Chapitre 5 : Proportionnalité I) Activité

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Chapitre 5 :

Proportionnalité

I) Activité

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II) Proportionnalité et représentation graphique

Repère : un repère est composé

• de 2 axes perpendiculaires :

• les abscisses (horizontal)

• les ordonnées (vertical)

• d’une origine

• d’une échelle (que l’on indique pour chaque axe)

1) Représentation graphique

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Coordonnées :

chaque point d’un graphique est repéré par ses coordonnées.

On note : 𝐴 𝑎𝑏𝑠𝑐𝑖𝑠𝑠𝑒_𝐴; 𝑜𝑟𝑑𝑜𝑛𝑛é𝑒_𝐴 .

Ordonnée de A

Abscisse de A

On note 𝑨 (𝟑, 𝟒 ; 𝟑, 𝟏)

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Exemple : construire un repère (en choisissant judicieusement les échelles) pour représenter le tableau ci-dessous.

Nombre de t-shirt 1 3 8

Prix (en €) 7,50€ 75€ 30€

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Constat :

• Tous les points sont alignés

• Si on prolonge la droite elle passe par l’origine

2) Proportionnalité

Le graphique d’une situation de proportionnalité est une droite qui passe par l’origine du repère.

Inversement, si un graphique représente des points alignés avec l’origine, alors il représente une situation de proportionnalité.

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III) Quatrième Proportionnelle

Dans une situation de proportionnalité, la quatrième proportionnelle est le quatrième nombre (noté 𝑥) calculé à partir des 3 autres nombres déjà connus (𝑎, 𝑏 et 𝑐).

𝒂 𝒄

𝒃 𝒙? On a : ^𝑏_𝑎 = ^𝑥_𝑐

Donc (produit en croix) : 𝑎 × 𝑥 = 𝑏 × 𝑐

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Exemple :

5 baguettes de pain coûtent 4,25€. Combien vais-je payer pour 3 baguettes ?

Méthode 1 : je reviens à l’unité.

5 baguettes coûtent 4,25€, donc 1 baguette coûte 4,25

5 = 0,85€

Donc 3 baguettes vont coûter :

0,85€ × 3 = 2,55€

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Méthode 2 : j’utilise la quatrième proportionnelle (produit en croix).

Nombre de baguettes 𝟓 𝟑

Prix en euros 𝟒, 𝟐𝟓€ 𝒙?

5 × 𝑥 = 3 × 4,25 donc

𝑥 = 3 × 4,25

5 = 2,55€

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IV) Applications 1) Vitesse

Si un mobile parcourt une distance 𝑑 en un temps 𝑡 alors : la vitesse moyenne 𝑣 de ce mobile est 𝑣 = 𝑑

𝑡 Remarque :

Grâce à l’égalité des produits en croix, on a aussi :

• 𝑑 = 𝑣𝑡

• 𝑡 = 𝑑/𝑣

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Exemple :

Sur un parcours de 60 km, la vitesse moyenne d’un cycliste est de 30 km/h. Calculer la durée de son trajet.

Je pars de la formule 𝑣 = ^𝑑_𝑡 donc 𝑡 = ^𝑑_𝑣 = 60 km

30 km/h= 2 h

La durée de son trajet est donc de 2 heures.

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2) Pourcentages

Exemple :

25 filles et 20 garçons de deux classes de 4^ème ont effectué un devoir commun.

60% des filles ont obtenu la moyenne, et 50% des garçons.

Après avoir calculé le nombre de filles et de garçons ayant obtenu la moyenne, calculer le pourcentage d’élèves qui ont obtenu la moyenne dans les deux classes.

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25 filles et 20 garçons de deux classes de 4^ème ont effectué un devoir commun. 60% des filles ont obtenu la moyenne, et 50% des garçons. Après avoir calculé le nombre de filles et de garçons ayant obtenu la moyenne, calculer le pourcentage d’élèves qui ont obtenu la moyenne dans les deux classes.

Nombre de filles ayant la moyenne :

Nombre de garçons ayant la moyenne :

Nombre total d’élèves :

Nombre d’élèves ayant la moyenne :

60

100 × 25 filles 50

100 × 20 ga.

= 60 × 25

100 filles = 15 filles

= 50 × 20

100 ga. = 10 ga.

20 + 25 = 45 élèves

15 + 10 = 25 élèves

Nombre d’élèves ayant eu

la moyenne 25 n ?

Nombre TOTAL d’élèves 45 100

POURCENTAGE

𝑛 = 25 × 100 45

𝑛 ≈ 56

56% des élèves des 2 classes ont eu la moyenne.

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3) Agrandissement / Réduction

Lorsqu’une figure est agrandie ou réduite, les longueurs de la figure obtenue sont proportionnelles aux longueurs de la figure de départ ; les angles ne sont pas modifiés.

Remarque :

• Si le coefficient de proportionnalité est plus grand que 1, c’est un agrandissement ;

• Si le coefficient de proportionnalité est plus petit que 1, c’est une réduction.