TD L1 ECO AES

TD L1 ECO/AES, mathématiques appliquées (études de fonctions)

Ex 1 : En utilisant un tableau de valeurs, tracer la courbe des fonctions suivantes : a) 𝑓(𝑥) = 𝑥3_{− 3𝑥 + 4 pour 𝑥 ∈ [−2 ; 2]} b) 𝑔(𝑥) =_3−𝑥22 pour 𝑥 ∈ [2 ; 7] c) ℎ(𝑥) = 𝑒−2𝑥+2 _{pour 𝑥 ∈ [−1 ; 2]} d) 𝑖(𝑥) = ln (5 − 2𝑥) pour 𝑥 ∈ [−10 ; 2] e) 𝑗(𝑥) = 3𝑥14 pour 𝑥 ∈ [1 ; 16] f) 𝑘(𝑥) = (𝑥2_{+ 1)}1_{5 pour 𝑥 ∈ [0 ; 4]}

Ex 2 : Simplifier les écritures suivantes :

a) 𝑒3_𝑒−5_𝑒36 _d) 1 𝑒−2 g) 𝑒𝑥+𝑦 𝑒𝑥−𝑦× 𝑒2𝑥−𝑦 𝑒2𝑥+𝑦 b) (𝑒7₎3_𝑒19 _{e) 𝑒}−32_𝑒−65_𝑒100_𝑒−3 _{h) (𝑒}𝑥₎3_(𝑒𝑦₎−3_𝑒2𝑦−3𝑥 c) 𝑒_𝑒45 f) 𝑒𝑥𝑒𝑥+𝑦𝑒𝑥−𝑦 i) (𝑒−4)2𝑒−1𝑒𝑒8

Ex 3 : Simplifier les écritures suivantes :

a) ln(3) + ln (1₃) + ln (𝑒) g) 1₂ln(𝑒0,5_{) − ln(𝑒}−4₎ b) 2 ln(2) − ln (4) h) ln ((2 + √3)5) + ln ((2 − √3)5) c) ln(3) + 2 ln(9) i) ln (𝑒_𝑒53) d) ln(7) + ln(5) + ln (₃₅1) j) 2 ln(7) − ln (49_𝑒3) e) ln(𝑒5_{) − 2 ln(𝑒}2_{) k) 𝑒}𝑥+ln(𝑥)_{× 𝑒}ln(𝑥)−𝑥 f) 3 ln(𝑒−3_{) +}1 2ln(𝑒10) l) 𝑒2 ln(3) 𝑒3 ln(2)

Ex 4 : Dériver les fonctions suivantes : a) 𝑓(𝑥) = −7 b) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 3 c) 𝑓(𝑥) =𝑥₄+ 4𝑥 d) 𝑓(𝑥) = −𝑥2_{+ 7} e) 𝑓(𝑥) = 3𝑥2_{− 𝑥 + 4} f) 𝑓(𝑥) = 5𝑥3₋2 𝑥+ 4 g) 𝑓(𝑥) = −𝑥3_{+ 7𝑥 + ln (𝑥)} h) 𝑓(𝑥) = 𝑥4_{+ 7𝑥}2_{− 4𝑒}𝑥 i) 𝑓(𝑥) = 4𝑥2_𝑒𝑥 j) 𝑓(𝑥) = 4𝑥2_{(𝑥 + 5) + 7𝑥}1₂ k) 𝑓(𝑥) = (−𝑥 − 1)𝑒𝑥 l) 𝑓(𝑥) = ln(𝑥) × (𝑥2_{− 𝑥) + 𝑒}𝑥 m) 𝑓(𝑥) = √𝑥 × (2 − 4𝑥) + 𝑥13 n) 𝑓(𝑥) =_7𝑥+41 o) 𝑓(𝑥) =_4𝑥2_+2𝑒1 𝑥 y) 𝑓(𝑥) = 𝑒3𝑥 2_−𝑥 p) 𝑓(𝑥) = 1 𝑥12+2𝑥 z) 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 1)𝑒 −𝑥+2 q) 𝑓(𝑥) =_3𝑥−𝑥+22₊₁ aa) 𝑓(𝑥) = ln(4𝑥2+ 7𝑥 + 9) r) 𝑓(𝑥) =4𝑥_{ln (𝑥)}2+1 bb) 𝑓(𝑥) = (2𝑥 − 1)ln (𝑥2_{+ 3)} s) 𝑓(𝑥) = 5𝑥15 cc) 𝑓(𝑥) = 𝑥 × ln(2𝑥) −1 𝑥+ 𝑒−2𝑥 t) 𝑓(𝑥) = (3𝑥)15+ 1,777 u) 𝑓(𝑥) = (2𝑥 + 1)3₊1 𝑥 v) 𝑓(𝑥) = 𝑒−2𝑥+1_{+ 2 ln(𝑥)} w) 𝑓(𝑥) = 6ln (−𝑥2_{+ 7)} x) 𝑓(𝑥) = √3𝑥2_{+ 𝑥 + 4}

Ex 5 : Résoudre les inéquations suivantes : a) 2𝑥 + 2 > 0 g) 𝑒2𝑥−3_{≥ 𝑒}2𝑥+3 b) 1 + 2(5𝑥 − 1) ≤ 7 h) 𝑒−𝑥2_+5𝑥 > 𝑒 c) (2𝑥 − 5)(4𝑥 + 1) ≤ 0 i) 𝑒1−𝑥5> 7 d) (−3𝑥 − 1)(5𝑥 − 2) > 0 e) 𝑥2_{+ 3𝑥 + 7 > 0 j) ln(𝑥 + 3) < 2} f) −𝑥2_{+ 6𝑥 + 3 ≤ 2𝑥 k) ln(6 − 4𝑥) ≥ ln (2)}

Ex 6 : Pour les fonctions suivantes

a) 𝑓(𝑥) = 2𝑥2_{− 𝑥 − 5 pour 𝑥 ∈ [−5 ; 5]} b) 𝑓(𝑥) = 1 − 2𝑥2_{+ 2𝑥}3 _{pour 𝑥 ∈ [−5 ; 5]} c) 𝑓(𝑥) = 𝑥5_{− 4𝑥}4 _{pour 𝑥 ∈ [−5 ; 5]} d) 𝑓(𝑥) =1−2𝑥_3+𝑥 pour 𝑥 ∈ [−2 ; 5] e) 𝑓(𝑥) = 𝑒−2𝑥+4 _{pour 𝑥 ∈ [0 ; 2]} f) 𝑓(𝑥) = ln(7𝑥 − 1) pour 𝑥 ∈ [0,2 ; 1] g) 𝑓(𝑥) = −3 ln(𝑥) − 𝑥 pour 𝑥 ∈ [0,5 ; 1,5] h) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 𝑒−𝑥 _{pour 𝑥 ∈ [−5 ; 10]} i) 𝑓(𝑥) = ln (𝑥2_{+ 1) pour 𝑥 ∈ [0 ; 5]}

1) Dresser le tableau de variations (pour cela on les dérivera, étudiera le signe de la dérivée suivant les valeurs de 𝑥, puis on dressera le tableau de variations).

2) Donner les extremums (c’est-à-dire les minimums et maximums), préciser s’ils sont locaux ou globaux. 3) Etudier la convexité (calculer la dérivée seconde, puis étudier le signe de la dérivée seconde et conclure)

Ex 7 : 1) Calculer les limites en +∞ et en −∞ des fonctions suivantes : a) 𝑓(𝑥) = 1 − 3𝑥 h) 𝑓(𝑥) =3𝑒_𝑒𝑥2𝑥₊₂−1 b) 𝑓(𝑥) = −2𝑥2_{+ 𝑥 i) 𝑓(𝑥) =}2𝑒𝑥+1 𝑒𝑥₋₁ c) 𝑓(𝑥) = 4𝑥3_{+ 5𝑥}2_{− 1 j) 𝑓(𝑥) = 𝑒}1_𝑥 d) 𝑓(𝑥) = −𝑥4_{+ 3𝑥 + 1 k) 𝑓(𝑥) = 𝑒}−𝑥2 e) 𝑓(𝑥) =_−𝑥2𝑥+1_+3𝑥−4 l) 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥 𝑥+1 f) 𝑓(𝑥) =3𝑥_2𝑥33+2𝑥−1_+𝑥2₊₁ m) 𝑓(𝑥) = ln(𝑥2+ 𝑥 + 1) g) 𝑓(𝑥) =_2𝑥𝑥45_+2𝑥+42 n) 𝑓(𝑥) = √1 + 𝑒−𝑥

2) Calculer les limites des fonctions suivantes

a) 𝑓(𝑥) = −_2𝑥+13 lorsque 𝑥 → −0,5+ _{et lorsque 𝑥 → −0,5}− b) 𝑓(𝑥) =𝑥_𝑥−12+3 lorsque 𝑥 → 1+ _{et lorsque 𝑥 → 1}− c) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1 − √𝑥 lorsque 𝑥 → 0+ _{et lorsque 𝑥 → +∞} d) 𝑓(𝑥) = ln (2𝑥) lorsque 𝑥 → 0+ e) 𝑓(𝑥) = ln (1 +1_𝑥) lorsque 𝑥 → 0+ f) 𝑓(𝑥) = ln (𝑥−5_𝑥+2) lorsque 𝑥 → −2−