Somme totale

(1)

Chapitre 1

—

Support de cours :

Séries numériques

I

Convergence d’une série

1

Somme totale

Définition :

Une suite(Sn)_n>N est appeléeséries’il existe une suite(un)_n>N telle que

∀n∈N, n>N Sn=

n

X

k=N

uk

Dans ce cas, on appelle

unleterme généralde la série(Sn),

Snlasomme partielle d’ordrende la série(Sn) et on note de manière équivalente

Xun

n>N ou X

n>N

un

pour désigner la série(Sn).

Exemple : (Sn) = P

n>1

n²

|{z}

un

. On aS1= 1

|{z}

u₁

, S2= 1

|{z}

u₁

+ 2²

|{z}

u₂

, , . . . , Sn= 1

|{z}

u₁

+ 2²

|{z}

u₂

+. . .+n²

|{z}

un

Contre exemple : i An=

2n

P

k=n+1

ukn’est pas une somme partielle. Pourquoi ? ii Bn=

n

P

k=0

1

n+k n’est pas une somme partielle. Pourquoi ?

Définition :

On dit que la série P

n>N

un converge (resp.diverge) si la suite (Sn)_n>N converge (resp.

diverge.), oùSn=

n

P

k=N

ukpour toutn>N. En cas de convergence, la limite sera notée lim

n→+∞

n

P

k=N

uk=

+∞

P

k=N

uket sera appeléesomme totalede la série P

n>N

un.

Lanaturede la série désignera le caractère convergeant ou divergeant de celle-ci.

Exercice

1 Montrer que la série P

n>0

1est divergente.

2 Montrer que la série P

n>0

nest divergente.

3 Montrer que si|q|<1, la série P

n>0

qⁿest convergente.

Il ne faut pas confondre la notation P

n>N

un, qui désigne la série, avec la notation

+∞

P

k=N

uk qui désigne la somme totale de la série. Si la série est divergente, ce nombre n’existe pas.

Exemple : On peut dire que

+∞

P

n=0 1 2ⁿ = ₁₋¹1

2

= 2, mais P

n>0 1

2ⁿ ne vautpas ₁₋¹1 2

. C’est une suite. On

a X

n>0

1

2ⁿ = (Sn) =





 1

|{z}

S₀

, 1 +1 2

| {z }

S₁

, 1 +1 2+ 1

2²

| {z }

S₂

, . . .







(infinité de termes)

Remarque :

Si la limite de la série est±∞, on s’autorise toutefois souventpar abus de notation à écrire

+∞

P

k=N

uk=±∞, mais dans ce cas, on ne parle pas de somme totale.

Exercice Montrer que

+∞

P

n=0

2ⁿ= +∞.

Définition :

De même que pour une suite, on appelle nature de la série le caractère convergeant ou divergeant de la série.

Remarque :

Tout comme les suites, il existe des séries qui divergent autrement que vers±∞! Exercice

Siun= (−1)ⁿpour toutn∈N. AlorsSn=

n

P

k=0

uk=

(0 sinest impair

1 sinon .

Montrer que la série P

n>0

undiverge.

Ne pas confondre la convergence de la suite(un)et celle de la sérieP un.

1

(2)

Exemple : Siun= 1, on a

n

P

k=1

1 =n−−−−−→

n→+∞ +∞, alors que lim

n→+∞un= 1. La suite(un)converge, alors que P

n∈N

undiverge.

Pour la somme totale, il faut faire attention à la "borne de départ" de la somme.

Exemple :

Si|q|<1, la série P

n> 2

qⁿest convergente. En effet,

n

X

k=2

q^k=

n

X

k=0

q^k−(q⁰+q¹) = 1−qⁿ⁺¹

1−q −(1 +q)−−−−−→

n→+∞

1

1−q −(1 +q) = q² 1−q D’où

+∞

P

n=0

qⁿ= 1

1−q et

+∞

P

n=2

qⁿ= q² 1−q 6=

+∞

P

n=0

qⁿ

Méthode 1 - Calcul de la somme totale par téléscopage

Le téléscopage est une méthode utilisée (dans des cas limités) pour aboutir au calcul explicite de la série et de la somme totale. Il consiste à écrire le terme généralunsous la forme d’une somme d’éléments de même type :

un=vn+1−vn, (exemple 1

n et 1

n+ 1), qui, par changement d’indices, produiront l’élimination progressive de la plupart des termes.

Exercice

Calcul de la somme de la série P

n>1

1 n(n+ 1).

Propriété :

Soient P

n>N

un et P

n>N

vn deux séries etλ∈C.

i Si P

n>N

unconverge, alors la suite P

n>N

λun converge versλ

+∞

P

n=N

(un).

ii Si P

n>N

unet P

n>N

vn convergent, alors la série P

n>N

(un+vn) converge vers

+∞

P

n=N

un+

+∞

P

n=N

vn. iii Si P

n>N

unconvergeet P

n>N

vn diverge, alors P

n>N

(un+vn)diverge.

iv Si P

n>N

un diverge et P

n>N

vn diverge, alors on ne peut rien dire sur P

n>N

(un+vn). (Sauf en cas de limites infinies de même signe.)

Exercice

1 Montre que la série P

n>0 1 2

n+1

converge 2 Montrer que la série P

n>0

1

6 + ¹₂n+1 diverge

2

Reste

Définition :

En cas de convergence de la série P

n≥N

un, on appelle restede la série la suite(Rn)n≥N

telle queRn=

+∞

P

k=N

uk−

n

P

k=N

uk=

+∞

P

k=n+ 1

uk. On appelleRnlereste d’ordren.

Exemple :

Le reste d’ordrende la sérieP

qⁿestRn=^q_1−qⁿ⁺¹.

Propriété :

Pour toute sérieP

unconvergente, on a lim

n→+∞Rn= 0.

3

Divergence grossière

Proposition :

SiP

unconverge, alors lim

n→+∞un= 0

Conséquence :

Si la suite(un)ne tend pas vers0, alorsP

un ne peut être convergente.

Exercice

1 P

n∈N^∗

ln

2 + 1 n

ne peut être convergente.

2 P

n∈N

sinn^π₂ ne peut être convergente.

Proposition :

La série P

n>1

1

n est divergente.

(3)

Définition :

Si une sérieP

unest telle que(un)ne tend pas vers0, on dit que la sériediverge grossiè- rement.

II

Critères de convergence

1

Résultats préliminaires

Lemme :

Pour une suite(un)_n>N et pour toutM∈N, M >N, les séries P

n>N

unet P

n>M

un sont de même nature.

Propriété :

Si(un)et(vn)ne diffèrent que d’un nombre fini de termes, alors P

unetP

vn sont de même nature.

2

Séries à termes positifs

Lemme :

On se donneP

unune sérieà termes positifs. On a alors : i La sérieP

un est croissante.

ii La série P

un converge si et seulement si elle est majorée.(et s’il y a convergence, sa somme totale est inférieure à son majorant.)

iii La sérieP

un diverge vers+∞ssi elle n’est pas majorée.

Exercice

Montrer que la série P

n>1 1

n3ⁿ converge.

Théorème de comparaison des séries à termes positifs (TCSTP) :

On se donne deux suitesP

unetP

vntelles que, à partir d’un certain rangN, on a H1 (un)et(un)sontpositives

H2 un6vn.

alors

i SiP

vnconverge, alorsP

un converge et

+∞

P

n=N

un6

+∞

P

n=N

vn. ii SiP

undiverge, alorsP

vn diverge.

Exercice

Montrer que la série P n+1

n(n−1)

n>2

diverge.

3

Convergence absolue

Proposition :

On se donne une série quelconqueP un. Sila sérieX

|un|

converge,alorsla série P

n∈N

un converge.

On appelle cecila convergence absolue.

Méthode 2 - Détermination d’une convergence Pour déterminer la convergence d’une sérieP

un, on peut chercher à prouver sa convergence absolue ou à décomposer en somme de séries comparables à des séries de convergence connue.

III

Exemples fondamentaux

1

Séries de Riemann

Proposition :

Rappel : La sérieP1

n est divergente.

Proposition :

La sérieP 1

n² est convergente.

Exercice SoitP

unune série réelle. Montrer que si lim

n→+∞n²|un|existe, alorsP

unest (absolument) convergente.

(4)

2

Séries géométriques

Définition :

On appellesérie géométriquetoute série X

n>N

qⁿ, oùq∈C.

Théorème :

i P

n∈N

qⁿest convergente si et seulement si|q|<1.

ii Si|q|<1la somme totale existe et vaut

+∞

P

k=0

q^k= 1 1−q. 3

Série ( P

nq

ⁿ

)

_n∈

N

Théorème :

i P

n∈N

nqⁿ⁻¹ est convergente si et seulement si|q|<1.

+∞

P

k=0

kq^k−1=

+∞

P

k=1

kq^k−1= 1 (1−q)². Moyen mnémotechnique :Pour retenir ce résultat, on "dérive" terme à terme par rapport à q" l’expression 1

1−q =

+∞

P

k=0

q^k, pour obtenir 1 (1−q)² =

+∞

P

k=0

kq^k−1.

Corollaire :

P

n∈N

nqⁿ estconvergente si et seulement si|q|<1.

Dans ce cas, la somme totale vaut

+∞

P

n=0

nqⁿ= q (1−q)².

4

Série ( P

n

²

q

ⁿ

)

_n∈

N

Théorème :

i

Xn(n−1)qⁿ⁻²

n∈N

est convergente si et seulement si|q|<1.

+∞

X

k=2

k(k−1)q^k−2= 2 (1−q)³

Corollaire :

Xn²qⁿ

n∈N

est convergente si et seulement si|q|<1. Dans ce cas, la somme totale vaut

+∞

P

k=0

k²q^k=q(1 +q) (1−q)³.

5

Série exponentielle

Définition :

On appellesérie exponentielletoute sérieX xⁿ n!

n∈N

, oùx∈R.

Proposition :

i Pour toutx∈R, la sérieX xⁿ

n!

n∈N

est convergente.

ii

+∞

P

k=0

x^k k! =e^x

6

Application

Méthode 3 - Calcul explicite de la somme totale

Pour déterminer la convergence puis la somme totale d’une série P

n∈N

un, on peut chercher à décomposer en somme de séries connues.

Exercice

Déterminer la convergence et la somme totale deX

n∈N

n+ 4 3ⁿ

IV

Et si on change l’ordre des termes ?

Dans une somme finie de nombres réels, on sait (commutativité dansR) que l’on peut addi- tionner les nombres dans n’importe quel ordre.On sait bien par exemple que

1 + 3 + 5 + 6 = 6 + 1 + 5 + 3

La question ici est de savoir si oui ou non le même raisonnement est vrai dans le cas d’une somme infinie de termes. Nous allons tenter de nous convaincre graphiquement que la réponse est NON !

(5)

Considérons la "série harmonique alternée"S = P

n≥1 (−1)^k+1

k convergente (versln 2). C’est la somme, "de gauche à droite", des éléments

1, −1 2, 1

3, −1 4, 1

5, −1 6, 1

7, . . .

Tentons maintenant d’addionner les termes d’une autre manière. Nous prendrons 2 positifs pour un négatif. "De gauche à droite" :

1, 1 3, −1

2, 1 5, 1

7, −1 4, . . . Nous admettrons que cette série converge également.

Sur le graphique ci-contre, on peut observer 150 termes de chacune de ces séries. (série harmonique en bas ... en rouge, l’autre en haut ... en bleu).

Si on veut bien admettre que nous pouvons faire confiance au graphique en ce qui concerne le comportement asymptotique, nous constaterons que les sommes totales sont nettement différentes, ce qui devrait nous convaincre qu’en cas de somme infinie, en général, il fait faire attention à l’ordre dans lequel on additionne les éléments !

Toutefois, la majorité des cas raisonnables que nous aurons à étudier ne poseront pas ce type de problèmes. En effet :

Théorème :

Si une sérieP

unest absolument convergente, alors la somme desun peut se faire dans n’importe quel ordre.

Corollaire :

Si une suite(un)est H1 positive H2 et telle queP

unconverge alors

la somme desun peut se faire dans n’importe quel ordre.