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Elaboration et construction d'un nouvel indice de concentration
TRICOT, Claude, RAFFESTIN, Claude, BACHMANN, Daniel
Abstract
Comme dans d'autres disciplines scientifiques, la concentration pose en géographie toute une série de problèmes. Le but de notre recherche a été de créer un indice capable de mesurer la distribution de phénomènes très variés aussi bien dans l'espace que dans le temps.
TRICOT, Claude, RAFFESTIN, Claude, BACHMANN, Daniel. Elaboration et construction d'un nouvel indice de concentration. L'Espace géographique , 1974, vol. 3, no. 4, p. 303-310
DOI : 10.3406/spgeo.1974.1510
Available at:
http://archive-ouverte.unige.ch/unige:4298
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Méthodes et techniques
ÉLABORATION ET CONSTRUCTION D'UN NOUVEL INDICE DE CONCENTRATION
C. TRICOT, C. RAFFESTIN, D. BACHMANN
Université de Genève
INDICE DE CONCENTRATION STATISTIQUE
CONCENTRATION INDEX STATISTICS
RESUME. — Comme dans d'autres disciplines scientifiques, la concentration pose en géographie toute une série de problèmes. Le but de notre recherche a été de créer un indice capable de mesurer la distribution de phénomènes très variés aussi bien dans l'espace que dans le temps.
ABSTRACT. — Elaboration and creation of a new concentration index. — As in other scientific disciplines, concentration poses numerous problems in geography. The aim of our research has been to create a concentration index with a flexibility and sensitivity sufficient to master the distribution of a set of various phenomena, in the spatial as well as in the temporal fields.
I. INTRODUCTION.
Au cours des cinquante dernières années, les géo- graphes ont mis en évidence plusieurs principes qui ont guidé leurs analyses. Parmi ceux-ci, trois nous paraissent absolument fondamentaux : les principes de variation, de corrélation et de concentration. Dans la géographie humaine de Jean Brunhes, les deux premiers sont parfaitement explicités sous l'appella- tion de principes d'activité et de connexité (1), mais pas le troisième, bien qu'il soit implicite dans l'œuvre de cet élève de Vidal de la Blache. Cette absence est, a première vue, étonnante : car c'est, sans nul doute, le principe le plus chorologique des trois, donc par excellence le plus géographique. A la réflexion, c'est beaucoup moins étonnant qu'il n'y paraît car, para- doxalement, ce sont les problèmes de distribution et
(1) Cf. Jean BRUNHES,La géographie humaine (édition abrégée). Paris, 1956, p. 3-14.
de répartition des phénomènes que la géographie a toujours eu le plus de peine, jusqu'à une date récente, à décrire d'une manière globale et synthétique. D'au- tre part, il semble bien que, pour les géographes clas- siques, l'idée de concentration se soit opposée à l'idée de dissémination; par conséquent, ils n'ont pas perçu très clairement que le concept de concentration pou- vait contenir l'idée de modèle de distribution tout à la fois dans l'espace et dans le temps. S'il est relati- vement aisé de suivre les variations d'un phénomène géographique, ou encore d'établir une corrélation entre des faits, il est beaucoup plus difficile, en l'ab- sence d'un instrument de mesure adéquat, de décrire le degré de concentration, donc de répartition, d'êtres ou de choses dans l'espace. Or, faut-il le rappeler, les méthodes disponibles pour appréhender la concen- tration n'ont jamais été très satisfaisantes. Il s'agit, au fond, de concevoir un instrument qui tienne compte tout à la fois de l'importance quantitative du phénomène étudié et de la surface de l'espace, ou de la durée de temps, dans laquelle il se distribue. Ce qui revient à dire qu'un indice de concentration satisfai- sant doit être applicable autant à des phénomènes
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spatiaux qu'à des phénomènes temporels. L'indice que nous proposerons dans la deuxième partie de cet essai répond à ces deux exigences. Par ailleurs, cet indice doit être suffisamment synthétique pour exprimer un modèle de distribution par un nombre unique, pour une région ou pour une époque donnée.
On peut s'étonner, finalement, que ce problème de la concentration n'ait pas davantage attiré l'at- tention des géographes, car on sait, par toutes les recherches inductives faites en géographie, que certains phénomènes connaissent des transformations, voire des mutations, significatives à partir d'un cer- tain niveau de concentration. Le phénomène urbain offre, à cet égard, un champ de recherche pratique- ment inépuisable. De même, on sait, souvent encore intuitivement, qu'il y a des corrélations entre cer- tains modèles de distribution et des phénomènes économiques, politiques et sociaux. C'est pourquoi nous pensons qu'il est absolument nécessaire de pou- voir disposer d'un indice suffisamment sensible et fiable du point de vue mathématique pour rendre compte de la concentration.
Auparavant, on nous permettra de passer en revue quelques-uns des instruments disponibles en géo- graphie humaine, et d'en faire une critique rapide.
La géographie de la population s'est contentée, et se contente encore, d'une manière très générale, de la notion de densité pour exprimer, d'une part, l'em- prise territoriale et, d'autre part, la pression démo- graphique. La densité est un nombre qui a, certes, le mérite d'exprimer synthétiquement un état de fait, mais qui possède aussi le désavantage de
« délocaliser », ce qui est évidemment très insatisfai- sant du point de vue géographique. Dollfus ne s'y trompe pas lorsqu'il écrit : « Des densités brutes, quantitativement semblables, ont un contenu géogra- phique complètement différent » (2). Implicitement, cela signifie que la densité débouche toujours sur le même modèle, celui de la répartition uniforme, qui est la conséquence de la procédure arithmétique utilisée. La densité ne permet donc de construire qu'une image abstraite de l'emprise territoriale, une image irréelle dans la plupart des cas. Enfin, la densité absolue ne pouvant pas s'inscrire dans une échelle finie, son interprétation est des plus délicates, en ce sens qu'elle est compromise par des jugements de valeur inévitables contre lesquels on se défend mal, la plupart du temps. Ceci étant dit, on peut se demander quelle est la valeur opératoire d'une remarque du type de celle-là : « On peut esquisser une loi suivant laquelle les petits Etats ont souvent des densités plus élevées que les plus vastes» (3).
En fait, pratiquement aucune, dans l'exacte mesure où ce qui est important c'est le modèle de répartition de cette population.
(2) Olivier DOLLFUS, L'espace géographique, Paris, P.U.F., 1970, p. 57.
(3) Géographie générale, Paris, Gallimard, Encyclopédie de la Pléiade, 1966, p. 921-922.
C. Tricot, C. Raffestin, D. Bachmann A certains égards, la densité relative, d'ailleurs plus rarement utilisée, est meilleure, car elle révèle les écarts locaux ou régionaux par rapport à une disposition uniforme typique de la densité absolue.
L'inconvénient est que la densité relative nécessite autant d'indices qu'il y a de zones analysées.
En géographie rurale, le vieux problème de la répartition de l'habitat, posé au Congrès géographi- que international du Caire en 1926, n'a jamais reçu de solution très satisfaisante. Tricart a bien montré que l'indice de dispersion de Demangeon pouvait être identique pour des valeurs très différentes. Ce qui revient à dire que l'indice donne une image déformée, ou tout au moins inadéquate, de la répar- tition réelle. Les formules de Colas et de Bernard ne sont pas, non plus, exemptes de défauts, générateurs de confusions au niveau de la recherche. L'indice de concentration que nous proposerons nous semble, moyennant quelques ajustements, pouvoir rendre compte du degré de concentration soit de l'habitat rural, soit de la population rurale.
La géographie urbaine pose également de très nom- breux problèmes de distribution, qui peuvent trou- ver dans l'indice de concentration des solutions intéressantes : ainsi, par exemple, la répartition des centres urbains à l'intérieur d'un territoire national, ou encore la distribution de la population entre les quartiers. Dans ce dernier cas, il peut être très pré-.
cieux, pour des analyses ultérieures, de savoir si le modèle de répartition est homogène ou non.
Enfin, l'indice de concentration peut constituer une approche de la répartition de la population active entre les secteurs d'activité, et fournir un moyen d'apprécier le degré de spécialisation du système urbain. En d'autres termes, un indice élevé, se rap- prochant de 1, indiquera une forte spécialisation, c'est- à-dire une ville monofonctionnelle, alors qu'un indice faible, se rapprochant de 0, sera significatif d'une ville plurifonctionnelle, sans spécialisation affirmée.
Jusqu'à maintenant, c'est certainement la géogra- phie économique qui a disposé, avec l'indice de Gini, du meilleur instrument pour mesurer la concentra- tion. Cet indice, qui sera discuté plus loin, présente l'avantage de saisir la répartition intrasectorielle d'une manière assez bonne, mais n'intègre pas la surface ou la durée et, pour cette raison, est d'un emploi plus restreint.
Finalement, pour achever cette rapide présenta- tion, on peut évoquer la géographie politique, dans laquelle le problème de la concentration occupe une place toute particulière, qu'il s'agisse de la répartition internationale de certaines ressources essentielles ou de la distribution de la puissance militaire, appréciée à travers la possession de certains armements.
Il convient de relever, une fois encore, que la nature même de l'indice qui va être présenté dans sa formulation mathématique, avec en appendice un programme permettant de l'utiliser sur ordinateur, est susceptible d'applications extrêmement différen-
ciées dans les sciences humaines. Nous nous sommes volontairement limités à une esquisse des perspectives qu'il ouvre à un géographe; mais un sociologue, un historien ou un politologue pourra sans difficulté aucune l'adapter à ses besoins.
II. LES INDICES DE CONCENTRATION.
Certains phénomènes auxquels il est possible d'adapter un modèle convenable de distribution comme, par exemple, une répartition de revenus qui obéit à une loi de Pareto, ou log-normale, ou à quelque autre loi, sont bien décrits par la loi même, qui répond à toute question. Ainsi, l'ensemble de Cantor est parfaitement décrit par le type de dis- section qui le définit. En revanche, dans l'espace ou dans le temps, les êtres et les choses ne s'ordonnent pas comme un corps de ballet...
Depuis le célèbre, et toujours vivant, indice de Gini, les économistes ont créé, notamment pour rendre compte des concentrations de firmes, divers indices, fondés, comme celui de Gini, sur la courbe des fréquences; les parts de chacune des n firmes produisant un bien, pj , p2, ..., p,,3 étant rangées par ordre non croissant, ils utilisent :
(où n est choisi de telle sorte que les plus grosses firmes soient considérées),
1Pk
' 2Z?kpk - 1 ' ' ' ' ' . d'autres encore.
Certains se servent d'une expression dérivée de la mesure de l'entropie :
Si ces indices sont plus ou moins adaptables à la géographie, la notion de surface n'y apparaît pour- tant pas : il faudrait alors que les régions fussent découpées en communes de. surfaces égales.
Parlons d'un indice plus proprement géographique : N habitants d'une région de surface S sont répartis en h communes; la commune i {i — 1, 2,..., h) comprend n,. habitants; sa surface est s{. La quan- tité :
est un indice de concentration. Ce nombre est compris entre 0 et 1; il est égal à 0 si la population des com- munes est proportionnelle à leur surface (répartition homogène des habitants dans la région) ; il vaudrait 1, à la limite, si la population se trouvait répartie dans quelques communes de surface pratiquement
nulle (mais cette situation manifeste-t-elle une con- centration maximum ?).
Pour analyser plus avant l'indice, il faut voir l'effet sur sa valeur du passage d'un habitant d'une com- mune à une autre. Pour cela, distinguons trois types de communes :
— commune de concentration normale, si :
"/ _ N
— commune de forte concentration, si :
— commune de faible concentration, si : n, N
On montre aisément :"
— que l'indice augmente lorsqu'un habitant de la région considérée passe d'une commune faible à une commune forte, ou d'une commune normale à une commune forte;
— que l'indice reste constant lorsqu'on passe d'une commune forte à une commune forte, ou d'une com- mune faible à une autre commune faible, ou d'une commune normale à une commune faible.
Cette dernière constatation montre que l'indice manque de sensibilité. Cependant, son inconvénient principal est peut-être qu'il est trop lié, comme les indices des économistes, à la nature du phénomène mesuré; faudra-t-il attacher à chaque nouveau phé- nomène de concentration un indice nouveau ? On peut tenter de définir un indice universel ou une méthode universelle de fabrication d'un indice. Nous suggérons la méthode suivante : elle consiste essen- tiellement à représenter le phénomène étudié par un sous-ensemble des points d'un segment, puis à déter- miner la concentration de ce sous-ensemble considéré en soi.
La façon de construire la représentation variera suivant les cas. Donnons deux exemples,
S'il s'agit de. mesurer la concentration des habi- tants d'une région, on considérera un segment (a, b) et une partition de ce segment :
a = a0 < aa < a2 < ... < at < ... < afc = b, telle que a$ — a^ soit proportionnel, à st, surface d'une commune (i — 1, 2,..., Je).
I --- 1--- 1--- 1 --- 1
ao=a al *2 \-l \ =b
Sur le segment (ai_1, a() on figurera les nf habi- tants de la commune i, au moyen de points équidis- tants par exemple (si les valeurs des nf sont trop
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grandes, on placera sur le segment une quantité de points proportionnelle à n^).
I ... I ' ' ■ ' I--- H — H
3 al a2 \-l \ =b
En supprimant les subdivisions, on obtient un sous- ensemble de points du segment (a, b) sur lequel portera notre analyse ultérieure.
Supposons maintenant une distribution de revenus;
une telle distribution est généralement donnée par classes; supposons que nous disposions de k classes de revenus, le revenu global de la classe i étant Ri, les revenus de cette classe étant répartis entre n4 personnes; la représentation de l'exemple précédent conviendra, le segment (a^n, aj ayant, cette fois, une longueur proportionnelle à R(.
Nous disposons maintenant d'un ensemble E de points inclus dans un segment (a, b), et il s'agit d'analyser cet ensemble; cette analyse se fera au moyen d'une suite de réseaux obtenus de la façon suivante : on divisera (a, b) en n segments égaux, ce qui déterminera le réseau-n; parmi les n segments qui constituent le réseau, certains contiennent des points de E, d'autres non; soit nx le nombre de segments qui ne contiennent pas de points de E;
nx sera d'autant plus grand, c'est assez clair, que la concentration de E sera plus forte. C'est à l'aide de cette quantité % que sera construit l'indice.
Si l'ensemble E est infini, nous prendrons comme indice de concentration l'expression :
£ étant une fonction convenable. Nous ne nous attacherons pas à ce cas ici, qui est traité plus particulièrement ailleurs (4).
Dans l'étude du cas fini, il faut préciser les notions exposées ci-dessus. Tout d'abord, lorsqu'on repré- sente, au moyen d'un ensemble de points, une situa- tion du type de celles que nous considérons, on peut être amené à faire, de certains d'entre eux, des points multiples. L'ensemble E, de K points distincts, simples ou multiples, est alors le support d'un sys- t è m e S d e N p oi n t s c o n s i d é r é s c o m m e s i m p l e s (K ^ N).
N étant donc le nombre de points du système (nombre de personnes de la région analysée, par exemple). On construit le réseau-N en divisant (a, b) en N se gme nts éga ux ; s oit (xi_1, xt) l'un d'eux (i = 1, 2, ..., N); on appellera maille — 1 le semi- ouvert :
(i = 2, ..., N) ou le fermé : a = [xfl , xj
(4) Claude TRICOT,Sur la notion de densité, Cahiers du Département d'économétrie de l'Université de Genève, 1973.
C. Tricot, C. Raffestin, D. Bachmann Soit Ni le nombre de mailles — 1 ne comprenant aucun point du système; Nt/N est une première approximation de l'indice. So.it p^N (i = 1,2, ..., N) le nombre de points du système appartenant à la ihs)e maille — 1 (p^ est nul si cette maille ne comprend a u c u n p o i n t d u s y s t è m e ) ; o n a : pT + p . , + . . . + PNN= 1.
On construit maintenant le réseau-N2 en divi- sant chaque maille — 1 en N mailles — 2. Soit N2i
le nombre de mailles —2, incluses dans la ièm e maille — 1, et qui ne contiennent aucun point du système. On posera :
N2 — pt N21 + p2 N2:> + ... + pN N 2N-La quantité :
N, N, N N2
est une seconde approximation de l'indice.
Soit q*N (i = 1, 2, ..., N2) le nombre de points du système appartenant à la i*me maille — 2.
On construit le réseau-N3 en divisant chaque maille —2 en N mailles —3; N3i sera le nombre de mailles —3 incluses dans la i*"me maille —?. et qui ne contiennent aucun point du système. On posera :
N3 = qx NS1 + q2 N32 + ... + qN 2 2 N3N
Ces opérations peuvent se répéter indéfiniment. On prendra pour indice de concentration :
N, N, N,
C =—— + — - H --- +--
N N2 N3
Cet indice peut être calculé car, au bout d'un cer- nombre d'opérations, on a, nécessairement, Nf = N — 1 (la maille —- (i — 1) est assez petite pour ne plus comprendre qu'un seul point) : la queue de la série se calcule alors aisément. Si N est assez petit, on obtient la valeur de c en utilisant un graphique;
sinon, on peut se servir du programme FORTRAN qui termine cet article.
On peut résumer ici les propriétés de l'indicé c(5).
a. L'indice est compris entre 0 et 1; il prend la valeur 1, si et seulement si l'ensemble se réduit à un point (qui représente les N points du système) ; on obtient à peu près ce cas si tous les habitants de la région analysée sont concentrés dans le même lieu. Sa plus petite valeur, pour un système de N points, n'est pas 0 mais 1/N ; on obtient cette valeur lorsque chaque maille — 1 comprend un point (et un seul, nécessairement) du système; la répartition des points est homogène sur le segment, et l'on obtiendrait une telle représentation si le nombre d'habitants d'une commune était proportionnel à sa surface. Plus N est grand, plus cette valeur minimale est petite, ce qui est raisonnable.
(5) Pour une analyse plus complète, Cf. Claude TRICOT, Concentration d'un ensemble de points. Cahiers du Départe- ment d'écon&métrie de l'Université de Genève, 1971.
b. Il faut encore examiner quelle est l'influence, sur l'indice, d'un déplacement d'un point du système et montrer, notamment, que l'indice augmente si le point passe ' d'une aire moins concentrée à une aire plus concentrée. Encore faut-il définir ce qu'on entend par là. Pour cela, considérons un point A du segment (a, b). Il est compris dans une maille — 1 et une seule, que nous désignerons par (A) j; de même, il est compris dans une maille — 2 désignée par (A)-J,etc. Cela étant, nous dirons:
Définition 1 : Considérons deux mailles distinctes : (A)k et (A')ii, contenant deux points A et A' et des points du système. Soit Nlî+i A le nombre de mailles
— (k + 1), incluses dans (A)k, qui ne comprennent aucun point du système. Si Nk+1, A est supérieur à Nfe+i, A'' nous dirons que (A)k a une structure plus concentrée que (A')!;. Si Nk+Ïi A = Nk + 1 A<, nous dirons que les deux mailles ont même structure.
Définition 3 : Nous dirons qu'à la suite du transfert d'un point du système de A en A' il s'est produit un phénomène de concentration si, c et c' étant les deux indices correspondant au système initial et au système final, on a la relation : c < c'.
On montre alors :
Proposition 1 : Pour qu'il puisse se produire un phénomène de concentration dans un transfert de A en A', il est nécessaire que, (A)h+1 et (A')h + i étant les premières mailles disjointes dans la suite des mailles qui incluent les deux points, (A') h+x
contienne des points du système autres que le
point transféré (autrement dit : il faut que le point arrive dans une région déjà occupée, ce qui est la moindre des choses).
si A est transféré en A', C ne peut augmenter
Proposition 2 : Supposons que, dans la suite [(A)h+k , (AOh + iJ k=i. a. ... > il se trouve un premier couple dont les termes ont une structure différente;
si le deuxième a une structure plus concentrée que le premier, il se produira un phénomène de concen- tration (fig. en bas de page).
Proposition 3 : II y a «phénomène de concentration si A est isolé dans (A)h (le départ de A crée alors une zone vide).
Ces résultats, et d'autres encore, sont satisfaisants du point de vue de ce qu'on espère obtenir d'un indice de concentration, ce mot, comme beaucoup de mots, incluant des virtualités que le modèle pré- cédent s'efforce de dégager; n'est-ce-pas là le rôle d'une pensée plus ou moins mathématicienne ? S'il échappe aux deux écueils suivants : la mise en for- mules immédiate du chiffre ou la recherche, dans l'arsenal mathématique, de quelque outil construit à d'autres fins, un exemple comme le précédent, même modeste, peut, peut-être, aider à la compré- hension des notions énigmatiques véhiculées par le langage.
Définition 2: Un point A est isolé dans (A)ks'il est le seul point inclus dans (A)k+J.
III. APPLICATION DE L'INDICE.
Avant de présenter le programme d'ordinateur qui permettra de calculer l'indice, nous allons donner les résultats pour deux exemples qui illustreront, d'une part, une application géographique et, d'autre part, une application historique. Ainsi, nous espérons montrer que l'indice est capable de rendre compte,
Proposition 2
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tout à la fois, de distributions spatiales et de dis- tributions temporelles.
Considérons tout d'abord les indices de concentra- tion de la population de la région franco-genevoise, découpée en trois sous-ensembles regroupant en tout 148 communes.
1880 1920 1962 I96S Communes de l'Ain (32) 0,21 0,32 0,42 0,45 Communes de Haute-Savoie (71) 0,16 0,21 0,46 0,50 Communes de Genève (45) 0,69 0,72 0,68 0,63 On remarquera l'opposition entre la faible concen- tration des communes françaises et la forte concen- tration des communes genevoises, jusqu'au lendemain de la Seconde Guerre mondiale. La faible concentra- tion des communes françaises rend compte d'une distribution dont l'homogénéité est caractéristique d'une emprise rurale, alors que la forte concentration genevoise révèle l'importance du pôle urbain par rapport aux zones rurales environnantes. Avant 1880, le démantèlement des fortifications à Genève a permis l'occupation de nouveaux terrains, sur lesquels des constructions ont pu accueillir de nombreux immi- grants. D'autre part, l'industrialisation de Genève jusqu'en 1920 a encore accentué la concentration au profit de la ville. Du côté français, l'industrialisation a été plus tardive et n'a véritablement exercé des effets qu'après la Première Guerre mondiale. Il en est résulté une croissance des petits centres urbains, alors que les zones agricoles diminuaient ou stag- naient du point de vue démographique. On notera la discontinuité, pour Genève, entre 1920 et 1962. Cela s'explique par l'étalement de l'agglomération, c'est-à- dire le développement des communes suburbaines qui, depuis 1950, ont dû absorber une croissance moyenne de 2 % par an. Depuis 1962, on assiste à un renforcement de la concentration du côté français et à un affaiblissement du côté genevois. Ainsi, du point de vue de l'emprise territoriale de la popula- tion dans la région franco-genevoise, se réalise pro- gressivement une distribution du même type, mais par des mouvements de sens contraire.
Pour l'exemple historique, nous avons choisi de calculer la concentration des arrivées mensuelles de bateaux dans le port de Livourne au xvi° siècle (1).
Nous avons pris trois années : 1583, 1584 et 1585, pour lesquelles on a enregistré respectivement les arrivées suivantes : 342, 468 et 307 bateaux. Il était intéressant de voir si le trafic, distribué mensuel- lement, connaissait des variations saisonnières sen- sibles ou non. Les indices ont montré une très faible concentration, donc pas de variations remarquables.
Pour 1583. l'indice s'établit à 0,11, contre 0,16 pour
Cl) Les données utilisées ont été tirées de l'ouvrage de F.
BRAUDEL et R. ROMANO,Navires et marcha-nàises à l'entrée du port de Livourne, 1547-1611, Paris, 1951.
C. Tricot, C. Raffestin, D. Bachmann 1584 et 0,11 pour 1585. Ainsi, pour cette période de 36 mois représentant 1 117 arrivées, l'indice est de 0,15. Nous sommes donc très proches d'une distri- bution uniforme, qui pourrait être très aisément interprétée, sans doute, par des historiens de l'éco- nomie du xvr siècle.
Il est évident qu'on pourrait multiplier les appli- cations; mais celles-ci n'ont d'intérêt véritable que dans le contexte d'une recherche, et c'est pourquoi nous nous limiterons à ces deux exemples, dont le but aura été de concrétiser les pages précédentes.
IV. PRÉSENTATION ET UTILISATION DU PROGRAMME INDECON.
Le programme INDECON est écrit en FORTRAN IV (version CDC 3 800). Il a été testé et mis au point sur l'ordinateur CDC 3 800 du Centre cantonal d'informatique de Genève ; on a utilisé le compila- teur FTN du système d'exploitation DISK SCOPE 2.1 V.6/1 juin 1973, actuellement en vigueur.
Ce programme se compose d'un programme prin- cipal, chargé de la lecture et de la préparation des données, et d'un sous-programme CONCENTI, à dimensions variables, qui calcule l'indice de concen- tration pour n'importe -quel vecteur de points. La seule contrainte à imposer à ce vecteur est que sa dimension ne doit pas être trop grande, car alors la procédure de calcul devient très lente (3 000 points nécessitent environ 5 minutes de temps/machine, alors qu'entre 1000 et 2 000 points, il faut moins d'une minute pour l'exécution), en raison des nom- breux tests logiques nécessités par le calcul de l'in- dice. La tâche du programme principal est donc de présenter les données sous la forme d'un vecteur de points et, si le nombre de points est trop élevé, de regrouper ceux-ci, mais de façon à ne pas modifier significativement la valeur de l'indice. Cette partie du programme doit donc être adaptée à chaque utilisation.
Les applications que l'on a faites (concentration de la population, des étrangers, des revenus, etc.) peuvent toutes être représentées par le schéma général suivant.
Soit un ensemble R divisé en h sous-ensembles Cj (i — 1,..., h) contenant chacun p* « personnes ». On désire calculer la concentration des « personnes » dans R.
Par exemple, dans le cas de la concentration des revenus, R est l'ensemble des revenus possibles, les Ci; les différentes classes de revenus, et les pi les nombres de revenus distribués, appartenant aux classes C,.
Le nombre maximum h de sous-ensembles a été fixé à 100. Si l'on désire augmenter h, il suffit de
odifier les dimensions des vecteurs C et P dans le programme principal.
Dans ce cadre, le programme INDECON procède de la manière suivante :
R e s t r e p r é s e n té p a r u n v e c te u r d e p o i n ts X qui est constitué par h vecteurs consécutifs propor- tionnels aux Citdans lesquels les p( sont répartis de manière uniforme. Il est évident que toute autre forme de répartition à l'intérieur des C^ est possible;
la répartition uniforme a été choisie ici de manière arbitraire.
— Dans le cas où la somme des p,- est plus grande que 2 000, le programme détermine le nombre D de points à regrouper, de sorte que la somme des points représentés soit comprise entre 1 000 et 2 000 :
Influence du regroupement sur la valeur de l'indice.
En cas de réduction des points par proportion- nalité, c'est-à-dire lorsque l'on représente D per- sonnes par 1 point, deux risques d'erreurs peuvent s'introduire dans le calcul de l'indice :
— Risque 1 : les nombres Nk (k = 1, 2,...) de mailles — k ne contenant aucun point, ne sont pas nécessairement modifiés dans la même proportion que les Nk. L'indice calculé sur les données regrou pées peut donc différer de l'indice obtenu à partir des données originales.
— Risque 2 : le regroupement dans chaque sous- ensemble conduit à une approximation des nombres entiers p; (i = 1, 2, ... , h) : nombre de « personnes » par sous-ensemble après le regroupement.
Cependant, pour tous les calculs que l'on a fait, l'effet de ces deux risques est négligeable tant que le nombre total de points, après le regroupement, est supérieur à 1 000.
