une personne choisie au hasard parmi les clients de la compagnie ne puisse pas rembourser son prêt ?

Notons N « ne pas pouvoir rembourser son prêt ».

( ) (

) (

)

( ) ( )

( ) ( )

0,7 0,4 0,85 0,6 0,28 0,51 0,79

R R

p N =p N∩R +p N∩R = p N ×p R +p N ×p R

= × + × = + =

* Un match de tennis se joue en trois sets gagnants : sur un total de 5 sets maximum, le joueur qui remporte trois sets remporte le match. Deux joueurs A et B s’affrontent et A vient de remporter le premier set. A et B sont de force égale : leur probabilité de remporter un set est de 50% chacun. Quelle est la probabilité que B remporte le match ?

B gagne si :

- il remporte les sets 2, 3, 4 : proba 1/2×1/2×1/2 = 1/8 - il remporte les sets 2, 3, 5 : proba 1/2×1/2×1/2×1/2 = 1/16 - il remporte les sets 2, 4, 5 : proba 1/2×1/2×1/2×1/2 = 1/16 - il remporte les sets 3, 4, 5 : proba 1/2×1/2×1/2×1/2 = 1/16 (on peut réaliser un arbre, pour mieux visualiser les éventualités) En tout, les chances de B se montent à 5/16 = 31,25%